资源简介

专题八：统计与概率
专题：统计 3
考点1：随机抽样 3
考法1：抽样方法的选择 3
考法2：分层随机抽样的样本量分配 3
考法3：随机数的生成与应用 4
考点2：频率分布直方图 5
考法4：由频率分布直方图求频率 5
考法5：由频率分布直方图估计总体 7
考点3：数字特征估计总体 7
考法6：计算平均数、中位数、众数 7
考法7：由频率分布直方图估计平均数/中位数 9
考法8：计算方差与标准差 11
考法9：百分位数的计算与应用 12
考点4：其他统计图表 13
考法10：从统计图表中提取信息 13
考法11：统计图表的综合对比 14
考点5：用样本估计总体 16
考法12：用样本平均数估计总体平均数 16
专题：概率 17
考点6：随机事件与样本空间 17
考法13：写出随机试验的样本空间 17
考点7：事件的关系与运算 17
考法14：事件的关系判定 17
考法15：事件的并与交 20
考法16：利用互斥事件和对立事件求概率 20
考点8：古典概型 21
考法17：列举法求古典概型概率 21
考法18：有放回与不放回抽样 22
考点9：概率的性质 23
考法19：互斥事件加法公式的应用 23
考法20：对立事件公式的应用 23
考点10：事件的相互独立性 24
考法21：判断事件是否相互独立 24
考法22：利用独立事件公式求概率 25
考法23：多事件独立性的概率计算 27
考点11：频率与概率 30
考法24：用频率估计概率 30
考法25：随机模拟方法的应用 31
1 2 3 4 5
C ABC A C
6 7 8 9 10
B ，，平均数为 BCD 万人
11 12 13 14 15
； B ABD BD
16 17 18 19 20
； C
21 22 23 24 25
，第 百分位数为 AD D AB D
26 27 28 29 30
AC AB C
31 32 33 34 35
BD B B AC D
36 37 38 39 40
D A A
41 42 43 44 45
C D B 不相互独立，理由见解析 BCD
46 47 48 49 50
乙被公司录取的概率更大 A BD
51 52 53 54 55
ABD A C A
56 57 58
； D C
专题：统计
考点1：随机抽样
考法1：抽样方法的选择
1.（填空）用简单随机抽样的方法从含有 个个体的总体中抽取一个容量为 的样本，则个体 被抽到的概率为＿＿＿＿＿＿．
【答案】
【解析】由简单随机抽样中每个个体被抽到的概率相同可得，个体 被抽到的概率为 ．
【点拨】简单随机抽样中，每个个体被抽到的概率均为 （ 为样本容量， 为总体容量）．
2.（单选）为了了解邵东市中小学生的视力情况，拟从邵东市的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已经了解到邵东市小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男、女生视力情况差异不大.则下列抽样方法最合理的是（ 　　）
A. 简单随机抽样 B. 按性别分层抽样 C. 按学段分层抽样 D. 按性别或学段分层抽样都行
【答案】C
【解析】因为邵东市小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男、女生视力情况差异不大，所以应按学段进行分层抽样．
【点拨】分层抽样适用于总体由差异明显的几部分组成的情况．
考法2：分层随机抽样的样本量分配
3.（多选）福州市某中学高一年级学生参加了一次英语口语能力测试，其中男生 人，女生 人.现在按性别进行分层，通过分层随机抽样的方法，得到一组测试成绩的样本.样本中有 位女生的测试成绩，分别是 ，，，，，，，，样本中男生测试成绩的平均数为 ，则（ 　　）
A. 样本中有 位男生的测试成绩
B. 样本中女生测试成绩的第 百分位数是
C. 样本中女生测试成绩的方差为
D. 样本中所有学生测试成绩的平均数为
【答案】ABC
【解析】对于 A，由题意得，该学校高一年级共有 人，则样本容量为 ，所以样本中男生有 人，A 正确；
对于 B，由于 ，所以样本中女生成绩的 百分位数是第 项 ，故 B 正确；
对于 C，样本中女生成绩的平均数为 ，所以样本中女生成绩的方差为 ，故 C 正确；
对于 D，样本中所有学生测试成绩的平均数为 ，故 D 错误．
【点拨】根据分层抽样的定义求出样本容量和各层样本数，再结合百分位数、方差和平均数的定义求解即可．
4.（单选）现有男志愿者 人，女志愿者 人，按性别进行分层，采用比例分配的分层随机抽样方法抽取一个容量为 的样本，则女志愿者应抽取的人数是（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由题可得分层随机抽样的抽样比为 ，
所以抽取一个容量为 的样本，则女志愿者应抽取的人数是 ．
【点拨】分层抽样中，各层抽取的个体数之比等于各层总体个体数之比．
5.（单选）某企业生产甲、乙、丙三种不同型号的产品，产品数量之比依次为 ，现用按比例分配的分层随机抽样方法，抽取一个容量为 的样本，样本中甲型号产品有 件，则 的值为（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】甲、乙、丙数量之比为 ，甲型号产品占总数的 ．因为样本中甲型号产品有 件，所以样本容量 ．
【点拨】分层抽样中，某层抽取的个体数等于样本容量乘以该层在总体中所占的比例．
考法3：随机数的生成与应用
6.（单选）某校从 名同学中用随机数法抽取 人参加这一项调查．将这 名同学编号为 ，假设从第 行第 列的数字开始，则第 个被抽到的同学的编号为（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】从第 行第 列的数字开始，每次读取 位数字，依次为：
（有效），（有效），（无效），（重复，无效），（有效），（无效），（有效），（有效）．
所以第 个被抽到的同学编号为 ．
【点拨】利用随机数表法抽样时，要注意跳过不在总体编号范围内的数以及重复的数．
考点2：频率分布直方图
考法4：由频率分布直方图求频率
7.（解答）为深入学习党的二十大精神，激励青年员工积极奋发向上，某单位团工委组织青年员工参加了“青春心向党，奋进新时代”为主题的知识竞赛活动，并从中随机抽取了 份试卷进行调查，这 份试卷的成绩频率分布直方图如图所示，已知第二、三、四组的频率之和为 ，第一组和第五组的频率相同．
求 ， 的值，并估计这 名同学面试成绩的平均数；
【答案】，，平均数为
【解析】由题意可知，第二、三、四组的频率之和为 ，
即 ，解得 ．
又所有组的频率之和为 ，且第一组和第五组的频率相同，
所以 ，解得 ．
由直方图知每组的频率依次为：，，，，．
平均数为：．
【点拨】在频率分布直方图中，所有矩形的面积之和为 ，平均数等于各组组中值与该组频率乘积的累加和．
8.（多选）某学校为了调查学生在一周生活方面支出情况，抽出了一个容量为 的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在 内的学生有 人，则下列说法正确的是（ 　　）
A. 样本中支出在 内频率为
B. 样本中支出不少于 元的人数为
C. 的值为
D. 若该校有 名学生，则估计有 人支出在 内
【答案】BCD
【解析】样本中支出在 内的频率为 ，故 A 错误；
样本容量 ，故 C 正确；
样本中支出不少于 元的频率为 ，人数为 ，故 B 正确；
若该校有 名学生，则估计有 人支出在 内，故 D 正确．
【点拨】频率分布直方图中，小矩形的面积等于该组的频率，各组频率之和等于 ．
9.（解答） 年 月，黔南州“铁人三项赛”在州府都匀市举行．志愿者的服务工作是比赛成功举办的重要保障，都匀市某单位承办了志愿者选拔的面试工作．现随机抽取 名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组 ，第二组 ，第三组 ，第四组 ，第五组 ，绘制成如图所示的频率分布直方图．
求 的值．
【答案】
【解析】由频率分布直方图中各小矩形的面积之和为 ，可得 ，解得 ．
【点拨】在频率分布直方图中，所有小矩形的面积之和为 ．
考法5：由频率分布直方图估计总体
10.（解答）某地区市政府为了鼓励居民节约用电，计划调整居民生活用电收费方案，拟确定一个合理的月用电量标准 （千瓦时）：月用电量不超过 的部分按平价收费，超出 的部分按议价收费．为了了解居民用电情况，通过抽样，获得了 位居民每人的月均用电量（千瓦时），将数据按照 ，，， 分成 组，制成了如图所示的频率分布直方图．
若该市有 万居民，估计全市居民中月均用电量不低于 千瓦时的人数；
【答案】 万人
【解析】由图可得，用电量不低于 千瓦的频率为 ，
故全市居民中月均用电量不低于 千瓦时的人数为 万人．
【点拨】用样本的频率分布估计总体分布时，总体的频数估计值等于总体容量乘以对应的频率．
考点3：数字特征估计总体
考法6：计算平均数、中位数、众数
11.（填空）在一次高一学生的答题测试中， 位参加测试的同学答对题目的数量分别为 ，则该组数据的平均数为＿＿＿＿＿＿；该组数据的第 百分位数为＿＿＿＿＿＿．
【答案】；
【解析】这 个数据从小到大排列为：，
平均数为 ，
因为 ，所以第 百分位数为第 个和第 个数的平均数，即 ．
【点拨】计算百分位数时，先将数据从小到大排序，再计算 ，若为整数，则取该位置与下一位置数据的平均数．
12.（单选）某项比赛共有 个评委评分，若去掉一个最高分与一个最低分，则与原始数据相比，一定不变的是（ 　　）
A. 极差 B. 分位数 C. 平均数 D. 众数
【答案】B
【解析】不妨设原始数据为：，
原始数据的极差为：，平均数为 ，众数为 ，
去掉一个最高分与一个最低分后剩下数据为：，
剩下数据的极差为：，平均数为 ，众数为 和 ，
由此可知，与原始数据相比，剩下数据的极差，平均数，众数可能发生改变，故 A，C，D 错误，
对于 B 项，假设这 个数据从小到大为 ，
去掉一个最高分与一个最低分后剩下数据为：，
因为 ，，
所以原始数据的 分位数为第四个数，即 ，剩下的数据的 分位数为第 个数，即
所以与原始数据相比，剩下数据的 分位数不变，故 B 正确；
【点拨】去掉最高分和最低分，处于中间位置的百分位数通常不受影响，而极差、平均数、方差等受极端值影响较大．
13.（多选）下列命题正确的是（ 　　）
A. 一组数据 ，，，，，，，， 的众数是
B. 已知随机事件 和 ，若 ，，，则 和 相互独立
C. 若学校田径队有 名运动员，其中男运动员有 人，现进行比例分配的分层随机抽样，从全体运动员中抽出一个容量为 的样本，则女运动员应抽取 人
D. 已知样本数据 的平均数为 ，方差为 ，若样本数据 （）的平均数为 ，方差为 ，则平均数
【答案】ABD
【解析】对于 A，一组数据 ，，，，，，，， 的众数是 ，故 A 正确；
对于 B，已知随机事件 和 ，若 ，，，则 ，所以 和 相互独立，故 B 正确；
对于 C，若学校田径队有 名运动员，其中男运动员有 人，现进行比例分配的分层随机抽样，从全体运动员中抽出一个容量为 的样本，则女运动员应抽取 人，故 C 错误；
对于 D，已知样本数据 的平均数为 ，方差为 ，若样本数据 （）的平均数为 ，方差为 ，则 ，解得 ，又 ，即 ，解得 ，故 D 正确．
【点拨】若数据 的平均数为 ，方差为 ，则数据 的平均数为 ，方差为 ．
考法7：由频率分布直方图估计平均数/中位数
14.（多选）将某工厂新生产的 件产品的质量大小统计如下图所示，则（ 　　）
A. 质量在区间 的产品有 件
B. 质量在区间 的频率为
C. 这 件产品的质量的中位数大于
D. 这 件产品的质量的众数为
【答案】BD
【解析】依题意，因为 ，故 A 错误；
，B 正确；
前三块小矩形的面积依次为 ，而 ，
故这 件产品质量的中位数小于 ，故 C 错误；
众数为 ，故 D 正确；
【点拨】频率分布直方图中，最高矩形底边中点的值为众数；平分直方图面积的垂直线对应的横坐标为中位数．
15.（解答）寒假期间某学校团委组织学生开展志愿服务活动，假期过后对学生的志愿服务时长（单位：小时）作一次随机抽样调查，画出频率分布直方图如图所示.根据志愿服务时长从长到短，时长在前 的学生可获得“优秀志愿之星”的称号.
试估计至少需要参加多少小时的志愿服务活动方可获得本次“优秀志愿之星”的称号.
【答案】
【解析】依题意知所求时长为这组数据的第 百分位数，
因为 ，
，
所以第 百分位数 位于 内，
所以 ，
解得 ，
所以至少需要参加 个小时的志愿活动方可获得本次“优秀志愿之星”的称号．
【点拨】求前 的临界值，即求该组数据的第 百分位数，在直方图中通过面积累加寻找对应横坐标．
16.（解答）从三明市某高中学校 名男生中随机抽取 名测量身高，被测学生身高全部介于 和 之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组 ，第二组 ，，第八组 ，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第七组的人数为 .
估计该校男生身高的中位数；
【答案】
【解析】由图知：身高在 的频率为 ，
身高在 的频率为 ，
身高在 的频率为 ，
因为 ，，
所以设这所学校男生的身高中位数为 ，则 ，
由 ，得 ，
所以这所学校男生身高的中位数为 ．
【点拨】中位数是使得直方图左右两边面积相等的纵线对应的横坐标．
考法8：计算方差与标准差
17.（填空）数据 的平均数 ，方差 ，若 ，则数据 的平均数 ＿＿＿＿＿＿，方差 ＿＿＿＿＿＿．
【答案】；
【解析】由题意数据 的平均数为 ，方差为 ，
根据平均数和方差性质可得
数据 的平均数 ，
方差 ．
【点拨】若 ，则 ，．
18.（单选）在一组样本数据中，，，， 出现的频数分别为 ，，，，则下面四种情形中，对应样本的标准差最小的一组是（ 　　）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】C
【解析】A 项，平均数为 ，
标准差为 ；
同理 B 项，平均数为 ，标准差为 ；
C 项，平均数为 ，标准差为 ；
D 项，平均数为 ，标准差为 ．
所以标准差最小的是 C 项．
【点拨】数据越集中在平均数附近，其方差和标准差越小；数据越向两端分散，方差和标准差越大．
19.（解答）随着老年人消费需求从“生存型”向“发展型”转变.消费层次不断提升，“银发经济”成为社会热门话题之一，被各企业持续关注.某企业为了解该地老年人消费能力情况，对该地年龄在 的老年人的年收入按年龄 ， 分成两组进行分层抽样调查，已知抽取了年龄在 的老年人 人.年龄在 的老年人 人.现作出年龄在 的老年人年收入的频率分布直方图(如下图所示)．
已知年龄在 的老年人年收入的方差为 ，年龄在 的老年人年收入的平均数和方差分别为 和 ，试估计年龄在 的老年人年收入的方差．
【答案】
【解析】设年龄在 的老年人样本的平均数记为 ，方差记为 ；
年龄在 的老年人样本的平均数记为 ，方差记为 ；
年龄在 的老年人样本的平均数记为 ，方差记为 ．
由（1）得 ，由题意得，，，，
则 ，
由 ，
可得 ，
即估计该地年龄在 的老年人的年收入方差为 ．
【点拨】利用分层抽样的总方差公式 进行计算．
考法9：百分位数的计算与应用
20.（填空）某校 位同学参加数学竞赛的成绩（单位：分）为：，，，，，，，，，，则这 个数据的第 百分位数为＿＿＿＿＿＿．
【答案】
【解析】将这 个数据从小到大排列为：，，，，，，，，，，
而 ，故所求为从小到大排列后的第三个数，即 ．
【点拨】计算百分位数时，若 不是整数，则向上取整，取该位置的数据作为百分位数．
21.（解答）某 MOBA 游戏统计了 名玩家的团战支援评分（百分制，分数越高支援效率越高），并按分数作出如图所示的频率分布直方图．
求 的值及样本评分的第 百分位数；
【答案】，第 百分位数为
【解析】由题意知，，解得 ．
由题意知，团战支援评分在 的频率为 ，
团战支援评分在 的频率为 ，
故第 百分位数 在 ，则 ，
解得 ，故第 百分位数为 ．
【点拨】在频率分布直方图中，第 百分位数是使得其左侧矩形面积之和等于 的横坐标值．
考点4：其他统计图表
考法10：从统计图表中提取信息
22.（多选）如图是某企业 年至 年的污水净化量(单位：吨)的折线图，则（ 　　）
A. 这组数据的中位数等于平均数
B. 这组数据的第 百分位数是
C. 污水净化量逐年递增
D. 去掉 年的污水净化量数据后，新数据的标准差会变小
【答案】AD
【解析】根据折线图的走势及数据特征（由于未提供具体图像，根据选项分析），这组数据的中位数等于平均数，去掉 年的污水净化量数据后，新数据的波动变小，标准差会变小．
【点拨】标准差反映了一组数据的波动大小，去掉极端值通常会使标准差变小．
23.（单选）某校在校园科技节期间举办了“智能机器人挑战赛”，为了解高一年级 名学生观看比赛的情况，该校学生会用随机抽样的方式抽取了一个容量为 的样本进行调查，并将数据整理后，列表如下：
观看比赛场数
观看人数所占百分比
从表中可以得出正确的结论为（ 　　）
A. 估计观看比赛场数的极差为
B. 估计观看比赛场数的众数为
C. 估计观看比赛不低于 场的学生约为 人
D. 估计观看比赛不超过 场的学生概率为
【答案】D
【解析】A 选项，由表可知，估计观看比赛场数的极差为 ，A 错误；
B 选项，由频率分布表的性质，得 ．
由表知，出现频率最高的场数为 ，所以众数为 ，B 错误；
C 选项，因为观看比赛不低于 场的学生所占百分比为 ，
所以估计观看比赛不低于 场的学生约为 （人），C 错误；
D 选项，估计观看比赛不超过 场的学生概率为 ，D 正确．
【点拨】从统计表中提取信息时，注意频数、频率与总数之间的换算关系，以及极差、众数等概念的准确应用．
考法11：统计图表的综合对比
24.（多选）在一次对甲、乙两个工厂生产的相同数量的零件质量（单位：克）统计中，得到如下表：
工厂 平均质量 中位数 众数 方差
甲厂
乙厂
其中 ，根据统计数据，下列结论中正确的是（ 　　）
A. 甲厂生产的零件质量稳定性优于乙厂
B. 甲厂生产零件质量的极差可能小于乙厂
C. 甲、乙两厂生产的零件中 克出现的次数相同
D. 甲厂生产的零件中质量大于 克的数量多于乙厂
【答案】AB
【解析】根据表格有 ，所以甲厂生产的零件质量稳定性优于乙厂，故 A 正确；
根据平均数，中位数和众数不能判断极差，而 ，所以甲厂生产零件质量的极差可能小于乙厂，故 B 正确；
根据众数的定义可知，众数是出现次数最多的，不能判断甲、乙两厂生产的零件中 克出现的次数相同，故 C 错误；
由于甲乙两厂的平均质量为 克，不能判断甲厂生产的零件中质量大于 克的数量多于乙厂，故 D 错误．
【点拨】方差越小，数据越稳定，波动越小；平均数、中位数和众数反映数据的集中趋势，不能直接反映数据的极端分布情况．
25.（单选）某单位职工参加某 APP 推出的“二十大知识问答竞赛”活动，参与者每人每天可以作答三次，每次作答 题，每题答对得 分，答错得 分，该单位从职工中随机抽取了 位，他们一天中三次作答的得分情况如图：
根据图，估计该单位职工答题情况，则下列说法正确的是（ 　　）
A. 该单位职工一天中各次作答的平均分保持一致
B. 该单位职工一天中各次作答的正确率保持一致
C. 该单位职工一天中第三次作答得分的极差小于第二次的极差
D. 该单位职工一天中第三次作答得分的标准差小于第一次的标准差
【答案】D
【解析】由题可得，该单位抽取的 位员工三次作答的得分分别为：
第一次作答：
第二次作答：
第三次作答：
对于 A：第一次作答的平均分为：，
第二次作答的平均分：，
第三次作答的平均分：，
故该单位职工一天中各次作答的平均分不一致，故 A 错误；
对于 B：第一次作答的正确率：，
第二次作答的正确率：，
第三次作答的正确率：，
故该单位职工一天中各次作答的正确率不一致，故 B 错误；
对于 C：该单位职工一天中第三次作答得分的极差：，
该单位职工一天中第二次作答得分的极差：，
故该单位职工一天中第三次作答得分的极差等于第二次的极差，故 C 错误；
对于 D：该单位职工一天中第三次作答得分的标准差：
，
该单位职工一天中第一次作答得分的标准差：
，
故该单位职工一天中第三次作答得分的标准差小于第一次的标准差，故 D 正确．
【点拨】通过折线图提取原始数据，再分别计算各组数据的平均数、极差、标准差进行对比分析．
考点5：用样本估计总体
考法12：用样本平均数估计总体平均数
26.（填空）某学校的高一、高二及高三年级分别有学生 人、 人、 人，用分层抽样的方法从全体学生中抽取一个容量为 人的样本，抽出的高一、高二及高三年级学生的平均身高为 、、，估计该校学生的平均身高是＿＿＿＿＿＿．
【答案】
【解析】因为高一、高二及高三年级分别有学生 人、 人、 人，
用分层抽样的方法从全体学生中抽取一个容量为 人的样本，
则高一、高二及高三年级分别抽 人， 人，
人，
抽出的高一、高二及高三年级学生的平均身高为 、、，
所以该校学生的平均身高为 ．
【点拨】分层抽样中，总体的平均数等于各层平均数按其在总体中所占比例的加权平均数．
专题：概率
考点6：随机事件与样本空间
考法13：写出随机试验的样本空间
27.（解答）将一枚质地均匀的正四面体骰子（四个面的点数分别为 ，，，）先后抛掷两次，分别观察底面上的点数，第一次、第二次出现的点数用数对 表示．
写出这个试验的样本空间；
【答案】
【解析】因为每次骰子落地时，底面上的点数有 ，，， 共 个可能的基本结果，
所以试验的样本空间为 ．
【点拨】写样本空间时，可利用树状图或列表法，做到不重不漏．
考点7：事件的关系与运算
考法14：事件的关系判定
28.（多选）掷一枚骰子，记事件 为掷出的点数小于 ，事件 为掷出奇数点，则下列说法错误的是（ 　　）
A.
B.
C. 事件 与事件 对立
D. 事件 与事件 不相互独立
【答案】AC
【解析】由题意 ，，，
对于 A，，故 A 错误；
对于 B，，，故 B 正确；
对于 C，，故 C 错误；
对于 D，因为 ，，所以 ，故 D 正确．
【点拨】判断事件关系时，先用集合形式列出事件包含的样本点，再根据互斥、对立、独立的定义进行判断．
29.（多选）盒子里有 个白球， 个黑球和 个红球，从中不放回地依次取出 个球.设事件 “第 次取出的球是白球”，“两个球颜色相同”，“第 次取出的球是黑球”，“两个球中有一个是红球”.则下列说法正确的是（ 　　）
A. B.
C. 与 相互独立 D. 与 是对立事件
【答案】AB
【解析】依题意可设 个白球为 ， 个黑球为 ， 个红球为 ，则样本空间为：
，共 个基本事件．
事件 ，共 个基本事件．
事件 ，共 个基本事件．
事件 ，共 个基本事件．
事件 共 个基本事件．
对于 A，，故 A 正确；
对于 B，，故 B 正确；
对于 C，又 ，，故与不相互独立，故 C 错误；
对于 D，注意到 ，但 ，所以与 互斥而不对立，故 D 错误．
【点拨】不放回抽样问题，可将相同颜色的球编号区分，列出所有基本事件，再利用古典概型概率公式进行计算和判断．
30.（单选）投掷一枚均匀的骰子，事件 ：点数大于 ；事件 ：点数小于 ；事件 ：点数为偶数.则下列关于事件描述正确的是（ 　　）
A. 与 是互斥事件 B. 与 是对立事件 C. 与 是独立事件 D. 与 是独立事件
【答案】C
【解析】 和 有公共事件：点数为 ，所以不是互斥事件，也不是对立事件，故 A、B 错误；
事件 表示点数为 或 ，，，，所以 ，所以 与 是独立事件，故 C 正确；
事件 表示点数为 ，则 ，，，所以 ，所以 与 不是独立事件，故 D 错误．
【点拨】判断两个事件是否独立，只需验证 是否成立即可．
31.（多选）有 个相同的球，分别标有数字 ，，，，，，从中不放回地随机取两次，事件 表示“第一次取出的球的数字是偶数”，事件 表示“第二次取出的球的数字是奇数”，事件 表示“两次取出的球的数字之和是偶数”，则（ 　　）
A. 与 为互斥事件 B. C. D. 与 相互独立
【答案】BD
【解析】不放回的随机取两次，共有 种不同结果．
由题意， 共 种结果；
共 种结果．
共 种结果．
，
对于选项 A：事件 和事件 能同时发生，比如 ，所以 不是互斥事件，所以 A 错误；
对于选项 B：，所以 B 正确；
对于选项 C：，，所以 ，所以 C 错误；
对于选项 D：，，，由于 ，所以 相互独立，所以 D 正确．
【点拨】列出事件包含的样本点，利用古典概型求出概率，再根据独立性定义和加法公式进行判断．
考法15：事件的并与交
32.（单选）甲、乙两个元件构成一并联电路，设 “甲元件故障”，“乙元件故障”，则表示电路故障的事件为（ 　　）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】因为甲、乙两个元件构成一并联电路，
所以只有当甲、乙两个元件都故障时，才造成电路故障，
所以表示电路故障的事件为 ．
【点拨】并联电路中，只有所有支路都断开时，整个电路才断开，对应事件的交．
33.（单选）设样本空间 含有等可能的样本点，且 ，则 （ 　　）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题意，，，，则 ．
因为样本空间 含有等可能的样本点，所以 ．
【点拨】求多个事件的交事件概率时，先求出交事件包含的样本点，再利用古典概型概率公式求解．
考法16：利用互斥事件和对立事件求概率
34.（多选）已知 ，，则下列说法中正确的是（ 　　）
A. 若 ， 互斥，则
B. 若 ， 互斥，则
C. 若 ， 独立，则
D. 若 ， 独立，则
【答案】AC
【解析】对于 A，若事件 与事件 互斥，则 ，故 A 正确；
对于 B，若事件 与事件 互斥，则 ，故 B 错误；
对于 C，若事件 与事件 相互独立，则 ，故 C 正确；
对于 D，若事件 与事件 相互独立，则 ，故 D 错误．
【点拨】互斥事件满足 ，独立事件满足 ，结合概率加法公式和对立事件概率公式求解．
35.（单选）已知随机事件 和 互斥， 和 对立，且 ，，则 （ 　　）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为随机事件 和 对立，且 ，所以 ．
又因为 和 互斥，且 ，所以 ．
【点拨】熟练掌握互斥事件的概率加法公式和对立事件的概率公式是解题的关键．
考点8：古典概型
考法17：列举法求古典概型概率
36.（单选）某校文艺部有 名学生，其中高一、高二年级各 名.从这 名学生中随机选 名组织校文艺汇演，则这 名学生来自不同年级的概率为（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】某校文艺部有 名学生，其中高一、高二年级各 名，
从这 名学生中随机选 名组织校文艺汇演，
基本事件总数 ，
这 名学生来自不同年级包含的基本事件个数 ，
则这 名学生来自不同年级的概率为 ．
【点拨】利用组合数求出基本事件总数和目标事件包含的基本事件数，再代入古典概型公式计算．
37.（填空）将一枚质地均匀的骰子连续抛掷 次，向上的点数分别记为 ，则事件“”的概率为＿＿＿＿＿＿．
【答案】
【解析】将一枚质地均匀的骰子连续抛掷 次，共有 种等可能的结果．
事件“”包含的情况有：
时，有 ，共 种；
时，有 ，共 种；
时，有 ，共 种．
所以事件“”包含的基本事件共有 种．
故所求概率为 ．
【点拨】利用列举法求出基本事件的总数和目标事件包含的基本事件数，再结合古典概型概率公式求解．
考法18：有放回与不放回抽样
38.（单选）某袋中有编号为 的 个小球（小球除编号外完全相同），甲先从袋中摸出一个球，记下编号后放回，乙再从袋中摸出一个球，记下编号，则甲、乙两人所摸出球的编号不同的概率是（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】甲先从袋中摸出一个球，记下编号后放回，乙再从袋中摸出一个球，记下编号，
共有 种结果，
其中甲、乙两人所摸出球的编号相同的结果有 种，
故甲、乙两人所摸出球的编号不同的概率是 ．
【点拨】有放回抽样中，每次抽样的结果互不影响，利用对立事件求“编号不同”的概率更为简便．
39.（单选）从两名男生、两名女生中任意抽取两人，在有放回简单随机抽样、不放回简单随机抽样两种抽样方式下，抽到的两人都是男生的概率分别是（ 　　）
A. ， B. ， C. ， D. ，
【答案】A
【解析】将两名男生编号为 ，两名女生编号为 ，记“抽到的两人都是男生”为事件 A，
在有放回简单随机抽样方式下的样本空间为：
共 个样本点，
抽到的两人都是男生的样本点为 有 个样本点，
所以 ；
从两名男生和两名女生中任意抽取两人，在无放回简单随机抽样方式下的样本空间为：
共 个样本点，
抽到的两人都是男生的样本点为 有 个样本点，
所以 ；
【点拨】区分有放回与不放回抽样，分别列出对应的样本空间，再利用古典概型概率公式计算．
考点9：概率的性质
考法19：互斥事件加法公式的应用
40.（填空）已知事件 与事件 发生的概率分别为 ，，且 ，则 ＿＿＿＿＿＿．
【答案】
【解析】由概率的加法公式可得，．
【点拨】对于任意两个事件 和 ，都有概率的加法公式 ．
41.（单选）若 ，则 （ 　　）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由概率的加法公式 ，
得 ．
【点拨】熟练应用概率的加法公式 是解题的关键．
考法20：对立事件公式的应用
42.（单选）《易·系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中华文化、阴阳术数之源，其中河图排列结构是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中.如图，白圈为阳数，黑点为阴数.若从这 个数中任取 个数，则这 个数中至多有 个阴数的概率为（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由题意可得， 为阳数， 为阴数，
若从 个数中任取 个数，则这 个数字全是阴数的概率为：，
所以这 个数中至多有 个阴数的概率为 ．
【点拨】“至多有 个”的对立事件是“全是”，利用对立事件的概率公式求解可简化计算．
43.（单选）若连续两次抛掷一枚质地均匀的骰子，则点数之和不大于 的概率是（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】若连续两次抛掷一枚质地均匀的骰子，共有 种情况，
其中点数之和大于 的情况有 ，共 种，
所以点数之和大于 的概率为 ，
所以点数之和不大于 的概率为 ．
【点拨】“不大于”的对立事件是“大于”，先求出点数之和大于 的概率，再利用对立事件公式求解．
考点10：事件的相互独立性
考法21：判断事件是否相互独立
44.（解答）某商场开展促销活动，每消费满 元可获得一次抽奖机会.抽奖箱装有 个红球、 个白球、 个蓝球，这些球除颜色外完全相同.抽奖规则如下：一次性随机摸出 个球，若摸出 个红球，可获得一等奖；若摸出 个红球和 个蓝球，可获得二等奖.
为加大促销力度，在原规则的基础上，当顾客在该商场消费满 元时，若顾客两次抽奖均摸出蓝球，则额外获得一个二等奖.
已知乙在该商场消费了 元，记“乙至少获得一个一等奖”为事件 ，“乙恰好获得一个二等奖”为事件 .判断事件 与 是否相互独立，并说明理由.
【答案】不相互独立，理由见解析
【解析】记事件 为“乙第 次摸得两个红球”，事件 为“乙第 次摸得一红一蓝两个球”，事件 为“乙第 次摸得一白一蓝两个球”，事件 为“乙第 次未摸到蓝球”，其中 ．
由题意，；；；．
事件 表示“乙至少获得一个一等奖”，则 ．
事件 表示“乙恰好获得一个二等奖”，包含的情况有：一次摸得一红一蓝且另一次未摸到蓝球，或者两次均摸得一白一蓝（此时额外获得一个二等奖）．
所以 ．
事件 表示“乙至少获得一个一等奖且恰好获得一个二等奖”，即一次摸得两个红球且另一次摸得一红一蓝．
所以 ．
因为 ，所以事件 与 不相互独立．
【点拨】判断两个事件是否独立，只需计算 、 和 ，验证 是否成立即可．
45.（多选）已知事件 ， 满足 ，则下列说法正确的是（ 　　）
A. 事件 与事件 可能为对立事件
B. 若事件 与事件 相互独立，则它们的对立事件也相互独立
C. 若事件 与事件 互斥，则
D. 若事件 与事件 相互独立，则
【答案】BCD
【解析】对于 A，由对立事件的概率和为 ，但 ，故 A 错误；
对于 B，根据相互独立事件的性质可得事件 与事件 相互独立，则它们的对立事件也相互独立，故 B 正确；
对于 C，若事件 与事件 互斥，则 ，故 C 正确；
对于 D，根据相互独立事件的定义，，故 D 正确．
【点拨】熟练掌握互斥事件、对立事件、独立事件的定义及其概率公式是判断的关键．
考法22：利用独立事件公式求概率
46.（解答）某公司招聘员工需要经过笔试和面试两个流程，且两个流程都通过才能被公司录取.现有甲、乙两人参加应聘，其中甲通过笔试和面试的概率分别为 ，，乙通过笔试和面试的概率分别为 ，，两人是否通过笔试与面试及是否被公司录取均相互独立.
试通过计算比较甲、乙两人谁被公司录取的概率更大；
【答案】乙被公司录取的概率更大
【解析】记“甲被公司录取”为事件 ，则 ，
记“乙被公司录取”为事件 ，则 ，
因为 ，所以乙被公司录取的概率更大．
【点拨】将两个流程都通过转化为两个相互独立事件同时发生，利用概率乘法公式求解．
47.（单选）在如图所示的电路中，两个开关 ， 闭合与否相互独立，且在某一时刻 ， 闭合的概率分别为 ，，则此时灯亮的概率为（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】灯亮即为电路连通，因为是并联电路，所以灯亮表示开关 和 至少有一个闭合．
灯不亮的概率为两者都断开的概率：．
所以灯亮的概率为 ．
【点拨】对于“至少有一个发生”的概率问题，通常采用正难则反的思想，先求其对立事件（全都不发生）的概率．
48.（填空）已知事件 和事件 相互独立，事件 是事件 的对立事件，，，则 ＿＿＿＿＿＿．
【答案】
【解析】事件 与事件 相互独立，则 与事件 也相互独立，
且 ，，
，
．
【点拨】若事件 与 相互独立，则 与 、 与 、 与 也相互独立．
49.（多选）一个袋中装有若干大小、质地均相同的球，颜色有红、黄两种，且有部分球带标记，若从中随机摸出一个球，摸到红球的概率为 ，摸到带标记的球的概率为 ，且摸到红球与摸到带标记的球相互独立．现从袋中随机摸取一个球，设事件 为“摸到红球”，事件 为“摸到带标记的球”，则下列结论正确的是（ 　　）
A. 事件 与事件 互斥
B. 摸到的球是红色但不带标记的概率为
C.
D. 若连续摸球两次（有放回），则两次摸到的球都是黄色且不带标记的概率为
【答案】BD
【解析】根据题意事件 与事件 独立，
，
事件 与事件 不互斥，故 A 错误；
摸到的球是红色但不带标记的概率为 ，故 B 正确；
，故 C 错误；
摸一次摸到的球是黄色且不带标记的事件为 ，，
所以两次摸到的球都是黄色且不带标记的概率 ，故 D 正确．
【点拨】利用相互独立事件的概率乘法公式，分别求出各复合事件的概率进行判断．
考法23：多事件独立性的概率计算
50.（解答）某校组织“语文课外阅读知识竞赛”活动，在预赛阶段，共设置“古代文学、文化常识”和“国外文学名著鉴赏”两轮比赛，两轮比赛均通过才能进入决赛.已知甲、乙两名同学通过第一轮的概率分别为 ，通过第二轮的概率分别为 ，每次是否通过互不影响，且两轮比赛均必须参加.
若 ，求甲、乙均只通过一轮的概率；
【答案】
【解析】甲只通过一轮的概率为 ；
乙只通过一轮的概率为 ；
因为甲、乙每次是否通过互不影响，所以甲、乙均只通过一轮的概率为 ．
【点拨】理清事件的构成，熟练应用互斥事件的概率加法公式和相互独立事件的概率乘法公式求解．
51.（多选）甲、乙两人参加环保知识竞赛活动，活动共设三轮，在每轮活动中，甲、乙各回答一题，若一方答对且另一方答错，则答对的一方获胜，否则本轮平局．已知每轮中甲答对的概率为 ，乙答对的概率为 ，且每轮活动中甲、乙答对与否互不影响，各轮活动也互不影响，则以下说法正确的是（ 　　）
A. 每轮活动中，甲获胜的概率为
B. 每轮活动中，平局的概率为
C. 甲胜一轮且乙胜两轮的概率为
D. 甲至少获胜两轮的概率为
【答案】ABD
【解析】对于 A，每轮活动中，甲获胜的概率为 ，故 A 正确；
对于 B，每轮活动中，乙获胜的概率为 ，
所以平局的概率为 ，故 B 正确；
对于 C，甲胜一轮且乙胜两轮的概率为 ，故 C 错误；
对于 D，甲至少获胜两轮的概率为 ，故 D 正确．
【点拨】将复杂事件分解为若干个互斥事件的和，再利用独立事件的概率乘法公式逐一计算．
52.（单选）甲、乙两人组成的“龙队”参加数学解题比赛，比赛中每个队均有一张通行卡且仅限使用一次.每轮比赛由甲、乙各自独立解答同一道题，若两人都答对则直接进入下一轮；若两人都答错则直接被淘汰；若两人中恰有一人答对则可使用通行卡进入下一轮.已知在每轮比赛中甲答对的概率为 ，乙答对的概率为 ，且甲、乙答对与否互不影响，则“龙队”恰在参加三轮比赛后被淘汰的概率为（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由题意知，可能前两轮没有用通行卡，也可能前两轮中有一轮用了一次通行卡，且第三轮都答错了，
故所求为 ．
【点拨】根据比赛规则，分情况讨论前两轮使用通行卡的情况，再结合独立事件的概率公式求解．
53.（解答）某商场为了回馈顾客，决定举办一场抽奖活动，凡是在商场内消费金额每达到 元的即可抽奖一次，即消费满 但不足 元的可抽奖一次，消费满 但不足 元的可抽奖两次，依次类推.抽奖规则为：在一个盒子中共有 个除颜色外形状大小均相同的小球，其中红球 个，黄球 个，蓝球 个，绿球 个，抽奖者每次从盒中随机摸出一个小球后并放回原盒子中，若抽到红球即可获得 元红包，抽到黄球即可获得 元红包，抽到蓝球即可获得 元红包，抽到绿球即可获得 元红包.每次抽奖结果相互独立.
已知小明消费 元，求小明抽到的红包均不相同的概率；
【答案】
【解析】由题意可知，小明消费 元，可抽奖两次，
在一个盒子中共有 个小球，其中红球 个，黄球 个，蓝球 个，绿球 个，
每次抽到红球的概率为 ，抽到黄球的概率为 ，抽到蓝球的概率为 ，抽到绿球的概率为 ，
小明抽到的红包相同，即两次抽到同色球的概率为 ，
所以小明抽到的红包均不相同的概率为 ．
【点拨】利用对立事件的概率公式，先求出两次抽到同色球的概率，再用 减去该概率即可．
54.（单选）如图，某电子元件由 ，， 三种部件组成，现将该电子元件应用到某研发设备中，经过反复测试，，， 三种部件不能正常工作的概率分别为 ，，，各个部件是否正常工作相互独立，则该电子元件能正常工作的概率是（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】设上半部分正常工作为事件 ，下半部分正常工作为事件 ，
该电子元件能正常工作为事件 ，
则 ，，
，
则 ．
【点拨】将复杂的电路系统分解为串联和并联部分，利用独立事件的概率乘法公式和对立事件概率公式求解．
考点11：频率与概率
考法24：用频率估计概率
55.（单选）一个口袋中装有 个红球和若干个黑球，在不允许将球倒出来数的前提下，为估计口袋中黑球的个数，小张采用了如下的方法：每次从口袋中摸出 个球，记下球的颜色后再把球放回口袋中摇匀.不断重复上述过程 次，共摸出红球 次，根据上述数值，估计口袋中黑球的个数为（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】设口袋中黑球的个数为 ，
由题意可得 ，解得 ，
【点拨】在大量重复试验中，事件发生的频率稳定在概率附近，可用频率估计概率．
56.（填空）某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如表所示．
赔付金额/元
车辆数/辆
若每辆车的投保金额均为 元，估计赔付金额大于投保金额的概率为＿＿＿＿＿＿；在样本车辆中，车主是新司机的占 ，在赔付金额为 元的样本车辆中，车主是新司机的占 ，估计在已投保的新司机中，获赔金额为 元的概率为＿＿＿＿＿＿．
【答案】；
【解析】赔付金额大于投保金额的频率为 ，
估计赔付金额大于投保金额的概率为 ，
在样本车辆中，车主是新司机的占 ，
故投保的新司机人数为 ，
在赔付金额为 元的样本车辆中，车主是新司机的占 ，即 人，
估计在已投保的新司机中，获赔金额为 元的概率为 ．
【点拨】利用样本中特定事件的频率来估计总体中该事件发生的概率，注意提取图表中的有效数据．
考法25：随机模拟方法的应用
57.（单选）已知某运动员每次射击击中目标的概率为 .现采用随机模拟的方法估计某运动员射击 次，至少击中 次的概率.先由计算器给出 到 之间取整数值的随机数，指定 ， 表示没有击中目标，，，，，，，， 表示击中目标，以 个随机数为一组，代表射击 次的结果，经随机模拟产生了 组随机数：
根据以上数据估计该射击运动员射击 次，至少击中 次的概率为（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由题意可知，， 表示没有击中目标，，，，，，，， 表示击中目标，
在 组随机数中，表示至少击中 次的有：
，，，，，，，，，，，，，，，共 组，
所以估计该射击运动员射击 次，至少击中 次的概率为 ．
【点拨】理解随机数的指代意义，从给定的随机数表中找出符合条件的组数，再计算频率估计概率．
58.（单选）利用随机模拟解决问题的方法称为蒙特卡洛方法，用此方法可以快速进行大量重复试验，进而用频率估计概率. 袋子中有四张卡片，分别写有“山”“城”“重”“庆”四个字，有放回地每次从中任取一张卡片，共取三次. 将三次抽取后“重”“庆”两个字都取到记为事件 ，用随机模拟的方法估计事件 发生的概率. 由计算机产生 ，，， 四个随机数，分别代表“山”“城”“重”“庆”这四个字，以每三个随机数为一组，表示取卡片三次的结果，经随机模拟产生了以下 组随机数：、、、、、、、、、、、、、、、、、、、，由此可以估计事件 发生的概率为（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由题意，，，， 分别代表“山”“城”“重”“庆”，
事件 为三次抽取后“重”“庆”两个字都取到，即随机数中同时包含 和 ，
在 组随机数中，同时包含 和 的有：
，，，，，，共 组，
所以估计事件 发生的概率为 ．
【点拨】明确随机数与实际事件的对应关系，统计符合条件的随机数组数，用频率估计概率．
第 2 页，共 17 页专题八：统计与概率
专题：统计 1
考点1：随机抽样 1
考法1：抽样方法的选择 1
考法2：分层随机抽样的样本量分配 1
考法3：随机数的生成与应用 2
考点2：频率分布直方图 2
考法4：由频率分布直方图求频率 2
考法5：由频率分布直方图估计总体 4
考点3：数字特征估计总体 4
考法6：计算平均数、中位数、众数 4
考法7：由频率分布直方图估计平均数/中位数 5
考法8：计算方差与标准差 6
考法9：百分位数的计算与应用 7
考点4：其他统计图表 8
考法10：从统计图表中提取信息 8
考法11：统计图表的综合对比 9
考点5：用样本估计总体 10
考法12：用样本平均数估计总体平均数 10
专题：概率 10
考点6：随机事件与样本空间 10
考法13：写出随机试验的样本空间 10
考点7：事件的关系与运算 10
考法14：事件的关系判定 10
考法15：事件的并与交 11
考法16：利用互斥事件和对立事件求概率 12
考点8：古典概型 12
考法17：列举法求古典概型概率 12
考法18：有放回与不放回抽样 12
考点9：概率的性质 13
考法19：互斥事件加法公式的应用 13
考法20：对立事件公式的应用 13
考点10：事件的相互独立性 14
考法21：判断事件是否相互独立 14
考法22：利用独立事件公式求概率 14
考法23：多事件独立性的概率计算 15
考点11：频率与概率 17
考法24：用频率估计概率 17
考法25：随机模拟方法的应用 18
注意事项
1. 本试卷涵盖统计与概率的核心考点，包括随机抽样、统计图表、用样本估计总体、随机事件与概率运算等.
2. 选择题请注意选项中的细节差异，解答题请写出详细的计算与推导过程.
3. 答题时请注意规范书写，保持卷面整洁.
专题：统计
考点1：随机抽样
考法1：抽样方法的选择
1.（填空）用简单随机抽样的方法从含有 个个体的总体中抽取一个容量为 的样本，则个体 被抽到的概率为＿＿＿＿＿＿．
2.（单选）为了了解邵东市中小学生的视力情况，拟从邵东市的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已经了解到邵东市小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男、女生视力情况差异不大.则下列抽样方法最合理的是（ 　　）
A. 简单随机抽样 B. 按性别分层抽样
C. 按学段分层抽样 D. 按性别或学段分层抽样都行
考法2：分层随机抽样的样本量分配
3.（多选）福州市某中学高一年级学生参加了一次英语口语能力测试，其中男生 人，女生 人.现在按性别进行分层，通过分层随机抽样的方法，得到一组测试成绩的样本.样本中有 位女生的测试成绩，分别是 ，，，，，，，，样本中男生测试成绩的平均数为 ，则（ 　　）
A. 样本中有 位男生的测试成绩
B. 样本中女生测试成绩的第 百分位数是
C. 样本中女生测试成绩的方差为
D. 样本中所有学生测试成绩的平均数为
4.（单选）现有男志愿者 人，女志愿者 人，按性别进行分层，采用比例分配的分层随机抽样方法抽取一个容量为 的样本，则女志愿者应抽取的人数是（ 　　）
A. B. C. D.
5.（单选）某企业生产甲、乙、丙三种不同型号的产品，产品数量之比依次为 ，现用按比例分配的分层随机抽样方法，抽取一个容量为 的样本，样本中甲型号产品有 件，则 的值为（ 　　）
A. B. C. D.
考法3：随机数的生成与应用
6.（单选）某校从 名同学中用随机数法抽取 人参加这一项调查．将这 名同学编号为 ，假设从第 行第 列的数字开始，则第 个被抽到的同学的编号为（ 　　）
A. B. C. D.
考点2：频率分布直方图
考法4：由频率分布直方图求频率
7.（解答）为深入学习党的二十大精神，激励青年员工积极奋发向上，某单位团工委组织青年员工参加了“青春心向党，奋进新时代”为主题的知识竞赛活动，并从中随机抽取了 份试卷进行调查，这 份试卷的成绩频率分布直方图如图所示，已知第二、三、四组的频率之和为 ，第一组和第五组的频率相同．
求 ， 的值，并估计这 名同学面试成绩的平均数；
8.（多选）某学校为了调查学生在一周生活方面支出情况，抽出了一个容量为 的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在 内的学生有 人，则下列说法正确的是（ 　　）
A. 样本中支出在 内频率为
B. 样本中支出不少于 元的人数为
C. 的值为
D. 若该校有 名学生，则估计有 人支出在 内
9.（解答） 年 月，黔南州“铁人三项赛”在州府都匀市举行．志愿者的服务工作是比赛成功举办的重要保障，都匀市某单位承办了志愿者选拔的面试工作．现随机抽取 名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组 ，第二组 ，第三组 ，第四组 ，第五组 ，绘制成如图所示的频率分布直方图．
求 的值．
考法5：由频率分布直方图估计总体
10.（解答）某地区市政府为了鼓励居民节约用电，计划调整居民生活用电收费方案，拟确定一个合理的月用电量标准 （千瓦时）：月用电量不超过 的部分按平价收费，超出 的部分按议价收费．为了了解居民用电情况，通过抽样，获得了 位居民每人的月均用电量（千瓦时），将数据按照 ，，， 分成 组，制成了如图所示的频率分布直方图．
若该市有 万居民，估计全市居民中月均用电量不低于 千瓦时的人数；
考点3：数字特征估计总体
考法6：计算平均数、中位数、众数
11.（填空）在一次高一学生的答题测试中， 位参加测试的同学答对题目的数量分别为 ，则该组数据的平均数为＿＿＿＿＿＿；该组数据的第 百分位数为＿＿＿＿＿＿．
12.（单选）某项比赛共有 个评委评分，若去掉一个最高分与一个最低分，则与原始数据相比，一定不变的是（ 　　）
A. 极差 B. 分位数 C. 平均数 D. 众数
13.（多选）下列命题正确的是（ 　　）
A. 一组数据 ，，，，，，，， 的众数是
B. 已知随机事件 和 ，若 ，，，则 和 相互独立
C. 若学校田径队有 名运动员，其中男运动员有 人，现进行比例分配的分层随机抽样，从全体运动员中抽出一个容量为 的样本，则女运动员应抽取 人
D. 已知样本数据 的平均数为 ，方差为 ，若样本数据 （）的平均数为 ，方差为 ，则平均数
考法7：由频率分布直方图估计平均数/中位数
14.（多选）将某工厂新生产的 件产品的质量大小统计如下图所示，则（ 　　）
A. 质量在区间 的产品有 件
B. 质量在区间 的频率为
C. 这 件产品的质量的中位数大于
D. 这 件产品的质量的众数为
15.（解答）寒假期间某学校团委组织学生开展志愿服务活动，假期过后对学生的志愿服务时长（单位：小时）作一次随机抽样调查，画出频率分布直方图如图所示.根据志愿服务时长从长到短，时长在前 的学生可获得“优秀志愿之星”的称号.
试估计至少需要参加多少小时的志愿服务活动方可获得本次“优秀志愿之星”的称号.
16.（解答）从三明市某高中学校 名男生中随机抽取 名测量身高，被测学生身高全部介于 和 之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组 ，第二组 ，，第八组 ，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第七组的人数为 .
估计该校男生身高的中位数；
考法8：计算方差与标准差
17.（填空）数据 的平均数 ，方差 ，若 ，则数据 的平均数 ＿＿＿＿＿＿，方差 ＿＿＿＿＿＿．
18.（单选）在一组样本数据中，，，， 出现的频数分别为 ，，，，则下面四种情形中，对应样本的标准差最小的一组是（ 　　）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
19.（解答）随着老年人消费需求从“生存型”向“发展型”转变.消费层次不断提升，“银发经济”成为社会热门话题之一，被各企业持续关注.某企业为了解该地老年人消费能力情况，对该地年龄在 的老年人的年收入按年龄 ， 分成两组进行分层抽样调查，已知抽取了年龄在 的老年人 人.年龄在 的老年人 人.现作出年龄在 的老年人年收入的频率分布直方图(如下图所示)．
已知年龄在 的老年人年收入的方差为 ，年龄在 的老年人年收入的平均数和方差分别为 和 ，试估计年龄在 的老年人年收入的方差．
考法9：百分位数的计算与应用
20.（填空）某校 位同学参加数学竞赛的成绩（单位：分）为：，，，，，，，，，，则这 个数据的第 百分位数为＿＿＿＿＿＿．
21.（解答）某 MOBA 游戏统计了 名玩家的团战支援评分（百分制，分数越高支援效率越高），并按分数作出如图所示的频率分布直方图．
求 的值及样本评分的第 百分位数；
考点4：其他统计图表
考法10：从统计图表中提取信息
22.（多选）如图是某企业 年至 年的污水净化量(单位：吨)的折线图，则（ 　　）
A. 这组数据的中位数等于平均数
B. 这组数据的第 百分位数是
C. 污水净化量逐年递增
D. 去掉 年的污水净化量数据后，新数据的标准差会变小
23.（单选）某校在校园科技节期间举办了“智能机器人挑战赛”，为了解高一年级 名学生观看比赛的情况，该校学生会用随机抽样的方式抽取了一个容量为 的样本进行调查，并将数据整理后，列表如下：
观看比赛场数
观看人数所占百分比
从表中可以得出正确的结论为（ 　　）
A. 估计观看比赛场数的极差为
B. 估计观看比赛场数的众数为
C. 估计观看比赛不低于 场的学生约为 人
D. 估计观看比赛不超过 场的学生概率为
考法11：统计图表的综合对比
24.（多选）在一次对甲、乙两个工厂生产的相同数量的零件质量（单位：克）统计中，得到如下表：
工厂 平均质量 中位数 众数 方差
甲厂
乙厂
其中 ，根据统计数据，下列结论中正确的是（ 　　）
A. 甲厂生产的零件质量稳定性优于乙厂
B. 甲厂生产零件质量的极差可能小于乙厂
C. 甲、乙两厂生产的零件中 克出现的次数相同
D. 甲厂生产的零件中质量大于 克的数量多于乙厂
25.（单选）某单位职工参加某 APP 推出的“二十大知识问答竞赛”活动，参与者每人每天可以作答三次，每次作答 题，每题答对得 分，答错得 分，该单位从职工中随机抽取了 位，他们一天中三次作答的得分情况如图：
根据图，估计该单位职工答题情况，则下列说法正确的是（ 　　）
A. 该单位职工一天中各次作答的平均分保持一致
B. 该单位职工一天中各次作答的正确率保持一致
C. 该单位职工一天中第三次作答得分的极差小于第二次的极差
D. 该单位职工一天中第三次作答得分的标准差小于第一次的标准差
考点5：用样本估计总体
考法12：用样本平均数估计总体平均数
26.（填空）某学校的高一、高二及高三年级分别有学生 人、 人、 人，用分层抽样的方法从全体学生中抽取一个容量为 人的样本，抽出的高一、高二及高三年级学生的平均身高为 、、，估计该校学生的平均身高是＿＿＿＿＿＿．
专题：概率
考点6：随机事件与样本空间
考法13：写出随机试验的样本空间
27.（解答）将一枚质地均匀的正四面体骰子（四个面的点数分别为 ，，，）先后抛掷两次，分别观察底面上的点数，第一次、第二次出现的点数用数对 表示．
写出这个试验的样本空间；
考点7：事件的关系与运算
考法14：事件的关系判定
28.（多选）掷一枚骰子，记事件 为掷出的点数小于 ，事件 为掷出奇数点，则下列说法错误的是（ 　　）
A.
B.
C. 事件 与事件 对立
D. 事件 与事件 不相互独立
29.（多选）盒子里有 个白球， 个黑球和 个红球，从中不放回地依次取出 个球.设事件 “第 次取出的球是白球”，“两个球颜色相同”，“第 次取出的球是黑球”，“两个球中有一个是红球”.则下列说法正确的是（ 　　）
A. B.
C. 与 相互独立 D. 与 是对立事件
30.（单选）投掷一枚均匀的骰子，事件 ：点数大于 ；事件 ：点数小于 ；事件 ：点数为偶数.则下列关于事件描述正确的是（ 　　）
A. 与 是互斥事件 B. 与 是对立事件
C. 与 是独立事件 D. 与 是独立事件
31.（多选）有 个相同的球，分别标有数字 ，，，，，，从中不放回地随机取两次，事件 表示“第一次取出的球的数字是偶数”，事件 表示“第二次取出的球的数字是奇数”，事件 表示“两次取出的球的数字之和是偶数”，则（ 　　）
A. 与 为互斥事件 B.
C. D. 与 相互独立
考法15：事件的并与交
32.（单选）甲、乙两个元件构成一并联电路，设 “甲元件故障”，“乙元件故障”，则表示电路故障的事件为（ 　　）
A. B.
C. D.
33.（单选）设样本空间 含有等可能的样本点，且 ，则 （ 　　）
A. B. C. D.
考法16：利用互斥事件和对立事件求概率
34.（多选）已知 ，，则下列说法中正确的是（ 　　）
A. 若 ， 互斥，则
B. 若 ， 互斥，则
C. 若 ， 独立，则
D. 若 ， 独立，则
35.（单选）已知随机事件 和 互斥， 和 对立，且 ，，则 （ 　　）
A. B. C. D.
考点8：古典概型
考法17：列举法求古典概型概率
36.（单选）某校文艺部有 名学生，其中高一、高二年级各 名.从这 名学生中随机选 名组织校文艺汇演，则这 名学生来自不同年级的概率为（ 　　）
A. B. C. D.
37.（填空）将一枚质地均匀的骰子连续抛掷 次，向上的点数分别记为 ，则事件“”的概率为＿＿＿＿＿＿．
考法18：有放回与不放回抽样
38.（单选）某袋中有编号为 的 个小球（小球除编号外完全相同），甲先从袋中摸出一个球，记下编号后放回，乙再从袋中摸出一个球，记下编号，则甲、乙两人所摸出球的编号不同的概率是（ 　　）
A. B. C. D.
39.（单选）从两名男生、两名女生中任意抽取两人，在有放回简单随机抽样、不放回简单随机抽样两种抽样方式下，抽到的两人都是男生的概率分别是（ 　　）
A. ， B. ， C. ， D. ，
考点9：概率的性质
考法19：互斥事件加法公式的应用
40.（填空）已知事件 与事件 发生的概率分别为 ，，且 ，则 ＿＿＿＿＿＿．
41.（单选）若 ，则 （ 　　）
A. B. C. D.
考法20：对立事件公式的应用
42.（单选）《易·系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中华文化、阴阳术数之源，其中河图排列结构是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中.如图，白圈为阳数，黑点为阴数.若从这 个数中任取 个数，则这 个数中至多有 个阴数的概率为（ 　　）
A. B. C. D.
43.（单选）若连续两次抛掷一枚质地均匀的骰子，则点数之和不大于 的概率是（ 　　）
A. B. C. D.
考点10：事件的相互独立性
考法21：判断事件是否相互独立
44.（解答）某商场开展促销活动，每消费满 元可获得一次抽奖机会.抽奖箱装有 个红球、 个白球、 个蓝球，这些球除颜色外完全相同.抽奖规则如下：一次性随机摸出 个球，若摸出 个红球，可获得一等奖；若摸出 个红球和 个蓝球，可获得二等奖.
为加大促销力度，在原规则的基础上，当顾客在该商场消费满 元时，若顾客两次抽奖均摸出蓝球，则额外获得一个二等奖.
已知乙在该商场消费了 元，记“乙至少获得一个一等奖”为事件 ，“乙恰好获得一个二等奖”为事件 .判断事件 与 是否相互独立，并说明理由.
45.（多选）已知事件 ， 满足 ，则下列说法正确的是（ 　　）
A. 事件 与事件 可能为对立事件
B. 若事件 与事件 相互独立，则它们的对立事件也相互独立
C. 若事件 与事件 互斥，则
D. 若事件 与事件 相互独立，则
考法22：利用独立事件公式求概率
46.（解答）某公司招聘员工需要经过笔试和面试两个流程，且两个流程都通过才能被公司录取.现有甲、乙两人参加应聘，其中甲通过笔试和面试的概率分别为 ，，乙通过笔试和面试的概率分别为 ，，两人是否通过笔试与面试及是否被公司录取均相互独立.
试通过计算比较甲、乙两人谁被公司录取的概率更大；
47.（单选）在如图所示的电路中，两个开关 ， 闭合与否相互独立，且在某一时刻 ， 闭合的概率分别为 ，，则此时灯亮的概率为（ 　　）
A. B. C. D.
48.（填空）已知事件 和事件 相互独立，事件 是事件 的对立事件，，，则 ＿＿＿＿＿＿．
49.（多选）一个袋中装有若干大小、质地均相同的球，颜色有红、黄两种，且有部分球带标记，若从中随机摸出一个球，摸到红球的概率为 ，摸到带标记的球的概率为 ，且摸到红球与摸到带标记的球相互独立．现从袋中随机摸取一个球，设事件 为“摸到红球”，事件 为“摸到带标记的球”，则下列结论正确的是（ 　　）
A. 事件 与事件 互斥
B. 摸到的球是红色但不带标记的概率为
C.
D. 若连续摸球两次（有放回），则两次摸到的球都是黄色且不带标记的概率为
考法23：多事件独立性的概率计算
50.（解答）某校组织“语文课外阅读知识竞赛”活动，在预赛阶段，共设置“古代文学、文化常识”和“国外文学名著鉴赏”两轮比赛，两轮比赛均通过才能进入决赛.已知甲、乙两名同学通过第一轮的概率分别为 ，通过第二轮的概率分别为 ，每次是否通过互不影响，且两轮比赛均必须参加.
若 ，求甲、乙均只通过一轮的概率；
51.（多选）甲、乙两人参加环保知识竞赛活动，活动共设三轮，在每轮活动中，甲、乙各回答一题，若一方答对且另一方答错，则答对的一方获胜，否则本轮平局．已知每轮中甲答对的概率为 ，乙答对的概率为 ，且每轮活动中甲、乙答对与否互不影响，各轮活动也互不影响，则以下说法正确的是（ 　　）
A. 每轮活动中，甲获胜的概率为
B. 每轮活动中，平局的概率为
C. 甲胜一轮且乙胜两轮的概率为
D. 甲至少获胜两轮的概率为
52.（单选）甲、乙两人组成的“龙队”参加数学解题比赛，比赛中每个队均有一张通行卡且仅限使用一次.每轮比赛由甲、乙各自独立解答同一道题，若两人都答对则直接进入下一轮；若两人都答错则直接被淘汰；若两人中恰有一人答对则可使用通行卡进入下一轮.已知在每轮比赛中甲答对的概率为 ，乙答对的概率为 ，且甲、乙答对与否互不影响，则“龙队”恰在参加三轮比赛后被淘汰的概率为（ 　　）
A. B. C. D.
53.（解答）某商场为了回馈顾客，决定举办一场抽奖活动，凡是在商场内消费金额每达到 元的即可抽奖一次，即消费满 但不足 元的可抽奖一次，消费满 但不足 元的可抽奖两次，依次类推.抽奖规则为：在一个盒子中共有 个除颜色外形状大小均相同的小球，其中红球 个，黄球 个，蓝球 个，绿球 个，抽奖者每次从盒中随机摸出一个小球后并放回原盒子中，若抽到红球即可获得 元红包，抽到黄球即可获得 元红包，抽到蓝球即可获得 元红包，抽到绿球即可获得 元红包.每次抽奖结果相互独立.
已知小明消费 元，求小明抽到的红包均不相同的概率；
54.（单选）如图，某电子元件由 ，， 三种部件组成，现将该电子元件应用到某研发设备中，经过反复测试，，， 三种部件不能正常工作的概率分别为 ，，，各个部件是否正常工作相互独立，则该电子元件能正常工作的概率是（ 　　）
A. B. C. D.
考点11：频率与概率
考法24：用频率估计概率
55.（单选）一个口袋中装有 个红球和若干个黑球，在不允许将球倒出来数的前提下，为估计口袋中黑球的个数，小张采用了如下的方法：每次从口袋中摸出 个球，记下球的颜色后再把球放回口袋中摇匀.不断重复上述过程 次，共摸出红球 次，根据上述数值，估计口袋中黑球的个数为（ 　　）
A. B. C. D.
56.（填空）某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如表所示．
赔付金额/元
车辆数/辆
若每辆车的投保金额均为 元，估计赔付金额大于投保金额的概率为＿＿＿＿＿＿；在样本车辆中，车主是新司机的占 ，在赔付金额为 元的样本车辆中，车主是新司机的占 ，估计在已投保的新司机中，获赔金额为 元的概率为＿＿＿＿＿＿．
考法25：随机模拟方法的应用
57.（单选）已知某运动员每次射击击中目标的概率为 .现采用随机模拟的方法估计某运动员射击 次，至少击中 次的概率.先由计算器给出 到 之间取整数值的随机数，指定 ， 表示没有击中目标，，，，，，，， 表示击中目标，以 个随机数为一组，代表射击 次的结果，经随机模拟产生了 组随机数：
根据以上数据估计该射击运动员射击 次，至少击中 次的概率为（ 　　）
A. B. C. D.
58.（单选）利用随机模拟解决问题的方法称为蒙特卡洛方法，用此方法可以快速进行大量重复试验，进而用频率估计概率. 袋子中有四张卡片，分别写有“山”“城”“重”“庆”四个字，有放回地每次从中任取一张卡片，共取三次. 将三次抽取后“重”“庆”两个字都取到记为事件 ，用随机模拟的方法估计事件 发生的概率. 由计算机产生 ，，， 四个随机数，分别代表“山”“城”“重”“庆”这四个字，以每三个随机数为一组，表示取卡片三次的结果，经随机模拟产生了以下 组随机数：、、、、、、、、、、、、、、、、、、、，由此可以估计事件 发生的概率为（ 　　）
A. B. C. D.
第 2 页，共 17 页

展开更多......

收起↑