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第二十四章 数据的分析
24.1.1 平均数（第3课时）
1．理解用样本平均数估计总体平均数的统计思想．
2．会通过样本数据计算平均数，并推断总体的平均水平．
1．什么是加权平均数？
一般地，若n个数x1，x2，…，xn的权分别为w1，w2，…，wn，则叫作这n个数的加权平均数．
第 1 步，算：计算每个小组的组中值．
第 2 步，求：求出每一组的频数．
第 3 步，答：利用加权平均数公式得到答案．
2．说一说借助频数分布表（直方图）求平均数的步骤？
当所考察的对象很多，或者对考察对象带有破坏性时，我们该如何求取平均数？
在统计中我们常常通过用样本估计总体的方法来获得对总体的认识．
因此，对于通过简单随机抽样获取的数据，可以用样本的平均数估计总体的平均数．
例1：从校医务室的体检数据中，随机抽查了20名八年级学生，他们的身高（单位：cm）如下：
162 152 166 185 167 175 169 163 168 184
177 162 157 154 171 169 171 169 175 164
估计这所学校八年级学生的平均身高．
分析：随机抽出的20名八年级学生组成一个样本．可以利用样本的平均身高估计这所学校八年级学生的平均身高．
例1：从校医务室的体检数据中，随机抽查了20名八年级学生，他们的身高（单位：cm）如下：
162 152 166 185 167 175 169 163 168 184
177 162 157 154 171 169 171 169 175 164
估计这所学校八年级学生的平均身高．
解：20名学生的身高的平均数为
＝＝168．
可以估计这所学校八年级学生的平均身高大约为168cm．
思考：这所学校八年级学生的平均身高是否一定为168cm？你认为怎样可以提高估计的精确性？
这所学校八年级学生的平均身高不一定是168cm．理由：168cm是抽取的20名学生这个样本的平均数，属于估计值，是用样本平均数估计总体平均数，样本存在随机性，因此总体真实平均身高不一定等于该数值．
提高估计精确性的方法：增大样本容量，抽取更多的八年级学生作为样本；同时保证样本具有代表性、随机性，能更好反映总体情况，以此提高估计的精准程度．
例2：为测量一批节能灯的使用寿命，从中随机抽查了50盏节能灯，它们的使用寿命如表所示．
使用寿命x/h 灯泡数/盏
7000≤x＜8000 4
8000≤x＜9000 9
9000≤x＜10000 12
10000≤x＜11000 18
11000≤x＜12000 7
这批节能灯的平均使用寿命是多少？
分析：随机抽查的50盏节能灯组成一个样本．可以先通过组中值计算出样本的平均使用寿命，再利用样本的平均使用寿命估计这批节能灯的平均使用寿命．
例2：为测量一批节能灯的使用寿命，从中随机抽查了50盏节能灯，它们的使用寿命如表所示．这批节能灯的平均使用寿命是多少？
使用寿命x/h 灯泡数/盏
7000≤x＜8000 4
8000≤x＜9000 9
9000≤x＜10000 12
10000≤x＜11000 18
11000≤x＜12000 7
解：根据表，可以得出各组的组中值，于是样本使用寿命的平均数为
＝＝9800．
可以估计这批节能灯的平均使用寿命大约是9800h．
用全面调查的方法考察这批节能灯的平均使用寿命合适吗？
例2：为测量一批节能灯的使用寿命，从中随机抽查了50盏节能灯，它们的使用寿命如表所示．这批节能灯的平均使用寿命是多少？
使用寿命x/h 灯泡数/盏
7000≤x＜8000 4
8000≤x＜9000 9
9000≤x＜10000 12
10000≤x＜11000 18
11000≤x＜12000 7
因为要考察这批灯泡的平均使用寿命，考察本身带有破坏性，所以不能用全面调查的方法，只能通过抽样，利用部分灯泡的平均使用寿命估计这批灯泡的平均使用寿命，即用样本的平均数估计总体的平均数．
用样本平均数估计总体平均数的一般步骤：
（1）确定样本容量（样本中个体的总数）；
（2）计算样本的数据总和；
（3）计算样本平均数（样本的数据总和÷样本容量）；
（4）估计总体平均数．
在统计中，之所以要用样本的情况估计总体的情况，主要基于以下两点：
（1）在很多情况下总体包含的个体数往往很多，不可能一一加以考察；
（2）有些考察带有破坏性，因而考察的个体不允许太多．
【知识技能类练习】必做题：
【知识技能类练习】必做题：
【知识技能类练习】必做题：
【知识技能类练习】必做题：
【知识技能类练习】选做题：
【综合拓展类练习】
【综合拓展类练习】
样本平均数估计总体平均数
用样本平均数估计总体平均数的一般步骤
需要用样本平均数估计总体平均数的情形
【知识技能类作业】必做题：
【知识技能类作业】必做题：
【知识技能类作业】必做题：
【知识技能类作业】选做题：
【综合拓展类作业】
【综合拓展类作业】中小学教育资源及组卷应用平台
分课时教学设计
第三课时《24.1.1 平均数（第3课时）》教学设计
课型 新授课 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 本节课是加权平均数知识的实际应用与升华，承接前两课时算术平均数、分组数据平均数的计算方法，是初中统计板块核心思想的重要体现．本课通过学生身高、节能灯使用寿命的实例，引出用样本平均数估计总体平均数，让学生体会抽样调查的必要性，理解样本与总体的关系．它将平均数计算从单纯运算上升到统计推断层面，完善了数据集中趋势的学习体系，为后续学习用样本方差估计总体方差、数据分析决策奠定思想基础．同时贴合生活实际，让学生感受统计在调查、预估中的价值，帮助学生建立用样本推断总体的数据分析观念，提升统计应用与理性思考能力．
学习者分析 学生已经熟练掌握算术平均数、分组数据平均数的计算，能利用组中值和频数求解加权平均数，具备扎实的运算基础．但学生容易将样本平均数直接等同于总体平均数，难以理解估计的随机性，对“样本估计总体”的统计思想认识较模糊．同时学生不清楚样本容量对估计准确性的影响，不理解为何不能全面调查，在实际问题中难以判断何时用抽样、何时用普查，缺乏统计推断的思维，需要借助实例引导，区分精确计算与统计估计的不同．
教学目标 1．理解用样本平均数估计总体平均数的统计思想． 2．会通过样本数据计算平均数，并推断总体的平均水平．
教学重点 掌握利用样本平均数估计总体平均数的方法，会计算样本平均数并推断总体平均水平．
教学难点 理解用样本平均数估计总体平均数的统计思想，认识样本估计的随机性与样本容量的影响．
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：学习目标教师活动1： 师出示学习目标： 1．理解用样本平均数估计总体平均数的统计思想． 2．会通过样本数据计算平均数，并推断总体的平均水平．学生活动1： 学生齐声读本课的学习目标活动意图说明： 明确本节课的学习目标，使教师的教和学生的学有效结合在一起，激发学生的学习动力，提高学生课堂参与的兴趣与积极性．环节二：新知导入教师活动2： 问题：1．什么是加权平均数？ 答案：一般地，若n个数x1，x2，…，xn的权分别为w1，w2，…，wn，则叫作这n个数的加权平均数． 2．说一说借助频数分布表（直方图）求平均数的步骤？ 答案：第1步，算：计算每个小组的组中值． 第2步，求：求出每一组的频数． 第3步，答：利用加权平均数公式得到答案． 引问：当所考察的对象很多，或者对考察对象带有破坏性时，我们该如何求取平均数？ 预设：在统计中我们常常通过用样本估计总体的方法来获得对总体的认识． 因此，对于通过简单随机抽样获取的数据，可以用样本的平均数估计总体的平均数．学生活动2： 学生积极回答问题活动意图说明： 通过复习加权平均数、频数分布表求平均数的旧知，巩固分组数据平均数的计算方法．结合实际问题抛出引问，引发学生思考大量或破坏性数据的统计方式，自然引出用样本平均数估计总体平均数的统计思想，搭建新旧知识桥梁，为本课新知探究做好铺垫．环节三：新知讲解教师活动3： 例1：从校医务室的体检数据中，随机抽查了20名八年级学生，他们的身高（单位：cm）如下： 162 152 166 185 167 175 169 163 168 184 177 162 157 154 171 169 171 169 175 164 估计这所学校八年级学生的平均身高． 分析：随机抽出的20名八年级学生组成一个样本．可以利用样本的平均身高估计这所学校八年级学生的平均身高． 解：20名学生的身高的平均数为 ＝＝168． 可以估计这所学校八年级学生的平均身高大约为168cm． 思考：这所学校八年级学生的平均身高是否一定为168cm？你认为怎样可以提高估计的精确性？ 预设：这所学校八年级学生的平均身高不一定是168cm．理由：168cm是抽取的20名学生这个样本的平均数，属于估计值，是用样本平均数估计总体平均数，样本存在随机性，因此总体真实平均身高不一定等于该数值． 提高估计精确性的方法：增大样本容量，抽取更多的八年级学生作为样本；同时保证样本具有代表性、随机性，能更好反映总体情况，以此提高估计的精准程度． 例2：为测量一批节能灯的使用寿命，从中随机抽查了50盏节能灯，它们的使用寿命如表所示． 使用寿命x/h灯泡数/盏7000≤x＜800048000≤x＜900099000≤x＜100001210000≤x＜110001811000≤x＜120007
这批节能灯的平均使用寿命是多少？ 分析：随机抽查的50盏节能灯组成一个样本．可以先通过组中值计算出样本的平均使用寿命，再利用样本的平均使用寿命估计这批节能灯的平均使用寿命． 解：根据表，可以得出各组的组中值，于是样本使用寿命的平均数为 ＝＝9800． 可以估计这批节能灯的平均使用寿命大约是9800h． 追问：用全面调查的方法考察这批节能灯的平均使用寿命合适吗？ 预设：因为要考察这批灯泡的平均使用寿命，考察本身带有破坏性，所以不能用全面调查的方法，只能通过抽样，利用部分灯泡的平均使用寿命估计这批灯泡的平均使用寿命，即用样本的平均数估计总体的平均数． 归纳1：用样本平均数估计总体平均数的一般步骤： （1）确定样本容量（样本中个体的总数）； （2）计算样本的数据总和； （3）计算样本平均数（样本的数据总和÷样本容量）； （4）估计总体平均数． 归纳2：用样本平均数估计总体平均数的一般步骤： （1）确定样本容量（样本中个体的总数）； （2）计算样本的数据总和； （3）计算样本平均数（样本的数据总和÷样本容量）； （4）估计总体平均数．学生活动3： 学生小组合作探究后认真听老师的讲解活动意图说明： 借助身高、节能灯等实例，引导学生掌握样本平均数的计算，理解用样本估计总体的统计思想，区分普查与抽样调查，渗透数据分析观念，提升学生运用统计知识解决实际问题的能力．环节四：课堂小结教师活动4： 问题：本节课你都学习到了哪些知识？ 教师通过学生的回答，进行归纳 学生活动4： 学生积极回顾本节课学习到的知识活动意图说明： 通过学生自己回顾、总结、梳理所学的知识，将所学的知识与以前学过的知识进行紧密联系，完善认知结构和知识体系．
板书设计 课题：24.1.1平均数（第3课时）一、用样本平均数估计总体平均数的一般步骤 二、需要用样本平均数估计总体平均数的情形教师板演区学生展示区
课堂练习 【知识技能类练习】 必做题： 1．小明随机抽查了九年级（2）班9位同学一周写数学作业的时间，分别为6，4，6，5，6，7，6，6，8（单位：h）．则估计本班大多数同学一周写数学作业的时间约为（ ） A．4h B．5h C．6h D．7h 答案：C 2．为了提高农民收入，某村集资兴办了一家养鸡场．现在养鸡场每天都能生产若干鸡蛋，某天出售鸡蛋时，销售员随机抽取了100颗鸡蛋称重，下表是这些鸡蛋质量的统计数据： 质量/g4748495051频数1020303010
根据以上数据，估计该天出售的鸡蛋平均每颗的质量为（ ） A．g B．g C．g D．50g 答案：B 3．某校气象兴趣小组的同学们想预估一下市今年6月份日平均气温状况，他们收集了市近四年6月份每天的日平均气温，从中随机抽取了60天的日平均气温，并绘制成如下统计图： 根据以上信息，回答下列问题： (1)求这60天的日平均气温的平均数； (2)若日平均气温在的范围内（包含和）为“舒适温度”．请预估市今年6月份日平均气温为“舒适温度”的天数． 解：（1）这60天的日平均气温的平均数为 ． （2）∵（天）， ∴估计该区域明年6月份日平均气温为“舒适温度”的天数约为22天． 选做题： 4．某鱼塘放养鱼苗10万条，根据这几年的经验可知，鱼苗死亡率为10%．一段时间后准备打捞出售，需要估计鱼塘中鱼的总质量，于是分三次打捞称重．第一次网出40条，称得平均每条鱼重，第二次网出25条，称得平均每条鱼重，第三次捞出35条，称得平均每条鱼重．由此可推出鱼塘中的鱼的总质量大约是__________万千克（结果保留整数）． 答案：23 【综合拓展类练习】 5．某校将每年4月的第三周定为阅读活动周．为了解学生在阅读活动周的阅读时长（单位：h），该校随机调查了a名学生，根据统计结果绘制了如下统计图． (1)求a和m的值． (2)求这a名学生在该周的平均阅读时长． (3)若该校共有1600名学生，估计在该周阅读时长为的人数． 解：（1）， ，即； （2） 这a名学生在该周的平均阅读时长为； （3）估计该校学生在该周阅读时长为的有人．
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．某市初中毕业生进行了一项技能测试，有4万名学生的成绩都是不小于70的两位数，从中随机抽取4000名学生的成绩，统计如表，请根据表格中的信息，估计这4万名学生成绩的平均数为（ ） 成绩x/分个数80020001200平均数/分788592
A．分 B．分 C．分 D．分 答案：B 2．小明家搬进新居后添置了新的电冰箱、电热水器等家用电器，为了了解用电情况，他在六月份连续几天的同一时刻观察电表的度数，电表显示的度数如下表，估计这个家庭六月份的总用电量为_________度． 日期2日3日4日5日6日度数（度）97102106111117
答案：150 3．某工厂甲、乙两名工人参加操作技能培训，现分别从他们在培训期间参加的若干次测试成绩中随机抽取5次，记录如下： 甲：85 88 84 85 83 乙：83 87 84 86 90 (1)分别计算这两组数据的平均数． (2)现要选派一人参加操作技能比赛，从（1）的结果看，你认为选派哪名工人参加合适？ 解：（1），． （2）因为， 所以选派乙参加合适． 选做题： 4．某校为了解九年级学生“一分钟跳绳”的整体水平，随机抽取了该年级名学生进行测试，并将所得数据整理后，绘制了如图所示的频数分布直方图（每组数据包括左端值，但不包括右端值），若以各组数据的中间值（如：的中间值为70）代表该组数据的平均水平，则可估计该校九年级学生“一分钟跳绳”的平均次数约为_____次（精确到个位） 答案： 【综合拓展类作业】 5．水是生命之源，每一滴水都来之不易，节约用水已成为全民共识．某校举行了水资源保护知识竞赛．为了解九年级800名学生此次竞赛成绩的情况，随机抽取了部分参赛学生的成绩，整理并绘制出如下不完整的统计图表． 成绩频数分布表 组别分数/分频数组内学生的平均成绩/分A65B1075C1485D1895
请根据图表信息，解答下列问题： (1)一共抽取了______人，表中______，所抽取参赛学生成绩的中位数落在“组别”______； (2)求所抽取的这些学生的平均成绩； (3)请你估计该校九年级竞赛成绩达到80分及以上的学生大约有多少人？ 解：（1）本次调查一共随机抽取学生：（人）, 组的人数(人), 本次调查一共随机抽取名学生， 第位两个数都在组，中位数落在组， 故答案为：； （2）抽取的这些学生的平均成绩为(分), 答：所抽取的这些学生的平均成绩是分； （3）该校九年级竞赛成绩达到分及以上的学生人数约为：(人), 答：该校九年级竞赛成绩达到分及以上的学生约有人．
教学反思 本节课依托教材实例开展教学，学生能较好掌握样本平均数的计算，但对“估计”的本质理解不足，容易误认为样本平均数就是总体真实值．部分学生对抽样的必要性理解不透彻，忽视全面调查的局限性．后续教学应增加对比案例，引导学生辨析普查与抽样的适用场景，强调样本容量对估计精准度的影响，深化统计思想，提升数据分析素养．
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同步探究学案
课题 24.1.1 平均数（第3课时） 单元 第二十四章 学科 数学 年级 八年级
学习 目标 1．理解用样本平均数估计总体平均数的统计思想． 2．会通过样本数据计算平均数，并推断总体的平均水平．
重点 掌握利用样本平均数估计总体平均数的方法，会计算样本平均数并推断总体平均水平．
难点 理解用样本平均数估计总体平均数的统计思想，认识样本估计的随机性与样本容量的影响．
探究过程
导入新课 【引入思考】 1．什么是加权平均数？ 2．说一说借助频数分布表（直方图）求平均数的步骤？
新知探究 本节课来研究： 本节我们借助样本的平均数估计总体的平均数。 例1：从校医务室的体检数据中，随机抽查了20名八年级学生，他们的身高（单位：cm）如下： 162 152 166 185 167 175 169 163 168 184 177 162 157 154 171 169 171 169 175 164 估计这所学校八年级学生的平均身高． 分析：随机抽出的20名八年级学生组成一个样本．可以利用样本的平均身高估计这所学校八年级学生的平均身高． 思考：这所学校八年级学生的平均身高是否一定为168cm？你认为怎样可以提高估计的精确性？ 例2：为测量一批节能灯的使用寿命，从中随机抽查了50盏节能灯，它们的使用寿命如表所示． 使用寿命x/h灯泡数/盏7000≤x＜800048000≤x＜900099000≤x＜100001210000≤x＜110001811000≤x＜120007
这批节能灯的平均使用寿命是多少？ 分析：随机抽查的50盏节能灯组成一个样本．可以先通过组中值计算出样本的平均使用寿命，再利用样本的平均使用寿命估计这批节能灯的平均使用寿命． 想一想：用全面调查的方法考察这批节能灯的平均使用寿命合适吗？ 归纳1：用样本平均数估计总体平均数的一般步骤： （1）确定样本容量（样本中个体的总数）； （2）计算样本的数据总和； （3）计算样本平均数（样本的数据总和÷样本容量）； （4）估计总体平均数． 归纳2：用样本平均数估计总体平均数的一般步骤： （1）确定样本容量（样本中个体的总数）； （2）计算样本的数据总和； （3）计算样本平均数（样本的数据总和÷样本容量）； （4）估计总体平均数．
课堂练习 【知识技能类练习】 必做题： 1．小明随机抽查了九年级（2）班9位同学一周写数学作业的时间，分别为6，4，6，5，6，7，6，6，8（单位：h）．则估计本班大多数同学一周写数学作业的时间约为（ ） A．4h B．5h C．6h D．7h 2．为了提高农民收入，某村集资兴办了一家养鸡场．现在养鸡场每天都能生产若干鸡蛋，某天出售鸡蛋时，销售员随机抽取了100颗鸡蛋称重，下表是这些鸡蛋质量的统计数据： 质量/g4748495051频数1020303010
根据以上数据，估计该天出售的鸡蛋平均每颗的质量为（ ） A．g B．g C．g D．50g 3．某校气象兴趣小组的同学们想预估一下市今年6月份日平均气温状况，他们收集了市近四年6月份每天的日平均气温，从中随机抽取了60天的日平均气温，并绘制成如下统计图： 根据以上信息，回答下列问题： (1)求这60天的日平均气温的平均数； (2)若日平均气温在的范围内（包含和）为“舒适温度”．请预估市今年6月份日平均气温为“舒适温度”的天数． 选做题： 4．某鱼塘放养鱼苗10万条，根据这几年的经验可知，鱼苗死亡率为10%．一段时间后准备打捞出售，需要估计鱼塘中鱼的总质量，于是分三次打捞称重．第一次网出40条，称得平均每条鱼重，第二次网出25条，称得平均每条鱼重，第三次捞出35条，称得平均每条鱼重．由此可推出鱼塘中的鱼的总质量大约是__________万千克（结果保留整数）． 【综合拓展类练习】 5．某校将每年4月的第三周定为阅读活动周．为了解学生在阅读活动周的阅读时长（单位：h），该校随机调查了a名学生，根据统计结果绘制了如下统计图． (1)求a和m的值． (2)求这a名学生在该周的平均阅读时长． (3)若该校共有1600名学生，估计在该周阅读时长为的人数．
课堂小结 说一说：今天这节课，你都有哪些收获？
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．某市初中毕业生进行了一项技能测试，有4万名学生的成绩都是不小于70的两位数，从中随机抽取4000名学生的成绩，统计如表，请根据表格中的信息，估计这4万名学生成绩的平均数为（ ） 成绩x/分个数80020001200平均数/分788592
A．分 B．分 C．分 D．分 2．小明家搬进新居后添置了新的电冰箱、电热水器等家用电器，为了了解用电情况，他在六月份连续几天的同一时刻观察电表的度数，电表显示的度数如下表，估计这个家庭六月份的总用电量为_________度． 日期2日3日4日5日6日度数（度）97102106111117
3．某工厂甲、乙两名工人参加操作技能培训，现分别从他们在培训期间参加的若干次测试成绩中随机抽取5次，记录如下： 甲：85 88 84 85 83 乙：83 87 84 86 90 (1)分别计算这两组数据的平均数． (2)现要选派一人参加操作技能比赛，从（1）的结果看，你认为选派哪名工人参加合适？ 选做题： 4．某校为了解九年级学生“一分钟跳绳”的整体水平，随机抽取了该年级名学生进行测试，并将所得数据整理后，绘制了如图所示的频数分布直方图（每组数据包括左端值，但不包括右端值），若以各组数据的中间值（如：的中间值为70）代表该组数据的平均水平，则可估计该校九年级学生“一分钟跳绳”的平均次数约为_____次（精确到个位） 【综合拓展类作业】 5．水是生命之源，每一滴水都来之不易，节约用水已成为全民共识．某校举行了水资源保护知识竞赛．为了解九年级800名学生此次竞赛成绩的情况，随机抽取了部分参赛学生的成绩，整理并绘制出如下不完整的统计图表． 成绩频数分布表 组别分数/分频数组内学生的平均成绩/分A65B1075C1485D1895
请根据图表信息，解答下列问题： (1)一共抽取了______人，表中______，所抽取参赛学生成绩的中位数落在“组别”______； (2)求所抽取的这些学生的平均成绩； (3)请你估计该校九年级竞赛成绩达到80分及以上的学生大约有多少人？
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