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（基础篇）2025-2026学年下学期中学数学沪科版八年级新教材期末练习卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列为勾股数的是（　　）
A．，， B．5，12，13
C．，， D．0.9，1.2，1.5
2．已知方程的有两根m与n，则的值等于（　　）
A．20 B．30 C．40 D．50
3．如图，在中，于点E，若，则的长为（ ）
A．10 B．8 C．7 D．6
4．如图，把3个相同的矩形填充到菱形中，如果测得每个矩形的周长为，那么菱形的周长为（ ）
A． B． C． D．
5．用配方法解一元二次方程，配方正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．的三边分别为a，b，c，下列条件不能使为直角三角形的是（　　）
A．， B．
C．，， D．
7．某班学生每周参加体育锻炼时间的频数直方图（每组含前一个边界值，不含后一个边界值）如图所示．其中锻炼时间在6小时及以上的学生有（ ）
A．12人 B．18人 C．27人 D．30人
8．定义新运算，对于两个不相等的实根a，b，我们规定符号表示a，b中较大值，如，因此，按照这样的规定，若，则x的值是（　　）
A．或 B． C．1或 D．0或
9．函数中，自变量的取值范围是（　　）
A． B． C． 且 D．
10．如图，正方形中，点E为边延长线上一点，点F在边上，且，连接．若，则（ ）

A． B． C． D．
二、填空题
11．若最简二次根式与是同类二次根式，则的值是__________．
12．2022年冬季奥运会将在北京市张家口举行，下表记录了四名短道速滑选手几次选拔赛成绩的平均数x和方差：
小明 小红 小芳 小米
平均数x（单位：秒） 53 48 52 49
方差（单位：秒） 5.5 4 12.5 17.5
根据表中数据，这四名选手中成绩最好且发挥最稳定的运动员是______．
13．如图，在中，，点D是的中点，，，则______．
14．如图，正方形中，点E在上，，，点F为的中点，点G在上，且满足，则__________．
15．如图，在矩形中，，E为上一点，于点F，且，连接．下列结论：①平分；②为等腰三角形；③的面积为4；④；⑤．其中正确结论的序号是 ________（把你认为所有正确的都填上）．

三、解答题
16．用适当的方法解下列方程：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
17．已知一元二次方程的一个根为，求另一个根及m的值．
18．如图，在矩形中，E是边上的点，连接．使用尺规作图法在边上求作一点F，连接，使四边形是平行四边形（保留作图痕迹，不写作法，标明字母）．
19．某校在七年级开设了文明礼仪课程，为了解学生的学习情况，该校随机抽取30名学生进行测试，测试成绩如下（单位：分）．
78 83 86 86 90 94 97 92 89 86
84 81 81 84 86 88 92 89 86 83
81 81 85 86 89 93 93 89 85 93
整理上面的数据得到如下频数分布表并制作频数分布直方图：
成绩（分） 频数
5
a
11
b
2
(1)______；______；
(2)补全频数分布直方图；
(3)若成绩不低于86分为优秀，估计该校七年级300名学生中达到优秀的人数．
20．某文创公司设计了一款黄蓝交汇纪念章，成本价为每个50元，以每个不低于成本价且不超过75元的价格销售，每天销售量y（个）与售价x（元/个）之间是一次函数关系，其部分图象如图所示．
(1)求出y与x的函数表达式，并写出自变量的取值范围；
(2)当售价定为多少元时，每天的利润可达到6000元？
21．如图，一根直立的旗杆高，因刮大风旗杆从点处折断，顶部着地且离旗杆底部的距离为．
(1)求旗杆在距地面多高处折断；
(2)在折断点的下方的点处，有一明显裂痕，如果本次大风将旗杆从点处吹断，那么行人在距离旗杆底部5米处是否有被砸到的风险？
22．如图，在梯形中，，，动点P从点A出发沿方向向点D以的速度运动，动点Q从点C开始沿着方向向点B以的速度运动，点P、Q分别从点A和点C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点随之停止运动．
(1)经过多长时间，四边形是平行四边形？
(2)经过多长时间，四边形是矩形？
23．利用图形整体面积等于部分面积之和可以证明勾股定理．

①如图（1）所示可以证明勾股定理，因为大正方形面积表示为，又可表示为，所以，所以，所以，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
②美国第20届总统伽菲尔德利用图（2）证明了勾股定理，请你用①的方法证明勾股定理；
③如图（3）请你用①的方法证明勾股定理；
④如图（4）请你用①的方法证明勾股定理．
《（基础篇）2025-2026学年下学期中学数学沪科版八年级新教材期末练习卷》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B A D B B D B A C B
1．B
【分析】本题主要考查了勾股数，
勾股数是三个正整数，且满足勾股定理 ，选项A、C、D均非正整数，只有选项B满足条件．
【详解】解：
选项A：为分数，非正整数；
选项C： 为无理数，非正整数；
选项D：0.9, 1.2, 1.5 为小数，非正整数；
选项B：5, 12, 13 为正整数，且．
故选：B．
2．A
【分析】本题主要考查了一元二次方程的根，一元一次方程根与系数的关系，由一元二次方程的根可得出，把代入，最后再利用根与系数的关系可得出，最后代入计算即可．
【详解】解：∵m是方程的根，
∴，即，
∴，
∵m，n是方程的两根，
∴，
∴原式，
故选：A
3．D
【分析】本题考查了平行四边形和勾股定理的相关知识，先根据勾股定理求出，再根据平行四边形对边相等即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵
∴，
∴
故选：D．
4．B
【分析】本题考查了矩形的性质、菱形的性质、等腰直角三角形的判定与性质以及勾股定理，解题的关键是证明．首先根据已知条件，通过等量代换证明，从而得到，进一步推出，得出，然后利用矩形周长求出和的长度，接着中运用勾股定理求出的长度，最后根据萎形性质计算出萎形的周长。
【详解】解：如图，由题意可知：三点共线，
，长宽
（宽）（长）（宽），
，
，
，
，
，
，
矩形的周长为，，
，
菱形的周长为：，
故选：B．
5．B
【分析】本题考查配方法，将常数项移到等号右边，等式两边同时加上一次项系数的一半进行配方即可．
【详解】解：，
，
，
∴；
故选B．
6．D
【分析】本题考查了直角三角形的判定，熟练掌握直角三角形的判定方法：利用勾股定理逆定理判断边或利用角度判断角是解题的关键．利用勾股定理和三角形内角和对选项进行逐一判定即可．
【详解】解：A中、∵，
∴是直角三角形，故选项不符合题意；
B中、∵，，
∴，
∴，
∴是直角三角形，故选项不符合题意；
C中、∵，
∴是直角三角形，故选项不符合题意；
D中、∵，
设，，，
∵，
∴，
解得：，
∴，，，
∴不是直角三角形，故选项符合题意；
故选：D．
7．B
【分析】本题考查频数（率）分布直方图，由频数分布直方图可直接得出答案．
【详解】由频数分布直方图可得，锻炼时间在6小时及以上的学生有（人）．
故选：B．
8．A
【分析】解：据题意得，等于a、b中较大的值，当时，；当时，，解出方程，即可．
【详解】解：由题意知，等于a、b中较大的值，
∴当时，
，
，
解出，，
∵，不合题意，舍去，
取；
当时，，
，
解得：，，
，不合题意，舍去，
；
综上所述：的值是或．
故选：A．
【点睛】本题考查新定义，解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．
9．C
【分析】此题考查分式有意义的条件，二次根式被开方数的非负性，正确理解代数式的形式列式计算是解题的关键；
【详解】解：根据题意得：，，
解得：且，
故选：C
10．B
【分析】连接，作与交于，得到，从而得到，再通过平行线的性质得到，得到答案．
【详解】解：连接，作与交于，
四边形是正方形，
，，
，
，，
，
，
，
．
故选：B．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定及性质，等边对等角，平行线的性质，其中两条辅助线的建立是解题的关键．
11．1
【分析】本题主要考查的是同类二次根式的定义．根据同类二次根式可得，即可求解．
【详解】解：∵最简二次根式与是同类根式，
∴，
解得：，
当时，，符合题意；
当时，，是整数，不符合题意；
综上所述，的值是1．
故答案为：1
12．小红
【分析】平均数最小的选手成绩最好，方差最小的选手成绩最稳定，由此可解．
【详解】解：由四名选手成绩的平均数可知，小红平均用时最短，成绩最好；
由四名选手成绩的方差可知，小红的方差最小，发挥最稳定；
因此这四名选手中成绩最好且发挥最稳定的运动员是小红，
故答案为：小红．
【点睛】本题考查利用平均数、方差做决策，解题的关键是掌握平均数和方差的意义．
13．
【分析】先根据勾股定理求出，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边长的一半即可得到答案．
【详解】解：∵在中，，，，
∴由勾股定理得，
∵点D是的中点，
∴．
14．或
【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，矩形的性质与判定等等，由正方形的性质得到，进而求出，由线段中点的定义得到，再分当点G靠近点B时，当点G靠近点A时，两种情况过点F作于H，证明，得到，再根据线段之间的关系即可得到答案．
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴，
∵，，
∴，
∵点F为的中点，
∴，
如图所示，当点G靠近点B时，过点F作于H，
∴四边形是矩形，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴；
如图所示，当点G靠近点A时，过点F作于H，
同理可得，
∴；
综上所述，的长为或，
故答案为：或．
15．①②③⑤
【分析】根据矩形的性质，可得，，，根据全等三角形的判定方法可得，推出，，由此即可求解．
【详解】解析：∵四边形是矩形，，
∴，，，
∵，
∴，
在中，，
∴，
∴，，
∴平分；故①正确；
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴为等腰三角形；故②正确；
∴的面积为；故③正确；
；故④错误；
∵，
∴，
∴
∴；故⑤正确．
综上所述，正确的结论有①②③⑤，
故答案为：①②③⑤．
【点睛】本题主要考查矩形的性质，全等三角形的判定方法，掌握以上知识是解题的关键．
16．(1)，
(2)，
(3)，
(4)，
【分析】本题考查用适当方法解一元二次方程；
（1）利用因式分解法对所给一元二次方程进行求解即可；
（2）利用因式分解法对所给一元二次方程进行求解即可；
（3）利用直接开平方法对所给一元二次方程进行求解即可；
（4）利用因式分解法对所给一元二次方程进行求解即可.
【详解】（1）解：
移项：
因式分解：
解得，.
（2）解：
移项：
因式分解：
解得，.
（3）解：
方程化简：
直接开平方：
即或
解得，.
（4）解：
左边展开：
移项合并：
因式分解：
解得，.
17．另一个根为2，m的值为12
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟悉这一内容是解题的关键．设另一根为，则有，由这两式即可求解．
【详解】解：一元二次方程可化为；
设方程的另一根为，
则有，
∴，
∴；
答：方程的另一个根为2，m的值为12．
18．见解析
【分析】本题考查作图-复杂作图、平行四边形的判定、矩形的性质，熟练掌握平行四边形的判定、矩形的性质是解答本题的关键．
结合矩形的性质以及平行四边形的判定，以点D为圆心，的长为半径画弧，交于点F，连接，则四边形即为所求．
【详解】解：如图，以点D为圆心，的长为半径画弧，交于点F，连接，
，
四边形为矩形，
，
四边形是平行四边形，
则四边形即为所求．
19．(1)6；6
(2)见解析
(3)190人
【分析】本题主要考查频数分布表和频数分布直方图相关知识，熟练掌握数据的整理、频数的计算以及利用样本估计总体的方法是解题的关键．
（1）通过对给定成绩数据进行整理和计数，确定落在对应分数段的频数，从而得出、的值．
（2）依据（1）中求出的、值，在已有频数分布直方图基础上补全对应分数段的矩形．
（3）先算出抽取的名学生中成绩不低于分的人数所占比例，再用该比例乘以七年级总人数，估算出优秀人数．
【详解】（1）解：对成绩数据整理：在分数段的成绩有、、、、、，共个，
∴．
在分数段的成绩有、、、、、，共个，
∴．
故答案为：6， 6；
（2）解：补全频数分布直方图如下：
（3）解：（人）
20．(1)
(2)当售价定为60元时，每天的利润可达到6000元
【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，一元二次方程的实际应用，正确理解题意列出y与x的函数表达式是解题的关键．
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）根据每天的利润等于每个纪念章的利润乘以销售量建立方程求解即可．
【详解】（1）解：设y与x的函数表达式为，
由题意得，，
解得，
∴y与x的函数表达式为；
（2）解：由题意得，，
整理得或（舍去），
答：当售价定为60元时，每天的利润可达到6000元．
21．(1)
(2)行人在距离旗杆底部处没有被砸伤的风险
【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，熟知勾股定理是解题的关键．
（1）设长为，则长，由勾股定理可得，解方程即可得到答案；
（2）由题意可得，则．利用勾股定理求出的长即可得到答案．
【详解】（1）解：由题意得，，，
设长为，则长，
在中，由勾股定理可得，
∴，
解得，
∴；
答：旗杆距地面处折断．
（2）解：如图，
由题意可得，
∴．
在中，，
∵，
∴，
答：行人在距离旗杆底部处没有被砸伤的风险．
22．(1)经过时，四边形是平行四边形
(2)经过时，四边形是矩形
【分析】本题主要考查了平行四边形的想在，矩形的性质：
（1）设经过时，四边形是平行四边形，则，根据即可求解；
（2）设经过时，四边形是矩形，则，根据，即可求解．
【详解】（1）解：设经过时，四边形是平行四边形，则，
由题意得，，
∴
∵，
∴，
解得，
即经过时，四边形是平行四边形；
（2）解：设经过时，四边形是矩形，则，
由题意得，，
∴，
∵，
，
解得，
即经过时，四边形是矩形．
23．②见解析；③见解析；④见解析；
【分析】②梯形的面积可以由梯形的面积公式求出，也可利用三个直角三角形面积求出，两次求出的面积相等列出关系式，化简即可得证；
③连结，过点D作边上的高，则，根据的两种不同表示方法，列出关系式，化简即可得证；
④根据题意，我们可在图中找等量关系，由中间的小正方形的面积等于大正方形的面积减去四个直角三角形的面积，列出等式化简即可得出勾股定理的表达式．
【详解】解：②梯形的面积为，
也可利用表示为，
∴
即，
即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；
③连结，过点D作边上的高，则，

∵，
又∵，
∴，
∴，
即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；
④如图，分别过点I，H作，分别交延长线于点M，N，交于点P，则，
∴，
在正方形中，
，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
同理，
∴中间小正方形的面积，
即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的证明，熟练掌握勾股定理的证明方法是解题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）

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