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2025-2026学年第二学期初二数学第十二周滚动练习
一．选择题（共8小题）
1．如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC和DF被l1，l2，l3所截，AB＝3，BC＝4，EF＝8，则DF长为（　　）
A．9 B．3 C．5 D．14
2．我们将宽与长之比为的矩形称为黄金矩形．如图，矩形ABCD为黄金矩形（AB＞AD），在其内部作正方形AEFD，若矩形ABCD的边AB＝4，那么CF的长为（　　）
A． B． C． D．
第1题第2题第3题
3．如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，△ABC为格点三角形，AB，AC 与格线分别交于点D，E，图中阴影部分的面积为（　　）
A． B． C． D．1
4．下列图形中，一定是相似图形的是（　　）
A．两个矩形； B．两个菱形； C．两个三角形； D．两个正方形
5．如图，将矩形ABCD划分成四个全等矩形．若要使每一个矩形与原矩形相似，则的值为（　　）
A． B． C． D．
第5题第6题
6．经过三边都不相等的三角形的一个顶点的线段把三角形分成两个小三角形．如果其中一个是等腰三角形，另外一个三角形和原三角形相似，那么把这条线段定义为原三角形的“和谐分割线”，如图，线段CD是△ABC的“和谐分割线”，△ACD为等腰三角形，△CBD和△ABC相似，∠A＝46°，则∠ACB的度数为（　　）
A．113° B．92° C．113°或92° D．92°或134°
7．如图，在四边形ABCD中，E为边BC的中点，连接AE，DE，若∠B＝∠C＝∠AED．则下列结论中不正确的是（　　）
A．∠AEB＝∠CDE B．AB+CD＝BC C．△ABE∽△AED D．DE2＝AD DC
第7题第8题
8．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E，F分别在边AB，BC上，AE＝2，BD，BF交于点G．若EG＝FG，则BG的长为（　　）
A． B． C． D．
二．填空题（共8小题）
9．如图， ABCD中，∠B＝80°，BC＝2AB，点E是BC中点，过点A作AF⊥CD，垂足为F，连接AE、EF，则∠EFC＝　 　 °．
第9题第10题
10．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，M为BC中点，连接AM，过D作DE⊥AM于E，则DE的长度为 　 　 ．
11．如图，△ABC中，点D在线段AB上，DE∥BC交AC于点E，S△ADE＝S四边形DBCE，则　 　 ．
第11题第12题第13题
12．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝12，AC＝9，点D，E分别在AB和BC边上．若∠AED＝45°，CE＝3，则AD的长为　 　 ．
13．如图，将等边△ABC绕点B逆时针旋转60°得到△DBA，点E、F分别在BC和CA上，且BE＝CF，BF、AE相交于点G，DG交AB于点H．则下列结论中：①∠AGF＝60°；②DG平分∠AGB；
③DB2＝DH DG；④若CE＝2BE，则．其中正确的有　 　 ．（填写序号）
14．如图，四边形ABCD是正方形，E是DC上一点，DE：EC＝2：1，AE⊥EF，则EF：AE＝　 　 ．
15．如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，AD：BD＝3：4，CF＝4，则DE的长度为 　 　 ．
第14题第15题第16题
16．如图，在△ABC中，AC＝6，BC＝4，∠C＝60°，D是线段BC上一点（不与端点B，C重合），连接AD，以AD为边，在AD的右侧作等边三角形ADE，线段DE与线段AC交于点F，则线段CF长度的最大值为　 　 ．
三．解答题（共11小题）
17．用适当的方法解下列方程．
（1）（x+2）2﹣25＝0； （2）x2+4x﹣5＝0； （3）2x2﹣3x+1＝0．
18．某中学为了解七年级学生对三大球类运动的喜爱情况，从七年级学生中随机抽取部分学生进行调查问卷，通过分析整理绘制了如图两幅统计图．请根据两幅统计图中的信息回答下列问题：
（1）求参与调查的学生中，喜爱排球运动的学生人数，并补全条形图；
（2）若该中学七年级共有400名学生，请你估计该中学七年级学生中喜爱篮球运动的学生有多少名？
（3）若从喜爱足球运动的2名男生和2名女生中随机抽取2名学生，确定为该校足球运动员的重点培养对象，请用列表法或画树状图的方法求抽取的两名学生为一名男生和一名女生的概率．
19．某公司今年1月份的纯利润是20万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，3月份的纯利润是22.05万元．假设该公司2、3、4月每个月增长的利润率相同．
（1）求每个月增长的利润率；
（2）请你预测4月份该公司的纯利润是多少？
20．某淘宝网店销售台灯，成本为每个30元．销售大数据分析表明：当每个台灯售价为40元时，平均每月售出600个；若售价每下降1元，其月销售量就增加200个．
（1）若售价下降1元，每月能售出 　 　 个台灯，若售价下降x元（x＞0），每月能售出 　 　 个台灯．
（2）为迎接“双十一”，该网店决定降价促销，在库存为1210个台灯的情况下，若预计月获利恰好为8400元，求每个台灯的售价．
（3）月获利能否达到9600元，说明理由．
21．如图， ABCD，对角线AC与BD相交点O，∠CAB＝∠ACB，过点B作BE⊥AB交AC于点E．
（1）求证：△ABO∽△BEO；
（2）若AB＝10，AC＝16，求OE的长．
22．如图，在 ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点E，F分别是AB，AD的中点，连接EF交AC于点G，延长FE与CB的延长线交于点H，且AE＝AF．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若∠H＝30°，BH＝4，求CG的长．
23．如图，在Rt△ABC和Rt△ACD中，∠B＝∠ACD＝90°，AC平分∠BAD．
（1）证明：△ABC∽△ACD；
（2）若AB＝4，AC＝5，求BC和CD的长．
24．如图，在△ABC和△ADE中，DE的延长线经过点C，且，∠1＝∠2．
（1）求证：△ABC∽△ADE；
（2）若AD＝4，AB＝6，AC＝5，求AE的长．
25．已知：如图，在△ABC中，点D、E分别在边BC、AB上，AD与CE相交于点F，CD＝CF，AC2＝AE AB．
（1）求证：△ABD∽△ACF；
（2）如果∠CFD＝2∠ACF，求证：AB EF＝AD AE．
26．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝2AB．点D为线段AC上一动点（不与点A，C重合），把线段BD绕点B顺时针旋转90°后并延长为原来的2倍得到线段BF，连接CF，DF．
（1）求证：△ABD∽△CBF；
（2）求证：CF⊥AC；
（3）已知AB＝4，设AD＝x，在点D的运动过程中，△CDF的面积S是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．
27．已知在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4．点Q是线段AC上的一个动点，过点Q作AC的垂线交线段AB（如图1）或线段AB的延长线（如图2）于点P．
（1）当点P在线段AB上时，求证：△AQP∽△ABC；
（2）当△PQB为等腰三角形时，求AP的长．
∴，△ABE∽△AED，故C正确，不符合题意．
∴DE2＝AD DC，故D正确，不符合题意．故选：B．
【点评】本题考查相似三角形的判定，三角形外角的性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
8．【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，∴∠ABC＝∠C＝90°，CD＝AB＝6，
∵AE＝2，∴BE＝4，在Rt△BCD中，，
∵EG＝FG，∴G是EF的中点，∴BG＝EG＝FG，∴∠BFE＝∠CBD，∴Rt△FBE∽Rt△BCD，
∴EF：BD＝BE：CD，即EF：10＝4：6，解得，∴，故选：C．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质和直角三角形斜边上的中线性质，勾股定理，掌握以上知识点是解题的关键．
二．填空题（共8小题）
9．【解答】解：延长AE、DC相交于点H，∵BC＝2AB，点E是BC中点，∴BE＝EC＝AB，
∴∠BAE＝∠AEB，∵∠B＝80°，∴∠BAE＝∠AEB＝50°，∵DH∥AB，∴∠H＝∠BAE＝50°，
在△BAE和△CHE中，，∴△BAE≌△CHE（AAS），∴AE＝EH，
∵AF⊥CD，∴∠AFH＝90°，∵AE＝EH，∴EF＝EH，∴∠EFC＝∠H＝50°，故答案为：50．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，掌握平行四边形的性质，直角三角形的性质是解题的关键．
第9题第12题
10．【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，AB＝4，BC＝6，∴AD＝BC＝6，∠B＝∠BAD＝90°，
∵点M为BC的中点，∴BM＝1/2BC＝3，在Rt△ABM中，由勾股定理得：AM＝√AB2+BM2＝5，
∵∠B＝∠BAD＝90°，DE⊥AM，∴∠DEA＝∠B＝90°，∠ADE+∠EAD＝90°，∠EAD+∠BAM＝90°，∴∠ADE＝∠BAM，∴△DAE∽AMB，∴DE：AB＝AD：AM，
即DE：4＝6：5，∴DE．故答案为：．
【点评】此题主要考查了矩形的性质，勾股定理，相似三角形的性质，理解矩形的性质，熟练掌握勾股定理，相似三角形的性质是解决问题的关键．
11．【解答】解：∵点D在线段AB上，DE∥BC交AC于点E，∴△ADE∽△ABC，
∴，∵S△ADE＝S四边形DBCES△ABC，∴，∴，
∴或（不符合题意，舍去），故答案为：．
【点评】此题重点考查相似三角形的判定与性质，证明△ADE∽△ABC是解题的关键．
12．【解答】解：过B作BH⊥AE于H，交DE于F，并延长交AC于点G，再连接EG、AF．
∵AB＝12，AC＝9，∠BAC＝90°，∴BC15．又∵CE＝3，
∴BE＝BC﹣CE＝15﹣3＝12＝BA．∴BH垂直平分AE．∴AG＝EG，AF＝EF．
又∵∠AED＝45°，∴∠FAE＝45°，则∠AFE＝90°．设AG＝EG＝x，则CG＝9﹣x，
又根据对称性可得，∠BEG＝90°，∴∠CEG＝90°，∴EG2+CE2＝CG2．∴x2+32＝（9﹣x）2．
∴x＝4．∴AG＝4．又∵∠BAG＝90°，∴BG4．∵AH⊥BG，
∴AH．∴FH＝AH，GH，AE＝2AH．
∴FG＝FH+GH．∵∠BAG＝90°，∴∠DAE+∠GAH＝90°．又∵∠AGF+∠GAH＝90°，
∴∠DAE＝∠AGF，又∵∠AED＝∠GFA＝45°，∴△AED∽△GFA．
∴．∴．∴AD＝6．故答案为：6．
【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理，解题时要熟练掌握并能灵活运用相似三角形的判定与性质是关键．
13．【解答】解：∵△ABC是等边三角形，点E、F分别在BC、CA上，
∴AB＝BC＝AC，∠ABE＝∠C＝60°，
在△ABE和△BCF中，，∴△ABE≌△BCF（SAS），
∴∠BAE＝∠CBF，∴∠AGF＝∠BAE+∠ABF＝∠CBF+∠ABF＝∠ABC＝60°，故①正确；
延长AG到点Q，使QG＝BG，连接BQ，∵∠BGQ＝∠AGF＝60°，∴△GBQ是等边三角形，
∴BG＝BQ，∠GBQ＝∠Q＝60°，∵将等边△ABC绕点B逆时针旋转60°得到△DBA，
∴△DBA是等边三角形，∴DB＝AB，∠ABD＝60°，∴∠DBG＝∠ABQ＝60°+∠ABG，
在△DBG和△ABQ中，，∴△DBG≌△ABQ（SAS），∴∠BGD＝∠Q＝60°，
∵∠AGB＝180°﹣∠AGF＝120°，∴∠AGD＝∠AGB﹣∠BGD＝60°，
∴∠AGD＝∠BGD，∴DG平分∠AGB，故②正确；
∵∠HBD＝∠BGD＝60°，∠BDH＝∠GDB，∴△BDH∽△GDB，
∴，∴DB2＝DH DG，故③正确；
∵CE＝2BE，∴BECE，BC＝BE+CE＝BE+2BE＝3BE，∴BEBC，∴CFAC，
∴AF＝AC﹣CF＝ACACAC，作FM∥CE交AE于点M，则△AFM∽△ACE，
∴，∴FMCE，∵BE∥FM，∴△BEG∽△FMG，∴，
∴BGGFGF，故④错误，故答案为：①②③．
【点评】此题重点考查等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、旋转的性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和、相似三角形的判定与性质等知识，正确地添加辅助线是解题的关键．
14．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴CD＝AD，∠C＝∠D＝90°，
∵AE⊥EF，∴∠AEF＝90°，∴∠EFC+∠CEF＝90°，∠AED+∠CEF＝90°，
∴∠EFC＝∠AED，∴△EFC∽△AED，∵DE：EC＝2：1，∴ECCDCDAD，
∴，∴EF：AE＝1：3，故答案为：1：3．
【点评】此题重点考查正方形的性质、相似三角形的判定与性质等知识，证明△EFC∽△AED是解题的关键．
15．【解答】解：设DE＝x，∵DE∥BC，EF∥AB，∴四边形DEFB为平行四边形，∴DE＝BF＝x，
∵CF＝4，∴BC＝CF+BF＝x+4，∵AD：BD＝3：4，∴AD：AB＝3：7，
∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴AD：AB＝DE：BC，即：3：7＝x：（x+4），
解得：x＝3，∴DE＝3．故答案为：3．
【点评】此题主要考查了相似三角形的判定及性质，平行四边形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定及性质，平行四边形的判定和性质是解答此题的关键．
答：每个月增长的利润率为5%．
（2）22.05×（1+5%）＝23.1525（万元）．答：4月份该公司的纯利润为23.1525万元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
20．【解答】解：（1）若售价下降1元，每月能售出：600+200＝800（个），
若售价下降x元（x＞0），每月能售出（600+200x）个．故答案为800，（600+200x）
（2）（40﹣30﹣x）（600+200x）＝8400，整理，得：x2﹣7x+12＝0
解得x1＝3，x2＝4，因为库存1210个，降价3元或4元获利恰好为8400元，
但是实际销量要够卖，需小于等于1210个，
当x＝4时，1400＞1210（舍去）当x＝3时，1200＜1210，可取，所以售价为37元
答：每个台灯的售价为37元．
（3）月获利不能达到9600元，理由如下：
（40﹣30﹣x）（600+200x）＝9600，整理，得：x2﹣7x+18＝0
∵Δ＝49﹣72＝﹣23＜0，方程无实数根．答：月获利不能达到9600元．
【点评】本题考查了用一元一次方程和一元二次方程解决销售问题应用题，解决本题的关键是掌握成本、售价、单个利润、销售量、总利润等之间的关系．
21．【解答】（1）证明：∵∠CAB＝∠ACB，∴AB＝CB，∴ ABCD是菱形，∴AC⊥BD，
∴∠AOB＝∠BOE＝90°，∵BE⊥AB，∴∠EBA＝90°，
∴∠BEO+∠BAO＝∠ABO+∠BAO＝90°，∴∠BEO＝∠ABO，∴△ABO∽△BEO；
（2）解：∵ ABCD是菱形，∴，AC⊥BD，
∴∠AOB＝∠BOE＝90°，∴，
∵△BOE∽△AOB，∴，即，解得：，即OE的长为．
【点评】本题考查了平行四边形的性质、菱形的判定与性质、等腰三角形的判定、勾股定理以及相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的性质和菱形的判定与性质是解题的关键．
22．【解答】（1）证明：∵E，F分别是AB，AD的中点，∴EF为△ABD的中位线，
∴EF∥BD，∴△AEF∽△ABD，∴，∵AE＝AF，∴AB＝AD，
∵四边形ABCD为平行四边形，∴四边形ABCD是菱形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∵HF∥BD，∴AC⊥HF，∴∠CGH＝90°，
∵HF∥BD，DF∥BH，∴四边形BDFH为平行四边形，∴DF＝BH＝4，∴AD＝2DF＝8，
∴BC＝AD＝8，在Rt△CGH中，∵∠H＝30°，CH＝BH+BC＝12，∴CGCH＝6．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用；灵活运用相似三角形的性质计算相应线段的长或表示线段之间的关系是解决问题的关键．也考查了平行四边形的性质、三角形中位线定理和菱形的判定与性质．
23．【解答】（1）证明：∵AC平分∠BAD，∴∠BAC＝∠CAD，
又∵∠B＝∠ACD＝90°，∴△ABC∽△ACD；
（2）解：∵∠B＝90°，AB＝4，AC＝5，∴BC3，
由（1）得：△ABC∽△ACD，∴，即，解得：CD．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质以及勾股定理等知识；熟练掌握勾股定理，证明三角形相似是解题的关键．
24．【解答】（1）证明：∵∠1＝∠2，∴∠1+∠ACD＝∠2+∠ACD，
∵∠ACB＝∠1+∠ACD，∠AED＝∠2+∠ACD，∴∠ACB＝∠AED，
∵，∴△ABC∽△ADE．
（2）解：∵△ABC∽△ADE，∴，∵AD＝4，AB＝6，AC＝5，
∴AE，∴AE的长是．
【点评】此题重点考查相似三角形的判定与性质，推导出∠ACB＝∠AED，进而证明△ABC∽△ADE是解题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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