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专题五：复数
考点1：复数的概念 2
考法1：复数分类的判定 2
考法2：复数相等的条件 2
考法3：求共轭复数 3
考点2：复数的几何意义 4
考法4：复数的模及其性质 4
考法5：复数在复平面内的对应点 6
考法6：复数模的几何意义 8
考法7：复数与向量的对应 9
考点3：复数的四则运算 9
考法8：复数的加减运算 9
考法9：复数的乘法运算 10
考法10：复数的除法运算 12
考法11：i的周期性应用 13
考法12：复数范围内解方程 14
考点4：复数的三角形式（选学） 15
考法13：将代数形式化为三角形式 15
考法14：利用棣莫弗定理求高次幂 15
注意事项
1. 本专题主要考查复数的概念、几何意义及四则运算.
2. 注意复数相等的条件及复数模的几何意义的应用.
3. 选学内容（复数的三角形式）根据教学要求选做.
1 2 3 4 5
ABD 见解析 BD
6 7 8 9 10
AC （1） ， （2） 见解析（3） B AD
11 12 13 14 15
ACD BC B BCD
16 17 18 19 20
B AC A 见解析 D
21 22 23 24 25
BCD 1 ACD A
26 27 28 29 30
0 A B AD 见解析
31 32
考点1：复数的概念
考法1：复数分类的判定
1.（填空）已知复数 为纯虚数，则实数 的值为＿＿＿＿＿＿.
【答案】
【解析】由 为纯虚数，得 且 ，解得 .
【点拨】纯虚数的条件是实部为0且虚部不为0，两个条件必须同时满足.
2.（多选）设 ，则下列说法正确的是（ 　　）
A. 当 时， B. 当 时， 的虚部是
C. ，使 是纯虚数 D. ， 所对应的点不会在复平面的第三象限
【答案】ABD
【解析】对于A，当 时，，所以 ，故A正确；
对于B，当 时，，所以 的虚部是 ，故B正确；
对于C，若 为纯虚数，则 且 ，解得 ，此时 ，即虚部也为0，此时 ，不是纯虚数，故C错误；
对于D，若 对应的点在复平面的第三象限，则 且 ，解得 ，又 ，所以不等式组无解，即 所对应的点不会在复平面的第三象限，故D正确.
【点拨】判断复数的分类和几何意义时，分别列出实部和虚部满足的方程或不等式组求解即可.
考法2：复数相等的条件
3.（解答）（已知欧拉公式在复数集内可推广为 ，且 . 两角和的余弦公式在复数范围内仍然成立，即 . 定义函数 ，.）若 ，令 ，证明：.
【答案】见解析
【解析】由题意知，，
.
由 ，
，则 ，
又 ，
可得 .
又 ，，
∴ ，，即 ，.
由 ，整理得 .
【点拨】利用复数相等的条件，实部等于实部，虚部等于虚部，再利用三角恒等变换消去参数.
考法3：求共轭复数
4.（解答）已知复数 的共轭复数为 ， 在复平面内对应的点为 ， 为虚数单位.求复数 ；
【答案】
【解析】∵ 在复平面内对应的点为 ，
∴ ，
∴ .
【点拨】复平面内的点 对应的复数为 ，其共轭复数为 .
考点2：复数的几何意义
考法4：复数的模及其性质
5.（多选）已知复数 （i 为虚数单位），则下面结论正确的是（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】BD
【解析】对于A，由 ，则 ，所以 ，故A错误；
对于B，，∴ ，故B正确；
对于C，，而 ，∴ ，故C错误；
对于D，由 ，则 ，，所以 ，故D正确.
【点拨】熟练掌握复数的四则运算和模的计算公式是解题的关键.
6.（填空）设复数 满足 ，且 ，则 ＿＿＿＿＿＿.
【答案】
【解析】设 ，所以 ，由 ，
所以 ，
因为 ，
所以 .
【点拨】利用复数相等的条件列出方程组，再结合代数式的展开即可求出差的模长.
7.（多选）设 是复数，则下列说法正确的是（ 　　）
A. 若 ，则 或 B. 若 ，则
C. 若 ，则 D.
【答案】AC
【解析】对于A，若 ，则 ，即 ，∴ 或 ，即 或 ，故A正确；
对于B，若 ，不妨设 ，则 ，但 ，故B错误；
对于C，若 ，则 ，即 ，故C正确；
对于D，若 ，则 ，而 ，故D错误.
【点拨】复数范围内，不能直接将实数的开方运算推广到复数，如选项D.
8.（解答）我们可以把平面向量坐标的概念推广为“复向量”，即可将有序复数对 视为一个向量，记作 . 类比平面向量的线性运算可以定义复向量的线性运算；两个复向量 ， 的数量积记作 ，定义为 ；复向量 的模定义为 .
（1） 设 ，，求复向量 与 的模；
（2） 已知对任意的实向量 与 ，都有 ，当且仅当 与 平行时取等号；
①求证：对任意实数 ，，，，不等式 成立，并写出此不等式的取等条件；
②求证：对任意两个复向量 与 ，不等式 仍然成立；
（3） 当 时，称复向量 与 平行. 设 ，，，若复向量 与 平行，求复数 的值.
【答案】（1） ， （2） ①见解析，取等条件为 且 ；②见解析 （3）
【解析】（1） ，
.
（2） ① 证明：设 ，
则 ，，，
因为对于实向量有 ，
所以 .
取等条件为 与 平行且同向，即 且 .
② 证明：设 ，
，
.
因为 ，
所以 ，即 .
（3） 结合复数的三角不等式，复向量各分量均不为零时，其等号成立的条件是存在非负实数 ，使得 ，
根据题意，若复向量 与 平行，
则 ，
根据 中等号成立的条件，
应有 ，则 .
结合 ，得 ，解得 ；
所以 ，所以 .
【点拨】本题考查复数的新定义运算，利用复向量平行的定义，结合复数模的性质求解.
考法5：复数在复平面内的对应点
9.（单选）在复平面内， 对应的点位于（ 　　）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】B
【解析】因为 ，
所以 对应的点为 ，
则该复数对应的点位于第二象限.
【点拨】利用复数的除法法则化简复数，再根据复数的几何意义判断.
10.（多选）在复平面内，下列说法正确的是（ 　　）
A. 若点 的坐标为 ，则 对应的点在第三象限
B. 若 ,则
C. 若 ，则
D. 复数 是方程 在复数范围内的一个解
【答案】AD
【解析】对于A中，若点 的坐标为 ，复数 ，可得 ，对应点在第三象限，所以A正确；
对于B中，由复数的几何意义，可得 表示复平面内点到原点的距离相等，不一定满足 ，所以B不正确；
对于C中，由复数的几何意义，可得 表示以原点为圆心，1为半径的圆，而 表示圆上的点到点 的距离，最大距离为3，最小距离为1，即 ，所以C不正确；
对于D中，由复数 ，可得 ，所以D正确.
【点拨】利用复数的几何意义及复数的运算进行判断.
11.（多选）已知复数 在复平面内对应的点分别为 和 ，则下列结论正确的是（ 　　）
A. 点 的坐标为
B.
C. 若 ，则
D.
【答案】ACD
【解析】A正确：因为 ，所以 的坐标为 ；
B错误：，选项中为 ，故错误；
C正确：一般情况有 ；
D正确：.
【点拨】熟记复数的几何意义及共轭复数的性质.
12.（多选）设复数 在复平面内对应的点为 ，i 为虚数单位，则下列说法正确的是（ 　　）
A. 若 ，则 或
B. 若 ，则点 的集合所构成的图形的面积为
C.
D. 若 是实系数方程 的一个根，则
【答案】BC
【解析】对于A，例如：复数 ，可得 ，但不等于 或 ，A错误；
对于B，由复数的几何意义，可得 是以半径为1和半径为 的圆构成的圆环，其中圆环的面积为 ，所以B正确；
对于C，由虚数的运算性质：，可得 ，所以C正确；
对于D，由复数 是实系数方程 的一个根，可得复数 是实系数方程 的另一个根，
则 且 ，即 ，
所以 ，所以D不正确.
【点拨】利用复数的几何意义、周期性及实系数一元二次方程虚根成对定理进行判断.
考法6：复数模的几何意义
13.（单选）若 ，且 ，则（ 　　）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】若 ，且 ，
则 ，
即 ，
所以 .
【点拨】将复数代数形式代入模的公式化简即可.
14.（多选）已知 ， 为复数，则下列命题正确的是（ 　　）
A.
B. 若 ，则
C. 若 ，则
D. 若 ，则 的最大值为
【答案】BCD
【解析】对于A，令 ，则 ，，显然 ，故A错误；
对于B，若 ，则 ，故B正确；
对于C，若 ，则 ，故C正确；
对于D，设 ，则 ，
，
因为 ，所以 ，
所以 ，故D正确.
【点拨】利用复数的代数形式设未知数，转化为三角函数求最值.
考法7：复数与向量的对应
15.（解答）四边形 是复平面内的平行四边形，，，， 四点对应的复数分别为 ，，，.求复数 ；
【答案】
【解析】复平面内 ，， 对应的点坐标分别为 ，，.
设 的坐标为 ，由于四边形 是复平面内的平行四边形，则 ，
所以 ，
所以 ，，
解得 ，，故 ，
则点 对应的复数 .
【点拨】利用平行四边形法则，转化为向量相等求解.
16.（单选）已知在复平面内， 为原点，向量 对应的复数分别为 ，，那么向量 对应复数的虚部为（ 　　）
A. 1 B. 9 C. D.
【答案】B
【解析】由题意得 对应的复数为 ， 对应的复数为 ，
所以 对应的复数为 ，
所以向量 对应复数的虚部为 9.
【点拨】向量的减法对应复数的减法，注意虚部是实数，不带i.
考点3：复数的四则运算
考法8：复数的加减运算
17.（多选）已知复数 ，则下列复数中虚部为 0 的有（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】AC
【解析】对于A，，虚部为0，故A正确；
对于B，，虚部为2，故B错误；
对于C，，虚部为0，故C正确；
对于D，，虚部为-1，故D错误.
【点拨】直接代入计算，注意实数的虚部为0.
18.（单选）复数 的虚部为（ 　　）
A. B. 4 C. D.
【答案】A
【解析】，其虚部为 .
【点拨】复数的虚部是实数，不包含i.
考法9：复数的乘法运算
19.（解答）（已知欧拉公式 ，e 是自然对数的底，i 是虚数单位.它的一个简单而重要的结论是：余弦函数和正弦函数可以用定义在复数集上的指数函数构造出来，即 . 欧拉公式将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的关系，被誉为“数学中的天桥”. 当 时，得到等式 ，数学里最重要的五个常数 被联系在一起，仿佛一句诗，道尽了数学之美.）已知 ，欧拉公式在复数集内可推广为 ，需要指出的是， 和 是复数，它们不是 的实部和虚部，且 . 容易证明，两角和的余弦公式在复数范围内仍然成立，即 . 定义函数 ，.证明：；
【答案】见解析
【解析】
.
所以 成立.
【点拨】利用定义将双曲函数转化为三角函数，再利用两角和的余弦公式证明.
20.（单选）已知 i 是虚数单位，复数 在复平面内对应的点坐标为 ，，则 的虚部为（ 　　）
A. i B. C. 1 D.
【答案】D
【解析】因为复数 在复平面内对应的点坐标为 ，
所以 ，
则 ，
所以 ，
则 的虚部为 .
【点拨】复数乘法运算后求共轭复数，再确定虚部.
21.（多选）欧拉公式 是由数学家欧拉创立的，该公式建立了三角函数与指数函数的关联，被誉为“数学中的天桥”.依据欧拉公式，若 ，则（ 　　）
A. 的虚部为 1 B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】对于A，因为 ，所以 ，虚部为 ，故A错误；
对于B，，故B正确；
对于C，，故C正确；
对于D，因为 ，所以 ，即 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，故D正确.
【点拨】利用欧拉公式将指数形式化为代数形式，再结合等比数列求和公式求解.
考法10：复数的除法运算
22.（填空）已知复数 ，其中 i 为虚数单位，则 ＿＿＿＿＿＿.
【答案】1
【解析】因为 ，
所以 ，
所以 .
【点拨】先代入化简复数，再求模长.
23.（多选）若复数 满足 ，复数 的虚部为 1，且 是实数，则（ 　　）
A. 的实部是-2 B. 在复平面上对应的点位于第四象限
C. 的共轭复数是 D. 复数满足 ，则 的最大值是
【答案】ACD
【解析】对于A，由 ，得 ，所以 ，实部是-2，故A正确；
对于B， 对应的点为 ，位于第二象限，故B错误；
对于C，设 ，则 ，
因为 是实数，所以 ，解得 ，即 ，
所以 的共轭复数是 ，故C正确；
对于D，设 ，由 得 ，
表示圆上的点到原点的距离，最大值为圆心到原点的距离加上半径，
即 ，故D正确.
【点拨】利用复数除法求出z1，再根据z1z2为实数求出z2，最后利用复数模的几何意义求最值.
24.（解答）（已知我们可以把平面向量坐标的概念推广为“复向量”，即可将有序复数对 视为一个向量，记作 . 类比平面向量的线性运算可以定义复向量的线性运算；两个复向量 ， 的数量积记作 ，定义为 ；复向量 的模定义为 .）当 时，称复向量 与 平行. 设 ，，，若复向量 与 平行，求复数 的值.
【答案】
【解析】结合复数的三角不等式，复向量各分量均不为零时，其等号成立的条件是存在非负实数 ，使得 ，
根据题意，若复向量 与 平行，
则 ，
根据 中等号成立的条件，
应有 ，则 .
结合 ，得 ，解得 ；
所以 ，所以 .
【点拨】利用复向量平行的定义，结合复数模的性质求解.
25.（单选）已知复数 ，则 （ 　　）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】已知复数 ，
则 .
【点拨】先利用复数的除法法则化简复数，再求共轭复数.
考法11：i的周期性应用
26.（填空）已知 是虚数单位，则 ＿＿＿＿＿＿.
【答案】0
【解析】因为 ，
所以 .
【点拨】利用虚数单位i的周期性 计算.
27.（单选）若 i 为虚数单位，则复数 的虚部为（ 　　）
A. B. 1 C. D. i
【答案】A
【解析】由 ，
所以复数 的虚部为 .
【点拨】利用等比数列求和公式及虚数单位i的周期性化简.
考法12：复数范围内解方程
28.（单选）已知 是关于 的方程 的一个根，则 （ 　　）
A. B. 3 C. 6 D. 7
【答案】B
【解析】因为 是关于 的实系数方程 的一个根，
所以 也是该方程的一个根，
由韦达定理得 ，，
解得 ，
所以 .
【点拨】实系数一元二次方程的虚根成对出现，利用韦达定理求解.
29.（多选）已知 为关于 的方程 在复数范围内的一个根，则（ 　　）
A. B.
C. 为纯虚数 D. 为关于 的方程 的另一个根
【答案】AD
【解析】对于A，因为 ，所以 ，故A正确；
对于B，因为 是实系数方程 的一个根，所以另一个根为 ，
由韦达定理可得 ，解得 ，故B错误；
对于C，，不是纯虚数，故C错误；
对于D，实系数一元二次方程的虚根成对出现，所以另一个根为 ，故D正确.
【点拨】实系数一元二次方程的虚根成对出现，结合韦达定理和复数四则运算进行判断.
30.（解答）（已知数学家在解决判别式 的二次方程时引入了虚数，例如 解得：. 实际上高阶方程同样在复数域中有解，如 解得：； 解得：. 数学家高斯发现对于一元 次多项式方程()在复数域内有且只有 个根（重根按重数计算，如 解得：），这就是著名的代数基本定理.）试证明：方程 （，且 为偶数）在复数域内的所有解的和为 0.
【答案】见解析
【解析】设方程 的 个根分别为 ，
则 ，
展开右边多项式，得 .
比较两边 的系数，因为 为偶数，，所以左边 的系数为0，
所以 ，即 .
所以方程 在复数域内的所有解的和为 0.
【点拨】利用代数基本定理和多项式恒等定理（韦达定理）求解.
考点4：复数的三角形式（选学）
考法13：将代数形式化为三角形式
31.（解答）（已知定义：复数 的三角形式为 ，其中 ， 是复数 的模， 是复数 的辐角，规定 范围内的辐角 的值为辐角的主值，记作 .）已知 ，求 .
【答案】
【解析】因为 ，
，
所以 .
所以 .
【点拨】利用诱导公式将复数化为三角形式，再利用复数乘法的三角形式运算法则求解.
考法14：利用棣莫弗定理求高次幂
32.（解答）（已知数学家在解决判别式 的二次方程时引入了虚数，例如 解得：. 实际上高阶方程同样在复数域中有解，如 解得：； 解得：. 数学家高斯发现对于一元 次多项式方程()在复数域内有且只有 个根（重根按重数计算，如 解得：），这就是著名的代数基本定理.）已知复数的乘方运算满足 ，试求 在复数域中的所有解；
【答案】
【解析】设 ，
则 .
又 ，
所以 ，，
解得 ，.
当 时，，；
当 时，，；
当 时，，.
所以方程 在复数域中的所有解为 .
【点拨】利用复数的三角形式及棣莫弗定理，将方程转化为三角方程求解.
第 2 页，共 17 页专题五：复数
考点1：复数的概念 1
考法1：复数分类的判定 1
考法2：复数相等的条件 1
考法3：求共轭复数 2
考点2：复数的几何意义 2
考法4：复数的模及其性质 2
考法5：复数在复平面内的对应点 3
考法6：复数模的几何意义 4
考法7：复数与向量的对应 4
考点3：复数的四则运算 5
考法8：复数的加减运算 5
考法9：复数的乘法运算 5
考法10：复数的除法运算 6
考法11：i的周期性应用 7
考法12：复数范围内解方程 7
考点4：复数的三角形式（选学） 8
考法13：将代数形式化为三角形式 8
考法14：利用棣莫弗定理求高次幂 8
注意事项
1. 本专题主要考查复数的概念、几何意义及四则运算.
2. 注意复数相等的条件及复数模的几何意义的应用.
3. 选学内容（复数的三角形式）根据教学要求选做.
考点1：复数的概念
考法1：复数分类的判定
1.（填空）已知复数 为纯虚数，则实数 的值为＿＿＿＿＿＿.
2.（多选）设 ，则下列说法正确的是（ 　　）
A. 当 时，
B. 当 时， 的虚部是
C. ，使 是纯虚数
D. ， 所对应的点不会在复平面的第三象限
考法2：复数相等的条件
3.（解答）（已知欧拉公式在复数集内可推广为 ，且 . 两角和的余弦公式在复数范围内仍然成立，即 . 定义函数 ，.）若 ，令 ，证明：.
考法3：求共轭复数
4.（解答）已知复数 的共轭复数为 ， 在复平面内对应的点为 ， 为虚数单位.求复数 ；
考点2：复数的几何意义
考法4：复数的模及其性质
5.（多选）已知复数 （i 为虚数单位），则下面结论正确的是（ 　　）
A. B. C. D.
6.（填空）设复数 满足 ，且 ，则 ＿＿＿＿＿＿.
7.（多选）设 是复数，则下列说法正确的是（ 　　）
A. 若 ，则 或 B. 若 ，则
C. 若 ，则 D.
8.（解答）我们可以把平面向量坐标的概念推广为“复向量”，即可将有序复数对 视为一个向量，记作 . 类比平面向量的线性运算可以定义复向量的线性运算；两个复向量 ， 的数量积记作 ，定义为 ；复向量 的模定义为 .
（1） 设 ，，求复向量 与 的模；
（2） 已知对任意的实向量 与 ，都有 ，当且仅当 与 平行时取等号；
①求证：对任意实数 ，，，，不等式 成立，并写出此不等式的取等条件；
②求证：对任意两个复向量 与 ，不等式 仍然成立；
（3） 当 时，称复向量 与 平行. 设 ，，，若复向量 与 平行，求复数 的值.
考法5：复数在复平面内的对应点
9.（单选）在复平面内， 对应的点位于（ 　　）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
10.（多选）在复平面内，下列说法正确的是（ 　　）
A. 若点 的坐标为 ，则 对应的点在第三象限
B. 若 ,则
C. 若 ，则
D. 复数 是方程 在复数范围内的一个解
11.（多选）已知复数 在复平面内对应的点分别为 和 ，则下列结论正确的是（ 　　）
A. 点 的坐标为 B.
C. 若 ，则 D.
12.（多选）设复数 在复平面内对应的点为 ，i 为虚数单位，则下列说法正确的是（ 　　）
A. 若 ，则 或
B. 若 ，则点 的集合所构成的图形的面积为
C.
D. 若 是实系数方程 的一个根，则
考法6：复数模的几何意义
13.（单选）若 ，且 ，则（ 　　）
A. B.
C. D.
14.（多选）已知 ， 为复数，则下列命题正确的是（ 　　）
A.
B. 若 ，则
C. 若 ，则
D. 若 ，则 的最大值为
考法7：复数与向量的对应
15.（解答）四边形 是复平面内的平行四边形，，，， 四点对应的复数分别为 ，，，.求复数 ；
16.（单选）已知在复平面内， 为原点，向量 对应的复数分别为 ，，那么向量 对应复数的虚部为（ 　　）
A. 1 B. 9 C. D.
考点3：复数的四则运算
考法8：复数的加减运算
17.（多选）已知复数 ，则下列复数中虚部为 0 的有（ 　　）
A. B. C. D.
18.（单选）复数 的虚部为（ 　　）
A. B. 4 C. D.
考法9：复数的乘法运算
19.（解答）（已知欧拉公式 ，e 是自然对数的底，i 是虚数单位.它的一个简单而重要的结论是：余弦函数和正弦函数可以用定义在复数集上的指数函数构造出来，即 . 欧拉公式将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的关系，被誉为“数学中的天桥”. 当 时，得到等式 ，数学里最重要的五个常数 被联系在一起，仿佛一句诗，道尽了数学之美.）已知 ，欧拉公式在复数集内可推广为 ，需要指出的是， 和 是复数，它们不是 的实部和虚部，且 . 容易证明，两角和的余弦公式在复数范围内仍然成立，即 . 定义函数 ，.
证明：；
20.（单选）已知 i 是虚数单位，复数 在复平面内对应的点坐标为 ，，则 的虚部为（ 　　）
A. i B. C. 1 D.
21.（多选）欧拉公式 是由数学家欧拉创立的，该公式建立了三角函数与指数函数的关联，被誉为“数学中的天桥”.依据欧拉公式，若 ，则（ 　　）
A. 的虚部为 1 B.
C. D.
考法10：复数的除法运算
22.（填空）已知复数 ，其中 i 为虚数单位，则 ＿＿＿＿＿＿.
23.（多选）若复数 满足 ，复数 的虚部为 1，且 是实数，则（ 　　）
A. 的实部是-2
B. 在复平面上对应的点位于第四象限
C. 的共轭复数是
D. 复数满足 ，则 的最大值是
24.（解答）（已知我们可以把平面向量坐标的概念推广为“复向量”，即可将有序复数对 视为一个向量，记作 . 类比平面向量的线性运算可以定义复向量的线性运算；两个复向量 ， 的数量积记作 ，定义为 ；复向量 的模定义为 .）当 时，称复向量 与 平行. 设 ，，，若复向量 与 平行，求复数 的值.
25.（单选）已知复数 ，则 （ 　　）
A. B. C. D.
考法11：i的周期性应用
26.（填空）已知 是虚数单位，则 ＿＿＿＿＿＿.
27.（单选）若 i 为虚数单位，则复数 的虚部为（ 　　）
A. B. 1 C. D. i
考法12：复数范围内解方程
28.（单选）已知 是关于 的方程 的一个根，则 （ 　　）
A. B. 3 C. 6 D. 7
29.（多选）已知 为关于 的方程 在复数范围内的一个根，则（ 　　）
A. B.
C. 为纯虚数 D. 为关于 的方程 的另一个根
30.（解答）（已知数学家在解决判别式 的二次方程时引入了虚数，例如 解得：. 实际上高阶方程同样在复数域中有解，如 解得：； 解得：. 数学家高斯发现对于一元 次多项式方程()在复数域内有且只有 个根（重根按重数计算，如 解得：），这就是著名的代数基本定理.）试证明：方程 （，且 为偶数）在复数域内的所有解的和为 0.
考点4：复数的三角形式（选学）
考法13：将代数形式化为三角形式
31.（解答）（已知定义：复数 的三角形式为 ，其中 ， 是复数 的模， 是复数 的辐角，规定 范围内的辐角 的值为辐角的主值，记作 .）已知 ，求 .
考法14：利用棣莫弗定理求高次幂
32.（解答）（已知数学家在解决判别式 的二次方程时引入了虚数，例如 解得：. 实际上高阶方程同样在复数域中有解，如 解得：； 解得：. 数学家高斯发现对于一元 次多项式方程()在复数域内有且只有 个根（重根按重数计算，如 解得：），这就是著名的代数基本定理.）已知复数的乘方运算满足 ，试求 在复数域中的所有解；
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