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4.3公式法
第四章 因式分解
北师大版(2024)
素养目标
2.能够综合运用提公因式法和公式法对多项式进行因式分解.
1.能够正确识别适合运用公式法因式分解的多项式，会运用公式法进行因式分解 ；
知识回顾
我们已经学过了哪一种分解因式的方法？
提公因式法
(1)8m2n+2mn = _____________；
(2)12xyz-9x2y2 = _____________；
(3)p(a2 + b2 ) - q(a2 + b2 ) = _____________；
(4) -x3y3-x2y2-xy = _______________；
2mn(4m+1)
3xy(4z-3xy)
(a2+b2)(p-q)
-xy(x2y2+xy+1)
把下列各式分解因式:
探究新知
填空：
(1) (x+5)(x-5) =________；
(2) (3x+y)(3x-y) =_________；
x2-25
9x2 -y2
填空：
(1) x2 -25 = ；
(2) 9x2 - y2 = ；
(x+5)(x-5)
(3x+y)(3x-y)
左边：两数的平方差的形式
右边：两数之和与两数之差的积.
左边：两数之和与两数之差的积
右边：两数的平方差的形式
平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2
平方差公式的逆用：a2-b2= (a+b)(a-b)
归纳总结
a2 - b2 = (a + b)(a - b)
(a + b)(a - b) = a2 - b2
整式的乘法
因式分解
平方差公式
整式乘积的形式
两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积.
【注意】符合平方差的形式的多项式才能用平方差公式进行因式分解，即能写成： ( )2 ( )2的形式.
例题练习
把下列各式因式分解：
(1) 25－16x2； (2) 9a2 － b2.
1 原式＝5 － 4x
＝ 5＋4x 5－4x
解：
a － b ＝ (a＋b)(a － b)
a － b ＝ (a ＋ b) (a － b )
2 原式＝(3a) － b
＝ 3a＋ b 3a－ b
例题练习
把下列各式因式分解：
(1) 2x3 －8x； (2) 9(m＋n)2－(m－n)2.
当多项式有公因式时，要先提取公因式，再看能否利用平方差公式进行因式分解.
解: 1 原式＝2x3 － 8x
＝2x x －4
＝2x x －2
＝2x x－ 2 x＋2
例题练习
把下列各式因式分解：
(1) 2x3 －8x； (2) 9(m＋n)2－(m－n)2.
解： 2 原式＝[3(m＋n)] － m－n
＝[3 m＋n ＋ m－n ][3 m＋n － m－n ]
＝ 3m＋3n＋m－n 3m＋3n－m＋n
＝(4m＋2n)(2m＋4n)
=4(2m＋n)(m＋2n)
注意：公式a2 b2 (a + b)(a b)中的a，b可以表示数、单项式、多项式.
归纳总结
【注意】（1）若用平方差公式分解后的结果中有公因式，一定要再用提公因式法继续分解.
（2）分解因式前应先分析多项式的特点，一般先提公因式，再套用公式．注意分解因式必须进行到每一个多项式都不能再分解因式为止．
探究新知
如图，在一张边长为 a cm 的正方形纸片的四角，各剪去一个边长为 b cm 的正方形，求剩余部分的面积. 当 a＝3.6，b＝0.8 时，剩余部分的面积是多少？
解：根据题意，得剩余部分的面积为 (a2－4b2) cm2.
当 a＝3.6，b＝0.8 时，
a2－4b2＝(a＋2b)(a－2b)
＝(3.6＋2×0.8)×(3.6－2×0.8)
＝5.2×2＝10.4.
即此时面积为 10.4 cm2.
探究新知
整式的乘法
因式分解
完全平方公式
(a+b)2 = a2+2ab+b2
(a-b)2 = a2-2ab+b2
整式的乘法
因式分解
归纳总结
a2±2ab＋b2＝(a±b)2
(a±b)2＝a2±2ab＋b2
整式乘法
因式分解
两个数的平方和加上 (或减去) 这两个数的积的 2 倍，等于这两个数的和 (或差) 的平方.
2
ab
+b2
±
= (a ± b)
a2
首2
+尾2
±2×首×尾
(首±尾)2
例题练习
把下列完全平方式因式分解：
(1) x2＋14x＋49； (2) (m＋n)2 －6 (m＋n)＋9.
解：(1) x2＋14x＋49
＝ x2＋2×7x＋72
＝ (x＋7) 2 ；
(2) (m＋n)2-6(m＋n)＋9
＝(m＋n)2-2·(m＋n)·3＋32
＝(m＋n-3)2.
例题练习
把下列各式因式分解：
(1) 3ax2＋6axy＋3ay2； (2) －x2－4y2＋4xy.
解：(1) 3ax2＋6axy＋3ay2
＝ 3a(x2＋2xy＋y2)
＝3a(x＋y)2；
(2) -x2-4y2＋4xy
＝ -(x2＋4y2-4xy)
＝-(x2-4xy＋4y2)
＝-[x2-2·x·2y＋(2y)2]＝-(x-2y)2.
归纳总结
公式法
根据因式分解与整式乘法的关系，我们可以利用乘法公式把某些多项式因式分解，这种因式分解的方法叫作公式法.
整式的乘法
因式分解
归纳总结
因式分解的一般步骤：
一提——看有无公因式，若有，则提取公因式；
二套——考虑是否可用公式法因式分解，两项考虑平方差公式，三项考虑完全平方公式；
三检查——检查是否分解彻底，若没有，则继续因式分解.
若不能直接套用公式，则可经适当变形后整理成能用公式法的形式，再进行因式分解
D
D
D
D
B
C
小结
公式
步骤
一提：公因式；
二套：公式；
三查：多项式的因式分解有没有分解到不能再分解为止.
公式法
a2 2ab b2 (a b)2
a2-b2 = (a+b)(a-b)
谢谢同学们的聆听

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