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（进阶篇）2025-2026学年下学期中学数学沪科版九年级期末练习卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．给出下列说法：①如果两条弦相等，那么它们所对的圆周角也相等；②长度相等的弧是等弧；③平分弦的直径，平分这条弦所对的弧；④平面上不共线的三点能确定一个圆，其中正确的有（ ）
A．①③ B．①④ C．③④ D．④
2．物理变化和化学变化的区别在于是否有新物质的生成，老师为帮助学生理解物理变化和化学变化，在课程学习中制作了如下四张除正面内容不同外，其余都相同的卡片，将四张卡片背面朝上并从中随机抽取两张，则抽到的卡片内容都是物理变化的概率是（ ）
A． B． C． D．
3．两只蚂蚁从点A爬到点B吃食物残渣，从点A到点B一共有三条路可以选择，两只蚂蚁随机选择，则两只蚂蚁选择同一条路的概率是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，的半径为5，弦，于点，则的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．如图，正六边形内接于，若正六边形的周长是，则它的边心距为（ ）
A．2 B． C． D．
6．如图，为的内接三角形，，，则的内接正方形的面积为（　　）
A．8 B．4 C．2 D．16
7．如图，内接于，，连接并延长交于点，交于点，若，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
8．在中，，，，若以C点为圆心、以13为半径画，则直线与的位置关系是（　）
A．相离 B．相切 C．相交 D．不确定
9．已知，如图，在中，．将绕顶点按逆时针方向旋转到处，此时线段与的交点恰好为的中点，则线段的长是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，半径为，正方形内接于，点E在上运动，连接，作，垂足为F，连接．则长的最小值为（ ）
A． B．1 C． D．
二、填空题
11．如图，在斜坡的顶部有一铁塔，是的中点，在阳光的照射下，塔影留在坡面上．已知，，小明和小华的身高都是，同一时刻小明站在处，影长为，小华站在平地上，影长为，则塔高是______米．
12．如图，在中，，将边绕点A顺时针旋转得到，边绕点A逆时针旋转得到，连接．若，，且，则①的度数是________；②________．
13．已知是半圆O的直径，为的中点，为的中点，连接交于点，过点作于点D．若，则图中阴影部分的面积为___________
14．如图，在中，是直径，是弦，D是的中点，于点G，交于点E，交于点F，下列结论一定正确的是______．（把所有正确结论的序号都填上）
①，②，③，④，⑤若，则
15．如图，是由绕点O顺时针旋转后得到的图形，若点D恰好落在上，且的度数为，的度数为，则的度数是_____．
三、解答题
16．（1）解方程：
（2）如图，等边的边长为，求边上的边心距的长．
17．扇子最早称“翣(shà)”，已有两千多年历史．“打开半个月亮，收起兜里可装，来时荷花初放，去时菊花正黄．”这则谜语说的就是扇子．如图，一个竹扇完全打开后，外侧两竹条，夹角为，的长为，扇面的长为，求扇面面积．(保留π)

18．现有一副扑克牌中的三张牌，牌面数字分别为，将这三张牌背面朝上洗匀后，先从中随机抽取一张牌，记下数字后放回洗匀，再随机抽取一张牌，记下数字，请用画树状图（或列表）的方法，求抽取的两张牌牌面数字相同的概率．
19．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，的顶点均为格点（网格线的交点），已知点，，的坐标分别为，，．
(1)画出绕点逆时针旋转后得到的；
(2)画出关于原点的对称图形；
(3)若连接，则线段的长度为 ．
20．为提升学生的艺术素养，学校计划开设四门艺术选修课：A.法；B.绘画；C.乐器；D.舞蹈． 为了解学生对四门功课的喜欢情况，在全校范围内随机抽取若干名学生进行问卷调查（每名被调查的学生必须选择而且只能选择其中一门）． 将数据进行整理，并绘制成如下两幅不完整的统计图，请结合图中所给信息解答下列问题：
(1)本次调查的学生共有__________人，扇形统计图中的度数是__________；
(2)请把条形统计图补充完整；
(3)学校为举办2023年度校园文化艺术节，决定从A.书法；B.绘画；C.乐器；D. 舞蹈四项艺术形式中选择其中两项组成一个新的节目形式，请用列表法或画树状图法求出选中书法与舞蹈组合在一起的概率．
21．已知：如图，是的直径，为弦，且于E，F为延长线上一点，连结交于M．求证：．

22．一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4．随机取一个小球然后放回，再随机摸出一个小球，求下列事件的概率：
(1)两次取出的小球的标号相同；
(2)两次取出的小球标号的和小于5．
23．在中，，于点，是线段上的动点（不与点，重合）、将线段绕点顺时针旋转得到线段．
(1)如图1，当点在线段上时，求证：是的中点；
(2)如图2，若在线段上存在点（不与点，重合），连接，，满足，直接写出线段与的数量关系，并证明．
24．在一个不透明的盒子里装有黑、白两种颜色的球共20个，这些球除颜色外其余完全相同．小颖做摸球试验，搅匀后，她从盒子里随机摸出一只球记下颜色后，再把球放回盒子中，不断重复上述过程，下表是实验中的部分统计数据：
摸球的次数n 10 20 50 100 200 400 500 1000
摸到白球的次数m 4 7 10 28 45 97 127 252
摸到白球的频率 0.400 0.350 0.200 0.280 0.225 0.243 0.254 0.252
(1)请估计：当n很大时，摸到白球的频率将会接近 （精确到0.01）；
(2)试估算盒子里白球有______个；
(3)某小组进行“用频率估计概率”的试验，符合这一结果的试验最有可能的是______（填写所有正确结论的序号）．
①从一副扑克牌（不含大小王）中任意抽取一张，这张牌是“红桃”．
②掷一个质地均匀的正方体骰子（面的点数分别为1到6），落地时面朝上点数“小于3”．
③投掷一枚均匀的硬币，落到桌面上恰好是正面朝上．
④甲、乙、丙、丁四人用抽签的方式产生一名幸运观众，正好抽到甲．
《（进阶篇）2025-2026学年下学期中学数学沪科版九年级期末练习卷》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D C B C C C B C D A
1．D
【分析】本题考查了圆的有关性质，垂径定理，确定圆的条件，根据圆心角、弧、弦的关系对①进行判断；根据等弧的定义对②进行判断；根据垂径定理的推论对③进行判断；根据确定圆的条件对④进行判断即可．
【详解】解：①在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆周角也相等，故不符合题意；
②在同圆或等圆中，长度相等的两条弧是等弧，故不符合题意；
③平分弦（非直径）的直径，也平分这条弦所对的两条弧，故不符合题意；
④平面上不共线的三点能确定一个圆，正确，符合题意；
故正确的结论是④，
故选：D
2．C
【分析】本题主要考查列表法与树状图法求概率．画树状图可得出所有等可能的结果数以及抽取两张卡片内容均为物理变化的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【详解】解：设四张卡片从左到右分别为A、B、C、D，则四张卡片内容中是物理学变化的有：B，D．画树状图如下：
∵共有12种等可能的结果，其中抽取两张卡片内容均为物理变化的结果有：共2种，
∴抽取两张卡片内容均为物理变化的概率为．
故选：C．
3．B
【分析】本题主要考查了树状图或列表法求解概率，正确画出树状图或列出表格是解题的关键．
先画出树状图得到所有等可能性的结果数， 再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可．
【详解】解：画树状图如下：
由树状图可知一共有9种等可能性的结果数，其中两只蚂蚁选择同一条路的结果数有3种，
∴两只蚂蚁选择同一条路的概率是．
故选：B．
4．C
【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，掌握垂径定理是解题的关键．根据垂径定理的推论，勾股定理即可求得的长
【详解】解：点C是的中点，
⊙O的半径为5，弦，
在中
故选C
5．C
【分析】连接、，过作于点，根据正六边形的特点得到，，进而证明是等边三角形，则，，据此可得答案．本题考查的是正多边形和圆，等边三角形的性质与判定，解直角三角形等知识，数形结合是解题的关键．
【详解】解：连接、，过作于点，则，如图所示，
∵多边形是正六边形，正六边形的周长是12，
∴，，
∵，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
故选：C．
6．C
【分析】本题考查了圆周角定理、含有30角的直角三角形的性质、正方形的性质．先连接BO，并延长交于点D，再连接，根据同圆中同弧所对的圆周角相等，可得，而是直径，那么易知是直角三角形，再利用直角三角形中30°的角所对的边等于斜边的一半，那么可求，根据任意圆内接正方形都是以两条互相垂直的直径作为对角线的四边形，从而可求正方形的面积．
【详解】解：连接，并延长交于点D，再连接，如图，
∵，
∴，
∵是直径，
∴，
在中，，
∴的直径是2，
∵的内接正方形是以两条互相垂直的直径为对角线的正方形，
∴=．
故选：C．
7．B
【分析】连接，根据等腰三角形的性质及圆周角定理得出，，再由等边对等角确定，利用三角形内角和定理即可求解
【详解】解：连接，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查了圆周角定理和等腰三角形性质，解题关键是连接半径，构建等腰三角形，依据圆周角的性质进行计算．
8．C
【分析】考查了直线和圆的位置关系与数量之间的联系和勾股定理，先根据题意可求出斜边的长，再过点C作于点，设，则，根据勾股定理列出关于长的等式，求得的长，再根据勾股定理求得的长，与半径相比较，即可得到直线与的位置关系．
【详解】解：，，，
，
如图，过点C作于点，设，则，

此时有，即，
解得：，此时，
半径为13，，
直线与的位置关系是相交，
故选：C．
9．D
【分析】本题考查了勾股定理的应用，旋转的性质，掌握直角三角形的斜边上的中线的性质是解决本题的关键．
根据勾股定理可得的值，再根据旋转的性质可得，，再结合直角三角形的斜边上的中线的性质即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
由旋转可得，，
∵点恰好为的中点，
∴，
故选D．
10．A
【分析】连接，取的中点K，连接，利用勾股定理求出，根据即可解决问题．
【详解】解：如图，连接，取的中点K，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵正方形的外接圆的半径为，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴的最小值为．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了圆的基本性质，正方形的性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线的性质，根据两点之间线段最短确定的最小值是解决本题的关键．
11．
【分析】设塔影留在坡面部分的塔高，塔影留在平地部分的塔高，根据平行线分线段成比例可知，进而解答即可．本题考查了相似三角形的相关应用，利用平底和斜坡上的物高与影长比得到相应的塔高的长度是解题的关键．
【详解】解：过点作，交于点，
设塔影留在坡面部分的塔高、塔影留在平地部分的塔高，则铁塔的高为，
∵，
∴，
∵，点是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴
∴铁塔的高度为．
故答案为：．
12． /120度
【分析】本题考查了三角形的内角和定理，勾股定理，旋转的性质，解直角三角形．
过点E作交的延长线于，由三角形的内角和定理可得，，由，可解，从而求出及，最后在中运用勾股定理求解即可．
【详解】解：如图，过点E作交的延长线于，
，，
，
，
，
，
∵，
∴在中，有，，
，
∴，
在中，由勾股定理得：．
故答案为：，．
13．
【分析】先证明为等腰直角三角形，再根据垂径定理及全等三角形判定定理（），可得，从而得到，则，根据扇形面积公式即可得到答案．
【详解】解：是半圆的直径，点为的中点，
为等腰直角三角形，
．
由垂径定理可得于点，
．
又，
（），
∴．
由圆的对称性和三角形全等的性质，可得，如图
，
．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查求不规则图形的面积，涉及垂径定理及推论，圆周角定理，全等三角形的判定，等腰直角三角形的性质，扇形面积，勾股定理等，熟知垂径定理及推论是解题的关键．
14．②③⑤
【分析】①假设，则，再根据点D是弧的中点得弧，则，即点D，C将半圆三等分，但是根据已知条件无法证明点D，C将半圆三等分，由此可对结论①进行判断；②延长交于H，连接，根据垂径定理得，则，即，据此可对结论②进行判断；③由弧得，再根据垂径定理得，据此可对结论③进行判断；④根据①的结论可推出在中，不是，则，故④错误；⑤连接，在中由，设，由结论②正确得，则，进而得，证明△AGD∽△FCB得，据此可对结论⑤进行判断，综上所述即可得出答案．
【详解】解：①如图：
假设，
则
∵点D是弧的中点，
∴点D，C将半圆三等分，
根据已知条件无法证明点D，C将半圆三等分，
∴假设是错误的，
故结论①不正确；
②延长交于H，连接，如图所示：
为直径，，
，
即，
，
故结论②正确；
③
，
为直径，，
，
，
故结论③正确；
④如图，连接，
根据已知条件无法证明点D，C将半圆三等分，
则无法证明，即无法证明，
在中，不是，则，故④错误；
⑤连接，如图2所示：
在中，，
∴可设，
由勾股定理得：，
由结论②正确得：，
，
在中，由勾股定理得：，
，
，
是直径，
，
，
，
，
故结论⑤正确．
综上所述：正确的结论是②③⑤，
故答案为：②③⑤．
【点睛】此题主要考查了垂径定理，圆周角定理，圆心角、弧、弦之间的关系，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数和勾股定理，熟练掌握垂径定理，圆周角定理，圆心角、弧、弦之间的关系，相似三角形的判定和性质，灵活运用锐角三角函数的定义和勾股定理进行计算是解决问题的关键．
15．
【分析】本题考查了旋转的性质，等边对等角，三角形内角和定理，根据旋转的性质得到，，，先求出的度数，根据三角形内角和以及等边对等角求出，然后求出结果即可．
【详解】解：是由绕点O顺时针旋转后得到的图形，
，，，
，
，
，
，
故答案为：．
16．（1），；（2）
【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，正多边形与圆，锐角三角函数的应用，掌握以上基础知识是解本题的关键；
（1）直接利用因式分解的方法解方程即可；
（2）连接，，证明，，再结合锐角三角函数解答即可．
【详解】解：（1），
∴，
∴或，
解得：，；
（2）如图，连接，，
∴，，
∵为边心距，则，
∴，，
∴．
17．扇面的面积为
【分析】本题主要考查了扇形面积计算，解题的关键是熟练掌握扇形面积公式．根据扇形面积公式分别求出两个扇形的面积，然后作差即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴扇面的面积为：
．
答：扇面的面积为．
18．．
【分析】本题考查树状图法或列表法求概率，画出树状图，找出所有等可能的结果及两张牌牌面数字相同结果，再由概率公式求解即可．熟练掌握概率公式是解题关键．
【详解】解：画树状图如图所示：
由树状图可知：共有9种等可能的结果，其中，两张牌牌面数字相同的结果有5种，
∴（抽取的两张牌牌面数字相同）．
19．(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】本题考查了旋转作图，中心对称，勾股定理，正确掌握相关性质是解题的关键．
（1）根据旋转的性质分别找出点，再依次连接，即可作答．
（2）根据中心对称的性质分别找出点，再依次连接，即可作答．
（3）运用勾股定理列式计算，即可作答．
【详解】（1）解：如图，即为所求；
（2）解：如图，即为所求；
（3）解：线段长度．
故答案为：．
20．(1)，
(2)
(3)
【分析】本题考查了数据的统计和列举图法求概率，解题关键是从统计图中获取正确信息，准确计算，利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或D的结果数目m，然后利用概率公式求事件A或B的概率．
（1）用A科目人数除以其对应的百分比可得总人数，用乘以对应的百分比可得的度数；
（2）用总人数乘以科目的百分比即可得出其人数，从而补全图形；
（3）画树状图展示所有种等可能的结果数，再找出恰好是“书法”“舞蹈”的结果数，然后根据概率公式求解．
【详解】（1）解：本次调查的学生共有（人），
扇形统计图中的度数是，
故答案为：，；
（2）解：选择C.乐器的人数为人，
补全条形统计图，如图所示：
（3）根据题意，画树状图如下：
由树状图可知，共出现种可能的结果，且每种结果出现的可能性相等，其中A与D组合的情况有种，
因此概率为：．
21．见详解
【分析】此题考查了垂径定理，直径所对圆周角为直角和同弧所对的圆周角相等．连接，由是的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可得，进而证得，则可证得结论．
【详解】证明：连接，如下图：

∵是的直径，
又∵与E，
∴，
∴，
∴，
∴．
22．(1)
(2)
【分析】本题考查了列表法求概率，根据题意列出表格，熟练掌握概率公式是解题的关键．
（1）先根据题意列表，再利用概率公式即可求解；
（2）结合（1）的表格和概率公式即可求解．
【详解】（1）解：列表得：
1 2 3 4
1
2
3
4
则所有可能情况有16种，两次取出的小球的标号相同有4种，
两次取出的小球的标号相同的概率为：．
（2）解：由（1）表格可得，所有可能情况有16种，两次取出的小球标号的和小于5的有，，，，，，共6种情况，
两次取出的小球的标号和小于5的概率为：．
23．(1)见解析
(2)，证明见解析
【分析】（1）由旋转的性质得，，利用三角形外角的性质求出，可得，等量代换得到即可；
（2）延长到H使，连接，，，通过证明点A，点F，点M，点E四点共圆，可得，证明，可得，，通过证明，可得，即可求解．
【详解】（1）证明：由旋转的性质得：，，
，
，
，
，
，即D是的中点；
（2）解：，证明如下：
如图，延长到H使，连接，，，
，，
，
，
，
点A，点F，点M，点E四点共圆，
，
又，
，
，
，
，
，
又，
，
，，
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，作出合适的辅助线，构造出全等三角形是解题的关键．
24．(1)0.25
(2)5
(3)①④
【分析】此题考查利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：部分的具体数目=总体数目×相应频率．
（1）由表中n的最大值所对应的频率即为所求；
（2）根据白球个数=球的总数×得到的白球的概率，即可得出答案；
（3）试验结果在0.67附近波动，即其概率，计算三个选项的概率，约为0.67者即为正确答案．
【详解】（1）解：由表可知，若从盒子里随机摸出一只球，则摸到白球的频率将会接近0.25；
故答案为：0.25；
（2）解：根据题意得：（个），
所以，盒子里白球有5个；
（3）解：①从一副扑克牌中任意抽取一张，这张牌是“红桃”的概率为，故此选项符合题意；
②掷一个质地均匀的正六面体骰子（面的点数标记分别为1到6），落地时面朝上的点数小于3的概率为，故不符合题意；
③投掷一枚均匀的硬币，落到桌面上恰好是正面朝上的概率为，不符合题意；
④甲、乙、丙、丁四人用抽签的方式产生一名幸运观众，正好抽到甲的概率为，故此选项符合题意．
故答案为：①④．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）

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