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（基础篇）2025-2026学年下学期中学数学沪科版九年级期末练习卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列说法错误的是( )
A．了解一批灯泡的使用寿命应采用抽样调查 B．通过大量重复试验，可以用频率估计概率
C．概率很小的事件不可能发生 D．“367人中至少有2人的生日是同一天”是必然事件
2．判断下列图形中的角是圆周角的是（ ）
A． B． C． D．
3．综合实践小组在课堂进行摸球实验.一个不透明的盒子中装入红、白两种颜色的小球（除颜色外其他都相同）共30个，摸出一球记录后放回，多次重复后发现摸到红色小球的频率稳定在0.3左右，则盒子中红色小球的个数可能是（ ）
A．12 B．21 C．9 D．15
4．下列说法正确的是（ ）
A．“射击运动员射击一次，命中靶心”是必然事件
B．某种彩票中奖的概率是，因此买100张该种彩票就一定会中奖
C．抛掷一枚图钉，“针尖朝上”的概率可以用列举法求得
D．事件发生的可能性越大，它的概率越接近1
5．在练习掷铅球项目时，某同学掷出的铅球半径，在操场地上砸出一个小坑，点O到地面的距离，则该坑的宽（ ）
A． B． C． D．
6．如图，是的直径，点在上，若，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
7．下列数学图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．毕达哥拉斯树 B．笛卡尔心形线
C．赵爽弦图 D．卡西尼卵形线
8．如图，中，，，点O是的中点，将直角三角板的直角顶点绕点O旋转，三角板的两条直角边分别与、分别交于点M、N（不与端点重合），连接，设三角板与重叠部分的四边形的面积为S，则下列说法正确的是（ ）

A．S变化，有最大值 B．S变化，有最小值
C．S不变，有最大值 D．S不变，有最小值
9．在一个化学实验室里，有四瓶外观完全相同的密封且不透明的试剂瓶，分别装有稀硫酸、氧化钠、稀盐酸、碳酸钠四种溶液．已知只有酸性溶液（稀硫酸溶液、稀盐酸溶液）可以用来除铁锈，从中随机抽取两瓶，则这两瓶溶液都可以用于除铁锈的概率是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在中，，，．将绕点C顺时针旋转得到，其中点与点A是对应点，点与点B是对应点．若点恰好落在边上，则点A到直线的距离等于（　　）
A．1 B． C．2 D．
二、填空题
11．如图，是一个正三角形的靶子，靶心为其三条对称轴的交点，则飞镖掷在区域的概率是___________．
12．如图是一个圆形靶子，三个同心圆的半径分别为1，2，3．嘉淇向靶子随机投掷一次飞镖（若飞镖落在分隔线上，则重新投掷），则飞镖落在阴影部分的概率是______．
13．如图是一副宣传节约用水的海报，海报长，宽．小明为了测量海报上“节约用水从我做起”八个字所占的面积，在长方形海报上随机撒豆子（假设豆子落在海报内每一点都是等可能的）．经过大量试验，发现豆子落在“节约用水从我做起”八个字上的频率稳定在左右．由此可估计海报上“节约用水从我做起”八个字所占的面积约为___________．
14．如图，点E是的内心，的延长线和的外接圆相交于点D，与相交于点G，则下列结论：①；②若，则；③若点G为的中点，则；④．其中一定正确的是_____（填序号）
15．如图，过A、C、D三点的圆的圆心为点E，过B、F、E三点的圆的圆心为D，如果，那么_____．
三、解答题
16．如图，在中，，是的外接圆，D为弧的中点，E为延长线上一点．若，求的度数．
17．如图，是由几个大小相同的小立方体块搭建的几何体，其中每个小正方体的棱长为．
(1)请按要求在方格内分别画出从这个几何体的三个不同方向看到的形状图．
(2)求出这个几何体的表面积．
18．如图1是某厂房遮雨棚示意图（尺寸如图所示），遮雨棚顶部是圆柱侧面的一部分，其展开图是矩形．图2是遮雨棚顶部截面示意图，所在圆的圆心为O．求覆盖厂房遮雨棚顶部至少需要多少平方米帆布（不考虑接缝等因素，计算结果保留）．
19．已知：三个顶点的坐标分别为，把先向右平移3个单位长度，再向下平移3个单位长度后得到，且点的对应点为A，点的对应点为B，点的对应点为C．
(1)在坐标系中画出；
(2)在坐标系中画出把绕原点O顺时针旋转后得到的；
(3)求的面积．
20．李白被“邀请”走进2024春晚《山河诗长安》节目，千人齐诵《将进酒》，豪放洒脱，荡气回肠，将长安城中的浪漫具象化．激发出无数中华儿女满满的自豪感，掀起了古诗词文化的新热潮．为弘扬中华传统文化，增加学生诗词底蕴，某校拟举办“诗词大赛”，每班选2名参赛学生，某班有1名男生和3名女生报名参加．
(1)若要从这4名学生中随机选取1名学生参加比赛．则选取的恰好是男生的概率为__________；
(2)若要从这4名学生中随机选取2名学生参加比赛，请用列表或画树状图的方法，求选取的2名学生恰好是1名男生、1名女生的概率．
21．中华民族有种折纸玩具“东南西北”，每每想起都会带给我们美好的童年回忆．此玩具的制作方法：通过折叠把一个正方形的纸片分成八个面积相等的部分，在每个部分分别写上相应的惩罚或奖励，叠合成“东南西北”，通过转动随机挑选出八个区域中的一个作为游戏的结果．如图1是小浩制作的一个“东南西北”玩具，展开后如图2所示：
试验次数 8 24 40 80 160
获得“钢笔”的次数 2 10 16 28 60

(1)转动一次获得奖励“文具”的概率为________．
(2)小浩重新设计了一个“东南西北”玩具，在八个面上分别写上“钢笔”“笔记本”“圆规”三种奖品，经过多次实验后得到数据见上面表格，根据表格估算，八面中写有奖品“钢笔”的面数为________．
22．如图，在中，，D是内一点，连接，将线段绕点C逆时针旋转到，使，连接．
(1)求证：．
(2)当时，求与的度数和．
23．如图，是的直径，C为上的点，点D为的中点，且，过点D作于点E．若，的半径长为，求的长．
24．下面是小立设计的“过圆上一点作这个圆的切线”的尺规作图过程．
已知：及圆上一点A．
求作：直线，使得为的切线，A为切点．
作法：如图，
①连接并延长到点C；
②分别以点A，C为圆心，大于长为半径作弧，
两弧交于点D（点D在直线上方）；
③以点D为圆心，长为半径作；
④连接并延长，交于点B，作直线．
直线就是所求作的直线．
根据小立设计的尺规作图过程，完成下面的证明．（说明：括号里填推理的依据）
证明：连接．
∵______，
∴点C在上，
∴是的直径．
∴______．（ ）
∴ ．
∵是的半径，
∴是的切线．（ ）．
《（基础篇）2025-2026学年下学期中学数学沪科版九年级期末练习卷》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C D C D C B D D A A
1．C
【分析】本题考查了抽样调查、事件发生的可能性的大小，解本题的关键在根据相关的定义，认真分析题意．
【详解】解：A、了解一批灯泡的使用寿命应采用抽样调查，故该选项说法正确，不符合题意；
B、通过大量重复试验，可以用频率估计概率，故该选项说法正确，不符合题意；
C、概率很小的事件不可能发生，说法错误，符合题意；
D、“367人中至少有2人的生日是同一天”是必然事件，故该选项说法正确，不符合题意．
故选：C．
2．D
【分析】根据圆周角的定义（角的顶点在圆上，并且角的两边与圆相交的角叫做圆周角）判断即可．
【详解】解：根据圆周角的定义可知，选项D中的角是圆周角．
3．C
【分析】本题考查了由频率估计概率，根据多次重复后发现摸到红色小球的频率稳定在0.3左右，列式计算即可，解题的关键是明确题意，利用频率与频数的关系解答．
【详解】解：由题意得：盒子中红色小球的个数可能是（个），
故选：C．
4．D
【分析】本题考查事件，事件发生的可能性，概率，实验概率，掌握事件，事件发生的可能性，概率，实验概率知识是解题关键．根据事件发生的可能性，概率，实验概率逐项求解即可．
【详解】解：“射击运动员射击一次，命中靶心”可能会发生，也可都能不会发生是随机事件不是必然事件，故选项A不正确；
某种彩票中奖的概率是，因此买100张该种彩票每一张彩票中奖的概率都是，可能会中奖，故选项B不正确；
图钉是不规则的物体，抛掷一枚图钉，“针尖朝上”的概率只能通过实验，大数次的实验，使频率稳定时，可用频率估计概率，不可以用列举法求得，故选项C不正确．
事件发生的可能性越大，说明发生的机会越大，它的概率越接近1，故选项D正确；
故选D．
5．C
【分析】本题考查的是垂径定理的应用，根据勾股定理和垂径定理求出，从而可得出．
【详解】解：∵，
∴，
在中，，，，
∴，
∴
故选：C．
6．B
【分析】此题考查了圆周角定理“在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半”．根据邻补角的性质求得的度数，再根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半即可求得的度数．
【详解】解：∵，
∴，
∴．
故选：B．
7．D
【分析】轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转后与原图重合，根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解即可．
【详解】解：A、沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，不是轴对称图形，绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B、沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，是轴对称图形，绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C、沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，不是轴对称图形，绕某一点旋转后，能够与原图形重合，是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D、沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，是轴对称图形，绕某一点旋转后，能够与原图形重合，是中心对称图形，故此选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的知识，把一个图形绕某一点旋转后，能够与原图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，熟练掌握轴对称图形与中心对称图形的概念，是解题的关键．
8．D
【分析】连接，由于，设，根据等腰直角三角形的性质得，再根据为的中点得到，，根据旋转的性质得，于是可根据判断，所以，，则可计算出四边形的面积；设，则，利用勾股定理得到，从而确定出有最小值．
【详解】解：如图，连接，

设，
，
，
点为的中点，
，，
设将直角三角板的直角顶点绕点旋转，三角板的两条直角边分别与、分别交于点、（不与端点重合），
，
在和中，
，
，
，，
四边形的面积；
故不变；
设，则，
在中，
，
、（不与端点重合），
，故没有最大值；
当时，有最小值，
故选：D．
【点睛】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质以及等腰直角三角形，作出辅助线构建全等三角形是解答本题的关键．
9．A
【分析】本题考查列举法求概率，正确列举出所有的可能组合数，利用概率公式求概率是解题的关键．
根据题意列出所有的可能组合数，其中两瓶都是酸性溶液的只有一种组合，从而计算概率即可．
【详解】解：从四瓶溶液中随机抽取两瓶，可能的组合为：
（稀硫酸，氧化钠）、（稀硫酸，稀盐酸）、（稀硫酸，碳酸钠）、（氧化钠，稀盐酸）、（氧化钠，碳酸钠）、（稀盐酸，碳酸钠），
则总共可能组合数有6种，其中，两瓶都是酸性溶液的只有一种组合，
因此这两瓶溶液都可以用于除铁锈的概率是，
故选：A．
10．A
【分析】如图，过作于，求解，，结合旋转的性质证明，，，可得为等边三角形，求解，再利用含角的直角三角形的性质及勾股定理即可得答案．
【详解】解：如图，过作于，
由，，
，
∵将绕点C顺时针旋转得到，
，，
为等边三角形，
，
∴，
∴，
∴，
∴A到的距离为1．
故选：A．
【点睛】本题考查的是旋转的性质，含的直角三角形的性质，勾股定理的应用，等边三角形的判定与性质，作出适当的辅助线构建直角三角形是解本题的关键．
11．
【分析】本题主要考查了几何概率的问题，熟练掌握几何概率的求法是解本题的关键．
由于靶心为正三角形的三条对称轴的交点，则，，三个区域的面积相等，利用几何概率的计算方法求投到区域的概率．
【详解】解：∵靶心为正三角形的三条对称轴的交点，
∴，，三个区域的面积相等，
∴投到区域的概率．
故答案为：．
12．
【分析】本题考查了几何概率， 根据题意，求得阴影部分面积，进而根据概率公式，即可求解．
【详解】解∶由题意得，最大圆的面积为，阴影部分的面积为，
飞镖落在阴影部分的概率是，
故答案为∶．
13．
【分析】先求出宣传海报的面积，再乘以豆子落在“节约用水 从我做起”八个字上的频率得到海报上“节约用水 从我做起”八个字的面积．此题考查了频率估计概率、几何概率等知识，读懂题意是解题的关键．
【详解】解：长方形宣传海报的面积为．
∵豆子落在“节约用水 从我做起”八个字上的频率稳定在左右，
∴“节约用水 从我做起”八个字图案占长方形宣传海报的．
∴海报上“节约用水 从我做起”八个字的面积约为．
故答案为：
14．①②③④
【分析】利用三角形内心的性质得到，则可对①进行判断；直接利用三角形内心的性质对②进行判断；根据圆周角定理，等弧与等弦的关系及等腰三角形的性质可对③进行判断；通过证明得到，则可对④进行判断．
【详解】解：∵点是的内心，
∴平分，
∴，故①正确；
连接，，
∵点是的内心，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，故②正确；
∵，
∴，
∴，
∵点为的中点，
∴，
∴，故③正确；
∵点是的内心，
∴平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，故④正确，
∴一定正确的是①②③④，
故答案为：①②③④．
【点睛】本题考查三角形内心，圆周角定理，等弧与等弦的关系，等腰三角形的性质与判定，三角形的内角和定理与三角形外角的性质．掌握三角形的内心的定义是解题的关键．
15．/16度
【分析】根据等边对等角可得，，，求出，根据三角形外角的性质证明，然后可得答案．
【详解】解：如图，连接、，
∵过A，C，D三点的圆的圆心为E，且过B，F，E三点的圆的圆心为D，
∴，
∴，，，
∵，
∴，
∵，
∴，即，
∴，即，
故答案为：．
【点睛】本题考查了圆的基本性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，等腰三角形的性质等知识，证明是解题的关键．
16．
【分析】本题考查的是圆周角定理的应用，圆的内接四边形的性质，等腰三角形的性质．先求解，可得，再利用圆的内接四边形的性质可得答案．是解本题的关键．
【详解】解：∵D为弧AC的中点，
∴，，
∴．
又∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
由题意可知四边形ABCD是的内接四边形，
∴，
∴．
17．(1)图见解析
(2)这个几何体的表面积为
【分析】本题考查了从不同方向看几何体得到的图形，解题的关键是掌握相关基础知识，正确作出图形．从不同方向看该几何体，画出图形即可．
（1）根据从不同方向看到的结果画出图形即可；
（2）从前面、后面看各有个面，从左面、右面看各有个面，从上面、下面看各有个面，由此计算表面积．
【详解】（1）解：如图所示，
（2）解：从前面、后面看各有个面，从左面、右面看各有个面，从上面、下面看各有个面，每个小正方形面积为，
∴，
答：这个几何体的表面积为．
18．覆盖厂房遮雨棚顶部至少需要160平方米帆布
【分析】本题主要考查圆的垂径定理，勾股定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，等边三角形的判定及性质，弧长公式．
由题意可得：于点E，米，米，由垂径定理可得米，设的半径为r，即米，（米），在中，根据勾股定理有，代入即可求得r的值．取的中点C，连接，得，即是等边三角形，因此，从而，根据弧长公式求得的长，从而可求得帆布的面积．
【详解】由题意可得：于点E，米，米，
∵过圆心O，且，
∴（米），
设的半径为r，即米，（米）
∵在中，，
即，
解得．
∴米，米，
取的中点C，连接，
∴，
，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴（米），
∴帆布的面积为（平方米）．
19．(1)见解析
(2)见解析
(3)4
【分析】本题考查了坐标系中的平移和旋转作图，熟练掌握平移和旋转的性质是解题的关键；
（1）根据平移的性质先画出点A、B、C的位置，再顺次连接即可；
（2）根据旋转的性质作图即可；
（3）利用割补法求解即可．
【详解】（1）解：如图所示：
（2）解：如上图所示：
（3）解：．
20．(1)
(2)
【分析】本题主要考查了简单的概率计算，树状图法或列表法求解概率，正确列出表格或画出树状图是解题的关键．
（1）根据概率计算公式求解即可；
（2）先列出表格得到所有等可能性的结果数，再找到符合题意的结果数，最后根据概率计算公式求解即可．
【详解】（1）解：∵一共有4名学生，其中有1名是男生，且每名学生被选取的概率相同，
∴从这4名学生中随机选取1名学生参加比赛，选取的恰好是男生的概率为，
故答案为：；
（2）解：设3名女生分别用A、B、C表示，1名男生用D表示，列表如下：
A B C D
A （B，A） （C，A） （D，A）
B （A，B） （C，B） （D，B）
C （A，C） （B，C） （D，C）
D （A，D） （B，D） （C，D）
由表格可知一共有12种等可能性的结果数，其中选取的2名学生恰好是1名男生、1名女生的结果数有种，
∴选取的2名学生恰好是1名男生、1名女生的概率为．
21．(1)
(2)3
【分析】此题考查了频率估计概率、概率公式等知识，熟练掌握频率估计概率是解题的关键．
（1）根据概率公式进行解答即可；
（2）利用频率估计概率进行解答即可．
【详解】（1）解：转动一次共有8中等可能的结果，转动一次获得奖励“文具”的情况数为4种，
故转动一次获得奖励“文具”的概率为，
故答案为：；
（2）解：根据表格估算，随着试验次数的增加，八面中写有奖品“钢笔”的面数的频率稳定在，即左右，
则八面中写有奖品“钢笔”的面数为3．
故答案为：3．
22．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，旋转的性质，等边三角形的判定和性质：
（1）利用证明即可；
（2）证明为等边三角形，进而得到，利用全等三角形的对应角相等，结合角的和差关系即可得出结果．
【详解】（1）解：∵旋转，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）∵，，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
由（1）知：，
∴，
∴．
23．4
【分析】过O点作于H，由题意可得，然后可证，进而根据全等三角形的性质及勾股定理可得，再根据垂径定理可求出的长．
【详解】解：如图：
，
过O点作于H，
则，
∵，，
∴，
∵，
∴
在和中，
，
∴，
∴，
在中，
，
∴．
【点睛】本题主要考查了圆的基本性质，垂径定理，全等三角形的性质与判定及勾股定理，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
24．①；② ；③直径所对的圆周角是直角；④ ；⑤经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线
【分析】本题考查了圆的切线的证明，连接．证明是的直径即可．理解题意是解题关键；
【详解】证明：连接．
∵，
∴点C在上，
∴是的直径．
∴．（直径所对的圆周角是直角；）
∴
∵是的半径，
∴是的切线．（经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线）．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）

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