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专题2　受力分析和共点力的平衡
学习目标　1. 会对研究对象进行正确的受力分析．2. 会利用平衡条件解决共点力的平衡问题．3. 能解决共点力作用下物体的动态平衡问题.4. 会分析处理共点力平衡的临界极值问题．
活动一 利用平衡条件分析共点力的平衡问题
1 [2023江苏卷]如图所示，嫦娥五号探测器静止在月球平坦表面处．已知探测器质量为m，四条腿与竖直方向的夹角均为θ，月球表面的重力加速度为地球表面重力加速度g的 .每条腿对月球表面压力的大小为(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　
A. B.
C. D.
1. 共点力：作用于物体的同一点或作用线相交于一点的几个力．
2. 平衡状态：物体保持________或________的状态．
3. 共点力的平衡条件
(1) F合＝0或者
(2) 平衡条件的推论
①二力平衡：如果物体在两个共点力的作用下处于平衡状态，这两个力必定大小________、方向________．
②三力平衡：如果物体在三个共点力的作用下处于平衡状态，其中任何一个力与其余两个力的合力大小________、方向________；并且这三个力的矢量可以形成一个首尾相接的矢量________．
③多力平衡：如果物体在多个共点力的作用下处于平衡状态，其中任何一个力与其余几个力的合力大小________、方向________．
解答对称结构三维空间问题时要注意结构对称的特点，同时可以降维，通过分析二维平面内的受力情况解决问题．
2 如图所示，两个石块A、B静止在水平面上，石块C叠放在A、B上，也处于静止状态，C与B接触处切线水平，C与A接触处切线倾斜且接触处光滑，下列说法正确的是(　　)
A. 石块B、C之间没有摩擦力
B. 石块B对石块C有水平向左的摩擦力
C. 水平面与石块B之间没有摩擦力
D. 水平面对石块B有水平向右的摩擦力
即时训练1[2026镇江期末]如图所示，一根铅笔置于水平桌面上的笔筒中，筒口光滑，笔所受力的个数为(C)
　
A. 2个　 B. 3个
C. 4个　 D. 5个
即时训练2 [2026无锡期中]如图所示，某段时间内小朋友和风筝均保持静止状态，此时风筝平面与水平面夹角为30°，风筝的质量为m＝2 kg，轻质细线中的张力为FT＝20 N，该小朋友的质量为M＝25 kg(风对风筝的作用力与风筝平面垂直，重力加速度g取10 m/s2)，求：
(1) 细线与风筝平面的夹角θ和风对风筝的作用力的大小；
(2) 小朋友受到地面的支持力大小和地面对小朋友的摩擦力．
3 [2026苏州期中]如图所示，小球A、B大小相同，质量分别为2m、m，竖直悬挂在丝线下方．现整个装置受到水平向右的风力影响(A、B球所受的水平风力等大)，则两球达到平衡后的位置可能是(　　)
A B C D
整体法与隔离法的选用技巧
整体法 隔离法
概念 将几个物体作为一个整体来分析的方法 将研究对象与周围物体分隔开来分析的方法
选用原则 研究系统外的物体对系统整体的作用力 研究系统内物体之间的相互作用力
技巧 整体法与隔离法结合，交替应用
活动二 分析动态平衡问题
动态平衡是指物体的受力状态缓慢发生变化，但在变化过程中，每一个状态均可视为平衡状态. 解题流程如下：
一、 解析法
对研究对象进行受力分析，画出受力示意图，根据物体的平衡条件列方程，得到因变量与自变量的函数表达式(通常为三角函数关系)，最后根据自变量的变化确定因变量的变化.
4 如图所示，与水平方向成θ角的推力F作用在物块上，随着θ逐渐减小直到水平的过程中，物块始终沿水平面做匀速直线运动．关于物块受到的外力，下列判断正确的是(　　)
A. 推力F先增大后减小
B. 推力F一直减小
C. 物块受到的摩擦力先减小后增大
D. 物块受到的摩擦力一直不变
即时训练3 [2026苏州期中]在各种庆典现场，我们经常会看到空中飘浮着的大氢气球通过一条绳索系着一个重物，重物静置于地面，而氢气球飘浮在空中保持静止，绳索竖直．受水平风力影响，氢气球缓缓偏离原来的位置，绳索与竖直方向的夹角逐渐增大，重物保持静止，如图所示．不计绳索重力，则在这一过程中，下列说法正确的是(　　)
A. 系氢气球的绳索所受的拉力逐渐减小
B. 地面对重物的支持力逐渐减小
C. 氢气球所受风力保持不变
D. 重物所受地面的摩擦力逐渐增大
二、 图解法
(1) 一力恒定(如重力)，另一力方向不变，作出不同状态下的矢量三角形，确定力大小的变化，恒力之外的两力垂直时，有极值出现.
5 [2026苏州期末]如图所示，物体由细绳OC悬于O点，用细绳AB绑住绳OC的A点，水平缓慢牵引A点，使OA段与竖直方向成一定角度，则该过程中( )
A. 细绳OA段的拉力不断减小
B. 细绳OA段的拉力不断增大
C. 细绳AB的拉力保持不变
D. 细绳AB的拉力不断减小
(2) 一力恒定(如重力)，其他二力的方向均变化，若三力构成的矢量三角形与实际几何三角形相似，则对应边的比相等.
6 [2025常州期中]如图甲所示，一名登山爱好者正沿着竖直崖壁向上攀爬，在人向上攀爬的过程中可以把人简化为如图乙所示的物理模型：脚与崖壁接触点为O点，人的重力全部集中在C点，O到C点可简化为轻杆，轻绳的一端固定在较高处的A点，另一端拴在人的腰间C点(重心处).已知OC长度不变，在人向上攀爬的过程中，某时刻AOC恰好构成等边三角形，下列说法正确的是(　　)
甲 乙
A. 轻绳对人的拉力与人对轻绳的拉力是一对平衡力
B. 在此时刻，OC段承受的压力大于人的重力
C. 从实线位置到虚线位置，轻绳AC的拉力大小变小
D. 从实线位置到虚线位置，OC段承受的压力大小不变
(3) 一力恒定，另外两力方向一直变化，但两力的夹角不变，作出不同状态的矢量三角形，利用两力夹角不变，结合正弦定理列式求解，也可以作出动态圆，恒力为圆的一条弦(在同一圆中，该弦所对的圆周角相等)，根据不同位置判断各力的大小变化. 基本矢量图如图所示．
7 [2026苏州期中]如图所示，一物块放置在粗糙水平面上，其上固定一“L”形轻杆，轻绳ON的一端O固定在杆上，中间某点M拴一小球，用手拉住绳的另一端N.初始时，OM竖直且MN被拉直，OM与MN之间的夹角为α(α>90°)，现将小球向右上方缓慢拉起，并保持夹角α不变，在OM由竖直被拉到水平的过程，物块始终保持静止，则(　　)
A. OM上的弹力一直减小
B. MN上的弹力先增大后减小
C. 水平面对物块的支持力一直变小
D. 水平面对物块的摩擦力先变大再变小
活动三 分析平衡中的临界极值问题
8 [2026南京期中]如图所示，倾角θ＝30°、质量mC＝0.4 kg的斜面体C静置于水平桌面上，顶端固定有一轻质光滑定滑轮．物块A悬于轻绳OP、OQ的结点O处，OP段绳水平，P固定在墙上．OQ段绳与竖直方向的夹角α＝53°，并绕过定滑轮与斜面体上质量mB＝2 kg的物块B相连．B与C间的动摩擦因数μ1＝，C与地面间的动摩擦因数μ2＝.整个装置始终处于静止状态．已知最大静摩擦力等于滑动摩擦力，sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6，重力加速度g取10 m/s2.求：
(1) A的质量取多大，可使B、C间的摩擦力恰好为零；
(2) 当A的质量mA＝0.6 kg时，C受到地面的摩擦力的大小；
(3) A的质量的取值范围．
即时训练4 [2026常州期中]在竖直墙壁的左侧水平地面上，放置一个边长为a、质量为M＝2 kg的正方体ABCD，在墙壁和正方体之间放置一半径为R＝1 m、质量为m的光滑球．正方体和球均保持静止，如图所示，球的球心为O，OB与竖直方向的夹角为θ，正方体的边长a>R，正方体与水平地面的动摩擦因数为μ＝0.5.(已知重力加速度g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，结果可保留根号)
(1) 若θ＝60°，m＝0.4 kg，求正方体对球的弹力N1的大小和竖直墙壁对球的弹力N2的大小；
(2) 若θ＝37°，保持球的半径不变，只增大球的质量，为了不让正方体出现滑动，求球质量的最大值；
(3) 改变正方体到墙壁之间的距离，当正方体右侧面BA到墙壁之间距离小于某个值d时，无论球质量为多大(保持球的半径不变)，球和正方体始终处于静止状态，且球未接触地面，求d值．
专题2　受力分析和共点力的平衡
【活动一】
例 1
D　对嫦娥五号探测器受力分析有FN＝mg月，则对一条腿有FN1＝mg月＝，根据牛顿第三定律可知每条腿对月球表面的压力为 ，D正确．
总结提升：2 静止　匀速直线运动　3 (2) ①相等　相反　②相等　相反　三角形　③相等　相反
例 2
B　对C受力分析，受竖直向下的重力、A对C斜向上的弹力、B对C竖直向上的弹力，C处于平衡状态，所受合力为0，一定受到B对C水平向左的摩擦力，故A错误，B正确；由于B对C存在水平向左的摩擦力，根据牛顿第三定律可知C对B有水平向右的摩擦力，又B处于平衡状态，可知水平面对石块B有水平向左的摩擦力，故C、D错误．
即时训练1 C　对笔受力分析可知，笔受到笔筒口、筒底的弹力、笔自身的重力以及笔筒底对笔的摩擦力，共计4个力的作用．故C正确．
即时训练2 (1) 对风筝进行受力分析如图所示，
将所有的力沿风筝方向和垂直于风筝平面方向进行正交分解，则垂直于风筝平面方向有F＝FTcos (90°－θ)＋mg cos 30°，
平行于风筝方向有FTsin (90°－θ)＝mg sin 30°，
其中FT＝20 N，代入数据解得θ＝60°，F＝mg＝20 N.
(2) 细线与水平方向的夹角为30°，则地面对小朋友的支持力大小N＝Mg－FTsin 30°＝240 N，
地面对小朋友的摩擦力f＝FTcos 30°＝10 N，
方向水平向左．
例 3
B　设A球与悬点间丝线与竖直方向夹角为θ，以A、B整体为研究对象，水平向右风力大小为2F，则有tan θ＝，以B为研究对象，水平向右风力大小为F，设A、B间丝线与竖直方向夹角为α，则有tan α＝，比较可知θ<α，B正确．
【活动二】
例 4
B　对物块受力分析，建立如图所示的坐标系．由平衡条件得，F cos θ－Ff＝0，FN－(mg＋F sin θ)＝0，又Ff＝μFN，联立可得F＝，可见，当θ减小时，F一直减小；由摩擦力Ff＝μFN＝μ(mg＋F sin θ)可知，当θ、F减小时，Ff一直减小．综上分析可知B正确，A、C、D错误．
即时训练3 D　受力分析如图所示，根据平衡条件得T sin α＝F，T cos α＝N－G，由于气球的重力及浮力不变，当绳索与竖直方向的夹角逐渐增大时，系氢气球的绳索所受的拉力逐渐增大，故A错误；对系统整体分析，地面对重物的支持力与系统的重力及浮力平衡，所以地面对重物的支持力不变，故B错误；因为绳子拉力增大，夹角增大，所以风力逐渐增大，故C错误；整体分析，有摩擦力与风力平衡，所以重物所受地面的摩擦力逐渐增大，故D正确．
例 5
B　细绳OA、AB中的张力分别用F1、F2表示，对A点受力分析，设绳OA与竖直方向夹角为θ，如图所示，根据平衡条件得F1＝，F2＝mg tan θ，A点缓慢拉升到如图所示的过程中，θ增大，cos θ减小，tan θ增大，则F1增大，F2增大．故B正确．
例 6
D　轻绳对人的拉力与人对轻绳的拉力是一对相互作用力，故A错误；在此时刻，对C点受力分析，根据相似三角形，可知此时，OC段承受的压力等于人的重力，故B错误；对C点受力分析，根据相似三角形，有 ＝＝，从实线位置到虚线位置，AC长度变长，OC长度不变，可知轻绳AC的拉力变大，OC段承受的压力大小不变，故C错误，D正确．
例 7
D　将小球向右上方拉起一小段距离后，设MN绳上的拉力为F1，OM绳上的拉力为F2，小球的受力分析如图甲所示，可以将三个力围成首尾相接的三角形．由于重力的对角是不变的，可以将三力画在同一圆中，进行动态分析，其中F2的方向从竖直方向转动到水平方向，根据图乙可知，F1一直增大，F2先增大后减小，故A、B错误；对系统进行整体分析，受力如图丙所示，其中F1作为外力可以分解到水平与竖直两个方向，其中F1的竖直分量在到达水平位置之前向下先增加后减小，到达水平位置之后向上增大，所以水平面对物块的支持力先增大后减小，F1的水平分量先增加后减小，所以水平面对物块的摩擦力先变大后变小，故C错误，D正确．
甲 乙 丙
【活动三】
例 8
(1) 设绳OQ的拉力为T，对物块B分析有
T＝mBg sin θ，
解得T＝10 N，
对节点O分析，有T cos α＝mAg，
解得mA＝0.6 kg.
(2) 将A、B、C看作整体，受到绳OP的拉力，A、B、C整体的重力，地面对其的支持力，地面对C的摩擦力．
装置处于静止状态，水平方向有TOP＝fC，
对节点O分析，有TOP＝mAg tan α，
解得fC＝8 N.
(3) 假设C不滑动，当A的质量最大时，B受到的静摩擦力沿斜面向下且最大，对B分析，沿斜面方向有
T1＝mBg sin θ＋μ1mBg cos θ，
对结点O分析，竖直方向有T1cos α＝mAmaxg，
解得mAmax＝0.9 kg，
当A的质量最小时，B受到的摩擦力沿斜面向上且达到最大，有T2＋μ1mBg cos θ＝mBg sin θ，
T2cos α＝mAming，
解得mAmin＝0.3 kg，
将A、B、C看作整体，当C相对于地面刚要滑动时，设A的质量为m′Amax，地面对C的最大摩擦力为fC＝μ2N＝μ2(m′Amax＋mC＋mB)g，
要保持整个系统静止，则有TOP≤fC，
对O有TOP＝m′Amaxg tan α，
解得m′Amax＝0.8 kg，
综上可知，保持整个系统始终静止，物块A的质量大小取值范围为0.3 kg≤mA≤0.8 kg.
即时训练4 (1) 对球受力情况分析，如图甲所示，根据平衡条件知正方体对球的弹力N1＝＝8 N，
竖直墙壁对球的弹力N2＝mg tan θ＝4 N.
甲
(2) 对整体受力分析，如图乙所示，根据平衡条件知
N3＝(M＋m)g，N2＝f，
为了不让正方体出现滑动，有f≤μN3，
联立得mg tan θ≤μ(M＋m)g，
解得球质量的最大值m＝4 kg.
乙
(3) 当正方体右侧面BA到墙壁之间距离小于某个值d时，设OB与竖直方向夹角为α，根据mg tan α≤μ(M＋m)g，
即tan α≤，
无论m多大都能保持静止状态，则tan α≤μ＝0.5，sin α≤，
当sin α＝时，BA与墙壁间的距离为临界值d，
则临界值d＝R＋R sin α＝ m.(共47张PPT)
第二章
相互作用
专题2　受力分析和共点力的平衡
内容索引
学习目标
核心体系
活动方案
学 习 目 标
1. 会对研究对象进行正确的受力分析.2. 会利用平衡条件解决共点力的平衡问题.3. 能解决共点力作用下物体的动态平衡问题.4. 会分析处理共点力平衡的临界极值问题．
核 心 体 系
活 动 方 案
活动一　利用平衡条件分析共点力的平衡问题
1
D
1. 共点力：作用于物体的同一点或作用线相交于一点的几个力．
2. 平衡状态：物体保持________或________________的状态．
3. 共点力的平衡条件
静止
匀速直线运动
(2) 平衡条件的推论
①二力平衡：如果物体在两个共点力的作用下处于平衡状态，这两个力必定大小________、方向________.
②三力平衡：如果物体在三个共点力的作用下处于平衡状态，其中任何一个力与其余两个力的合力大小________、方向________；并且这三个力的矢量可以形成一个首尾相接的矢量__________.
③多力平衡：如果物体在多个共点力的作用下处于平衡状态，其中任何一个力与其余几个力的合力大小________、方向________.
相等
相反
相等
相反
三角形
相等
相反
解答对称结构三维空间问题时要注意结构对称的特点，同时可以降维，通过分析二维平面内的受力情况解决问题．
如图所示，两个石块A、B静止在水平面上，石块C叠放在A、B上，也处于静止状态，C与B接触处切线水平，C与A接触处切线倾斜且接触处光滑，下列说法正确的是(　　)
2
A. 石块B、C之间没有摩擦力
B. 石块B对石块C有水平向左的摩擦力
C. 水平面与石块B之间没有摩擦力
D. 水平面对石块B有水平向右的摩擦力
B
【解析】 对C受力分析，受竖直向下的重力、A对C斜向上的弹力、B对C竖直向上的弹力，C处于平衡状态，所受合力为0，一定受到B对C水平向左的摩擦力，故A错误，B正确；由于B对C存在水平向左的摩擦力，根据牛顿第三定律可知C对B有水平向右的摩擦力，又B处于平衡状态，可知水平面对石块B有水平向左的摩擦力，故C、D错误．
[2026镇江期末]如图所示，一根铅笔置于水平桌面上的笔筒中，筒口光滑，笔所受力的个数为( )　
A. 2个　 B. 3个
C. 4个　 D. 5个
1
【解析】 对笔受力分析可知，笔受到笔筒口、筒底的弹力、笔自身的重力以及笔筒底对笔的摩擦力，共计4个力的作用．故C正确．
C
[2026无锡期中]如图所示，某段时间内小朋友和风筝均保持静止状态，此时风筝平面与水平面夹角为30°，风筝的质量为m＝2 kg，轻质细线中的张力为FT＝20 N，该小朋友的质量为M＝25 kg(风对风筝的作用力与风筝平面垂直，重力加速度g取10 m/s2)，求：
2
(1) 细线与风筝平面的夹角θ和风对风筝的作用力的大小；
(2) 小朋友受到地面的支持力大小和地面对小朋友的摩擦力．
【答案】 (1) 对风筝进行受力分析如图所示，
将所有的力沿风筝方向和垂直于风筝平面方向进行正交分解，则垂直于风筝平面方向有F＝FTcos(90°－θ)＋mgcos 30°，
平行于风筝方向有FTsin(90°－θ)＝mgsin 30°，
(2) 细线与水平方向的夹角为30°，则地面对小朋友的支持力大小N＝Mg－FTsin 30°＝240 N，
方向水平向左．
[2026苏州期中]如图所示，小球A、B大小相同，质量分别为2m、m，竖直悬挂在丝线下方．现整个装置受到水平向右的风力影响(A、B球所受的水平风力等大)，则两球达到平衡后的位置可能是(　　)
3
A
B
C
D
B
整体法与隔离法的选用技巧
整体法 隔离法
概念 将几个物体作为一个整体来分析的方法 将研究对象与周围物体分隔开来分析的方法
选用 原则 研究系统外的物体对系统整体的作用力 研究系统内物体之间的相互作用力
技巧 整体法与隔离法结合，交替应用
活动二　分析动态平衡问题
动态平衡是指物体的受力状态缓慢发生变化，但在变化过程中，每一个状态均可视为平衡状态. 解题流程如下：
一、解析法
对研究对象进行受力分析，画出受力示意图，根据物体的平衡条件列方程，得到因变量与自变量的函数表达式(通常为三角函数关系)，最后根据自变量的变化确定因变量的变化.
如图所示，与水平方向成θ角的推力F作用在物块上，随着θ逐渐减小直到水平的过程中，物块始终沿水平面做匀速直线运动．关于物块受到的外力，下列判断正确的是(　　)
4
A. 推力F先增大后减小
B. 推力F一直减小
C. 物块受到的摩擦力先减小后增大
D. 物块受到的摩擦力一直不变
B
[2026苏州期中]在各种庆典现场，我们经常会看到空中飘浮着的大氢气球通过一条绳索系着一个重物，重物静置于地面，而氢气球飘浮在空中保持静止，绳索竖直．受水平风力影响，氢气球缓缓偏离原来的位置，绳索与竖直方向的夹角逐渐增大，重物保持静止，如图所示．不计绳索重力，则在这一过程中，下列说法正确的是(　　)
3
A. 系氢气球的绳索所受的拉力逐渐减小
B. 地面对重物的支持力逐渐减小
C. 氢气球所受风力保持不变
D. 重物所受地面的摩擦力逐渐增大
D
【解析】 受力分析如图所示，根据平衡条件得Tsin α＝F，Tcos α＝N－G，由于气球的重力及浮力不变，当绳索与竖直方向的夹角逐渐增大时，系氢气球的绳索所受的拉力逐渐增大，故A错误；对系统整体分析，地面对重物的支持力与系统的重力及浮力平衡，所以地面对重物的支持力不变，故B错误；因为绳子拉力增大，夹角增大，所以风力逐渐增大，故C错误；整体分析，有摩擦力与风力平衡，所以重物所受地面的摩擦力逐渐增大，故D正确．
二、图解法
(1) 一力恒定(如重力)，另一力方向不变，作出不同状态下的矢量三角形，确定力大小的变化，恒力之外的两力垂直时，有极值出现.
[2026苏州期末]如图所示，物体由细绳OC悬于O点，用细绳AB绑住绳OC的A点，水平缓慢牵引A点，使OA段与竖直方向成一定角度，则该过程中( )
A. 细绳OA段的拉力不断减小
B. 细绳OA段的拉力不断增大
C. 细绳AB的拉力保持不变
D. 细绳AB的拉力不断减小
5
B
(2) 一力恒定(如重力)，其他二力的方向均变化，若三力构成的矢量三角形与实际几何三角形相似，则对应边的比相等.
[2025常州期中]如图甲所示，一名登山爱好者正沿着竖直崖壁向上攀爬，在人向上攀爬的过程中可以把人简化为如图乙所示的物理模型：脚与崖壁接触点为O点，人的重力全部集中在C点，O到C点可简化为轻杆，轻绳的一端固定在较高处的A点，另一端拴在人的腰间C点(重心处)．已知OC长度不变，在人向上攀爬的过程中，某时刻AOC恰好构成等边三角形，下列说法正确的是(　　)
6
甲
乙
D
A. 轻绳对人的拉力与人对轻绳的拉力是一对平衡力
B. 在此时刻，OC段承受的压力大于人的重力
C. 从实线位置到虚线位置，轻绳AC的拉力大小变小
D. 从实线位置到虚线位置，OC段承受的压力大小不变
(3) 一力恒定，另外两力方向一直变化，但两力的夹角不变，作出不同状态的矢量三角形，利用两力夹角不变，结合正弦定理列式求解，也可以作出动态圆，恒力为圆的一条弦(在同一圆中，该弦所对的圆周角相等)，根据不同位置判断各力的大小变化. 基本矢量图如图所示．
[2026苏州期中]如图所示，一物块放置在粗糙水平面上，其上固定一“L”形轻杆，轻绳ON的一端O固定在杆上，中间某点M拴一小球，用手拉住绳的另一端N.初始时，OM竖直且MN被拉直，OM与MN之间的夹角为α(α>90°)，现将小球向右上方缓慢拉起，并保持夹角α不变，在OM由竖直被拉到水平的过程，物块始终保持静止，则(　　)
7
A. OM上的弹力一直减小
B. MN上的弹力先增大后减小
C. 水平面对物块的支持力一直变小
D. 水平面对物块的摩擦力先变大再变小
D
【解析】 将小球向右上方拉起一小段距离后，设MN绳上的拉力为F1，OM绳上的拉力为F2，小球的受力分析如图甲所示，可以将三个力围成首尾相接的三角形．由于重力的对角是不变的，可以将三力画在同一圆中，进行动态分析，其中F2的方向从竖直方向转动到水平方向，根据图乙可知，F1一直增大，F2先增大后减小，故A、B错误；对系统进行整体分析，受力如图丙所示，其中F1作为外力可以分解到水平与竖直两个方向，其中F1的竖直分量在到达水平位置之前向下先增加后减小，到达水平位置之后向上增大，所以水平面对物块的支持力先增大后减小，F1的水平分量先增加后减小，所以水平面对物块的摩擦力先变大后变小，故C错误，D正确．
甲
乙
丙
活动三　分析平衡中的临界极值问题
8
(1) A的质量取多大，可使B、C间的摩擦力恰好为零；
(2) 当A的质量mA＝0.6 kg时，C受到地面的摩擦力的大小；
(3) A的质量的取值范围．
【答案】 (1) 设绳OQ的拉力为T，对物块B分析有
T＝mBgsin θ，
解得T＝10 N，
对节点O分析，有Tcos α＝mAg，
解得mA＝0.6 kg.
(2) 将A、B、C看作整体，受到绳OP的拉力，A、B、C整体的重力，地面对其的支持力，地面对C的摩擦力．
装置处于静止状态，水平方向有TOP＝fC，
对节点O分析，有TOP＝mAgtan α，
解得fC＝8 N.
(3) 假设C不滑动，当A的质量最大时，B受到的静摩擦力沿斜面向下且最大，对B分析，沿斜面方向有
T1＝mBgsin θ＋μ1mBgcos θ，
对结点O分析，竖直方向有T1cos α＝mAmaxg，
解得mAmax＝0.9 kg，
当A的质量最小时，B受到的摩擦力沿斜面向上且达到最大，有T2＋μ1mBgcos θ＝mBgsin θ，
T2cos α＝mAming，
解得mAmin＝0.3 kg，
将A、B、C看作整体，当C相对于地面刚要滑动时，设A的质量为m′Amax，地面对C的最大摩擦力为
fC＝μ2N＝μ2(m′Amax＋mC＋mB)g，
要保持整个系统静止，则有TOP≤fC，
对O有TOP＝m′Amaxgtan α，
解得m′Amax＝0.8 kg，
综上可知，保持整个系统始终静止，物块A的质量大小取值范围为0.3 kg≤mA≤0.8 kg.
4
[2026常州期中]在竖直墙壁的左侧水平地面上，放置一个边长为a、质量为M＝2 kg的正方体ABCD，在墙壁和正方体之间放置一半径为R＝1 m、质量为m的光滑球．正方体和球均保持静止，如图所示，球的球心为O，OB与竖直方向的夹角为θ，正方体的边长a>R，正方体与水平地面的动摩擦因数为μ＝0.5.(已知重力加速度g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，结果可保留根号)
(1) 若θ＝60°，m＝0.4 kg，求正方体对球的弹力N1的大小和竖直墙壁对球的弹力N2的大小；
(2) 若θ＝37°，保持球的半径不变，只增大球的质量，为了不让正方体出现滑动，求球质量的最大值；
(3) 改变正方体到墙壁之间的距离，当正方体右侧面BA到墙壁之间距离小于某个值d时，无论球质量为多大(保持球的半径不变)，球和正方体始终处于静止状态，且球未接触地面，求d值．
甲
(2) 对整体受力分析，如图乙所示，根据平衡条件知
N3＝(M＋m)g，N2＝f，
为了不让正方体出现滑动，有f≤μN3，
联立得mg tan θ≤μ(M＋m)g，
解得球质量的最大值m＝4 kg.
乙
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