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专题六：立体几何初步（一）——空间几何体
考点1：基本立体图形的结构特征 2
考法1：棱柱、棱锥、棱台的概念辨析 2
考法2：旋转体的概念辨析 4
考点2：斜二测画法与直观图 4
考法3：由直观图还原原图形 4
考法4：由原图形画直观图 7
考法5：直观图与原图面积互算 8
考点3：简单几何体的表面积 9
考法6：求多面体的表面积 9
考法7：求旋转体的表面积 13
考点4：简单几何体的体积 16
考法8：求简单几何体的体积 16
考法9：等体积法 19
考法10：分割法与补形法求体积 23
考法11：体积的最值问题 24
考点5：球的切接问题 26
考法12：球与正方体的切接 26
考法13：球与长方体的切接 29
考法14：球与三棱锥的切接 30
注意事项
1. 重点考查空间几何体的结构特征、三视图与直观图的转换、表面积与体积的计算以及球的切接问题.
2. 练习时需注意空间想象能力的培养，熟练掌握各类几何体表面积和体积的公式，特别是球与多面体的切接问题，注意寻找球心和半径.
3. 解答题注意步骤规范，特别是辅助线的作法和几何关系的证明.
1 2 3 4 5
BCD C C D B
6 7 8 9 10
B C A C 2 3
11 12 13 14 15
D A A
16 17 18 19 20
C AC B ；
21 22 23 24 25
C AC D
26 27 28 29 30
A A 6
31 32 33 34 35
D A A
36 37 38 39 40
AD A
41 42 43 44 45
D B
46 47 48
A B
考点1：基本立体图形的结构特征
考法1：棱柱、棱锥、棱台的概念辨析
1.（多选）《九章算术》卷五《商功》中，记载了一种几何体“刍童”，这种几何体是上下底面为互相平行不相似长方形，两底面的中心连线与底面垂直的六面体．如图，现有一高为 2 的“刍童” ，其中 ，，，，则（ 　　）
A. 该“刍童”的所有侧棱交于一点 B. 直线 与直线 异面
C. 该“刍童”的所有侧棱与下底面 所成角的正弦值均为 D. 该“刍童”外接球的表面积为
【答案】BCD
【解析】对于A选项，根据“刍童”的概念可知：“刍童”不是棱台，所以“刍童”的所有侧棱的延长线不会交于一点，故A错误；
对于B选项，因为上下底面平行，故、无公共点，则、平行或异面，
由题中数据可得，
，所以，
若、平行，则四边形为梯形，则、延长后会相交，与A选项矛盾，故、为异面直线，故B正确；
对于C选项，设在平面上的射影为、在直线上的射影为，如图：
易知，该“刍童”的所有侧棱与下底面所成角均相等.
则，，，
所以，
可得，
设，则，故C正确；
对于D选项，如图：
若该“刍童”的外接球的球心在“刍童”外面，设其外接球半径为，，（）
则，
所以该“刍童”的外接球的表面积为：.
若该“刍童”的外接球的球心在“刍童”里面，设其外接球半径为，，（）
则，不合题意，故舍去.
所以该“刍童”的外接球的表面积为：，故D正确.
【点拨】理解“刍童”的结构特征是解题关键，利用几何体的对称性可求外接球半径.
2.（单选）关于正九棱锥，下列判断错误的是（ 　　）
A. 正九棱锥有 18 条棱 B. 正九棱锥的侧棱都相等
C. 正九棱锥有 18 个面 D. 正九棱锥的底面是正九边形
【答案】C
【解析】正九棱锥有 18 条棱，10 个面，正九棱锥的侧棱都相等，正九棱锥的底面是正九边形，所以C错误.
【点拨】正棱锥有条棱，个面.
3.（单选）下列说法正确的（ 　　）
A. 通过圆台侧面一点，有无数条母线 B. 棱柱的底面一定是平行四边形 C. 圆锥的轴截面都是等腰三角形 D. 用一个平面去截棱锥，原棱锥底面和截面之间的部分是棱台
【答案】C
【解析】A. 通过圆台侧面一点，只有一条母线，错误；
B. 棱柱的底面不一定是平行四边形，可以是任意多边形，错误；
C. 圆锥的轴截面都是等腰三角形，正确；
D. 用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，原棱锥底面和截面之间的部分才是棱台，错误.
【点拨】熟练掌握各旋转体和多面体的结构特征及定义是判断命题真假的基础.
考法2：旋转体的概念辨析
4.（单选）设有三个命题：①直角三角形绕一边旋转一周形成的几何体是圆锥；②棱长都相等的直四棱柱是正方体；③四棱柱所有的面都是平行四边形；其中真命题的个数是（ 　　）
A. 3 B. 2 C. 1 D. 0
【答案】D
【解析】①直角三角形绕一边旋转，必须是绕直角边旋转才是圆锥，绕斜边是两个圆锥的组合体，错误；
②棱长都相等的直四棱柱，其底面是菱形，但不一定是正方形，所以不一定是正方体，错误；
③四棱柱的侧面都是平行四边形，但底面是一般的四边形，不一定是平行四边形，错误.
所以真命题的个数为 0.
【点拨】判断旋转体和多面体的结构特征时，需特别注意概念中的限定条件.
考点2：斜二测画法与直观图
考法3：由直观图还原原图形
5.（单选）某水平放置的平面图形的斜二侧直观图是等腰梯形(如图所示)，将该平面图形绕其直角腰 边旋转一周得到一个圆台，已知 ，，则该圆台的体积为（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由斜二测画法还原平面图形，在平面图形中，，，，
所以圆台的上底面半径，下底面半径，高，
则圆台的体积：
.
【点拨】斜二测画法还原平面图形时，平行于轴的线段在原图中平行于轴，且长度变为原来的2倍，平行于轴的线段长度不变，且两轴夹角恢复为.
6.（单选）用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，下列结论正确的是（ 　　）
A. 矩形的直观图是矩形 B. 三角形的直观图是三角形
C. 相等的角在直观图中仍然相等 D. 长度相等的线段在直观图中仍然相等
【答案】B
【解析】对于 A，由斜二测画法可知，矩形的直观图为平行四边形，故 A 错误；
对于 B，由斜二测画法可知，三角形的直观图是三角形，故 B 正确；
对于 C，由 A 可知，矩形的四个角都为直角，但其直观图是平行四边形，只有对角才相等，故 C 错误；
对于 D，正方形的四条边相等，但其直观图是平行四边形，只有对边才相等，故 D 错误.
【点拨】斜二测画法保持平行性和线段的比例关系，但不保持角度和所有线段的长度.
7.（单选）如图，矩形 是水平放置的平面四边形 用斜二测画法画出的直观图，其中 ，则原四边形 的周长为（ 　　）
A. B. C. 12 D.
【答案】C
【解析】由题意可知，所以原四边形的图象如图所示：
所以，所以原四边形的周长为.
【点拨】利用斜二测画法的逆过程，准确还原原平面图形的边长和角度是求解关键.
8.（单选）由斜二测画法得到的一个水平放置的三角形的直观图是等腰三角形，底角为 30°，腰长为 2，如图，那么它在原平面图形中，顶点 B 到 x 轴的距离是（ 　　）
A. B. 2 C. D.
【答案】A
【解析】过 作 的平行线交 于 点，则易知 ，
由正弦定理可知 ，则 ，
由斜二测画法知：在原平面图形中，顶点 B 到 x 轴的距离是 .
【点拨】在斜二测画法中，直观图中平行于 轴的线段，在原图中平行于 轴，且长度变为原来的 2 倍.
考法4：由原图形画直观图
9.（单选）如图所示为水平位置的正方形 ，在平面直角坐标系 中，点 的坐标为 ，用斜二测画法画出它的直观图 ，则点 到 的距离为（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】如图所示为水平位置的正方形 ，在平面直角坐标系 中，点 的坐标为 ，用斜二测画法画出它的直观图 ，
在直观图中，，，，
点 到 的距离即为 到 的距离，
在直观图中， 到 的距离为 ，
则点 到 的距离为 .
【点拨】斜二测画法中，平行于 轴的线段在直观图中平行于 轴，且长度减半，与 轴成 角.
考法5：直观图与原图面积互算
10.（填空）如图，梯形 是水平放置的平面图形 用斜二测画法得到的直观图，，，则在平面图形 中， ＿＿＿＿＿＿；图形 的面积为＿＿＿＿＿＿．
【答案】2 3
【解析】直观图梯形 中，，，
还原原图可得：
原图 中，，，，，
则其面积 .
【点拨】斜二测画法还原平面图形时，平行于 轴的线段长度不变，平行于 轴的线段长度变为原来的 2 倍，且两轴夹角恢复为 .
11.（单选）用斜二测画法画出平面四边形 的直观图为菱形 ，如图所示，其中 ，，则四边形 的面积为（ 　　）
A. 1 B. 2 C. 4 D. 8
【答案】D
【解析】由斜二测画法可知，菱形 中，，，
直观图的面积为 ，
则四边形 的面积为 .
【点拨】平面图形的面积 与其斜二测直观图的面积 满足关系式 .
12.（单选）已知 是水平放置的 的直观图，，则 的面积为（ 　　）
A. 12 B. C. 6 D.
【答案】A
【解析】由题意可知，直观图 的面积为 ，
因为原图形的面积 ，
所以 的面积为 .
【点拨】利用面积转换公式 可以快速求出原图形的面积.
考点3：简单几何体的表面积
考法6：求多面体的表面积
13.（单选）如图，在直三棱柱 中，底面 是正三角形， 边上的中点为 .三棱柱 截去三棱锥 后所得几何体的表面积为（ 　　）
A. B. C. 12 D.
【答案】A
【解析】由题意得 ，，，
从而 ，所以 ，
所以 ，
，
，
，
，
，
所以表面积为 .
【点拨】求截去一部分后的几何体表面积时，要注意加上新露出的截面面积，减去被截掉的面面积.
14.（填空）某公园设置了一些石凳供大家休息，每张石凳是由正方体石料截去八个一样的四面体得到的，如图所示．如果原正方体石料棱长是 m，那么一张石凳的的表面积是＿＿＿＿＿＿．
【答案】
【解析】原正方体石料棱长是 ，截去八个一样的四面体，得到的是一个由6个正方形和8个正三角形组成的几何体，
正方形的面积为 ，
正三角形的面积为 ，
所以表面积为 .
【点拨】明确截去部分后剩余几何体的面的组成，分别计算各面面积求和.
15.（解答）如图，在多面体 中，平面四边形 是边长为 4 的正方形，平面 平面 . 平面 平面 ， 的边 上的高 ，且 . 当 时，求该多面体的表面积.
【答案】
【解析】因为平面 平面 ，，平面 平面 ，
所以 平面 ，
因为 ， 平面 ，
所以 平面 ，
所以 到平面 的距离等于 到平面 的距离，即为 ，
过 ， 分别作 ， 的垂线，垂足为 ，，连接 ，
易知四边形 为矩形，所以 ，
在 中，，
在 中，，
所以 ，
，
，
，
，
所以表面积为 .
【点拨】利用面面垂直的性质定理求出高，再分别计算各个面的面积求和.
16.（单选）已知正方体 的棱长为 2，过点 ，， 的平面把该正方体分割成两个几何体，则这两个几何体的表面积之和为（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】过点 的平面为平面 ，
该平面把正方体分割成两个三棱柱，分别为三棱柱 和三棱柱 ，
这两个几何体的表面积之和等于正方体的表面积加上截面 面积的 2 倍，
正方体的表面积为 ，
截面 是长为 ，宽为 2 的矩形，面积为 ，
所以这两个几何体的表面积之和为 .
【点拨】分割后的几何体表面积之和等于原几何体表面积加上截面面积的2倍.
17.（解答）如图，在三棱台 中，．若三棱台 的体积为 ，底面 是以 为直角顶点的等腰直角三角形，平面 平面 ．求三棱台 的表面积.
【答案】
【解析】由题意，三棱台 为直三棱台，
因为 ，
所以 ，
在等腰直角 中，，，
在等腰直角 中，，，
因为平面 平面 ，
且平面 平面 ，，
所以 平面 ，
所以三棱台的高为梯形 的高，
在等腰梯形 中，高 ，
体积 ，
解得 ，
所以 ，，，，
梯形 的面积 ，
梯形 的面积 ，
梯形 的高 ，
面积 ，
上下底面面积和 ，
所以表面积为 .
【点拨】利用体积公式求出基本量，再分别计算各面面积求和.
考法7：求旋转体的表面积
18.（多选）若将 4 张铁皮进行任意无重叠地切割，分别可以焊接成底面半径均为 1，高均为 2 的一个密闭圆锥和一个密闭圆柱、上下底面半径分别为 ，，高为 2 的一个密闭圆台及直径为 2 的一个球（不考虑损耗），则体积与其表面积之比最大的是（ 　　）
A. 球 B. 圆锥 C. 圆柱 D. 圆台
【答案】AC
【解析】球的半径 ，体积 ，表面积 ，比值为 ；
圆锥的底面半径 ，高 ，母线 ，体积 ，表面积 ，比值为 ；
圆柱的底面半径 ，高 ，体积 ，表面积 ，比值为 ；
圆台的上下底面半径分别为 ，，高为 2，体积 ，
母线 ，表面积 ，比值为 ；
比较大小可知圆柱和球的比值最大.
【点拨】熟练掌握各旋转体的体积和表面积公式，准确计算后比较大小.
19.（单选）实心圆锥 的底面直径为 6，高为 4，过 中点 作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，则剩下几何体的表面积为（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题意，圆锥的底面半径 ，高 ，母线长 ，
圆柱的底面半径 ，高 ，
剩下几何体的表面积为圆锥的侧面积 + 圆锥的底面积 + 圆柱的侧面积，
.
【点拨】挖去一个圆柱后，表面积等于原圆锥的表面积加上圆柱的侧面积，减去圆柱的两个底面积，但由于挖去的是以截面为底面的圆柱，底部少了一个圆柱底面积，内部多了一个圆柱侧面积和一个圆柱底面积，所以总表面积等于圆锥侧面积加上圆锥底面积，再加上圆柱侧面积.
20.（填空）如图，在直角梯形 中，，，，，以 边所在的直线为轴，其余三边旋转一周所形成的面围成一个几何体.则该几何体的表面积为＿＿＿＿＿＿；一只蚂蚁在形成的几何体上从点 绕着几何体的侧面爬行一周回到点 ，则蚂蚁爬行的最短路程为＿＿＿＿＿＿.
【答案】；
【解析】由题意，该几何体为底面半径为 2，高为 6 的圆柱挖去一个底面半径为 2，高为 3 的圆锥后剩余的部分，
其表面积为 .
蚂蚁爬行的最短路程：将几何体侧面展开，圆柱侧面展开图为矩形，长为 ，宽为 6，
蚂蚁在形成的几何体上从点 绕着侧面爬行一周回到点 ，最短路程即为圆柱底面周长，为 .
【点拨】旋转体的表面积等于各旋转面的面积之和；侧面上两点间的最短路程问题，通常将侧面展开成平面图形，利用两点之间线段最短来解决.
21.（单选）如图，以边长为 2 的菱形 的一边 所在直线为轴，其他三边旋转一周形成的面围成一个几何体.已知该几何体的体积为 ，则该几何体的表面积为（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】设菱形 的高为 ，则旋转体的体积 ，解得 ，
旋转体是一个圆柱挖去一个圆锥，再加上一个与挖去圆锥全等的圆锥.
所以表面积等于圆柱的侧面积加上两个圆锥的侧面积.
圆柱的底面半径为 ，母线长为 ，圆锥的母线长为 ，
所以 .
【点拨】菱形绕一边旋转一周形成的几何体，其表面积等于一个圆柱侧面积与两个圆锥侧面积之和.
考点4：简单几何体的体积
考法8：求简单几何体的体积
22.（填空）若底面半径为 圆锥的侧面展开图为一个半圆面，则该圆锥的体积为＿＿＿＿＿＿.
【答案】
【解析】设圆锥的母线长为 ，则 ，解得 ，
所以圆锥的高 ，
所以圆锥的体积 .
【点拨】圆锥的侧面展开图的弧长等于底面圆的周长，由此求出母线长，再结合勾股定理求出高.
23.（多选）在 中，，，，分别以边 ，， 所在的直线为轴，其余各边旋转一周形成的曲面围成 3 个几何体，分别记为 ，，，则（ 　　）
A. 几何体 侧面积为
B. 几何体 与几何体 的体积之比为 5：3
C. 几何体 与几何体 的外接球半径之比为 5：3
D. 过几何体 顶点的平面截 所得的截面面积最大值为 12
【答案】AC
【解析】对于 A，以 为轴旋转形成的几何体 是底面半径为 4，高为 3 的圆锥，其侧面积 ，故 A 正确；
对于 B，以 为轴旋转形成的几何体 是底面半径为 3，高为 4 的圆锥，体积 ，
以 为轴旋转形成的几何体 是两个底面重合的圆锥组合体，底面半径 ，体积 ，
所以 ，故 B 错误；
对于 C， 的外接球半径 ，截面是底边为 8，腰为 5 的等腰三角形，外接圆半径 .
的外接球半径 ，截面是边长为 3, 4, 5 的三角形，即直角三角形，外接圆半径 .
所以 ，故 C 正确；
对于 D，过 顶点的截面是等腰三角形，母线长为 5，截面面积最大值为 ，故 D 错误.
【点拨】求旋转体的体积和表面积时，关键是确定旋转体的轴截面，进而求出旋转体的底面半径和高.
24.（填空）在四边形 中，，，，以 所在直线为轴，其他三边旋转一周形成的面围成的几何体的体积为＿＿＿＿＿＿.
【答案】
【解析】由题意，，，所以四边形 是直角梯形.
以 所在直线为轴旋转一周，形成的几何体是一个圆台.
上底面半径 ，下底面半径 ，高 .
体积 .
【点拨】直角梯形绕垂直于底边的腰旋转一周得到的几何体是圆台，利用圆台体积公式直接计算.
25.（单选）《算数书》竹简于 20 世纪 80 年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的成系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”术：“置如其周，令相乘也. 又以高乘之，三十六成一.”该术相当于给出了由圆锥的底面周长 与高 计算其体积 的近似公式 ，它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率 近似取为 3. 若近似公式为 时，相当于将圆锥体积公式中的 近似取为（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】圆锥的底面周长 ，所以 ，
圆锥的体积 ，
由 ，得 ，
所以 .
【点拨】根据圆锥的体积公式推导出体积关于底面周长和高的表达式，对比系数即可求出 的近似值.
26.（单选）已知一个正方体和一个圆台，其中圆台下底面圆是正方体下底面正方形的外接圆，圆台的上底面圆是正方体上底面正方形的内切圆，则圆台与正方体的体积之比等于（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】设正方体的棱长为 ，则正方体的体积 ，
圆台的下底面圆是正方体下底面正方形的外接圆，所以下底面半径 ，
圆台的上底面圆是正方体上底面正方形的内切圆，所以上底面半径 ，
圆台的高 ，
所以圆台的体积 ，
所以圆台与正方体的体积之比为 .
【点拨】明确圆台的上下底面半径与正方体棱长的关系，利用圆台体积公式计算即可.
考法9：等体积法
27.（单选）类比思想是学习数学的一种重要的思想方法，是指依据两类数学对象的相似性，将已知的一类数学对象的性质迁移到另一类数学对象上去的一种思维方法.在平面几何中，有如下命题“正三角形 的高为 ， 是 内任意一点， 到三边的距离分别为 ，，，则 为定值”.证明如下：设正三角形 边长为 ，高 ， 到三边的距离分别 ，，，则：，即：，化简得，，（定值）.类比此命题及证明方法，在立体几何中如图，正四棱锥 中，，侧面 与底面 的夹角为 .若点 是正四棱锥 内任意一点，点 到平面 ，平面 ，平面 ，平面 ，平面 的距离分别为 ，，，，，则 （ 　　）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】设正四棱锥的底面中心为 ，连接 ，，其中 为 中点，
则 平面 ，， 即为侧面与底面的夹角，，
因为 ，所以 ，所以 ，
正四棱锥的体积 ，
正四棱锥的表面积分为底面积和四个侧面积.
底面积 ，侧面三角形的高 ，
每个侧面的面积 ，
连接 与正四棱锥的五个顶点，将正四棱锥分割成五个棱锥，
则 ，
即 ，
化简得 ，
所以 .
【点拨】利用等体积法，将多面体分割成以内部一点为顶点，各面为底面的多个棱锥，从而建立距离与体积的关系.
28.（填空）用透明塑料制作一个由圆柱和圆台组合而成的封闭容器，并往容器内部灌入一些水．图 1 和图 2 为该容器在不同放置方式下的轴截面，其尺寸（单位：cm）如图所示．若如图 1 放置该容器时，其圆台部分恰好充满水，则如图 2 倒立放置该容器时，圆柱部分水面高度 为＿＿＿＿＿＿cm．
【答案】
【解析】由图 1 可知，圆台的体积 ，
水的体积即为圆台的体积 ，
倒立放置时，圆柱在下面，半径为 10.
水面高度 ，如果水在圆柱内，体积为 .
所以 ，解得 .
【点拨】利用等体积法，分别计算出圆台的体积，再根据圆柱的体积公式求出水面高度.
29.（解答）如图，， 是圆柱 的两条母线，， 是圆 的直径，，且 ， 是母线 上的动点. 若四面体 的体积为 ，圆柱 的体积为 ，求 的值.
【答案】
【解析】因为 ， 平面 ，所以 ，
所以 平面 ，
所以四面体 的体积 .
由于点 到平面 的距离等于点 到平面 的距离，
所以 .
.
所以 .
圆柱的体积 .
所以 .
【点拨】利用等体积法，将四面体的体积转化为底面和高都确定的四面体体积，从而简化计算.
30.（解答）如图 1，一个底面为等腰直角三角形的直三棱柱形容器中盛有水，，若侧面 水平放置时，水面恰好过 ，，， 的中点．现在固定容器底面的一边 于地面上，再将容器倾斜．随着倾斜程度不同，水面的形状也不同．如图 2，当底面 水平放置时，水面高为多少
【答案】6
【解析】直三棱柱的底面是等腰直角三角形，，.
底面积 .
总体积 .
侧面 水平放置时，水面恰好过 ，，， 的中点，说明水占据的体积是三棱柱体积的 （因为截面是梯形，面积是底面三角形面积的 ）.
水的体积 .
当底面 水平放置时，水面高为 ，则 ，即 ，解得 .
【点拨】利用水的体积在不同放置方式下保持不变，建立等式求解.
31.（单选）在正四棱锥 中，，点 是棱 的中点，则三棱锥 的体积为（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】正四棱锥 中，底面是对角线长为 的正方形，高 .
体积 .
因为 是 的中点，所以 .
.
【点拨】利用等体积法和体积比例关系，将未知三棱锥的体积转化为正四棱锥体积的一部分.
考法10：分割法与补形法求体积
32.（单选）在正方体 中，三棱锥 的体积为 9，则正方体 的棱长为（ 　　）
A. 3 B. 4 C. 6 D. 8
【答案】A
【解析】设正方体的棱长为 ，则 .
已知 ，解得 ，所以 .
【点拨】利用割补法，将三棱锥的体积转化为正方体体积减去四个角上的三棱锥体积.
33.（填空）底面边长为 8 的正三棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为 4，高为 5 的正三棱锥，所得棱台的体积为＿＿＿＿＿＿.
【答案】
【解析】截去的小正三棱锥底面边长为 4，高为 5，
因为截面平行于底面，所以小正三棱锥与原正三棱锥相似，相似比为 .
所以原正三棱锥的高为 .
小正三棱锥的底面积 ，体积 .
原正三棱锥的体积 .
所得棱台的体积 .
【点拨】利用相似几何体的体积比等于相似比的立方，求出总体积再相减即可.
34.（单选）所有棱长均为 6 的正三棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为 2 的正三棱锥，则所得棱台的高为（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】原正三棱锥是正四面体，棱长为 6.
正四面体的高 .
截去的小正三棱锥也是正四面体，底面边长为 2，相似比为 .
所以小正四面体的高 .
所得棱台的高为 .
【点拨】利用相似多面体对应线段成比例，求出原棱锥和截去棱锥的高，相减即得棱台的高.
考法11：体积的最值问题
35.（填空）如图，在三棱锥 中， 平面 ，，，，以 为直径的圆弧 在平面 内，点 是三角形 内圆弧 上（不含边界）的动点，则三棱锥 的体积最大值是＿＿＿＿＿＿，异面直线 与 所成角的余弦值范围是＿＿＿＿＿＿．
【答案】
【解析】三棱锥 的体积 .
因为 平面 ，，所以 平面 ，
所以 到平面 的距离 .
要使体积最大，只需 的面积最大.
因为 为直径的圆弧 在平面 内，，所以半径为 1.
点 在圆弧上，当 到 的距离最大时，面积最大.
最大距离为半径 1.
所以 的最大值为 .
所以体积的最大值为 .
异面直线 与 所成角的余弦值范围：
设 中点为 ，以 为原点建立坐标系.
由于 在圆弧上，且在 内.
计算可得范围是 .
【点拨】将体积最值问题转化为底面积最值问题，利用圆的几何性质求出最大高.
36.（填空）已知一个圆锥的表面积为 ，则它的体积最大值为＿＿＿＿＿＿.
【答案】
【解析】设圆锥底面半径为 ，母线长为 ，高为 .
表面积 ，所以 ，.
.
体积 .
.
当且仅当 ，即 时取等号.
【点拨】将体积表示为底面半径的函数，利用基本不等式或导数求最值.
37.（填空）已知 是球 的球面上两点，， 为该球面上的动点，若三棱锥 体积的最大值为 6，则球 的表面积为＿＿＿＿＿＿.
【答案】
【解析】设球的半径为 ，则 ，，
.
三棱锥 的体积 ，
当 到平面 的距离最大时，体积最大，最大距离为 .
所以 .
解得 ，即 .
表面积 .
【点拨】当动点到截面的距离等于球的半径时，棱锥的体积取得最大值.
考点5：球的切接问题
考法12：球与正方体的切接
38.（多选）在棱长为 2 的正方体 中，， 分别为 ， 的中点，则下列结论正确的是（ 　　）
A. 正方体 内切球的体积为
B. 与 所成角为
C. 平面 截正方体 的截面面积为
D. 底面半径为 ，高为 的圆柱，能整体放入该正方体中
【答案】AD
【解析】A：内切球半径为 1，体积为 ，正确.
B： 与 所成角，平移 到 ，连接 ，，不是 ，错误.
C：截面是正六边形，边长为 ，面积为 ，错误.
D：圆柱底面半径 ，高 ，对角线方向，正确.
【点拨】正方体内的切接问题，常借助正方体的对称性和截面图进行分析.
39.（单选）如图，在棱长为 的正方体内恰好装入两个相外切的球 ，，球心 ， 在正方体的对角线上，其中球 的半径为 2，则球 的半径为（ 　　）
A. 1 B. C. D. 2
【答案】A
【解析】设正方体棱长为 ，对角线长为 .
球 和 与正方体的三个面相切，球心在对角线上.
设半径分别为 ，则球心到顶点的距离分别为 .
对角线长等于 .
所以 .
解得 .
已知 ，则 .
【点拨】正方体角上的相切球，其球心到顶点的距离等于半径的 倍.
40.（填空）榫卯结构是中国古代建筑文化的瑰宝，在连接部分通过紧密的拼接，使得整个结构能够承受大量的重量，并且具有较高的抗震能力．这其中木楔子的运用，使得榫卯配合的牢度得到最大化满足，木楔子是一种简单的机械工具，是用于填充器物的空隙使其牢固的木橛、木片等．如图为一个木楔子的直观图，其中四边形 是边长为 2 的正方形，且 均为正三角形，，则该木楔子的外接球的体积为＿＿＿＿＿＿．
【答案】
【解析】设外接球半径为 ，球心为 ，正方形 中心为 ， 中点为 .
.
.
.
解得 ，.
外接球体积 .
【点拨】寻找外接球球心时，常利用几何体的对称性，在对称轴上设未知数构建方程.
41.（填空）已知正方体 的棱长为 1，球 与正方体的各面均相切， 为球 上一点， 分别为 上的点，则 的最小值为＿＿＿＿＿＿.
【答案】
【解析】球 是正方体的内切球，半径为 .
要求 的最小值，点 在 上， 在 上.
利用空间向量或几何体的对称性，将折线段长度之和转化为两点间距离求最小值，计算可得结果为 .
【点拨】利用空间向量或几何体的对称性，将折线段长度之和转化为两点间距离求最小值.
考法13：球与长方体的切接
42.（单选）在三棱锥 中，，，，则该三棱锥的外接球的表面积为（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】对棱相等的三棱锥可以补形成长方体.
设长方体的长宽高分别为 .
则 ，，.
三式相加得 ，即 .
长方体的对角线长即为外接球的直径 ，所以 .
外接球的表面积 .
【点拨】对棱相等的三棱锥，可补形为长方体，其外接球即为长方体的外接球.
43.（填空）已知三棱锥 中，，则该三棱锥的外接球表面积为＿＿＿＿＿＿.
【答案】
【解析】由于 ，所以 .
同理 .
所以三棱锥 可以补形为正方体，棱长为 2.
外接球的直径 .
所以外接球表面积 .
【点拨】当三条侧棱两两垂直时，可补形为长方体求外接球半径.
44.（单选）在一个长、宽、高分别为 4、4、2 的无盖长方体盒子内，放入 4 个半径为 1 的小球，然后再放入一个大球，使得大球与这 4 个小球都外切，且大球的最高点与这 4 个小球的最高点在同一水平面上，则大球的半径为（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】设大球的半径为 ，由对称性可知，大球的球心与 4 个小球的球心在同一水平面上，
此时大球球心与小球球心的距离为 ，水平投影距离为 ，
所以 ，解得 .
【点拨】利用球心之间的距离关系，结合几何体的对称性建立方程求解.
考法14：球与三棱锥的切接
45.（解答）如图所示，已知正方体 的体积为 64，点 为线段 的中点，过点 的平面 与直线 平行. 点 是侧面 内的动点，满足 平面 ，当线段 最短时，求四面体 的外接球的表面积.
【答案】
【解析】建立空间直角坐标系，设 ，，，.
平面 过 且平行于 ，可求得平面 的法向量 .
设 ，由 得 ，解得 .
当 最短时，，即 .
设外接球球心为 ，由球心到 距离相等，求得球心坐标为 ，半径平方 .
表面积为 .
【点拨】利用空间直角坐标系，将几何条件转化为代数方程求解外接球球心和半径.
46.（单选）已知在三棱锥 中，，则三棱锥 外接球的体积为（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因为 ，且 ，所以 是等腰直角三角形，.
设 的外心为 ，则 为 的中点.
在 中，，，所以 ，
所以 ， 也是等腰直角三角形.
取 中点 ，连接 ，.
则 既是 的外心，也是 的外心.
所以 .
所以 就是三棱锥 的外接球球心.
外接球半径 .
体积 .
【点拨】当多面体的所有顶点到一个定点的距离相等时，该定点即为外接球球心.
47.（填空）以点 为球心，半径为 的球的表面与以点 为顶点，棱长为 6 的正四面体表面的交线为 ，则 的总长度为＿＿＿＿＿＿.
【答案】
【解析】正四面体 的棱长为 6.
以 为球心，半径为 的球.
交线 是球与正四面体三个侧面（过 的面）和底面 的交线.
在 中，，.
球心在 ，半径为 .
因为 ，所以球面与线段 相交.
交线是一段圆弧，圆心为 ，半径为 ，圆心角为 .
所以每个侧面上的交线长为 .
三个侧面共有 .
球心 到底面 的距离 .
因为 ，所以球面与平面 相交，交线是一个圆，半径 .
底面 是边长为 6 的正三角形，其中心到各边的距离为 .
所以这个交线圆恰好是 的内切圆，完全在 内部.
所以底面上的交线是一个完整的圆，周长为 .
所以交线 的总长度为 .
【点拨】分别求出球面与各面的交线长度，注意判断球面与底面的相交情况.
48.（单选）已知正方形 的边长为 4，将 沿对角线 翻折，使二面角 为 ，则平面 截三棱锥 的外接球所得截面的面积为（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】正方形边长为 4，.
翻折后， 和 都是等腰直角三角形.
取 中点 ，连接 .
则 ，，.
二面角 的平面角为 .
在 中，.
三棱锥 的外接球球心一定在经过 外心且垂直于平面 的直线上，也经过 外心且垂直于平面 的直线上.
因为 和 都是直角三角形，斜边都是 ，所以它们的外心都是 的中点 .
所以 到 的距离都是 ，外接球的球心就是 ，半径 .
平面 截外接球所得截面是 的外接圆.
在 中，，.
设 外接圆半径为 .
，.
.
所以 .
截面面积 .
【点拨】发现翻折前后各顶点到一个定点（即对角线中点）的距离相等，从而确定外接球球心和半径.
第 2 页，共 17 页专题六：立体几何初步（一）——空间几何体
考点1：基本立体图形的结构特征 1
考法1：棱柱、棱锥、棱台的概念辨析 1
考法2：旋转体的概念辨析 2
考点2：斜二测画法与直观图 2
考法3：由直观图还原原图形 2
考法4：由原图形画直观图 3
考法5：直观图与原图面积互算 3
考点3：简单几何体的表面积 3
考法6：求多面体的表面积 3
考法7：求旋转体的表面积 4
考点4：简单几何体的体积 5
考法8：求简单几何体的体积 5
考法9：等体积法 6
考法10：分割法与补形法求体积 7
考法11：体积的最值问题 7
考点5：球的切接问题 8
考法12：球与正方体的切接 8
考法13：球与长方体的切接 9
考法14：球与三棱锥的切接 9
注意事项
1. 重点考查空间几何体的结构特征、三视图与直观图的转换、表面积与体积的计算以及球的切接问题.
2. 练习时需注意空间想象能力的培养，熟练掌握各类几何体表面积和体积的公式，特别是球与多面体的切接问题，注意寻找球心和半径.
3. 解答题注意步骤规范，特别是辅助线的作法和几何关系的证明.
考点1：基本立体图形的结构特征
考法1：棱柱、棱锥、棱台的概念辨析
1.（多选）《九章算术》卷五《商功》中，记载了一种几何体“刍童”，这种几何体是上下底面为互相平行不相似长方形，两底面的中心连线与底面垂直的六面体．如图，现有一高为 2 的“刍童” ，其中 ，，，，则（ 　　）
A. 该“刍童”的所有侧棱交于一点
B. 直线 与直线 异面
C. 该“刍童”的所有侧棱与下底面 所成角的正弦值均为
D. 该“刍童”外接球的表面积为
2.（单选）关于正九棱锥，下列判断错误的是（ 　　）
A. 正九棱锥有 18 条棱 B. 正九棱锥的侧棱都相等
C. 正九棱锥有 18 个面 D. 正九棱锥的底面是正九边形
3.（单选）下列说法正确的（ 　　）
A. 通过圆台侧面一点，有无数条母线
B. 棱柱的底面一定是平行四边形
C. 圆锥的轴截面都是等腰三角形
D. 用一个平面去截棱锥，原棱锥底面和截面之间的部分是棱台
考法2：旋转体的概念辨析
4.（单选）设有三个命题：①直角三角形绕一边旋转一周形成的几何体是圆锥；②棱长都相等的直四棱柱是正方体；③四棱柱所有的面都是平行四边形；其中真命题的个数是（ 　　）
A. 3 B. 2 C. 1 D. 0
考点2：斜二测画法与直观图
考法3：由直观图还原原图形
5.（单选）某水平放置的平面图形的斜二侧直观图是等腰梯形(如图所示)，将该平面图形绕其直角腰 边旋转一周得到一个圆台，已知 ，，则该圆台的体积为（ 　　）
A. B. C. D.
6.（单选）用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，下列结论正确的是（ 　　）
A. 矩形的直观图是矩形 B. 三角形的直观图是三角形
C. 相等的角在直观图中仍然相等 D. 长度相等的线段在直观图中仍然相等
7.（单选）如图，矩形 是水平放置的平面四边形 用斜二测画法画出的直观图，其中 ，则原四边形 的周长为（ 　　）
A. B. C. 12 D.
8.（单选）由斜二测画法得到的一个水平放置的三角形的直观图是等腰三角形，底角为 30°，腰长为 2，如图，那么它在原平面图形中，顶点 B 到 x 轴的距离是（ 　　）
A. B. 2 C. D.
考法4：由原图形画直观图
9.（单选）如图所示为水平位置的正方形 ，在平面直角坐标系 中，点 的坐标为 ，用斜二测画法画出它的直观图 ，则点 到 的距离为（ 　　）
A. B. C. D.
考法5：直观图与原图面积互算
10.（填空）如图，梯形 是水平放置的平面图形 用斜二测画法得到的直观图，，，则在平面图形 中， ＿＿＿＿＿＿；图形 的面积为＿＿＿＿＿＿．
11.（单选）用斜二测画法画出平面四边形 的直观图为菱形 ，如图所示，其中 ，，则四边形 的面积为（ 　　）
A. 1 B. 2 C. 4 D. 8
12.（单选）已知 是水平放置的 的直观图，，则 的面积为（ 　　）
A. 12 B. C. 6 D.
考点3：简单几何体的表面积
考法6：求多面体的表面积
13.（单选） 如图，在直三棱柱 中，底面 是正三角形， 边上的中点为 .三棱柱 截去三棱锥 后所得几何体的表面积为（ 　　）
A. B. C. 12 D.
14.（填空）某公园设置了一些石凳供大家休息，每张石凳是由正方体石料截去八个一样的四面体得到的，如图所示．如果原正方体石料棱长是 m，那么一张石凳的的表面积是＿＿＿＿＿＿．
15.（解答）如图，在多面体 中，平面四边形 是边长为 4 的正方形，平面 平面 . 平面 平面 ， 的边 上的高 ，且 . 当 时，求该多面体的表面积.
16.（单选）已知正方体 的棱长为 2，过点 ，， 的平面把该正方体分割成两个几何体，则这两个几何体的表面积之和为（ 　　）
A. B. C. D.
17.（解答）如图，在三棱台 中，．若三棱台 的体积为 ，底面 是以 为直角顶点的等腰直角三角形，平面 平面 ．求三棱台 的表面积.
考法7：求旋转体的表面积
18.（多选）若将 4 张铁皮进行任意无重叠地切割，分别可以焊接成底面半径均为 1，高均为 2 的一个密闭圆锥和一个密闭圆柱、上下底面半径分别为 ，，高为 2 的一个密闭圆台及直径为 2 的一个球（不考虑损耗），则体积与其表面积之比最大的是（ 　　）
A. 球 B. 圆锥 C. 圆柱 D. 圆台
19.（单选）实心圆锥 的底面直径为 6，高为 4，过 中点 作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，则剩下几何体的表面积为（ 　　）
A. B. C. D.
20.（填空）如图，在直角梯形 中，，，，，以 边所在的直线为轴，其余三边旋转一周所形成的面围成一个几何体.则该几何体的表面积为＿＿＿＿＿＿；一只蚂蚁在形成的几何体上从点 绕着几何体的侧面爬行一周回到点 ，则蚂蚁爬行的最短路程为＿＿＿＿＿＿.
21.（单选）如图，以边长为 2 的菱形 的一边 所在直线为轴，其他三边旋转一周形成的面围成一个几何体.已知该几何体的体积为 ，则该几何体的表面积为（ 　　）
A. B. C. D.
考点4：简单几何体的体积
考法8：求简单几何体的体积
22.（填空）若底面半径为 圆锥的侧面展开图为一个半圆面，则该圆锥的体积为＿＿＿＿＿＿.
23.（多选）在 中，，，，分别以边 ，， 所在的直线为轴，其余各边旋转一周形成的曲面围成 3 个几何体，分别记为 ，，，则（ 　　）
A. 几何体 侧面积为
B. 几何体 与几何体 的体积之比为 5：3
C. 几何体 与几何体 的外接球半径之比为 5：3
D. 过几何体 顶点的平面截 所得的截面面积最大值为 12
24.（填空）在四边形 中，，，，以 所在直线为轴，其他三边旋转一周形成的面围成的几何体的体积为＿＿＿＿＿＿.
25.（单选）《算数书》竹简于 20 世纪 80 年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的成系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”术：“置如其周，令相乘也. 又以高乘之，三十六成一.”该术相当于给出了由圆锥的底面周长 与高 计算其体积 的近似公式 ，它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率 近似取为 3. 若近似公式为 时，相当于将圆锥体积公式中的 近似取为（ 　　）
A. B. C. D.
26.（单选）已知一个正方体和一个圆台，其中圆台下底面圆是正方体下底面正方形的外接圆，圆台的上底面圆是正方体上底面正方形的内切圆，则圆台与正方体的体积之比等于（ 　　）
A. B. C. D.
考法9：等体积法
27.（单选）类比思想是学习数学的一种重要的思想方法，是指依据两类数学对象的相似性，将已知的一类数学对象的性质迁移到另一类数学对象上去的一种思维方法.在平面几何中，有如下命题“正三角形 的高为 ， 是 内任意一点， 到三边的距离分别为 ，，，则 为定值”.证明如下：设正三角形 边长为 ，高 ， 到三边的距离分别 ，，，则：，即：，化简得，，（定值）.类比此命题及证明方法，在立体几何中如图，正四棱锥 中，，侧面 与底面 的夹角为 .若点 是正四棱锥 内任意一点，点 到平面 ，平面 ，平面 ，平面 ，平面 的距离分别为 ，，，，，则 （ 　　）
A. B. C. D.
28.（填空）用透明塑料制作一个由圆柱和圆台组合而成的封闭容器，并往容器内部灌入一些水．图 1 和图 2 为该容器在不同放置方式下的轴截面，其尺寸（单位：cm）如图所示．若如图 1 放置该容器时，其圆台部分恰好充满水，则如图 2 倒立放置该容器时，圆柱部分水面高度 为＿＿＿＿＿＿cm．
29.（解答）如图，， 是圆柱 的两条母线，， 是圆 的直径，，且 ， 是母线 上的动点. 若四面体 的体积为 ，圆柱 的体积为 ，求 的值.
30.（解答）如图 1，一个底面为等腰直角三角形的直三棱柱形容器中盛有水，，若侧面 水平放置时，水面恰好过 ，，， 的中点．现在固定容器底面的一边 于地面上，再将容器倾斜．随着倾斜程度不同，水面的形状也不同．如图 2，当底面 水平放置时，水面高为多少
31.（单选）在正四棱锥 中，，点 是棱 的中点，则三棱锥 的体积为（ 　　）
A. B. C. D.
考法10：分割法与补形法求体积
32.（单选）在正方体 中，三棱锥 的体积为 9，则正方体 的棱长为（ 　　）
A. 3 B. 4 C. 6 D. 8
33.（填空）底面边长为 8 的正三棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为 4，高为 5 的正三棱锥，所得棱台的体积为＿＿＿＿＿＿.
34.（单选）所有棱长均为 6 的正三棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为 2 的正三棱锥，则所得棱台的高为（ 　　）
A. B. C. D.
考法11：体积的最值问题
35.（填空）如图，在三棱锥 中， 平面 ，，，，以 为直径的圆弧 在平面 内，点 是三角形 内圆弧 上（不含边界）的动点，则三棱锥 的体积最大值是＿＿＿＿＿＿，异面直线 与 所成角的余弦值范围是＿＿＿＿＿＿．
36.（填空）已知一个圆锥的表面积为 ，则它的体积最大值为＿＿＿＿＿＿.
37.（填空）已知 是球 的球面上两点，， 为该球面上的动点，若三棱锥 体积的最大值为 6，则球 的表面积为＿＿＿＿＿＿.
考点5：球的切接问题
考法12：球与正方体的切接
38.（多选）在棱长为 2 的正方体 中，， 分别为 ， 的中点，则下列结论正确的是（ 　　）
A. 正方体 内切球的体积为
B. 与 所成角为
C. 平面 截正方体 的截面面积为
D. 底面半径为 ，高为 的圆柱，能整体放入该正方体中
39.（单选）如图，在棱长为 的正方体内恰好装入两个相外切的球 ，，球心 ， 在正方体的对角线上，其中球 的半径为 2，则球 的半径为（ 　　）
A. 1 B. C. D. 2
40.（填空）榫卯结构是中国古代建筑文化的瑰宝，在连接部分通过紧密的拼接，使得整个结构能够承受大量的重量，并且具有较高的抗震能力．这其中木楔子的运用，使得榫卯配合的牢度得到最大化满足，木楔子是一种简单的机械工具，是用于填充器物的空隙使其牢固的木橛、木片等．如图为一个木楔子的直观图，其中四边形 是边长为 2 的正方形，且 均为正三角形，，则该木楔子的外接球的体积为＿＿＿＿＿＿．
41.（填空）已知正方体 的棱长为 1，球 与正方体的各面均相切， 为球 上一点， 分别为 上的点，则 的最小值为＿＿＿＿＿＿.
考法13：球与长方体的切接
42.（单选）在三棱锥 中，，，，则该三棱锥的外接球的表面积为（ 　　）
A. B. C. D.
43.（填空）已知三棱锥 中，，则该三棱锥的外接球表面积为＿＿＿＿＿＿.
44.（单选）在一个长、宽、高分别为 4、4、2 的无盖长方体盒子内，放入 4 个半径为 1 的小球，然后再放入一个大球，使得大球与这 4 个小球都外切，且大球的最高点与这 4 个小球的最高点在同一水平面上，则大球的半径为（ 　　）
A. B. C. D.
考法14：球与三棱锥的切接
45.（解答）如图所示，已知正方体 的体积为 64，点 为线段 的中点，过点 的平面 与直线 平行. 点 是侧面 内的动点，满足 平面 ，当线段 最短时，求四面体 的外接球的表面积.
46.（单选）已知在三棱锥 中，，则三棱锥 外接球的体积为（ 　　）
A. B. C. D.
47.（填空）以点 为球心，半径为 的球的表面与以点 为顶点，棱长为 6 的正四面体表面的交线为 ，则 的总长度为＿＿＿＿＿＿.
48.（单选）已知正方形 的边长为 4，将 沿对角线 翻折，使二面角 为 ，则平面 截三棱锥 的外接球所得截面的面积为（ 　　）
A. B. C. D.
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