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2026届广东省广州市越秀区广州高山文化培训学校模拟预测
高三数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知复数满足，则在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．已知集合，，则（ ）
A．或 B．或
C． D．
3．设双曲线的左、右焦点分别为，若的右支上任意一点，恒成立，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．若，且是第四象限角，则等于（ ）
A． B． C． D．
5．已知，则（ ）
A． B． C． D．
6．已知线段是圆的一条动弦，且.若点为直线上的任意一点，则的最小值为（ ）
A．6 B．8 C．14 D．35
7．在平面内，为的中点，动点满足，动点满足，则的最大值为（ ）
A．2 B． C．4 D．
8．已知函数图象的两条相邻对称轴间的距离为，且恒成立，给出下列结论：
①在区间上单调递减；
②在区间上有两个极值点；
③直线与的图象相切；
④在上的图象与函数的图象所有交点的横坐标之和为
其中正确结论的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出选项中，有多项符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．如图，正方体中，O为底面ABCD的中心，M为棱的中点，则下列结论中正确的是（ ）

A．平面 B．平面MAC
C．异面直线与AC所成的角为 D．平面ABCD
10．为抛物线上一点，为的焦点，直线的方程为，则（ ）
A．若，则的最小值为3
B．点到直线的距离的最小值为
C．若存在点，使得过点可作两条相互垂直的直线与圆都相切，则的取值范围为
D．过直线上一点作抛物线的两条切线，切点分别为，，则到直线距离的最大值为
11．已知的面积为，若，，则（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．已知直线与曲线在处的切线垂直，则________．
13．已知数列{}中，，，若对于任意的t∈[1，4]，存在，使得成立，则实数的取值范围是__________.
14．10个名额随机分给10个班级，允许有的班级没分到名额，设表示分到名额的班级个数，若的概率最大，则______．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．记数列的前n项和为，已知，．
(1)求的通项公式；
(2)设，证明：数列的前n项和．
16．在直四棱柱中，底面是平行四边形，且，，，，分别为，的中点．
(1)求直线与平面所成角的正弦值；
(2)求平面与平面的夹角的余弦值；
(3)求三棱锥的体积
17．2025年春节期间，电影《哪吒之魔童闹海》掀起全民观影热潮，连续7天票房逆势攀升，单日最高突破8.6亿元，吸引部分家庭扶老携幼共赴影院，缔造中国影史春节档票房与观影人次双冠王的奇迹．某电影院为了解民众对一部热映电影的喜欢程度，随机采访了140名观影人员，得到下表：
是否成年人 是否喜欢 合计
不喜欢 喜欢
未成年人 20 60 80
成年人 20 60
合计 140
(1)依据小概率值的独立性检验，能否认为喜欢电影《哪吒之魔童闹海》与是否成年有关？
(2)用频率估计概率，现随机采访一名成年人和一名未成年人，设表示这两人中喜欢电影《哪吒之魔童闹海》的人数，求的分布列和数学期望．
参考公式：（其中）．
0.1 0.05 0.01
2.706 3.841 6.635
18．在平面直角坐标系xOy中，已知点，点，点P满足.记点P的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的方程；
(2)曲线C的左、右顶点分别为A、B，设点E是曲线C上一动点，且点E不在x轴上，直线交曲线C于点M（异于点E），直线交曲线C于点N（异于点E）.
（i）若的角平分线交x轴于点T，，求t的取值范围；
（ii）若点E不在y轴上，记直线MN的斜率为k，直线EA的斜率为，直线EB的斜率为，判断是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
19．已知函数，．
(1)求函数的极小值；
(2)讨论函数的单调性；
(3)若存在实数a，使得在恒成立，求实数b的取值范围．
2高三数学试卷参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D D D B B A B C ABC ACD
题号 11
答案 AD
1．D
【详解】由于已知复数满足，则，
所以，对应点为，
故在复平面内对应的点位于第四象限.
2．D
【详解】由题意得，，
故.
3．D
【详解】依题意，由双曲线定义得，而，则，
令双曲线的半焦距为，则，于是，解得，
所以双曲线的离心率的取值范围是.
4．B
【详解】根据三角恒等式，可得：
根据题目可知，是第四象限角，第四象限角的正弦值为负数，因此可得
根据两角和的正弦公式，令，，可得
代入特殊角，可得.
5．B
【详解】令且，则，
所以在上单调递减，则，
即，
由于，
且，
则.
6．A
【详解】设弦中点为，根据圆的性质，，
，
所以点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆，
其方程为.
因为，
所以，
的最小值为圆心到直线的距离减去圆的半径2.
，
.
故选：A.
7．B
【详解】由，得，即，
所以．
因为，，所以点A在以BC为弦的优弧上运动（不含端点）．
设所在圆的圆心为，连接，则，，
则，．
以B为原点，BC所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，可得，
则圆的方程为，
设，则，结合，
可得，
因为A点在圆上运动，则，
故当时，取得最大值为.
8．C
【详解】由函数图象的两条相邻对称轴间的距离为，得，得，
由恒成立，得当时，函数取得最值，
则，则，又，
所以，所以函数，
若，则，
因为在上不单调，所以在区间上不单调，①错误；
令，
故若，则在区间上有两个极值点为，②正确；
，设直线与的图象相切于点，
则或，
所以或，
当时，即切点为，
将切点代入直线得，则，
所以直线与的图象相切，切点为；
当时，即切点为，
将切点代入直线得，则整数无解，不成立；
综上直线与的图象相切于点，③正确.
函数的图象关于点对称，
对于函数，由，得，
则函数的图象关于点对称，
由，得，
在上，两函数图象有6个交点，两两关于点对称，设这6个交点的横坐标分别为，则，④正确．
9．ABC
【详解】设正方体的边长为，
A选项，连接，交于，连接，
连接，则，
根据正方体的性质可知，
所以四边形是平行四边形，所以，
由于平面，平面，
所以平面，所以A选项正确；
B选项，连接，
则，所以，即,
，，即，
由于平面，所以平面，
所以B选项正确；
C选项，由于，所以是异面直线与AC所成的角（或其补角），
由于三角形是等边三角形，所以异面直线与AC所成的角为，C选项正确；
D选项，在三角形中，，，
所以与平面不垂直，所以D选项错误.

故选：ABC
10．ACD
【详解】

由可得：，焦点，准线方程为，
过点作准线的垂线，垂足为，
则，故A正确；
设抛物线上的动点，则由点到直线的距离公式可得：
，故B错误；
设存在点P，使得过点P可作两条垂直的直线与圆相切，圆心,
则，即，
从而把问题转化为抛物线上存在点P到点的距离为，设，
则，
即，故C正确；

设，切点，，的斜率为，
由题意知切线斜率存在，设为，
联立得，
，即，
，
原方程为，
，
所以切线方程为：，即，
同理切线方程为：，
由于切线与切线相交于点，
所以有：与成立，
由于切点满足直线方程，
即直线方程为：，因为，
则，即，
所以直线恒过定点，
故到直线距离的最大值为，故D正确．
故选：ACD．
11．AD
【详解】对于A，由二倍角公式，
，
则，故A正确；
对于C，由A分析可得，下证.
因，则.
则，.
从而，由正弦定理边角互化可得.
若，则.
注意到，，则，
又三角形中至多1个钝角，则，均为锐角.
又，正弦函数在上单调递增，
则，.
从而，这与矛盾.
故.从而，,,，
.
则，易得，不妨设，则.
从而，故C错误.
对于BD，因，则，
从而，则，
则，.
从而，故B错误，D正确.
故选：AD
12．
【详解】因为，所以，所以，
即曲线在处切线的斜率为13．
因为直线与切线垂直，所以，解得．
13．
【详解】解：因为，，所以，所以当时又满足，所以，所以单调递增，所以，因为存在，使得成立，所以，即，令，则对任意的恒成立，所以，解得，即实数的取值范围为；
故答案为：
14．5
【详解】将10个名额和9个隔板排成一排，需要19个位置，选9个位置放置隔板，
所以将10个名额随机分给10个班级得不同分配法共有种不同的分法，
当时，有种分法；
当时，第一步选出两个班级有种，第二步分配名额，
相当于将一个隔板放在10个名额形成的9个空位中，有种，
所以共有种；
当时，第一步选出3个班级有种，第二步分配名额，
用隔板法分给3个班级有种，所以共有种；
照此求解得：时有，时有，时有，时有，
时有，时有，时有，
因为，分子越大对应概率越大，
所以当，即时概率最大．
故答案为：5
15．(1)，(2)证明见解析
【详解】（1）当时，，因为，所以，
当时，，，
两式相减得，，所以，
又因为，所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，
故数列的通项公式为．
（2）因为，所以，
所以
又因为，所以．
16．(1)，(2)，(3)1
【详解】（1）由，直四棱柱，有平面，
故以点为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
易知，
由分别为的中点，故．
易知，
设平面的法向量为，
则，
令，则，
设直线与平面所成角为，
则直线与平面所成角的正弦值为．
（2）设平面的法向量为，
则，
令，则，
设平面与平面的夹角为，
则平面与平面的夹角的余弦值为．
（3）设点到平面的距离为．
由，有，故．
17．(1)不能，理由见解析，(2)
【详解】（1）由表格数据可知，.
所以，
当时，.
由于，所以没有足够的证据拒绝原假设，即不能认为喜欢电影《哪吒之魔童闹海》与是否成年有关.
（2）由题意可知，未成年人喜欢电影的概率是，不喜欢的概率是；
成年人喜欢电影的概率是，不喜欢的概率是.
由题意，的可能取值为，则
；；.
所以的分布列为
0 1 2
数学期望为.
18．(1)，(2)（i）（ii）是定值，
【详解】（1）因为，
所以点P的轨迹曲线C是以，为焦点的椭圆，
设曲线C的方程为，
所以，，，
所以，，，
所以曲线C的方程为.
（2）（i）设，则，
则；
，
所以在中，由角平分线定理得，
由，所以，所以t的取值范围为.
（ii），，由，得，，其中，，
则.
①当时，，，
直线的方程为，求得点N坐标为，
则，所以；
②当时，同理可得：；
③当时，设，，
直线的方程为，直线的方程为，
联立，得，
所以，，
所以，
则；
所以，点M的坐标为，
联立，得，
所以，，
所以，
则；
所以，点N的坐标为，
，
所以，
综上所述，.
19．(1)极小值为，(2)答案见解析，(3)
【详解】（1）因为的定义域为，且，
当时，；当时，；
可知在上单调递增，在单调递减，
所以的极小值为．
（2）因为的定义域为，且，
令，解得或，
当，即时，则，
可知在上单调递减；
当，即时，令，解得；令，解得或；
可知在上单调递增，在，上单调递减；
当，即时，令，解得；令，解得或；
可知在上单调递增，在，上单调递减；
综上所述：当时，在上单调递减；
当时，在上单调递增，在，上单调递减；
当时，在上单调递增，在，上单调递减.
（3）因为，即，可得，
令，，
①当时，若，则，不合题意；
若，方程满足，
且，可知方程有一正一负两个实根，
取其正根为，则，不合题意；
综上所述：当时，不存在实数a，使得恒成立；
②当时，不妨取，则，
记，则，
令，则，
当时，；当时，；
可知在内单调递减，在内单调递增，
则，即，
可知在单调递减，则，
即对，都存在，使得在恒成立，
综上所述：实数b的取值范围为．
2高三数学试卷多维细目表
题号 题型 分值 考查内容 模块分布 难度等级
1 单选题 5 复数运算 复数 较易
2 单选题 5 集合运算 集合 较易
3 单选题 5 双曲线离心率的取值范围 平面解析几何 较易
4 单选题 5 两角和的正弦公式 三角函数 较易
5 单选题 5 对数函数及其性质 函数与导数 适中
6 单选题 5 直线与圆 平面解析几何 适中
7 单选题 5 平面向量的数量积 平面向量 较难
8 单选题 5 三角函数的性质 三角函数 困难
9 多选题 6 点、直线、平面之间的位置关系 立体几何 较易
10 多选题 6 直线与抛物线 平面解析几何 适中
11 多选题 6 解三角形 解三角形 困难
12 填空题 5 导数的概念和几何意义 函数与导数 较易
13 填空题 5 数列的概念与简单表示法 数列 适中
14 填空题 5 概率最值 概率 困难
15 解答题 13 数列通项与求和 数列 适中
16 解答题 15 几何体的角和体积 立体几何 适中
17 解答题 15 随机变量及其分布 概率统计 适中
18 解答题 17 直线与椭圆 平面解析几何 较难
19 解答题 17 导数的综合应用 函数与导数 困难
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