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专题七：立体几何初步（二）——点线面位置关系
考点1：空间中线线、线面、面面的位置关系 1
考法1：异面直线的判定 1
考法2：空间位置关系辨析 2
考点2：线面平行与面面平行的判定与性质 3
考法3：线面平行的证明 3
考法4：线面平行的性质应用 4
考法5：面面平行的性质应用 5
考点3：线面垂直与面面垂直的判定与性质 6
考法6：线面垂直的证明 6
考法7：面面垂直的证明 6
考法8：线面垂直的性质应用 7
考法9：面面垂直的性质应用 8
考法10：平行与垂直的综合证明 8
考点4：空间中的角 9
考法11：求异面直线所成角 9
考法12：求二面角 10
考点5：空间中的距离 12
考法13：求点到平面的距离 12
考法14：求两平行平面间的距离 14
考点6：立体几何中的翻折问题 15
考法15：翻折前后的几何量求解 15
考法16：翻折中的垂直关系 16
考法17：翻折中的最值问题 16
考点7：立体几何中的截面问题 17
考法18：截面面积的计算 17
考点8：空间中的动点轨迹问题 20
考法19：动点轨迹形状判定 20
考法20：动点轨迹相关最值 21
1 2 3 4 5
ABD D 见解析 见解析
6 7 8 9 10
见解析 见解析 见解析 见解析 ACD
11 12 13 14 15
存在，
16 17 18 19 20
见解析
21 22 23 24
C
考点1：空间中线线、线面、面面的位置关系
考法1：异面直线的判定
1.（多选）在棱长为4的正方体中，点分别为棱的中点，则下列说法正确的是（ 　　）
A. 直线是异面直线
B. 直线与所成角的余弦值为
C. 三棱锥的内切球的体积为
D. 平面截正方体所得截面的面积为 18
【答案】ABD
【解析】假设直线是共面直线，∵平面平面，又平面交平面于，平面交平面于，∴，又，∴，相交矛盾，∴直线是异面直线，故A正确；
在棱上取一点，使得，连接，易得，∴角为直线与所成角或其补角，又，，，由余弦定理得，即直线与所成角的余弦值为，故B正确；
由题意，三棱锥为棱长是的正四面体，设其内切球的球心为，半径为，则，又，解得，则三棱锥的内切球的体积为，故C错误；
延长交于点，连接交于点，连接，∵，为的中点，则，∴为的中点，∵，∴为的中点，则，∵，，∴四边形为平行四边形，∴，∴，则平面截正方体所得截面为等腰梯形，在等腰梯形中，，，，则梯形的高为，∴等腰梯形的面积为，故D正确.
【点拨】判定异面直线常用反证法；求异面直线所成角常通过平移转化为相交直线所成角；求截面面积需先作出截面图形.
考法2：空间位置关系辨析
2.（单选）设，为两条不同直线，，为两个不同平面，则下列命题正确的是（ 　　）
A. 若，，则
B. 若，，，则
C. 若，，则
D. 若，，，则
【答案】D
【解析】对于A，若，，则或，A错误；
对于B，如图，在正方体中，记为平面，为平面，为直线，为直线，由正方体性质易知，，但是与不垂直，B错误；
对于C，若，，则或，C错误；
对于D，过直线作平面分别交于直线，
∵，，∴，∴，
由线面平行的判定定理可知，
∵，，∴，
∴，D正确.
【点拨】判断空间位置关系时，可借助正方体等常见几何体举反例.
考点2：线面平行与面面平行的判定与性质
考法3：线面平行的证明
3.（解答）如图，在直四棱柱中，，，且，点为棱的中点，点为棱的中点.
证明：平面；
【答案】见解析
【解析】证明：取的中点，连接，
∵点为棱的中点，∴，且，
又直四棱柱中，，且，
点为棱的中点，∴，且，
∴，且，
∴四边形是平行四边形，
∴，
又平面，平面，
∴平面.
【点拨】证明线面平行，常通过构造三角形中位线或平行四边形来寻找面内平行线.
考法4：线面平行的性质应用
4.（解答）（已知在四棱锥中，底面是菱形，，，，底面，，点在棱上．）
若平面，求；
【答案】
【解析】连接，∵平面，平面，
平面平面，∴，
∵是中点，∴是中点.
∵底面，∴到平面的距离.
∵菱形中，，，
∴，
∴.
【点拨】利用线面平行的性质定理可得线线平行，进而确定点的位置，再利用等体积法求三棱锥的体积.
考法5：面面平行的性质应用
5.（解答）如图，在三棱台中，．
过且平行于的平面分别交，于，，求证：．
【答案】见解析
【解析】证明：过且平行于的平面分别交，于，，
即平面，
∵平面平面，平面，
∴.
同理，
∴.
【点拨】利用线面平行的性质定理，由线面平行推导线线平行，再利用平行线的传递性得证.
考点3：线面垂直与面面垂直的判定与性质
考法6：线面垂直的证明
6.（解答）如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，，，平面，．
求证：平面；
【答案】见解析
【解析】证明：∵，，∴，.
又，，∴.
∴.
∴.
∵，即，
∴为直角三角形，且.
又平面，平面，∴.
平面，，∴平面.
【点拨】证明线面垂直，通常先利用勾股定理逆定理或几何性质证明线线垂直，再由线面垂直的判定定理得证.
考法7：面面垂直的证明
7.（解答）如图，，是圆柱的两条母线，，是圆的直径，，且，是母线上的动点．
求证：平面平面；
【答案】见解析
【解析】证明：由题意平面，又平面，
∴，
又，，平面，
∴平面，
∵平面，
∴平面平面.
【点拨】证明面面垂直，通常先证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线，即转化为证明线面垂直.
考法8：线面垂直的性质应用
8.（解答）如图，在四棱锥中，底面，底面为矩形，，且，为棱的中点，在棱上，且．
求证：；
【答案】见解析
【解析】证明：∵平面，平面，
∴.
∵底面为矩形，∴.
又，平面，
∴平面.
∵平面，∴.
又，，平面，
∴平面.
∵平面，
∴.
【点拨】利用线面垂直的判定定理和性质定理，通过证明直线垂直于平面，进而得到直线与平面内所有直线垂直.
考法9：面面垂直的性质应用
9.（解答）如图，在三棱柱中，平面平面，平面平面，，，是线段上一动点，，．
证明：三棱柱是直三棱柱；
【答案】见解析
【解析】证明：∵平面平面，平面平面，
且平面平面，
∴平面.
又是三棱柱的侧棱，
∴三棱柱是直三棱柱.
【点拨】若两个相交平面均垂直于第三个平面，则它们的交线也垂直于第三个平面.
考法10：平行与垂直的综合证明
10.（多选）已知下面给出的四个图都是正方体，，为顶点，，分别是所在棱的中点，则满足直线的图形有（ 　　）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】通过建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2，分别写出各图中点的坐标，计算向量与的数量积.经计算，图形A、C、D中均有，即；图形B中.
【点拨】判断空间两直线是否垂直，可建立空间直角坐标系，利用向量的数量积是否为零进行判断.
考点4：空间中的角
考法11：求异面直线所成角
11.（解答）（已知，是圆柱的两条母线，，是圆的直径，，且，是母线上的动点．）
若是线段的中点，求直线与所成角的余弦值；
【答案】
【解析】连接，∵，∴为所求角，
依题意，, ，∴，
又为正方形的边的中点，∴，
故.
∴.
∴直线与所成角的余弦值为.
【点拨】求异面直线所成角，常通过平移直线构造相交直线，再在三角形中利用余弦定理求解.
考法12：求二面角
12.（解答）（已知如图，在三棱台中，平面平面，，，且.）
线段上是否存在点，使得二面角的平面角正切值为？若存在，求出线段的长，若不存在，请说明理由.
【答案】存在，
【解析】解：三棱台侧棱延长线交于点，
由（1）得为正三角形，
由平面，平面，则平面平面，
取中点，连接，则，且，
而平面平面，平面，则平面，
过作交于，则平面，
而平面，则，
过作于，连接，则为在平面内的射影，
又，平面，则平面，
又平面，则，
则为二面角的平面角，
若存在使得二面角的平面角正切值为，即，
设，则，
∵，则，
即，解得，
，，，
∴，即，，
∴线段上存在满足题意的点，且.
【点拨】探究存在性问题，可先假设存在，利用几何关系或建立空间直角坐标系求解参数，若参数符合题意则存在，否则不存在.
13.（解答）（已知在三棱锥中，平面，．）
若，与平面所成角的正切值为，求二面角的正切值．
【答案】
【解析】∵平面，∴为与平面所成的角，
即.
不妨设，则.
在中，.
以为坐标原点，，所在直线分别为轴、轴，过作平行于的直线为轴建立空间直角坐标系，
则，，，.
，.
设平面的法向量为，
则 ，取 .
设平面的法向量为，
，.
则 ，取 .
.
∴，.
二面角的正切值为 .
【点拨】求二面角的大小，常建立空间直角坐标系，利用法向量的夹角公式求解，注意判断二面角是锐角还是钝角.
考点5：空间中的距离
考法13：求点到平面的距离
14.（解答）（已知如图所示，四边形是圆柱底面的内接四边形，是圆柱的底面直径，是圆柱的母线，直线与平面所成的角为，.）
当时，求点到平面的距离；
【答案】
【解析】∵平面，平面，∴.
又，，∴平面.
∵平面，∴.
又为底面直径，∴，即.
∴.
∵平面，∴平面平面.
作于，则平面，
∴为直线与平面所成的角，即.
在中，，，∴，.
∵，为直径，∴，.
点到平面的距离即为点到平面的距离，
设为，.
又，，.
∴，解得.
【点拨】求点到平面的距离，常利用等体积法，将所求距离转化为三棱锥的高，通过计算体积和底面积求解.
15.（解答）（已知如图，已知长方形是圆柱的轴截面（经过旋转轴的截面），点在底面圆周上（异于两点），，，，点是上靠近点的三等分点.）
求点到直线的距离.
【答案】
【解析】∵，，，∴.
以点为坐标原点，所在直线分别为轴, 轴，过点垂直于底面的直线为轴，建立空间直角坐标系，
则，，，
，，
设点到直线的距离为，
则.
故点到直线的距离为.
【点拨】求点到直线的距离，可建立空间直角坐标系，利用向量的投影计算距离.
考法14：求两平行平面间的距离
16.（填空）已知三棱锥的各个顶点都在表面积为的球的球面上，且球心为的中点，，，若分别为直线上的动点，则线段长度的最小值为＿＿＿＿＿＿.
【答案】
【解析】∵为三棱锥外接球的球心，∴，∴.
同理. 又，，平面，∴平面.
∵平面，∴. 又，平面，
∴平面. ∵，，∴.
由球的表面积为，知，解得，∴，∴.
以点为坐标原点，直线分别为轴，过点且与平行的直线为轴，建立空间直角坐标系，
则，
则，，.
设与都垂直的向量为，
则，，
令，则，
所以线段长度的最小值为 .
【点拨】两异面直线上动点间距离的最小值即为两异面直线的公垂线段长，可利用向量法求解.
考点6：立体几何中的翻折问题
考法15：翻折前后的几何量求解
17.（填空）如图，在菱形中，，，为的中点，将沿直线翻折成，连接和，为的中点，连接.则在翻折过程中，与的夹角为＿＿＿＿＿＿.
【答案】
【解析】在菱形中，，，为的中点，
∴为直角三角形，.
翻折后，，，
∴平面.
∵.
∴.
又，，
∴.
∴夹角为.
【点拨】求空间中两直线的夹角，可利用向量的数量积公式，将向量用基底表示后进行计算.
考法16：翻折中的垂直关系
18.（解答）（已知如图，正方形中，边长为4，为中点，是边上的动点.将沿翻折到，沿翻折到，）
求证：平面平面；
【答案】见解析
【解析】证明：∵是正方形，为的中点，∴，.
又，平面，
∴平面.
∵平面，
∴平面平面.
【点拨】证明面面垂直，通常先证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线，即将面面垂直转化为线面垂直.
考法17：翻折中的最值问题
19.（解答）（已知如图，正方形中，边长为4，为中点，是边上的动点.将沿翻折到，沿翻折到，）
若，连接，设直线与平面所成角为，求的最大值.
【答案】
【解析】设在面上的射影为，连接，则为直线与平面所成角.
设，则.
.
在中，，，.
.
.
.
∵，即.
.
.
.
令，则.
.
∵，在上单调递减，
∴当，即时，取得最大值 .
【点拨】求线面角的正弦值，常利用等体积法求出垂线段的长度，再转化为求函数的最值问题.
考点7：立体几何中的截面问题
考法18：截面面积的计算
20.（解答）（已知如图，在三棱柱中，平面平面，平面平面，，，是线段上一动点，，．）
若，求平面截三棱柱所得截面的面积；
【答案】
【解析】当时，连延长交直线于，易得为线段上靠近的一个三等分点，过作交于点，连，易证面，从而截面为直角梯形，易得, ，从而直角梯形的面积为 .
【点拨】求截面面积的关键是准确作出截面多边形，利用几何体的性质判断截面的形状并计算边长.
21.（解答）（已知如图1，一个底面为等腰直角三角形的直三棱柱形容器中盛有水，，，若侧面水平放置时，水面恰好过，，，的中点．现在固定容器底面的一边于地面上，再将容器倾斜．随着倾斜程度不同，水面的形状也不同．）
试分析容器围绕从图1的放置状态旋转至水面第一次过顶点的过程中（不包括起始和终止位置），水面面积的取值范围．（假设旋转过程中水面始终呈水平状态，不考虑水面的波动.）
【答案】
【解析】由上可知，水面第一次过顶点之前，水面与棱相交，
记的中点分别为，在上，且，.
∵为等腰直角三角形，设.
∴, .
∴.
整理得，平方得 ①.
∵平面，平面，平面平面.
∴与的交点必在上.
∴为棱台.
∴.
整理得 ②.
联立①②可得，.
∵, .
∴为平行四边形.
∴.
∵易知为等腰梯形.
∴为等腰梯形的高.
∴水面面积.
则.
∵当水面刚好过点时，.
∴解得.
∴此时，.
∵由题意可知，，则.
记，.
∴由二次函数性质可知，，即.
∴，所以.
即水面面积的取值范围为.
【点拨】解决动态截面问题，需根据几何体的特征找出截面的形状，利用体积不变性建立参数方程，再转化为函数最值问题求解.
22.（解答）（已知如图所示，已知正方体的体积为64，点为线段的中点，过点，的平面与直线平行.）
求平面与正方体的表面形成的截面图形的面积；
【答案】
【解析】如图，取的中点，连接，则梯形为所求截面图形；
由题意可得，, , ，
故所求梯形面积.
【点拨】作截面图形时，常利用平面的基本性质，通过作平行线或延长线找到截面与各面的交线.
考点8：空间中的动点轨迹问题
考法19：动点轨迹形状判定
23.（填空）如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，为正方形内一动点，且平面，则点的轨迹的长度为＿＿＿＿＿＿．
【答案】
【解析】分别取的中点，连接，
∵为的中点，得，，则四边形是平行四边形，故，
∵平面，平面，故平面，
又∵，，则四边形是平行四边形，故，
∵，故，又平面，平面，可得平面，
且，平面，故平面平面．
又∵平面，故平面，故点的轨迹为线段，其长为．
【点拨】探求动点轨迹，常利用线面平行的性质定理将线面平行转化为线线平行，进而确定动点所在的直线.
考法20：动点轨迹相关最值
24.（单选）已知正四棱柱的侧棱长为3，底面边长为2，E是棱的中点，F是棱上靠近点C的三等分点，动点P在侧面（包括边界）内运动，若平面，则线段长度的最小值为（ 　　）
A. B. 3 C. D.
【答案】C
【解析】已知正四棱柱的侧棱长为3，底面边长为2，是棱的中点，是棱上靠近点的三等分点，
分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，
则, , , ，
向量, ，
设平面的法向量为，
则，，
令，则，即.
设，
向量，
∵平面，∴，
即.
.
∵，∴当时，取得最小值，
即的最小值为.
故选C.
【点拨】处理空间动点问题，常建立空间直角坐标系，利用法向量将线面平行转化为向量垂直关系，再利用代数方法求最值.
第 2 页，共 17 页专题七：立体几何初步（二）——点线面位置关系
考点1：空间中线线、线面、面面的位置关系 1
考法1：异面直线的判定 1
考法2：空间位置关系辨析 1
考点2：线面平行与面面平行的判定与性质 2
考法3：线面平行的证明 2
考法4：线面平行的性质应用 2
考法5：面面平行的性质应用 3
考点3：线面垂直与面面垂直的判定与性质 3
考法6：线面垂直的证明 3
考法7：面面垂直的证明 4
考法8：线面垂直的性质应用 4
考法9：面面垂直的性质应用 5
考法10：平行与垂直的综合证明 6
考点4：空间中的角 6
考法11：求异面直线所成角 6
考法12：求二面角 7
考点5：空间中的距离 8
考法13：求点到平面的距离 8
考法14：求两平行平面间的距离 9
考点6：立体几何中的翻折问题 9
考法15：翻折前后的几何量求解 9
考法16：翻折中的垂直关系 9
考法17：翻折中的最值问题 10
考点7：立体几何中的截面问题 11
考法18：截面面积的计算 11
考点8：空间中的动点轨迹问题 13
考法19：动点轨迹形状判定 13
考法20：动点轨迹相关最值 13
注意事项
1. 本试卷涵盖立体几何中点线面位置关系的判定与性质、空间角与距离的计算、翻折与截面问题及动点轨迹等核心考点.
2. 练习时请注重空间想象能力的培养，熟练掌握线面平行与垂直的转化，以及空间向量在立体几何中的应用.
3. 解答题请写出详细的证明或计算过程，注意逻辑的严密性与书写的规范性.
考点1：空间中线线、线面、面面的位置关系
考法1：异面直线的判定
1.（多选）在棱长为4的正方体中，点分别为棱的中点，则下列说法正确的是（ 　　）
A. 直线是异面直线
B. 直线与所成角的余弦值为
C. 三棱锥的内切球的体积为
D. 平面截正方体所得截面的面积为 18
考法2：空间位置关系辨析
2.（单选）设，为两条不同直线，，为两个不同平面，则下列命题正确的是（ 　　）
A. 若，，则
B. 若，，，则
C. 若，，则
D. 若，，，则
考点2：线面平行与面面平行的判定与性质
考法3：线面平行的证明
3.（解答）如图，在直四棱柱中，，，且，点为棱的中点，点为棱的中点.
证明：平面；
考法4：线面平行的性质应用
4.（解答）（已知在四棱锥中，底面是菱形，，，，底面，，点在棱上．）
若平面，求；
考法5：面面平行的性质应用
5.（解答）如图，在三棱台中，．
过且平行于的平面分别交，于，，求证：．
考点3：线面垂直与面面垂直的判定与性质
考法6：线面垂直的证明
6.（解答）如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，，，平面，．
求证：平面；
考法7：面面垂直的证明
7.（解答）如图，，是圆柱的两条母线，，是圆的直径，，且，是母线上的动点．
求证：平面平面；
考法8：线面垂直的性质应用
8.（解答）如图，在四棱锥中，底面，底面为矩形，，且，为棱的中点，在棱上，且．
求证：；
考法9：面面垂直的性质应用
9.（解答）如图，在三棱柱中，平面平面，平面平面，，，是线段上一动点，，．
证明：三棱柱是直三棱柱；
考法10：平行与垂直的综合证明
10.（多选）已知下面给出的四个图都是正方体，，为顶点，，分别是所在棱的中点，则满足直线的图形有（ 　　）
A. B.
C. D.
考点4：空间中的角
考法11：求异面直线所成角
11.（解答）（已知，是圆柱的两条母线，，是圆的直径，，且，是母线上的动点．）
若是线段的中点，求直线与所成角的余弦值；
考法12：求二面角
12.（解答）（已知如图，在三棱台中，平面平面，，，且.）
线段上是否存在点，使得二面角的平面角正切值为？若存在，求出线段的长，若不存在，请说明理由.
13.（解答）（已知在三棱锥中，平面，．）
若，与平面所成角的正切值为，求二面角的正切值．
考点5：空间中的距离
考法13：求点到平面的距离
14.（解答）（已知如图所示，四边形是圆柱底面的内接四边形，是圆柱的底面直径，是圆柱的母线，直线与平面所成的角为，.）
当时，求点到平面的距离；
15.（解答）（已知如图，已知长方形是圆柱的轴截面（经过旋转轴的截面），点在底面圆周上（异于两点），，，，点是上靠近点的三等分点.）
求点到直线的距离.
考法14：求两平行平面间的距离
16.（填空）已知三棱锥的各个顶点都在表面积为的球的球面上，且球心为的中点，，，若分别为直线上的动点，则线段长度的最小值为＿＿＿＿＿＿.
考点6：立体几何中的翻折问题
考法15：翻折前后的几何量求解
17.（填空）如图，在菱形中，，，为的中点，将沿直线翻折成，连接和，为的中点，连接.则在翻折过程中，与的夹角为＿＿＿＿＿＿.
考法16：翻折中的垂直关系
18.（解答）（已知如图，正方形中，边长为4，为中点，是边上的动点.将沿翻折到，沿翻折到，）
求证：平面平面；
考法17：翻折中的最值问题
19.（解答）（已知如图，正方形中，边长为4，为中点，是边上的动点.将沿翻折到，沿翻折到，）
若，连接，设直线与平面所成角为，求的最大值.
考点7：立体几何中的截面问题
考法18：截面面积的计算
20.（解答）（已知如图，在三棱柱中，平面平面，平面平面，，，是线段上一动点，，．）
若，求平面截三棱柱所得截面的面积；
21.（解答）（已知如图1，一个底面为等腰直角三角形的直三棱柱形容器中盛有水，，，若侧面水平放置时，水面恰好过，，，的中点．现在固定容器底面的一边于地面上，再将容器倾斜．随着倾斜程度不同，水面的形状也不同．）
试分析容器围绕从图1的放置状态旋转至水面第一次过顶点的过程中（不包括起始和终止位置），水面面积的取值范围．（假设旋转过程中水面始终呈水平状态，不考虑水面的波动.）
22.（解答）（已知如图所示，已知正方体的体积为64，点为线段的中点，过点，的平面与直线平行.）
求平面与正方体的表面形成的截面图形的面积；
考点8：空间中的动点轨迹问题
考法19：动点轨迹形状判定
23.（填空）如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，为正方形内一动点，且平面，则点的轨迹的长度为＿＿＿＿＿＿．
考法20：动点轨迹相关最值
24.（单选）已知正四棱柱的侧棱长为3，底面边长为2，E是棱的中点，F是棱上靠近点C的三等分点，动点P在侧面（包括边界）内运动，若平面，则线段长度的最小值为（ 　　）
A. B. 3 C. D.
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