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专题四：平面向量的综合应用
考点1：平面向量与三角形“四心” 1
考法1：重心问题的向量表示 1
考法2：垂心问题的向量表示 4
考法3：外心问题的向量表示 6
考法4：内心问题的向量表示 10
考点2：向量与解三角形综合 11
考法5：向量与余弦定理融合 11
考法6：向量与正弦定理融合 13
考法7：向量与三角形面积融合 14
考点3：向量与其他知识融合 16
考法8：向量与函数融合 16
考法9：向量与三角函数融合 18
注意事项
1. 本试卷涵盖平面向量与三角形“四心”、解三角形、函数、不等式及三角函数的综合应用.
2. 重点练习向量的线性运算、数量积运算在几何与代数综合问题中的应用.
3. 解答题需注意步骤的完整性，特别是向量法与几何法的结合.
1 2 3 4 5
C 25 25 B B
6 7 8 9 10
见解析 （1） （2）见解析 A
11 12 13 14 15
ACD C A ABD
16 17 18 19 20
D B 2 4
21 22 23 24
ABD 0 最大值，最小值3
考点1：平面向量与三角形“四心”
考法1：重心问题的向量表示
1.（单选）已知点 是边长为 3 的正三角形 所在平面内的一点，满足 ，过点 的动直线分别交线段 ， 于点 ，，则 面积的最大值为（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】取 的中点为 ，
由 ，则 ，
∴ ，①
设 ，，，，，
则 ，②
∴结合①和②可得 ，，整理得 ，
又 ，，则 ，得 ，且 ，解得 ，
又∵ 是边长为 3 的正三角形，则 ，，
则 的面积为 ，
令 ，，则 ，，
，，
根据对勾函数的性质，当 时， 取得最大值，且最大值为 ，
∴ 面积的最大值为 .
【点拨】利用平面向量基本定理将 用两种方式表示出来，建立参数 之间的关系，再将面积转化为单变量函数求最值.
2.（填空）已知 是 内的一点，角 、、 所对的边长分别为 、、，而且 ，若 ，则 ＿＿＿＿＿＿.
【答案】25
【解析】延长 分别至 ，使 ，如图，
则有 ， 是 的重心，延长 交 于 ，则 是 的中点，
且 ，
，同理 ，
而 ，
同理得 ，又 ，则 ，，
∴，.
【点拨】通过构造新的三角形，利用重心的性质将面积关系转化为系数的比例关系.
3.（填空）已知 是 内的一点，角 、、 所对的边长分别为 、、，而且 ，若 ，则 ＿＿＿＿＿＿.
【答案】25
【解析】延长 分别至 ，使 ，如图，
则有 ， 是 的重心，延长 交 于 ，则 是 的中点，
且 ，
，同理 ，
而 ，
同理得 ，又 ，则 ，，
∴，.
【点拨】通过构造新的三角形，利用重心的性质将面积关系转化为系数的比例关系.
4.（单选）已知点 是边长为 3 的正三角形 所在平面内的一点，满足 ，过点 的动直线分别交线段 ， 于点 ，，则 面积的最大值为（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】∵ 是 的垂心，延长 交 于点 ，
，同理 ，
∴ ，又 ，
∴ ，又 ，
∴ ，
不妨设 ，，，其中 ，
，
∴ ，化简整理得 ，解得 （负值舍），
∴ .
【点拨】利用奔驰定理将面积之比转化为向量系数之比，再结合三角形内角和与正切和角公式求解.
考法2：垂心问题的向量表示
5.（单选）奔驰定理：已知 是 内的一点，若 、、 的面积分别记为 、、，则 .“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的 logo 很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.如图，已知 是 的垂心，且 ，则 （ 　　）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】∵ 是 的垂心，延长 交 于点 ，
，同理 ，
∴ ，又 ，
∴ ，又 ，
∴ ，
不妨设 ，，，其中 ，
，
∴ ，化简整理得 ，解得 （负值舍），
∴ .
【点拨】利用奔驰定理将面积之比转化为向量系数之比，再结合三角形内角和与正切和角公式求解.
6.（解答）已知 是 所在平面上的一点，且 ，.证明：；
【答案】见解析
【解析】由 ，得 ，，∴ ①.
由 ，得 ，，∴ ②.
由①，②得：，从而 ，
即 ，故 .
【点拨】利用向量的数量积运算，将垂直关系转化为数量积为零，通过向量的线性运算进行推导.
7.（解答）已知 是 所在平面上的一点，且 ，.若 ，记 ，
（1）当 时，求 ；
（2）比较 与 的大小，并说明理由.
【答案】（1）
（2） ，理由见解析
【解析】作 于 ，由 ，得 ，
，
，
，
，当 且 时，.
∵ ，，则有 ，
∴ .
（1）当 时，.
∴ .
（2），.
由题意，，∴ .
，
∵ ，∴ ，
从而 ，当且仅当 时，取“=”.
，即 .
【点拨】利用向量投影和数量积的几何意义，将向量系数转化为三角函数，再利用三角恒等变换和基本不等式求解.
考法3：外心问题的向量表示
8.（单选）已知 中，角 的对边分别为 ，，，， 的外接圆圆心为 ，则（ 　　）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】如图，设 的外接圆半径为 1，则 ，
同理 ，.
又由 和正弦定理，可知 .
故得 ，即 .
故选： A.
【点拨】利用外接圆的性质，将向量数量积转化为圆心角的余弦值，再结合圆心角与圆周角的关系及正弦定理比较大小.
9.（解答）在 中，内角 ，， 所对的边分别为 ，，，且满足 .若 ，， 为 垂心， 为 的外心，求 的值.
【答案】
【解析】设 ，则 ，
∵ ，则 ，
即 ①，
，
∵ ，则 ，
即 ②，
联立①②得 ，，故 ，
取线段 的中点 ，连接 ，则 ，
，
同理可得 ，
因此 .
【点拨】利用垂心的性质将 用基底表示，再利用外心的性质求出 与基底的数量积，最后代入计算.
10.（解答）已知 、、 分别为 三个内角 、、 的对边，且 .若 ，， 为 垂心， 为 的外心，求 的值.
【答案】
【解析】设 ，则 ，
∵ ，则 ，
即 ①，
，
∵ ，则 ，
即 ②，
联立①②得 ，，故 ，
取线段 的中点 ，连接 ，则 ，
，
同理可得 ，
因此 .
【点拨】利用垂心的性质将 用基底表示，再利用外心的性质求出 与基底的数量积，最后代入计算.
11.（多选）已知在 中，，， 分别是边 ， 上的点（不包括端点），且 ， 交于点 ，则下列结论正确的是（ 　　）
A. 若 ，则
B. 若 是 的外心，则 不可能成立
C. 对确定的 ，当 的值最小时，
D. 若点 满足 ，则
【答案】ACD
【解析】对于 A，∵ ，
∴ ，
∴ ，故 A 正确；
对于 B，若 成立，则 ，
两边平方得 ，，∴ ，这是可能的，故 B 错误；
对于 C，设 ，，，，
则 ，
由二次函数的性质知，当 ， 时， 的值最小，
此时 为 的重心，故 ，故 C 正确；
对于 D，由题意得 ，
∴ ，即 ，故 D 正确.
故选：AC D.
【点拨】利用向量数量积的运算法则展开化简；利用坐标法将距离平方和转化为二次函数求最值；利用向量投影的几何意义判断垂直关系.
考法4：内心问题的向量表示
12.（单选）已知非零向量 与 满足 ，且 ，，点 是 的边 上的动点，则 的最小值为（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】∵ 分别表示 与 方向的单位向量，
∴ 以 这两个单位向量为邻边的平行四边形是菱形，故 所在直线为 的平分线所在直线，
∵ ，∴ 的平分线与 垂直，故 .
取 的中点 ，连接 ，则 ，
由题意得，，，
∴ .
如图，以 为坐标原点， 所在直线为 轴， 所在直线为 轴，
建立平面直角坐标系，
则 ，，，故 .
设 ，则 ，∴ ，
∴ ，，
∴ ，
当 时， 取得最小值，最小值为 .
故选：C.
【点拨】利用单位向量和的几何意义确定角平分线，再结合垂直条件得出等腰三角形，最后建系利用坐标法求二次函数最值.
考点2：向量与解三角形综合
考法5：向量与余弦定理融合
13.（单选）在 2025 年春晚的舞台设计中，工程师设计了一个三角形装饰灯架 用于悬挂灯光设备.已知灯架的两边 米， 米，且 .为了加固结构，需从边 的中点 到顶点 安装一条加固杆 ，则加固杆 的长度为（ 　　）
A. 米 B. 米 C. 米 D. 米
【答案】A
【解析】∵ 是 的中点，，，，
∴ ，
∴ ，
∴ .
故选：A.
【点拨】利用向量中线公式将中线长度转化为向量模的平方运算，结合数量积公式求解.
14.（多选）在 中，，若点 满足：，，，则下列结论正确的有（ 　　）
A. B.
C. 的面积为 3 D. 的外接圆半径为
【答案】ABD
【解析】∵ ，∴ ，
即 ，∴ ，故 A 正确；
∵ ，∴ ，∵ ，
∴解得 ，
在 中，∵ ，，
由余弦定理得，，
即 ，故 B 正确；
又∵ ，，∴ ，即 ，
因此 ，故 C 错误；
∵ ，∴ ，
因此 的外接圆半径为 ，故 D 正确．
故选：AB D.
【点拨】利用向量共线定理确定点的位置，再通过解三角形求出边长，最后判断三角形形状并计算面积与外接圆半径.
15.（解答）在 中，角 ，， 所对的边分别为 ，，，已知 ， 为边 上一点，且 ．若 ，且 ，求 的值；
【答案】
【解析】（2）∵ ，
∴ ，
由（1）知，，
∴
，
由已知 ，∴ ，即 ，
又 ，联立两式解得，，
由余弦定理，可得 ，即 ．
【点拨】将线段用向量基底表示，通过平方运算转化为边长关系，再联立方程组求解.
16.（单选）已知 中，，，若点 依次将线段 平均分成 2026 份，设 ，，，则 （ 　　）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由余弦定理知，，由题知 的中点为 ， 也为线段 ，线段 ，...，线段 的中点，∵ ，∴ ，而 ，平方得 ，即 ，故 .故选 D.
【点拨】利用向量加法的平行四边形法则将多个向量求和转化为中线向量，再利用余弦定理和向量模长公式求解.
考法6：向量与正弦定理融合
17.（单选）在 中，角 ，， 所对的边分别为 ，，，已知 ，，若 ，则 的最小值为（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由 ，由正弦定理得 ，
即 ，由余弦定理得 ，又 ，∴ ，
由 知 ，，
∴
，当且仅当 即时等号成立，
∴线段 长度的最小值为 .
故选：D
【点拨】利用正弦定理将边角关系转化为边边关系，求出角 ，再将向量模长表示为边长的函数，利用基本不等式或配方法求最值.
考法7：向量与三角形面积融合
18.（填空）在 中， 的面积为 ，，， 的外接圆为圆 ， 为圆 上的点，则 的最大值为＿＿＿＿＿＿.
【答案】2
【解析】依题意，，，则 ，由 ，得 ，，
又 ，则 ， 为正三角形，取 中点 ，连接 ，
由正弦定理得 ，，
，当且仅当点 在线段 上，即点 与 重合时取等号，
，
∴当点 与 重合时， 取得最大值 2.
【点拨】通过面积公式和数量积公式解出三角形，利用极化恒等式将数量积转化为线段长度的极值问题.
19.（解答）著名的费马问题是法国数学家皮埃尔·德·费马（1601-1665）于 1643 年提出的平面几何极值问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小”．费马问题中的所求点称为费马点，已知对于每个给定的三角形，都存在唯一的费马点，当 的三个内角均小于 120°时，则使得 的点 即为费马点．在 中，角 ，， 的对边分别为 ，，，且 ．若 是 的“费马点”，，．若 ，求 的周长；
【答案】
【解析】由（1）知， 的三个内角均小于 120°，∴
设 ，，，则
.
∴ ，
由 得：，
即 ，由余弦定理得，，
即 ，即 ，
又 ，联立 解得 ，.
∴ 的周长为 .
【点拨】利用费马点的性质将面积分割，结合数量积定义得到边长关系，再通过解方程组求出各边长.
20.（解答）用不共线的两个向量 ，，求解三角形面积问题．若 ，，求 的面积；
【答案】4
【解析】由已知得 ，，.
∴ ，∴ ，∴ .
【点拨】利用向量坐标运算求出模长和数量积，进而求出夹角的正弦值，代入三角形面积公式计算.
考点3：向量与其他知识融合
考法8：向量与函数融合
21.（多选）在菱形 中，，，，，点 在线段 上，且 ，若点 为线段 上一个动点，则下列说法正确的有（ 　　）
A.
B.
C. 向量 在 方向上的投影向量为
D. 的最小值为
【答案】ABD
【解析】在菱形 中，，，
对于 A，由 ，得
，解得
，
则 ，
而点 在线段 上，于是 ，解得 ，A 正确；
对于 B，，，B 正确；
对于 C，，，向量 在 方向上的投影向量为 ，C 错误；
对于 D，由点 为线段 上，设 ，
，
，
，当且仅当 时取等号，D 正确.
故选：ABD
【点拨】利用基底表示向量，结合三点共线定理求参数；通过数量积运算求模长和投影向量；将数量积转化为二次函数求最值.
22.（解答）平面直角坐标系内有 2027 个点 ，，， 满足：① ；② ，．设 ．若 ，，求 的最小值.
【答案】0
【解析】设 方向单位向量为 ， 方向单位向量为 ，，，
，，，，，，，，...
当 时， 为周期函数，周期为 3，
设 ，则 ，，，
，，，...
故 是以 6 为周期的函数，
∴
，
∵ ，，
对于前 336 个周期中，令第 个周期中的 ，第 个周期中的 ，，
则
，
令 ，，
此时 ，∴ 最小值为 0.
【点拨】通过递推关系发现向量模长的周期性，利用向量正交分解将距离转化为坐标运算，通过构造系数取值使距离为零.
考法9：向量与三角函数融合
23.（解答）如图，设 ， 是平面内相交成 （ 且 ）角的两条数轴，， 分别是与 轴、 轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系 为 斜坐标系.若向量 ，则把有序数对 叫做向量 在 斜坐标系 中的坐标，记为 .已知在 斜坐标系 中，，.
当 时，若向量 ，，已知 ，求函数 的最值.
【答案】最大值，最小值3
【解析】∵ ，
由（1）可得 ，
令 ，则 ，
∴ ，
当 时，，
当 时，.
【点拨】利用斜坐标系下的数量积公式展开，通过换元法将三角函数最值问题转化为二次函数在闭区间上的最值问题.
24.（解答）对于一个向量组 且 ，令 ，如果存在 ，使得 ，则称 是该向量组的“ 向量”．已知 均是向量组 的“1 向量”，若 ，其中 是 的内角，设 的内角 的对边分别为 ，若 的平分线 交 于 ，，求 的取值范围．
【答案】
【解析】由题意，得 ，，即 ，即 ，
同理 ，
，
三式相加并化简，得：，
即 ，，∴ ，
∴ ，，得 .
∵ ，∴ .
在 中，由正弦定理可得 ，∴ ，
同理 中，，则 ，
又 ，
∴ .
∵ ，∴ ，，∴ .
【点拨】通过定义推导出三个向量之和为零向量，利用向量坐标运算和三角恒等变换求出角 ，再利用正弦定理将线段倒数和转化为三角函数求值域.
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考点1：平面向量与三角形“四心” 1
考法1：重心问题的向量表示 1
考法2：垂心问题的向量表示 2
考法3：外心问题的向量表示 3
考法4：内心问题的向量表示 4
考点2：向量与解三角形综合 4
考法5：向量与余弦定理融合 4
考法6：向量与正弦定理融合 5
考法7：向量与三角形面积融合 5
考点3：向量与其他知识融合 6
考法8：向量与函数融合 6
考法9：向量与三角函数融合 7
注意事项
1. 本试卷涵盖平面向量与三角形“四心”、解三角形、函数、不等式及三角函数的综合应用.
2. 重点练习向量的线性运算、数量积运算在几何与代数综合问题中的应用.
3. 解答题需注意步骤的完整性，特别是向量法与几何法的结合.
考点1：平面向量与三角形“四心”
考法1：重心问题的向量表示
1.（单选）已知点 是边长为 3 的正三角形 所在平面内的一点，满足 ，过点 的动直线分别交线段 ， 于点 ，，则 面积的最大值为（ 　　）
A. B. C. D.
2.（填空）已知 是 内的一点，角 、、 所对的边长分别为 、、，而且 ，若 ，则 ＿＿＿＿＿＿.
3.（填空）已知 是 内的一点，角 、、 所对的边长分别为 、、，而且 ，若 ，则 ＿＿＿＿＿＿.
4.（单选）已知点 是边长为 3 的正三角形 所在平面内的一点，满足 ，过点 的动直线分别交线段 ， 于点 ，，则 面积的最大值为（ 　　）
A. B. C. D.
考法2：垂心问题的向量表示
5.（单选）奔驰定理：已知 是 内的一点，若 、、 的面积分别记为 、、，则 .“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的 logo 很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.如图，已知 是 的垂心，且 ，则 （ 　　）
A. B. C. D.
6.（解答）已知 是 所在平面上的一点，且 ，.证明：；
7.（解答）已知 是 所在平面上的一点，且 ，.若 ，记 ，
（1）当 时，求 ；
（2）比较 与 的大小，并说明理由.
考法3：外心问题的向量表示
8.（单选）已知 中，角 的对边分别为 ，，，， 的外接圆圆心为 ，则（ 　　）
A.
B.
C.
D.
9.（解答）在 中，内角 ，， 所对的边分别为 ，，，且满足 .若 ，， 为 垂心， 为 的外心，求 的值.
10.（解答）已知 、、 分别为 三个内角 、、 的对边，且 .若 ，， 为 垂心， 为 的外心，求 的值.
11.（多选）已知在 中，，， 分别是边 ， 上的点（不包括端点），且 ， 交于点 ，则下列结论正确的是（ 　　）
A. 若 ，则
B. 若 是 的外心，则 不可能成立
C. 对确定的 ，当 的值最小时，
D. 若点 满足 ，则
考法4：内心问题的向量表示
12.（单选）已知非零向量 与 满足 ，且 ，，点 是 的边 上的动点，则 的最小值为（ 　　）
A. B. C. D.
考点2：向量与解三角形综合
考法5：向量与余弦定理融合
13.（单选）在 2025 年春晚的舞台设计中，工程师设计了一个三角形装饰灯架 用于悬挂灯光设备.已知灯架的两边 米， 米，且 .为了加固结构，需从边 的中点 到顶点 安装一条加固杆 ，则加固杆 的长度为（ 　　）
A. 米 B. 米 C. 米 D. 米
14.（多选）在 中，，若点 满足：，，，则下列结论正确的有（ 　　）
A. B.
C. 的面积为 3 D. 的外接圆半径为
15.（解答）在 中，角 ，， 所对的边分别为 ，，，已知 ， 为边 上一点，且 ．若 ，且 ，求 的值；
16.（单选）已知 中，，，若点 依次将线段 平均分成 2026 份，设 ，，，则 （ 　　）
A. B. C. D.
考法6：向量与正弦定理融合
17.（单选）在 中，角 ，， 所对的边分别为 ，，，已知 ，，若 ，则 的最小值为（ 　　）
A. B. C. D.
考法7：向量与三角形面积融合
18.（填空）在 中， 的面积为 ，，， 的外接圆为圆 ， 为圆 上的点，则 的最大值为＿＿＿＿＿＿.
19.（解答）著名的费马问题是法国数学家皮埃尔·德·费马（1601-1665）于 1643 年提出的平面几何极值问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小”．费马问题中的所求点称为费马点，已知对于每个给定的三角形，都存在唯一的费马点，当 的三个内角均小于 120°时，则使得 的点 即为费马点．在 中，角 ，， 的对边分别为 ，，，且 ．若 是 的“费马点”，，．若 ，求 的周长；
20.（解答）用不共线的两个向量 ，，求解三角形面积问题．若 ，，求 的面积；
考点3：向量与其他知识融合
考法8：向量与函数融合
21.（多选）在菱形 中，，，，，点 在线段 上，且 ，若点 为线段 上一个动点，则下列说法正确的有（ 　　）
A.
B.
C. 向量 在 方向上的投影向量为
D. 的最小值为
22.（解答）平面直角坐标系内有 2027 个点 ，，， 满足：① ；② ，．设 ．若 ，，求 的最小值.
考法9：向量与三角函数融合
23.（解答）如图，设 ， 是平面内相交成 （ 且 ）角的两条数轴，， 分别是与 轴、 轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系 为 斜坐标系.若向量 ，则把有序数对 叫做向量 在 斜坐标系 中的坐标，记为 .已知在 斜坐标系 中，，.
当 时，若向量 ，，已知 ，求函数 的最值.
24.（解答）对于一个向量组 且 ，令 ，如果存在 ，使得 ，则称 是该向量组的“ 向量”．已知 均是向量组 的“1 向量”，若 ，其中 是 的内角，设 的内角 的对边分别为 ，若 的平分线 交 于 ，，求 的取值范围．
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