资源简介

（进阶篇）2025-2026学年下学期中学数学沪科版八年级新教材期末练习卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列根式中是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．如图，在中，，则斜边上的高的长为（ ）
A． B． C． D．
4．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ）
A． B．且 C． D．
5．如图，一艘轮船在小岛的北偏东方向距小岛80海里的处，沿正西方向航行2小时后到达小岛的北偏西的处，则该船行驶的速度为（ ）海里/小时
A． B． C．40 D．20
6．已知关于x的方程是一元二次方程，则k的值是（ ）
A． B．3 C．或3 D．都不对
7．如图，在中，，是的角平分线，于点．若的周长是，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，正方形的对角线与交于点，点为边上一点，连接，过点作于点，连接，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，一个长方体形盒子的长、宽、高分别为5厘米、3厘米、10厘米，在长方体一底面的顶点A有一只蚂蚁，它想吃点B处的食物，沿长方体侧面爬行的最短路程是（　　）
A．13厘米 B．厘米 C．厘米 D．厘米
10．如图，在中，是边上的中点，连接，把沿直线翻折，得到，连接，分别与交于点，连接．若，则的长为（ ）
A． B． C． D．8.5
二、填空题
11．如图，在中，，，平分，点P是的中点，若，则的长为________．
12．如图，小明的数学作业本上都是等距离的横线，相邻两条横线的距离为，他把一个等腰直角三角板）放在本子上，点恰好都在横线上，则斜边的长度为___________．

13．对于实数，定义运算“*”：，例如：．若是一元二次方程的两个根，则_________．
14．（1）如图1，在中，平分，，，，则______度．
（2）如图2，若把（1）中“”改成“四边形”，把“”改成“平分”，（1）中其他条件不变，则______度．
15．如图，在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形、面积分别记为，若，则图中阴影部分的面积为_________．
三、解答题
16．解方程：
17．先化简，再求值：，其中．
18．如图，在每个小正方形的边长均为的方格纸中有线段和，其中点、、、均在小正方形的顶点上．

(1)在方格纸中画出等腰三角形，点在小正方形的顶点上，且；
(2)在方格纸中画出等腰直角三角形，点在小正方形的顶点上，且的面积为，在（）、（）条件下，连接，请直接写出线段的长．
19．为了传承优秀传统文化，我市组织了一次九年级1200名学生参加的“汉字”听写大赛，为了更好地了解本次大赛的成绩分布情况，随机抽取了100名学生的成绩（满分50分），整理得到如图所示的统计图和如下统计表：
成绩/分 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
人数 1 2 3 3 6 7 5 8 15 9 11 12 8 6 4
成绩分组 频数 百分比
3
a
20
35
30 b

请根据所提供的信息解答下列问题：
(1)样本的众数是________．
(2)频数分布表中a＝________，b＝________；
(3)请补全频数分布直方图；
(4)请根据抽样统计结果，估计本次大赛中成绩不低于41分的学生有多少人？
20．某服装店将进货价为66元的服装以110元售出，平均每天可售出20件，在每件降价幅度不超过10元的情况下，若每件降价1元，则每天可多售5件．如果每天要盈利1600元，每件应降价多少元？
21．为进一步加强国防教育，激发学生的爱国情怀，某学校组织了全校学生参加“国防达人知识竞赛”，并从中抽取了部分学生成绩（成绩取正整数，满分为100分）进行统计．请根据尚未完成的频数表和频数直方图，解答下列问题：
某校部分学生成绩频数表
组别/分 组中值/分 频数 频率
16
40
50
m
24 n
(1)学校共抽取了______名学生的竞赛成绩进行统计，其中：______，______；
(2)补全频数直方图；
(3)若该校共有2000名学生参与此次竞赛，且成绩在90分以上的学生被评为“国防达人”，则该校获得“国防达人”称号的学生约有多少人？
22．综合与实践：
某数学活动小组在作三角形的拓展图形，研究其性质时，经历了如下过程：

(1)基础计算：边长为2的等边三角形的面积为 ；
(2)实践操作：如图，在中， ．以为边向外作等边，以为边向外作等边，以为边向上作等边，连接，．
①探究面积：记的面积为，的面积为，则 的值为______；
②深入探究：请证明四边形是平行四边形，并求的度数．
23．已知四边形为矩形，点D为边上一动点，分别以点O为坐标原点，所在的直线为x轴，所在的直线为y轴建立平面直角坐标系．
(1)如图1，若点B的坐标为，将沿翻折得到，并使得点B的对应点点E刚好落在y轴上．
①请直接写出点E的坐标______；
②求出点D的坐标．
(2)如图2，当点D为边的中点时，仍将沿翻折得到，连接并延长交于点F，求证：点F为边的中点．
(3)如图3，若点D为边的中点，点B的坐标为），点P的坐标为．点Q为平面直角坐标系内一点，且，连接，请直接写出线段的范围______．
《（进阶篇）2025-2026学年下学期中学数学沪科版八年级新教材期末练习卷》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B A B B A C C B B
1．C
【分析】根据最简二次根式的定义进行判断即可．
【详解】解：A．，故选项不符合题意；
B．，故选项不符合题意；
C．是最简二次根式，故选项符合题意；
D．，故选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】此题考查了最简二次根式的判断，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键．
2．B
【分析】本题考查了二次根式的运算及性质，根据二次根式的加减法则可判断A和C，根据二次根式的乘法法则可判断B，根据二次根式的性质可判断D．
【详解】解：A．与不是同类二次根式，不能计算，故运算错误；
B．，运算正确；
C．，故运算错误；
D．，故运算错误
故选B．
3．A
【分析】本题主要考查了勾股定理、等面积法等知识点，掌握运用等面积法求三角形的高是解题的关键．
先由勾股定理求出的长，再运用等面积法求得的长即可．
【详解】解：∵在中，，，，
∴，
，
∴，
即．
故选：A．
4．B
【分析】本题考查了根的判别式，熟练掌握一元二次方程，当时，方程有两个不相等的实数根，是解答本题的关键．
根据题意一元二次方程的定义和根的判别式的意义，得到且，由此求出答案．
【详解】解：根据题意得：
方程是一元二次方程，且有两个不相等的实数根，
且，
解得：且，
故选：．
5．B
【分析】本题考查了直角三角形的性质，等角对等边，掌握直角三角形的性质，等角对等边是解题的关键．
过点A作于点D，则，根据海里，得，在中，根据勾股定理得海里，根据，得，根据海里，得海里，可得海里，即可得行驶速度．
【详解】解：如图所示，过点A作交于点D，
∴，
∵海里，
∴在中，海里，
（海里），
∵，，
∴，
∵，
∴海里，
∴海里，
则该船行驶的速度为：（海里/小时）．
故选：B
6．A
【分析】本题主要考查一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键．根据一元二次方程的定义即可得到答案．
【详解】解：由题意得，
解得或3，
即，
故．
故选A．
7．C
【分析】本题主要考查角平分线的性质，全等三角形的判定和性质．先利用角平分线性质得，将周长转化为求出；再通过证明得，设，用勾股定理列方程，解得．
【详解】解：∵是的角平分线，， ，
∴(角平分线上的点到角两边的距离相等)，
∵的周长，
∴，
又∵，
∴，
解得：，
在和中：
，
∴，
∴，
设，则， 即，
在中，由勾股定理：代入得：，
解得：，
∴，
故选：C．
8．C
【分析】本题主要考查了正方形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，等边对等角以及三角形外角性质等知识，取中点G，连接，，设与交于点，证明，得，证明，求出，根据可得，整理后可得结论
【详解】解：取中点G，连接，，设与交于点，如图，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，，
又，
∴
∴
∴
∵，
∴，
∵
∴
在和中，
∴，
∵，且，
∴
∴
而
又
∴
∴．
故选：C．
9．B
【分析】此题主要考查了平面展开最短路径问题．首先把这个长方体中，蚂蚁所走的路线放到一个平面内，根据两点之间线段最短，利用勾股定理即可计算，此题展开图有三种，要分类讨论．
【详解】解：第一种：由题意得展开图，如图①所示：
，，
（厘米）；
第二种：如图②：
，，
（厘米）；
第三种：如图③，
，，
（厘米），
，
蚂蚁爬行的最短路程是（厘米）．
故选：B．
10．B
【分析】本题主要考查发直角三角形折叠．熟练掌直角三角形斜边上中线的性质，折叠性质，三角形中位线性质，全等三角形的判定和性质，是解决问题的关键．
根据直角三角形斜边上中线的性质得到，由折叠性质得到， 垂直平分，根据三角形中位线性质得到，，得到，结合，，判定,得到，得到，即得．
【详解】∵在中，是边上的中点，
∴，
由折叠知， 垂直平分，
∴，
∴，，
∴，
∵，，
∴,
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：B．
11．8
【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，等腰三角形的判定．根据题意可得，从而得到，再由直角三角形的性质，即可求解．
【详解】解：∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵点P是的中点，，
∴．
故答案为：8
12．
【分析】首先添加辅助线过作于点，过作于点，再利用得证，进而根据已知条件由勾股定理求得，进一步计算即可得解．
【详解】解：过作于点，过作于点，如图：

∵，
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∵相邻两条横线的距离都是
∴，
∴
∴
故答案为：．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识点，证出是解题的关键．
13．或
【分析】因式分解得：，进而求得，或，，接下来结合新定义求解即可．
【详解】解：，即，
或，
所以，或，，
或，
故答案为：或．
【点睛】本题考查了新定义题型和因式分解法解一元二次方程，掌握因式分解法和理解新定义的运算法则是解题的关键．
14． 10 10
【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线定义，四边形内角和，三角形外角的性质；
（1）先根据三角形内角和定理和角平分线定义求出，再根据求出，进而可得的度数；
（2）先根据四边形内角和是求出，再根据三角形内角和定理表示出，然后利用三角形外角的性质进行计算即可．
【详解】解：（1）∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∵，即，
∴，
∴；
故答案为：10；
（2）∵，，
∴，
∵平分，平分，
∴，，
∵，
∴，
故答案为：10．
15．2
【分析】根据勾股定理得出，得出，根据正方形的性质即可求解．
【详解】解：根据题意得，由勾股定理得，即，
，
，
，
根据正方形的性质得，，
∴阴影部分的面积为．
16．，
【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，先求解，再利用求根公式解方程即可．
【详解】解：，
∴，，，
∴，
∴，
∴，．
17．，．
【分析】先将分子分母因式分解，同时将除法转化为乘法，再根据分式的运算进行计算，最后将a的值代入，进而求解即可．
【详解】解：
，
当时，原式．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，实数的混合运算，正确的化简分式是解题的关键．
18．(1)作图见解析；
(2)作图见解析，．
【分析】（1）利用再网格中作等腰三角形的方法即可；
（2）利用再网格中作等腰直角三角形的方法即可．
【详解】（1）如图，

根据勾股定理可得：，
∴作出，
此时，
∴即为所求；
（2）如图，根据网格作垂线的方法即可，

∴即为所求，．
【点睛】此题考查了作图-应用与设计，熟练掌握网格结构以及直角三角形和等腰三角形的性质是解题关键．
19．(1)44
(2)12，
(3)见解析
(4)本次大赛中成绩不低于41分的学生有1020人
【分析】（1）根据众数的定义判断即可；
（2）根据表格和随机抽取了100名学生的成绩，可以求得a、b的值，本题得以解决;
（3）根据（2）中a的值，可以将频数分布直方图补充完整;
（4）根据表格中的数据可以求得该次大赛中成绩不低于41分的学生人数．
【详解】（1）解：众数是指频数最多的数，由统计图可知，众数为44；
（2）解：由表格可得，，；
（3）解：补全的频数分布直方图如下图所示，

（4）解：由题意得，（人），
即本次大赛中成绩不低于41分的学生有1020人；
【点睛】本题考查频数分布直方图、用样本估计总体、频数分布表，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件.
20．每件应降价4元
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据等量关系列出方程，是解题的关键．设每件应降价x元，根据每天要盈利1600元，列出方程，解方程即可．
【详解】解：设每件应降价x元，根据题意得：
，
解得：，，
∵每件降价幅度不超过10元，
，
∴不符合题意，舍去．
∴，
答：每件应降价4元．
21．(1)200，70，；
(2)见解析；
(3)240人．
【分析】本题主要考查了全频数分布直方图、频数分布表、用样本估计总体等知识点，从统计图中有效的获取信息是解题的关键．
（1）根据的频数和频率先求出总数，再根据频数、频率和总数之间的关系分别求出m、n的值；
（2）根据（1）的结果可补全频数分布直方图即可；
（3）用全校的总人数乘成绩在90分以上的学生所占的百分比即可解答．
【详解】（1）解：根据题意得：学校共抽取的学生数为（名），
（名），．
故答案为：200，70，．
（2）解：根据（1）的频数分布表补图如下：
（3）解：由样本估计总体得：（人）．
答：该校荣获“国防达人”称号的学生约有240人．
22．(1)
(2)①；②证明见解析，
【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，掌握手拉手全等模型是解题的关键．
（1）首先画出等边三角形，然后求出，得到，勾股定理求出，然后利用三角形面积公式求解即可；
（2）①首先得出，，，即可得出答案；
②证明，求出的度数；证明，，得到四边形是平行四边形．
【详解】（1）如图所示，是等边三角形，，，

∵是等边三角形，，
∴，
∴，
∴，
∴的面积；
（2）①同（1）的方法可得，，，
∴，
∵，，
∴，
∴；
②证明：∵和是等边三角形，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
同理可得，
∴四边形是平行四边形．
23．(1)①，②
(2)见解析
(3)
【分析】（1）①根据矩形的性质、折叠的性质和勾股定理求出，即可得到答案；②设，则,利用折叠的性质和勾股定理列方程即可求出，即可得到的答案；
（2）连接交于点K，由轴对称可知是的垂直平分线，由点D为边的中点得到，证明四边形是平行四边形，则，由四边形是矩形得到，即可得到结论；
（3）证明点在以为直径的圆上，求出圆的半径，根据圆外一点到圆上所有点的距离的最小值和最大值进行解答即可．
【详解】（1）解：①∵点B的坐标为，四边形为矩形，
∴
∵将沿翻折得到，并使得点B的对应点点E刚好落在y轴上．
∴
在中，，
∴，
∴点E的坐标为，
故答案为：
②由①可知，，
由折叠可知，
设，则,
在中，由勾股定理可得，
，
则
解得，
∴
（2）连接交于点K，由轴对称可知是的垂直平分线，
∴，
∵点D为边的中点
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴点F为边的中点．
（3）连接并取的中点，连接，
∵，
∴，
∴点在以为直径的圆上，
∵点B的坐标为，点P的坐标为．
∴中点为，，
∴圆的半径为，
∵点D为边的中点
∴，
∴到圆心的距离为，
∴的取值范围为
【点睛】此题考查了矩形的的性质、平行四边形的判定和性质、轴对称的性质、勾股定理等知识，数形结合和熟练掌握勾股定理是关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）

展开更多......

收起↑