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（进阶篇）2025-2026学年下学期中学数学沪科版七年级新教材期末练习卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列计算中，正确的是（　　）
A． B．
C． D．
2．下列图形中，由，能得到的是（ ）
A． B．
C． D．
3．下列各数中，不是无理数的是（ ）
A．π B． C．（每两个1之间依次多一个0） D．
4．根据下图，下列判断正确的个数是（ ）

①；②；③；④
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．若关于x的一元一次不等式组的解为，且关于y的分式方程的解是正整数，则所有满足条件的整数a的值之和是（　　）
A．0 B． C． D．
6．若整数m使得关于x的方程的解为非负整数，且关于y的不等式组至少有3个整数解，则所有符合条件的整数m的和为（ ）
A．7 B．5 C．0 D．
7．已知等式（，为正整数），则的值不可能是（ ）
A． B． C．15 D．16
8．若关于x的分式方程有增根，则a的值为（ ）
A．5 B． C．4 D．
9．如图，于点A，于点C，下列推理中错误的是（ ）
A．由，得
B．由，得
C．由，，得
D．由，得
10．我国南宋数学家杨辉（约13世纪）所著的《详解九章算术》（1261年）一书中，用如图的三角形解释了展开式的系数规律，杨辉三角两腰上的数都是1，其余每个数为它的上方（左右）两数之和，这个三角形给出了的展开式（按的次数由大到小的顺序）的系数规律，例如：此三角形中第3行的3个数1，2，1，恰好对应着展开式中的各项的系数：第4行的4个数1，3，3，1，恰好对应着展开式中的各项的系数，…，下列说法：展开式各项系数之和为64；展开式各项中，系数最大的项是第四项和第五项 ；展开式中含的项的系数是2022．用此规律解决实际问题：今天是星期四，再过7天还是星期四，那么再过天是星期五；其中正确的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．某商品进价4元，标价5元出售，商家准备打折销售，但其利润率不能少于，则最多可打_______折．
12．计算：______．
13．若，当时，则m的取值范围是______．
14．定义：，计算：____________．
15．导火线的燃烧速度为0.8，爆破员点燃后跑开的速度为5，为了点火后能够跑到离爆破点150外（包含150）的安全地带，导火线的长度至少是________．
三、解答题
16．解方程：．
17．计算：．
18．计算：
(1)解不等式组：
(2)化简：
19．如图，直线相交于点O，，过点O作，射线平分．

(1)求、的度数；
(2)的内部作出射线，使得（要求：尺规作图不写作法，保留作图痕迹）．
(3)在（2）的条件下，判断与的位置关系，并说明理由．
20．如图，某小区内有一块长米，宽米的长方形广场，该小区要对边长为米的正方形阴影部分区域进行绿化，其余空白区域进行广场硬化．
(1)求该长方形广场上需要硬化部分的面积；
(2)若，，求硬化部分的面积．
21．如图，一块长为米，宽为米的长方形地块，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间将修建一座雕像．
(1)求绿化总面积：(用含有的式子表示，结果化为最简)
(2)若，写出此时的绿化总面积：_______平方米；
(3)在（2）的条件下，若有甲乙两个绿化队完成此项任务，已知甲队每天可绿化60平方米，乙队每天可绿化30平方米，若要求乙队工作时间不超过甲队时间的2倍，则甲队至少工作几天？
22．读懂下面的推理过程，并填空（理由或数学式）．
中国汉字博大精深，方块文字智慧灵秀，奥妙无穷，如图（1）是一个“互”字，如图（2）是由图（1）抽象出的几何图形，其中，点，，在同一直线上，点，，在同一条直线上，且，．求证：．
证明：如图（2），延长交于点．
∵（已知），
∴（ ① ）
又∵（已知），
∴ ② ，（ ③ ）
∴（ ④ ）
∴（ ⑤ ）（ ⑥ ）
又∵（已知），
∴（ ⑦ ）
∴（ ⑧ ）
23．【知识背景】
某学校开展科技节活动，在操场搭建一个科技展台，并安排了施工小组按设计图制作展板．
【步骤实施】请同学们完成以下四个任务．
任务一 （1）截取一个边长为的正方形，则这个正方形的面积为______．
任务二 （2）用4个相同的小正方形拼成一个面积为的大正方形，小正方形的边长为______．
任务三 （3）另有一块面积为的正方形板材，要从这块板材裁出一块面积为的长方形，使长方形的长与宽的比为，问能否裁出？请说明理由．
任务四 （4）任务一、任务二、任务三组合在一起，分别构成墙面、窗户和门（如下图），请用涂料涂满除门窗（正方形和长方形）外剩下的墙面．并用彩带装饰窗户的四周（即正方形的周长），在购买涂料和彩带时有以下两种方案可供选择（如下表），问哪种方案更划算？请说明理由．（）
《（进阶篇）2025-2026学年下学期中学数学沪科版七年级新教材期末练习卷》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D C B C A A C B B B
1．D
【分析】本题考查了合并同类项、幂的乘方、单项式的乘法、同底数幂的乘法．利用合并同类项、幂的乘方、单项式的乘法、同底数幂的乘法运算法则进行运算，并逐项判断即可．
【详解】解：A、与，不是同类项，不能合并，本选项不符合题意；
B、，本选项不符合题意；
C、，本选项不符合题意；
D、，本选项符合题意；
故选：D．
2．C
【分析】根据平行线的判定定理（同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行），分析各选项中与的位置关系及所涉及的直线即可．
【详解】解：A．∵，
∴，不能得到，不符合题意；
B．由不能得到，不符合题意；
C．如图，
∵，，
∴，
∴，符合题意；
D．由不能得到，不符合题意．
3．B
【分析】本体考查的是无理数的定义，无限不循环小数叫做无理数，常遇到的无理数有三类：开方开不尽的数的方根，如，等；特定结构的数，如；特定意义的数，如π．
【详解】解：A、π是无理数，故本选项不合题意；
B、是分数，属于有理数，故本选项符合题意；
C、（每两个1之间依次多一个0）是无理数，故本选项不合题意；
D、是无理数，故本选项不合题意；
故选：B．
4．C
【分析】根据数轴可得，，然后结合有理数的加减运算法则，不等式的性质，相反数的意义逐项判断即可．
【详解】解：由数轴得：，①错误；
∵，，
∴，，
∴，②正确；
∵，，
∴，③正确；
∵，，
∴，④正确；
综上，正确的有3个，
故选：C．
【点睛】本题考查了数轴，有理数的加减，不等式的性质，相反数，根据数轴判断出a、b、c之间的关系是解题的关键．
5．A
【分析】本题考查了解一元一次不等式组，分式方程的解，先解不等式组，然后利用不等式组的解集求出a的范围，最后根据分式方程的解为正整数确定a的值即可解答．
【详解】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∵不等式组的解集为：，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∵方程的解是正整数，
∴且，
∴且，
∴且，
∴能使y有正整数解的a为：0，
∴所有满足条件的整数a的值之和为：0．
故选：A．
6．A
【分析】本题考查解分式方程、解一元一次不等式组、一元一次不等式组的整数解，解答本题的关键是明确题意，求出a的取值范围．根据方程的解为非负整数得，，1，4，7，…；根据至少有3个整数解得，进而可求出符合条件m的值，然后求和即可．
【详解】解：，
去分母，得
，
解得，
∵分式方程的解为非负整数，
∴m＋5＝0，3，6，9，12，…，
解得，，1，4，7，…；
解得，
∵不等式组至少有3个整数解，得到，
∴，，1，4，7．（因分式方程中故舍去）．
故m可取的整数值为，1，4，7，
∴其和为7．
故选A．
7．C
【分析】本题考查了多项式乘多项式，根据多项式乘多项式的运算法则进行计算，然后根据对应项的系数相等求出的值即可求解，熟练掌握多项式乘多项式法则是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，，
∵为正整数，
∴，
∴或或或或，
∴的值不可能是，
故选：C．
8．B
【分析】本题主要考查分式方程增根的定义，解决本题的关键是要熟练掌握分式方程的解法和增根的定义．分式方程的增根是使得最简公分母为0的未知数的取值，先把分式方程化为整式方程，即可求解．
【详解】解：
方程两边同乘得：，
∵方程有增根，
∴满足，即
解得：
故选：B
9．B
【分析】本题主要考查了平行线的判定定理，解题的关键是掌握同位角相等两直线平行．
判断两个角是否是同位角，即可判断推理是否正确．
【详解】解：A、和是同位角，，故，A选项推理正确，不符合题意；
B、和不是同位角，由不能得到，所以B选项推理错误，符合题意；
C、∵，，
且，，
∴，
∴，C选项推理正确，不符合题意；
D、和是同位角，，故，D选项推理正确，不符合题意．
故选：B．
10．B
【分析】本题考查了完全平方公式，数字的变化类，根据展开式的系数规律逐项判断即可得出答案，熟练掌握展开式的系数规律是解此题的关键．
【详解】解：由展开式的系数规律可知，展开式的系数依次是，，，，，，，
展开式各项系数之和为，故①正确，符合题意；
由展开式的系数规律可知，展开式的系数依次是，，，，，，，，
展开式各项中，系数最大的项是第四项和第五项，故②正确，符合题意；
展开式中含的项，即展开式中的第2项，由展开式的系数规律可知，第2项的系数是，故③错误，不符合题意；
（为各项的系数），，能被整除，
除以余，
今天是星期四，再过7天还是星期四，那么再过天是星期五，故④正确，符合题意；
综上所述，正确的是①②④，
故选：B．
11．8.8
【分析】设打x折，由题意可得，然后求解即可．
【详解】解：设打x折，由题意得，
解得：；
故答案为8.8．
【点睛】本题主要考查一元一次不等式的应用，熟练掌握一元一次不等式的应用是解题的关键．
12．1
【分析】根据同分母分式加减法法则，先计算分子的整式减法，再约分即可得到结果．
【详解】解：原式
．
13．
【分析】本题考查了非负数的性质，求一元一次不等式的解集，根据非负数的性质列出方程求出、，然后列出不等式求解可．
【详解】解：由题意得，，，
解得，，
，
，
解得．
故答案为：．
14．
【分析】本题考查了新定义，负整数指数幂，异分母分式加法，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
根据，得，再进行化简，即可作答．
【详解】解：∵，
∴
．
故答案为：
15．24
【分析】此题主要考查了一元一次不等式的应用，关键是读懂题意，找到符合题意的不等关系式．设导火线应有x厘米长，根据题意可得“爆炸的时间大于等于跑开的时间”，由此可列出不等式，然后求解即可．
【详解】解：设导火线的长度为x，
根据题意，得，解得，
导火线的长度至少是24．
故答案为24．
16．无解
【分析】本题考查解分式方程，利用去分母将方程化为整式方程，解得x的值后进行检验即可．
【详解】解：
去分母、去括号得，，
移项、合并同类项得，，
系数化为1得，，
检验，当时，，
是原方程的增根，故原方程无解．
17．
【分析】此题考查实数的混合运算．根据有理数的乘方，零指数幂，负整数指数幂的性质分别化简，再计算加减法即可．
【详解】解：
．
18．(1)
(2)
【分析】本题考查解一元一次不等式组和分式混合运算，熟练掌握确定不等式组解集的原则和分式混合运算法则是解题的关键．
（1）先求出不等式组中每一个不等式的解集，再根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无处找”的原则性确定出不等式组的解集即可；
（2）先根据整式加分式法则计算括号内的，再运用分式除法法则转化成分式乘法运算，然后约分即可．
【详解】（1）解：，
由①得：，
由②得：，
将不等式①②的解集在数轴上表示为：
不等式组的解集为：；
（2）解：
．
19．(1)、
(2)画图见解析
(3)，理由见解析
【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，垂直的定义，作与已知角相等的角的尺规作图：
（1）由平角的定义结合角之间的关系可得，，据此根据角平分线的定义可得答案；
（2）根据作与已知角相等的角的尺规作图方法作图即可；
（3）根据垂直的定义得到，，进而推出，则，即．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∵射线平分，
∴
（2）解；如图所示，射线即为所求；

（3）解：，理由如下：
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
20．(1)平方米
(2)平方米
【分析】本题考查多项式乘多项式在几何图形中的应用．图中空白部分的面积不方便直接求出，可通过间接求面积法获得，这种方法在很多几何图形求面积的题目中应用广泛，需重点把握．
由题意可知空白部分的面积长方形的面积阴影部分的面积．长方形的面积是长宽，即；阴影部分是正方形，其面积是，所以空白部分的面积是；
将，的数值代入题中的代数式求值即可．
【详解】（1）解：根据题意，广场上需要硬化部分的面积是：
，
答：广场上需要硬化部分的面积是平方米．
（2）把，代入得，
（平方米）
答：广场上需要硬化部分的面积是平方米．
21．(1)绿化总面积为
(2)360
(3)甲队至少工作3天
【分析】本题考查多项式乘以多项式，完全平方公式，代数式求值，一元一次不等式的应用，正确列式和不等式是解题的关键．
（1）利用长方形的面积减去正方形的面积求解即可；
（2）代入a、b的值计算即可；
（3）根据题意列出不等式求解即可．
【详解】（1）解：
，
答：绿化总面积为．
（2）当时，，
故答案是：360；
（3）解：设甲队工作x天，
，
，
答：甲队至少工作3天．
22．两直线平行，内错角相等；；等量代换；同位角相等，两直线平行；；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，同旁内角互补；同角的补角相等
【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，熟练掌握平行线的性质与判定推理证明是解题的关键．
根据“两直线平行，内错角相等”，得出，推出，根据“同位角相等，两直线平行”，证明，结合已知，根据“两直线平行，同旁内角互补”、“同角的补角相等”，即可证明．
【详解】证明：如图（2），延长交于点，
∵（已知），
∴（两直线平行，内错角相等），
又∵（已知），
∴（等量代换），
∴（同位角相等，两直线平行），
∴（两直线平行，同旁内角互补），
又∵（已知），
∴（两直线平行，同旁内角互补），
∴（同角的补角相等）．
故答案为：两直线平行，内错角相等；；等量代换；同位角相等，两直线平行；；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，同旁内角互补；同角的补角相等．
23．（1）400（2）（3）能裁出，理由见解析（4）方案二更划算，理由见解析
【分析】本题考查算术平方根的应用，熟练掌握算术平方根的定义，是解题的关键：
（1）直接利用面积公式进行计算即可；
（2）根据面积公式求边长即可；
（3）设长方形的长为，宽为，根据题意，列出方程求出长和宽，与正方形的边长比较即可；
（4）求出涂墙面积和彩带长度，分别计算出两种方案所需费用，判断即可．
【详解】解：（1）；
故答案为：400；
（2）；
故答案为：；
（3）能裁出，理由如下：
正方形的边长为：，
设长方形的长为，宽为，
∴，
解得：（负值舍掉）；
∴长方形的长为，宽为；
∵，
∴能裁出；
（4）方案二更划算，理由如下：
由题意，得：涂墙面积为：；
彩带长度为：，
∴方案一的费用为：元；
方案二的费用为：元；
∵，
∴方案二更划算．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）

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