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湖南省株洲市2025-2026学年高一下学期期末考试自编试卷
数学试题
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．复数（i为虚数单位）的虚部为（ ）
A．1 B． C． D．0
2．已知单位向量满足，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
3．甲乙两人进行三分远投比赛，甲、乙每次投篮命中的概率分别为0.5和0.4，且两人之间互不影响.若两人分别投篮一次，则两人中至少一人命中的概率为（ ）
A．0.6 B．0.7 C．0.8 D．0.9
4．“方斗”常作为盛米的一种容器，其形状是一个上大下小的正四棱台，现有“方斗”容器如图所示，已知，，现往容器里加米，当米的高度是“方斗”高度的一半时，用米，则该“方斗”可盛米的总质量为（ ）
A． B．
C． D．
5．已知球O的半径R为2，一母线长与圆锥底面直径相等的圆锥位于球内，圆锥顶点在球面上，底面与球面相接，则该圆锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
6．函数的最小值为（ ）
A．2 B．0 C． D．6
7．中国传统折扇文化有着极其深厚的底蕴，“数折聚清风，一捻生秋意”是宋朝朱翌描写折扇的诗句．如图，假设这把折扇是从一个大圆中剪下一个扇形OAB，再在该扇形内剪下一个同心小扇形OCD（作为扇骨留白），形成扇环形状的扇面ABCD.当扇子扇形的圆心角为时，扇面看上去形状较为美观．已知，弧CD的长为，则此扇面的面积为（ ）
A． B． C． D．
8．设A，B是一个随机试验中的两个事件且，则（ ）
A． B． C． D．
二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，至少有两项符合题目要求，若全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分）
9．下列命题正确的有（ ）
A．若是第一象限角，则一定是锐角
B．“”是“”的充分不必要条件．
C．若，则
D．若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形面积为
10．如图，四面体中，，，分别为的中点.若异面直线与所成角的大小为，则的长为（ ）

A． B． C． D．
11．在正方体中，为线段上的动点（不包含端点），则（ ）
A．存在点，使得平面平面
B．不存在点，使得平面平面
C．存在点，使得直线与所成角为
D．平面截正方体所得的截面可能是等腰三角形
三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分）
12．________．
13．如图，在正方体中，直线与平面所成的角等于____．
14．如图，为测量某大厦的高度，小明选取了大厦的一个最高点，点在大厦底部的射影为点，两个测量基点与在同一水平面上，他测得米，，在点处测得点的仰角为，在点处测得点的仰角为，则该大厦的高度______米．
解答题（本大题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15．已知与的夹角为.
(1)求在方向上的投影向量;
(2)求的值;
(3)若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围.
16．某高校承办了奥运会的志愿者选拔面试工作，现随机抽取了100名候选者的面试成绩并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图，已知第三、四、五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同.
(1)求、的值；
(2)估计这100名候选者面试成绩的平均数和中位数（精确到0.1）；
(3)在第四、五两组志愿者中，按比例分层抽样抽取5人，然后再从这5人中选出2人，求选出的两人来自同一组的概率.
17．如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧面是正三角形，，平面平面，是的中点.
(1)证明：.
(2)求点到平面的距离.
18．在中，内角A、B、C对应的边分别是a、b、c，且.
(1)求角A的大小；
(2)若，，求a；
(3)若为锐角三角形，，求的取值范围.
19．如图①，在等腰直角中，，，，分别是边，上的动点，将沿折起到如图②的位置，连接，，且平面平面．
(1)当，分别是边，的中点时；
①求证：平面平面
②求二面角的正切值
(2)若点与点重合，如图③，设，求三棱锥体积的最大值；
试卷第2页，共2页
试卷第1页，共1页
湖南省株洲市2025-2026学年高一下学期期末考试自编试卷
数学试题（参考答案）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B C B D C B C A BC CD
题号 11
答案 ACD
12．/
13．
14．204
15．(1)
(2)
(3)
16．(1)
(2)平均数为，中位数为
(3)
17．(1)（1）在正中，为的中点，，
平面平面，平面平面，
且，平面，平面，
又平面，，
又，且，平面，
平面，
平面，
；
(2)
18．(1)
(2)
(3)
19．(1)①①分别是边的中点，，
在等腰直角，则，即
因平面平面，平面平面，平面，
平面，平面，平面平面；
②；
(2).
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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