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（培优篇）2025-2026学年下学期中学数学沪科版七年级新教材期末练习卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．若，则，分别为（ ）
A．， B．， C．， D．，
2．如图，下列选项中，判定错误的是（　　）

A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
3．下面是投影屏幕上显示的一道解答题，横线上的符号代表的内容不正确的是（ ）
如图，已知，，，求的度数． 解：∵，， ∴， ∴∥★（●）， ∴■（※）． ∵， ∴．
A．★代表 B．●代表同位角相等，两直线平行
C．■代表 D．※代表同旁内角互补，两直线平行
4．如图，已知，，且，则下列结论：①，②，③，④，其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．如图，在数轴上，点表示实数，则可能是（ ）
A． B． C． D．
6．下列各式，不能运用平方差公式的是（ ）
A． B．
C． D．
7．若为正整数，则化简的结果可以是（ ）
A．0 B． C． D．2
8．设是实数，不大于的最大整数记作，如，令，则的值为（ ）
A．29 B．30 C．31 D．32
9．如果a，b，c，d都是非零实数，且满足，下列结论中，（1）（2）（3），则一定成立的命题个数是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
10．如图，，M是平面内一点，连接MB，MC，的平分线与的平分线交于点N．若，则的度数为（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
二、填空题
11．已知关于的方程组，其中，若，则的取值范围为______．
12．如图，和是直线____________，____________被直线____________所截构成的____________角．
13．如图，三角形的面积为12，的长为6，P为直线上一动点，连接，则线段的最小值是________．
14．数轴上点A表示的数是1，点B，C分别位于点A的两侧，且到点A的距离相等．若点B表示的数是，则点C表示的数是__________．
15．若关于x的一元一次不等式组有且仅有5个整数解，且关于y的分式方程的解是非负整数，则所有满足条件的整数a的值之和是______．
三、解答题
16．先化简，再求值，请你从中找一个合适的a值代入求值．
17．方法探究：同学们在学习数学过程中，遇到难题可以考虑从简单到特殊的情况入手，例如：求的值．分别计算下列各式的值：
(1)填空：
；
；
；
由此可得 ；
(2)计算： ；
(3)根据以上结论，计算：
18．先阅读材料，解答下列问题：
我们已经知道，多项式与多项式相乘的法则可以用平面几何图形的面积来表示，实际上还有一些代数恒等式也可以用这种形式表示，例如：等式就可以用图形①的面积来表示．
(1)请写出图②所表示的代数恒等式______．
(2)画出一个几何图形，使它的面积能表示；
(3)请仿照上述方法写出另一个含、的代数恒等式，并画出与之对应的几何图形．
19．如图， 直线相交于点O，平分， 过点O在内部作射线．
(1)补全图形；
(2)若， 求的度数．
20．2024年成都世界园艺博览会于4月26日开幕，成都将向世界展示中华园艺文化的魅力和底蕴．某学校以此为契机，计划开展“遇见生态文明之美”研学活动．本次活动需租用客车，若单独租用30座客车若干辆，则刚好坐满；若单独租用45座客车，则可以少租4辆，且空余30个座位．已知每辆客车的租金情况如表所示：
车型 30座 45座
租金（元/辆） 300 400
(1)求该校参加研学活动的人数；
(2)该校计划租用以上两种车型的客车共10辆，当两种车型的客车分别租用多少辆时，总费用最少？
21．制作好的茶叶会运往各地进行售卖，已知某茶叶经销商安排货车，欲将300件茶产品从某县运往甲、乙、丙三地销售．现要求运往乙地的产品件数是运往甲地产品件数的2倍，各地运送费用及路线如下图所示．
(1)设安排运往甲地的产品件数为x，根据题目信息将下列表格填写完整．
甲地 乙地 丙地
产品件数 x 2x
运费/元 20x
(2)若经销商运往丙地的产品件数不高于运往乙地产品件数的3倍，且总运费不超过5400元，请你帮经销商计算有哪几种运输方案．
22．已知，平分交的延长线于点，且，连接．
(1)求证：；
(2)若，求的数．
23．如图1，在一张正方形纸片（正方形的两组对边分别平行）的两边上分别有A，B两点，连接，点P是正方形纸片上一点，过点P翻折纸片，使点B落在直线上的点处，折痕交于点Q．

(1)①判断折痕与的位置关系，并说明理由；
②通过不断地尝试，除了上面的折法，过点P再也折不出其它折痕与有①中的位置关系，其中的数学道理是_______；
(2)在图1的基础上，展平纸片，得到图2，在图2中过点P折出并画出与平行的折痕（折痕左端点记为点D，右端点记为点E），请简要阐述折叠方法并说明理由；
(3)将图2的纸片展平得到图3，点S是线段上一动点（不与点E重合），若，，，请直接写出的度数．（用、β的代数式表示）
《（培优篇）2025-2026学年下学期中学数学沪科版七年级新教材期末练习卷》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C C D D A D B A C D
1．C
【解析】略
2．C
【分析】本题考查了平行线的判定和性质，根据平行线的判定定理和性质定理，逐项判断，即可得到答案．
【详解】解：A．若，则，同位角相等，两直线平行，故A选项正确，不符合题意；
B．若，则，同旁内角互补，两直线平行，故B选项正确，不符合题意；
C．若，则，两直线平行，内错角相等，故C选项错误，符合题意；
D．若，则，两直线平行，同位角相等，故D选项正确，不符合题意；
故选：C．
3．D
【分析】本题主要考查了根据平行线的判定和性质求出角的度数，解题的关键是熟练掌握平行线的判定定理和性质定理．根据同位角相等，两直线平行，得出，根据两直线平行，同旁内角互补，得出，然后进行判断即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∴（同位角相等，两直线平行），
∴（两直线平行，同旁内角互补），
∵，
∴．
因此★代表，●代表同位角相等，两直线平行，■代表，※代表两直线平行，同旁内角互补，
故A、B、C选项正确，不符合题意；D选项不正确，符合题意．
故选：D．
4．D
【分析】本题考查了平行线的判定与性质，先结合邻补角互补以及得，故，又因为对顶角相等得，进行等量代换得，故，运用平行线的性质进行分析，即可得出．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
故①符合题意；
∵，
∴，
∵，，
∴，
故②符合题意；
∵，
∴，
故③符合题意；
∵
∴，
∵，
∴，
∴，
故④符合题意；
故选：D
5．A
【分析】本题考查的是实数与数轴，实数的大小比较，掌握实数的大小比较的方法是解本题的关键．根据数轴可得，再逐一分析各选项的数据即可．
【详解】解：，
，
，
，即，
故A符合题意；
，，
，，
故B，C不符合题意；
，
，故D不符合题意；
故选：A．
6．D
【分析】根据平方差公式的结构特点判断即可．本题考查了平方差公式，掌握是解题的关键．
【详解】解：A、，符合平方差公式．
B、，符合平方差公式．
C、，符合平方差公式．
D、，属于完全平方的相反数，而非平方差形式．
故选：D．
7．B
【分析】本题主要考查分式的化简与分式的值，先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再根据为正整数，得出原式的结果即可求解．
【详解】解：原式
，
，
且且，
又为正整数，
，
即且，
选项A、C、D均不符合题意，
当时，
原式，故选项B符合题意，
故选：B．
8．A
【分析】本题考查了实数的运算，数字规律的探究．先找到规律，利用裂项相消法求得，再计算得到，据此求解即可．
【详解】解：∵
，
∴
，
∴，
故选：A．
9．C
【分析】本题考查代数式的运算与等式推导，解题的关键是通过对已知条件进行变形、运算来推导结论．
由已知条件，，，通过代数推导和构造特例验证各结论是否成立．
【详解】（1）由和，结合，可构造，或，．此时，故结论（1）恒成立．
（2）将代入，若，，则；若，，则．因此结论（2）恒成立．
（3）取，，，，满足已知条件，但，故结论（3）不一定成立．
综上，结论（1）和（2）一定成立，正确命题个数为2，
故选C．
10．D
【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的性质，解题的关键是过拐点作平行线转化角的关系．
过点作，过点作，证明，，再根据角平分线得出从而得出答案．
【详解】解：解：如图，过点作，过点作，
∵；
∴，
∴，，
∴，
同理可得：，
∵，
∴
∵的平分线与的平分线交于点N．
，，
∴
∴，
故选：D．
11．
【分析】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式组的，解方程组求出与的关系式，进而根据题意列出关于的不等式组，解不等式组即可求解，解题的关键是根据题意列出不等式组．
【详解】解：，
①②，得，
，得，
∵，，
∴，
解得，
故答案为：
12． / 内错
【分析】本题考查了内错角的定义，熟练掌握内错角的定义是解题的关键．根据内错角的定义，结合图形分析即可求解．内错角的概念：两条直线被第三条直线所截，两个角分别在截线的两侧，且夹在两条被截直线之间，具有这样位置关系的一对角叫做内错角．
【详解】解：和是直线和被直线所截而成的内错角，
故答案为：；；；内错．
13．4
【分析】本题考查的是垂线的性质，三角形的面积，利用垂线段最短是解题的关键．作于点，根据垂线段最短推出此时取得最小值，根据三角形的面积公式求出即得解．
【详解】解：作于点，如图，
由垂线段最短可知，时取得最小值，
的面积为12，的长为6，
，
解得，
线段的最小值是4．
故答案为：4．
14．
【分析】先根据点A，点B的位置关系，求出，再根据，及点C的位置，可得答案，熟练掌握利用数轴表示实数是解题关键．
【详解】解：因为点A表示的数是1，点B表示的数是，
所以．
因为点B，点C，到点A的距离相等，
所以，
所以点C表示的数是．
故答案为：．
15．14
【分析】先解一元一次不等式组，根据不等式组有且仅有个整数解，得出的取值范围，再解分式方程，根据分式方程的解是非负整数，结合的取值范围，找出所有满足条件的整数，计算其和即可．
【详解】解：解不等式组
解不等式
去分母得
移项合并得
解不等式
移项得
系数化为1得
因此不等式组的解集为
不等式组有且仅有5个整数解，整数解为
不等式同乘6得
移项得
解分式方程
方程两边同乘得
去括号得
合并同类项得
系数化为1得
分式方程的解是非负整数，且分式分母不为零
，，且为整数
即，，为整数
解得，，且为偶数
结合，可得，为偶数
满足条件的整数为，
因此所有满足条件的整数的值之和为．
16．，
【分析】此题考查了分式的化简求值，先利用分式的减法法则计算括号内部分，再计算除法，化简得到结果，根据分式有意义的条件选择合适的字母的值代入计算即可．
【详解】解：
当或或时，分式无意义，
∴，
当时，
原式
17．(1)，，，；
(2)；
(3)．
【分析】（）根据多项式乘以多项式运算法则计算即可；
（）归纳总结得到一般性规律，写出即可；
（）根据得出的规律将原式变形，计算得到结果，即可做出判断．
【详解】（1），
，
，
由此可得：，
故答案为：，，，；
（2），
故答案为：；
（3），
,
，
．
【点睛】此题考查了多项式的乘法、平方差公式以及探索数字规律，弄清题意，找出题目中因式多项式与乘积多项式之间的特征关系律是解题的关键．
18．(1)；
(2)见解析；
(3)见解析
【分析】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，应从整体和部分两方面来理解完全平方公式的几何意义；主要围绕图形面积展开分析．
（1）根据长为、宽为的矩形面积等于2个边长为a的正方形、1个边长为b的正方形、3个长为a宽为b的矩形面积和，可得等式；
（2）画一个边长为的正方形，即可得；
（3）不唯一，如：，画长为、宽为的矩形即可得．
【详解】（1）解：；
（2）如图①，
（3）如图②，；
19．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了垂线的画法，角平分线的定义，熟练掌握角平分线的定义是解答本题的关键．
（1）利用直角三角形的两条直角边画出即可；
（2）由垂直的定义得，由角平分线的定义得，然后根据求解即可．
【详解】（1）如图；
（2）∵，
∴，
∵平分，
，
∴．
20．(1)该校参加研学活动的人数是人
(2)当租用30座客车2辆，45座客车8辆总费用最少
【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，
（1）设单独租用30座客车辆，根据单独租用45座客车，则可以少租4辆，且余30个座位列出方程求解即可；
（2）设租用30座客车辆，则租用45座客车辆，根据两种客车的座位要大于等于人数列出不等式求出，再根据为正整数确定对应的方案并计算出每个方案的花费并比较即可得到答案．
【详解】（1）解：设单独租用30座客车辆，
根据题意，得．
解得．
．
答：该校参加研学活动的人数是人．
（2）解：设租用30座客车辆，则租用45座客车辆，
根据题意，得．
解得．
取正整数，
或2．
当时，，租金为；
当时，，租金为．
最省钱的租车方案是租用30座客车2辆，45座客车8辆．
答：当租用30座客车2辆，45座客车8辆总费用最少．
21．(1)见解析
(2)一共有3种运输方案，分别如下：方案1：安排34件产品运往甲地，安排68件产品运往乙地，安排198件产品运往丙地；方案2：安排35件产品运往甲地，安排70件产品运往乙地，安排195件产品运往丙地；方案3：安排36件产品运往甲地，安排72件产品运往乙地，安排192件产品运往丙地
【分析】（1）根据运往丙地的产品件数总件数运往甲地的产品件数运往乙地的产品件数；运费相应件数一件产品的运费，即可补全图表；
（2）根据经销商运往丙地的产品件数不高于运往乙地产品件数的倍，且总运费不超过元，求出的取值范围，再根据只能取整数，即可得出运输方案．
【详解】（1）解：表格填写如下：
甲地 乙地 丙地
产品件数
运费/元
（2）解：根据题意，得
解得
∴该不等式组的解集为．
为正整数，
可取或或．
故一共有种运输方案，分别如下：
方案：安排件产品运往甲地，安排件产品运往乙地，安排件产品运往丙地；
方案：安排件产品运往甲地，安排件产品运往乙地，安排件产品运往丙地；
方案：安排件产品运往甲地，安排件产品运往乙地，安排件产品运往丙地．
【点睛】此题考查了一元一次不等式组的应用，解题的关键是读懂题意，找出之间的数量关系，列出不等式组，注意只能取整数．
22．(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，掌握平行线的性质与判定，角平分线的定义是解题的关键．
（1）根据平行线的性质得到，根据角平分线的定义得到，即可证明；
（2）设，先由平行线的性质得到，则由角平分线的定义得到，再根据平行线的性质得到，则，求出x的值即可得到答案．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴；
（2）解；∵，
∴可设，
∵，
∴，，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得，
∴．
23．(1)①，理由见解析；②在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
(2)折叠方法：过点P翻折纸片，使点M落在直线上，折痕为，理由见解析
(3)或
【分析】（1）①根据折叠的性质得出，根据，求出，即可得出结论；
②根据在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直进行解答即可；
（2）过点P翻折纸片，使点M落在直线上，折痕为，根据平行线的判定进行证明即可；
（3）分两种情况进行讨论：当点S在线段上时，当点S在线段上时，分别画出图形，进行求解即可．
【详解】（1）解：①；理由如下：
根据折叠可知：，
∵，
∴，
∴；
②除了上面的折法，过点P再也折不出其它折痕与有①中的位置关系，其中的数学道理是在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
（2）解：折叠方法：过点P翻折纸片，使点M落在直线上，折痕为；如图所示：

理由：根据解析（1）可得：，
∵，
∴，
∴；
（3）解：当点S在线段上时，如图所示：

∵正方形纸片中，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴
，
∴
；
当点S在线段上时，如图所示：

∵正方形纸片中，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴
；
综上分析可得：或．
【点睛】本题主要考查了折叠的性质，平行线的性质和判定，三角形内角和定理应用，解题的关键是熟练掌握平行线的判定和性质，注意分类讨论．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）

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