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（培优篇）2025-2026学年下学期中学数学沪科版八年级新教材期末练习卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．随着芯片技术的飞速发展，电子元器件产业也随之蓬勃发展，质检部门从4000件电子元件中随机抽取1000件进行检测，其中有3件是次品，试据此估计这批电子元件中次品数量大约为（ ）
A．6 B．3 C．12 D．9
2．如图，四边形是平行四边形，点在线段的延长线上，若，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
3．在一次夏令营活动中，小明从A营地出发，要到A营地的北偏东方向的C营地，他先沿正东方向走了100米到达B营地，再沿北偏东方向走， 恰好能到达C营地(如图)，由此可知C营地到直线的距离是（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
4．若直角三角形的两直角边长分别为，，且满足，则该直角三角形的第三边长为（ ）
A．5 B． C．3 D．4
5．在平面直角坐标系中，函数的图象与轴，轴交于点，则下列描述正确的是（ ）
A．为等腰直角三角形 B．点坐标为
C．图象经过第一、三、四象限 D．点到的图象距离为1
6．估计的值在哪两个数之间（ ）
A．4与5 B．5与6 C．6与7 D．7与8
7．如图，正方形的边长为，P为对角线上动点，过P作于E，于F，连接，则的最小值为（ ）

A．2 B．4 C． D．1
8．如图，在平面直角坐标系中，四边形为正方形，点坐标为，点坐标为，线段轴，点在轴上，点的坐标为，若正方形沿轴左右运动，连接、，则在运动过程中，四边形周长的最小值是（ ）

A． B． C． D．
9．如图，中，垂直的角平分线于为的中点，则图中两个阴影部分面积之差的最大值为（ ）

A．18 B．16 C．15 D．12
10．关于的一元二次方程有两个正实数根，则的取值范围为（ ）
A．且 B． C． D．
二、填空题
11．某商场准备进双滑冰鞋，了解了某段时间内销售的双滑冰鞋的鞋号，数据如下：
鞋号
销售量/双
根据以上数据，估计该商场进鞋号需求最多的滑冰鞋的数量为________双．
12．如图，点A，B，C，D在同一直线上，，点C，F分别是，的中点，若，则的长为______．
13．☆|数学文化《几何原本》欧几里得的《几何原本》中记载，形如 的方程的图解法如下：如图，以和b为两直角边长作，再在斜边上截取 则 的长就是所求方程的正根．
利用以上方法解关于x的一元二次方程 时，若构造后的图形满足，则m的值为________．
14．如图，在边长为2的正方形中，对角线，相交于点O，若点E为的中点，F为直线上的动点（不与点D重合），当为以为腰的等腰三角形时，的长为__________．
15．正方形的边长为8，点、分别在边、上，将四边形沿折叠，使点落在处，点落在点处，交于．以下结论：①当为中点时，三边之比为；②连接，则；③当三边之比为时，为中点；④当在上移动时，周长不变．其中正确的有___________（写出所有正确结论的序号）．
三、解答题
16．解方程：
(1)
(2)
17．实数在数轴上的位置如图所示，化简：．
18．已知求代数式的值．
19．如图， 在的网格中， 每个小正方形的边长均为一个单位．
（请按要求完成下列作图：（1）仅用无刻度的直尺；（2）保留作图痕迹；（3）标注相关字母）

(1)在图1中画出以为一边， 面积为12的等腰三角形；
(2)在图 2 中画出平分面积的线段；
(3)在图 3 中画出的角平分线
20．在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形纸片的折叠”为主题开展数学活动．
【操作发现】
（1）如图1，将矩形沿着对角线折叠，使点C落在处，交于点E，同学们发现，请你给出证明；．
【初步应用】
（2）在（1）的条件下，在图1中，用尺规作的平分线，分别交，于点F，G（保留作图痕迹，标明字母），若，，求出的长；
【深入探究】
（3）如图2，在矩形中，，，点E为射线上一个动点，把沿直线折叠，当点A的对应点F刚好落在线段的垂直平分线上时，直接写出的长．
21．《皇帝内径》中提出“五谷为养，五果为助，五兽为益，五菜为充”的饮食原则说明追求饮食营养在我国具有悠久的历史，随着经济的发展，我国居民健康状况和营养水平不断改善．据科学研究显示，与膳食营养相关的问题对我国青少年健康的影响日益凸显．为调查某学校食堂提供的早餐是否有利于学生的健康，某市教育局调查小组进行以下的研究：
（一）调查得：学校食堂为初二学生（年龄岁）提供的早餐食品包含：一盒的牛奶、一份的谷物食品和一个鸡蛋，其中鸡蛋、牛奶和谷物食品的部分营养成分见如表：
鸡蛋（每） 牛奶（每） 谷物食品（每）
能量 603 261 1310
蛋白质 25 3 8.1
脂肪 8.6 3.6 4.5
碳水化合物 24 4.5 58.1
（二）调查小组从食堂提供的鸡蛋中抽取了200个，根据其单个鸡蛋的质量画出频数分布直方图，如图所示．
（三）查阅资料得：国家卫生疾控局关于我国14~17岁青少年膳食营养参考摄入量如表所示．
能量需要量（千卡/天） 蛋白质摄入量（克/天） 可接受的脂肪含量（克/天）
男 2500 75
女 2000 60
国家卫生疾控局根据中国居民的饮食习惯，建议全天膳食营养摄取比例为：早餐占，午餐占，晚餐占，已知1千卡约等于．
(1)请计算出学校食堂提供的鸡蛋的单个平均质量；
(2)根据以上数据进行计算，判断这份早餐是否符合初二学生（年龄岁）的膳食营养需求？若不满足，说明理由，并请你给食堂的早餐提出改善建议．
22．某水果超市第一次花费2200元购进甲、乙两种水果共350千克．已知甲种水果进价每千克5元，售价每千克10元；乙种水果进价每千克8元，售价每千克12元．
(1)第一次购进的甲、乙两种水果各多少千克？
(2)由于第一次购进的水果很快销售完毕，超市决定再次购进甲、乙两种水果，它们的进价不变．若要本次购进的水果销售完毕后获得利润1840元，甲种水果进货量在第一次进货量的基础上增加了，售价比第一次提高了；乙种水果的进货量为100千克，售价不变．求m的值．
23．【问题背景】
如图所示，某兴趣小组需要在正方形纸板上剪下机翼状纸板（阴影部分），点E在对角线上．
【数学理解】
(1)该机翼状纸板是由两个全等三角形组成，请写出的证明过程．
(2)若裁剪过程中满足，求“机翼角”的度数．
24．如图1，在平面直角坐标系中，直线经过点，与直线 交于点 B，且点B的横坐标为3．
(1)求直线的解析式；
(2)点C为直线上一点，过点C作直线轴，交直线于点D，过点D作直线轴，交直线于点E，以线段和为邻边作矩形，设点C的横坐标为m，矩形的周长为y，求y与m之间的函数关系式，并直接写出自变量m的取值范围；
(3)在（2）的条件下，直线与x轴交点为G，若点G到直线的距离与到y轴的距离相等，请直接写出点G的坐标．
《（培优篇）2025-2026学年下学期中学数学沪科版八年级新教材期末练习卷》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C D C A A C A A A D
1．C
【分析】本题考查用样本估计总体，弄清题意是解答本题的关键；根据随机抽取1000件进行检测，其中有3件是次品，可以计算出这批电子元件中大约有多少件次品．
【详解】解：（件），
即这批电子元件中大约有12件次品，
故选：C．
2．D
【分析】根据平角的性质可求出的度数，根据平行四边形的性质即可求出的度数．
【详解】解：∵点在线段的延长线上，，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
故选：．
【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，掌握平行四边形的对角相等是解题的关键．
3．C
【分析】先结合方向角的度数得到三角形中角的度数，再利用直角三角形性质得到三角形的各个角的度数，进而推出，最后利用勾股定理求解，即可解题．
【详解】解：由题知，，
，
，
米，
米，
米，
米．
4．A
【分析】本题考查勾股定理的应用、绝对值和二次根式的非负性，注意题目已经指定了，为两直角边的长是解题的关键．
根据二次根式和绝对值的非负性求出a、b的值，再利用勾股定理进行求值即可．
【详解】解：∵，
∴，即，，
∴，，
即直角三角形的两直角边长分别为3，4，
∴直角三角形的第三条边长为：，
故选：A．
5．A
【分析】由题意，根据一次函数图象与坐标轴交点的求法得到、，确定、B错误；再通过数形结合，由等腰直角三角形的判定即可确定A正确；由一次函数图象过象限即可判定C错误；再由等腰直角三角形的性质、勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识即可判定D错误．
【详解】解：在平面直角坐标系中，函数的图象与轴，轴交于点，
当时，，则；当时，，则；
A、、，
，且，则为等腰直角三角形，
故该选项正确，符合题意；
B、，
点坐标为错误，不符合题意；
C、在平面直角坐标系中，函数的图象与轴，轴交于点，
，且、，则图象经过第一、二、四象限，
故该选项错误，不符合题意；
D、过点作于点，如图所示：
是等腰直角三角形，，
由勾股定理可得，
，
由等腰三角形三线合一性质可知，是斜边上的中线，
，即点到的图象距离为，
故该选项错误，不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查一次函数图象与性质，涉及一次函数图象与坐标轴交点的求法、一次函数图象过象限、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识．熟练掌握一次函数图象与性质、直角三角形性质是解决问题的关键．
6．C
【分析】本题主要考查了无理数的估算，掌握利用完全平方数和算术平方根对无理数的大小进行估算是解题的关键．
先估算的范围，然后再确定的范围即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴．
故选C．
7．A
【分析】连接，，再根据已知条件可得四边形是矩形，从而可得当点是正方形对角线和的交点时，此时最小，进而可得的最小值．
【详解】解：连接，，
，，，
四边形是矩形，
，
∵，
∴当点是正方形对角线和的交点时，最小，
四边形是正方形，边长为，
∴，
，
的最小值为的最小值为2，
故选：A．
【点睛】本题考查了正方形的性质、三角形三边的关系、勾股定理、矩形的判定与性质，解决本题的关键是能够明确四边形是矩形．
8．A
【分析】本题考查轴对称最短问题，勾股定理，正方形的性质，平行四边形的判定与性质等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，属于中考填空题中的压轴题．在上截取，使得，作点F关于直线的对称点，连接交直线于G，即为．此时四边形周长，当最小时，四边形周长最小，
【详解】解：∵四边形为正方形，点A坐标为，点C坐标为，线段轴，点D的坐标为，
∴，，，，
在上截取，使得，则四边形是平行四边形，
∴；
作点F关于直线的对称点，连接交直线于G，即．

此时四边形周长，
当最小时，四边形周长最小，
当点D、A、在同一直线上，即点A与点G重合时，最小，最小值为．
∵，，
∴，
即最小值为，
∴四边形ADEB周长的最小值．
故选：A．
9．A
【分析】延长交的延长线于点H．设交于点O．通过证明，，得出，
则当时，的面积最大，即可求解．
【详解】解：延长交的延长线于点H．设交于点O．

∵，
∴，
∴，°，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∵，
∴当时，的面积最大，最大面积为．
故选：A．
【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，等角的余角相等，三角形中线的性质等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题．
10．D
【分析】本题考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，注意正根的条件是根的和与积均大于零是解题的关键．
根据一元二次方程有两个正实数根的条件，需满足二次项系数不为零、判别式非负、根的和与积均为正，依次列不等式求解即可．
【详解】∵ 方程 有两个正实数根，
∴ ，且判别式 ，解得 ，
又根的和 ，根的积 ，
∵ 分子均为正，
∴ ，
综上，．
故选 D．
11．
【分析】本题考查了用样本估计总体，熟练掌握用样本估计总体的方法是解题的关键．
根据题意销量最多的码所占的比例为，计算即可得到答案．
【详解】解：根据表格中的数据可得销售的40双滑冰鞋中，码的最多，为双，
码滑冰鞋所占比例为，
该商场进鞋号需求最多的滑冰鞋的数量为（双），
故答案为： ．
12．4
【分析】本题考查了三角形中位线的性质，三角形全等的判定与性质，根据题意得到是的中位线，得到，推出，证明，得到，由，求出，即可得出结果．
【详解】解：点C，F分别是，的中点，
是的中位线，
，
，
，
，
，
，点F分别是的中点，
，
，
故答案为：4．
13．
【分析】本题考查了一元二次方程的图解法，理解图解法的含义是解答本题的关键． 根据题意构造图形，则，，，然后代入一元二次方程即可求出m的值．
【详解】解：根据题意，构造图形如图所示:
则，，
∵，
∴，
即m就是的一个正根，
∴
解得 (负值已舍)．
故答案为：．
14．或或
【分析】考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，坐标与图形综合，分情况讨论思想，建立直角坐标系利用两点间距离公式是解题的关键．先建立以B为坐标原点的平面直角坐标系，求出直线表达式，分两种情况：或讨论求解即可．
【详解】解：如图建立平面直角坐标系，则，
设直线的解析式为：，
将点代入，得，
直线的解析式为：，
设的坐标为，
分情况讨论：情况一：
，则，
解得，（舍去，与D重合）或，
，
，
情况二：，
，则
解得，，
当时，如图，，
当时，如图，
综上所述，的长为或或．
故答案为：或或．
15．①②④
【分析】①当为中点时，设，则，根据勾股定理列出方程求解，可推出①正确；②连接交于点Q，过点E作，证明，即可得出②正确；③当三边之比为时，假设，根据，可求出a的值，进一步求得，即可判断③错误；④过点A作，垂足为H，连接，，先证明，可得，再证明，可得，由此可得的周长为16，即可得④正确；
【详解】∵为中点，正方形的边长为8，
∴，
由翻折可知：，
设，则，
∵在中，，
∴，
解得：，
∴，
∴当为中点时，三边之比为，
故①正确；
如图，连接交于点Q，过点E作，垂足为M，交于点N，
，
，
由翻折可知：垂直平分，
在和中，
，
，
故②正确；
当三边之比为时，假设，则，
∵，
∴，
解得：
∴，
∴此时点不是中点，
故③错误；
如图，过点A作，垂足为H，连接，，
由翻折可知：，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
在与中，
∵，
∴，
∴，
∴的周长为：
，
∴当在上移动时，周长不变，
故④正确；
故答案为①②④．
【点睛】本题属于几何综合题，考查了正方形的性质，折叠的性质，勾股定理，全等三角形的判定及性质，熟练掌握相关图形的性质是解决本题的关键．
16．(1)
(2)
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键．
（1）先移项，再把方程左边利用平方差公式分解因式，进而解方程即可；
（2）把方程左边利用十字相乘法分解因式，进而解方程即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，
∴或，
解得；
（2）解：∵，
∴，
∴或，
解得．
17．
【分析】本题考查了实数与数轴，平方根与立方根，二次根式的性质与化简等知识，由图可知，，得到，，然后化简求解即可，掌握相关知识是解题的关键．
【详解】解：由图可知，，，
∴，，
∴
．
18．5
【分析】利用二次根式的化简，完全平方公式，因式分解解答即可．
本题考查了二次根式的化简，完全平方公式，因式分解，熟练掌握完全平方公式．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
19．(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】本题考查了网格上的无刻度直尺作图，掌握理解题意，找到相应数学知识是解题的关键．
(1)设边上的高为h，根据题意，得，确定h，后画图即可．
(2)根据三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分，只需画中线即可．
(3)在上截取，连接，，二线交于点O，根据矩形的性质，得到点O是的中点，根据等腰三角形的三线合一性质，得到平分，作射线交于E，则即为所求．
【详解】（1）设边上的高为h，根据题意，得，
解得，
根据等腰三角形的三线合一性质，画图如下：

则即为所求．
（2）画的垂直平分线，交于点D，

连接，
则线段即为所求．
（3）根据题意，得，
在上截取，连接，，二线交于点O，根据矩形的性质，
点O是的中点，根据等腰三角形的三线合一性质，得到平分，作射线交于E，

则即为所求．
20．（1）见解析；（2）作图见解析，3；（3）的长为或10
【分析】（1）由长方形的性质得，再证，得证；
（2）根据尺规作图作角平分线的步骤作图即可，设，则，然后在中，由勾股定理得出方程，解方程可得的长为3，则，根据等腰三角形的性质可知，可证，得，即可求解；
（3）分两种情况，①当点在长方形内部时，由折叠的性质得，，再由勾股定理得，设，则，然后在中，由勾股定理得出方程，解方程即可；②当点在长方形外部时，折叠的性质得，，同①得，设，则，然后在中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
【详解】解：（1）证明：四边形是矩形，
∴，
，
由折叠的性质得：，
，
；
（2）如图，即射线为所求；
在矩形中，，，
设，则，
在中，由勾股定理得：，
即，
解得：，即的长为3，则，
∵，平分，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴；
（3）四边形是长方形，
，，
设线段的垂直平分线交于点，交于点，
则，
分两种情况：
①如图，当点在长方形内部时，
点在线段的垂直平分线上，
，，
由折叠的性质得：，，
在中，由勾股定理得：，
，
设，则，
在中，由勾股定理得：，
即，
解得：，
即的长为；
②如图，当点在长方形外部时，

由折叠的性质得：，，
同①同理得：，
，
设，则，
在中，由勾股定理得：，
即，
解得：，
即的长为10；
综上所述，点刚好落在线段的垂直平分线上时，的长为或10．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质、折叠的性质、等腰三角形的判定、勾股定理、线段垂直平分线的性质以及分类讨论等知识，本题综合性强，熟练掌握长方形的性质、折叠的性质和勾股定理是解题的关键，属于中考常考题型．
21．(1)学校食堂提供的鸡蛋的单个平均质量为50克
(2)不满足初二学生（年龄岁）的膳食营养需求；建议见解析
【分析】本题考查的是频数分布直方图和加权平均数，熟练掌握加权平均数的计算方法是解题的关键．
（1）根据单个鸡蛋的质量的频数分布直方图，可知：鸡蛋的单个平均质量，计算即可；
（2）不满足初二学生（年龄岁）的膳食营养需求；建议是：适当减少鸡蛋的食用量，增加牛奶的食用量．
【详解】（1）解：根据单个鸡蛋的质量的频数分布直方图，可知：鸡蛋的单个平均质量为：
（克），
答：学校食堂提供的鸡蛋的单个平均质量为50克．
（2）解：根据表1可知，早餐中：
能量：；
蛋白质；
脂肪：；
其中，能量：（千卡），
将表（三）中的表格数据乘，可得早餐区间：
男：能量为；蛋白质为；脂肪为；
女：能量为；蛋白质为；脂肪为；
对比数据可得：对于男生来说，能量摄入过低；对于初二学生来说，蛋白质摄入过高，
∴不满足初二学生（年龄岁）的膳食营养需求；
建议是：适当减低少鸡蛋的食用量，增加牛奶的食用量，
答：不满足初二学生（年龄岁）的膳食营养需求；建议是：适当减少鸡蛋的食用量，增加牛奶的食用量．
22．(1)第一次购进甲水果200千克，购进乙水果150千克
(2)m的值为10
【分析】本题主要考查了列一元一次方程和一元二次方程解决实际问题，解题的关键是找准等量关系，列出方程求解．
（1）设第一次购进甲水果x千克，则购进乙水果千克，根据购买的总价列出方程求解即可；
（2）根据利润列出一元二次方程，然后求解即可．
【详解】（1）解：设第一次购进甲水果x千克，则购进乙水果千克，
依题意得，
解得
当时，．
答：第一次购进甲水果200千克，购进乙水果150千克；
（2）解：依题意得
整理得
解得（不合题意，舍去）
答：m的值为10．
23．(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定，等边对等角，三角形内角和定理，熟知相关知识是解题的关键．
（1）由正方形的性质可得，据此可利用证明；
（2）由正方形的性质可得，再由等边对等角和三角形内角和定理求出的度数即可得到答案．
【详解】（1）证明：∵四边形是正方形，
∴，
又∵，
∴；
（2）解：∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
24．(1)
(2)
(3)点G的坐标为或
【分析】（1）首先求出，然后利用待定系数法求解即可；
（2）首先得到，，，然后根据题意分两种情况讨论，分别表示出，，进而求解即可；
（3）如图所示，过点G作，设与x轴交于点M，当点G在x轴正半轴时，得到，得到，，求出，然后利用列方程求解，当点G在x轴负半轴时同理求解即可．
【详解】（1）解：将代入，
∴，
将，代入得，，
解得，
∴直线的解析式为；
（2）解：∵设点C的横坐标为m，
∴，
根据题意得，点D的横坐标为m，
∴，
根据题意得，点D的纵坐标和点E的纵坐标相等，点F的纵坐标和点C的纵坐标相等，
∴将代入得，，
∴，
∴，
∴如图所示，当点C在点B右边时，即时，
∴，，
∴矩形的周长；
∴如图所示，当点C在点B右边时，即时，
∴，，
∴矩形的周长；
综上所述，；
（3）解：过点G作，设与x轴交于点M
∵，
∴当时，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
如图所示，当点G在x轴正半轴时，
∵点G到直线的距离与到y轴的距离相等，直线与x轴交点为G
∴，
∵，
∴，
∴，
解得，
∴；
如图所示，当点G在x轴负半轴时，
∵点G到直线的距离与到y轴的距离相等，直线与x轴交点为G
∴，
∵，
∴，
∴，
解得，
∴；
综上所述，点G的坐标为或．
【点睛】此题考查了一次函数与几何综合，求一次函数解析式，勾股定理，矩形的性质和判定，分母有理化等知识，解题的关键是掌握以上知识点．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）

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