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第22课时　圆周运动
[学习目标]　1．掌握描述圆周运动的各物理量及它们之间的关系。2．掌握匀速圆周运动由周期性引起的多解问题的分析方法。3．掌握圆周运动的动力学问题的处理方法。
圆周运动的运动学分析
1．匀速圆周运动
(1)定义：如果物体沿着圆周运动，并且线速度的大小处处相等，这种运动叫作匀速圆周运动。
(2)特点：加速度大小不变，方向始终指向________，是变加速运动。
(3)条件：合力大小不变、方向始终与________方向垂直且指向圆心。
2．运动参量
项目 定义、意义 公式、单位
线速度 描述做圆周运动的物体沿圆弧运动________的物理量(v) ①v＝＝_______ ②单位：_______
角速度 描述物体绕圆心________的物理量(ω) ①ω＝＝_______ ②单位：_______
周期 物体沿圆周运动________的时间(T) ①T＝__________＝________，单位：_________ ②f＝，单位：Hz ③n＝，单位：r/s
向心加 速度 物体做匀速圆周运动时的加速度总指向________(an) ①an＝＝_______ ②单位：_______
“指尖转球”是花式篮球表演中常见的技巧。如图所示，当篮球在指尖上绕轴转动时，判断下列说法的正误：
(1)球面上P、Q两点做圆周运动的半径相等。 (　　)
(2)球面上P、Q两点做圆周运动的线速度大小相等。 (　　)
(3)球面上P、Q两点做圆周运动的角速度大小相等。 (　　)
(4)球面上P、Q两点做圆周运动的向心加速度大小相等。 (　　)
　圆周运动物理量的分析和计算
[典例1]　(多选)(2025·福建卷)如图所示为春晚上转手绢的机器人，手绢上有P、Q两点，圆心为O，已知OQ＝OP，手绢绕O点做匀速圆周运动，则(　　)
A．P、Q线速度之比为1∶
B．P、Q角速度之比为∶1
C．P、Q向心加速度之比为∶1
D．P点所受合外力总是指向O
[典例2]　(2025·河北卷)某同学在傍晚用内嵌多个彩灯的塑料绳跳绳，照片录了彩灯在曝光时间内的运动轨迹，简图如图所示。彩灯的运动可视为匀速圆周运动，相机本次曝光时间是s，圆弧对应的圆心角约为30°，则该同学每分钟跳绳的圈数约为(　　)
A．90　 B．120
C．150　 D．180
归纳总结：描述圆周运动的物理量间的关系
　圆周运动中的传动问题
[典例3]　(多选)(鲁科版必修第二册习题改编)如图所示，有一皮带传动装置，A、B、C三点到各自转轴的距离分别为RA、RB、RC，已知RB＝RC＝，若在传动过程中，皮带不打滑。则(　　)
A．A点与C点的角速度相等
B．A点与C点的线速度大小相等
C．B点与C点的角速度之比为2∶1
D．B点与C点的向心加速度大小之比为1∶4
归纳总结：
同轴转动 皮带传动 齿轮传动
装置 A、B两点在同轴的一个圆盘上 两个轮子用皮带连接，A、B两点分别是两个轮子边缘上的点 两个齿轮轮齿啮合，A、B两点分别是两个齿轮边缘上的点
续表
同轴转动 皮带传动 齿轮传动
特点 角速度、周期相同 线速度大小相等 线速度大小相等
转向 相同 相同 相反
规律 线速度与半径成正比：＝ 向心加速度与半径成正比：＝ 角速度与半径成反比：＝ 向心加速度与半径成反比：＝ 角速度与半径成反比：＝ 向心加速度与半径成反比：＝
　圆周运动创新拓展问题
[典例4]　当做圆周运动的物体角速度ω变化时，我们可以引用角加速度β来描述角速度ω的变化快慢，即β＝。图甲中某转盘自t＝0时由静止开始转动，其前4 s内角加速度β随时间t变化如图乙所示。则下列说法正确的是(　　)
A．第4 s末，转盘停止转动
B．角加速度的变化率的单位为rad/s
C．0～2 s内转盘做匀角加速圆周运动
D．第2 s末，转盘的角速度大小为10 rad/s
拓展思考1　转盘做角加速圆周运动，初始角速度ω0＝1 rad/s，角加速度恒为β＝5 rad/s2，求2 s末转盘角速度和转盘在2 s内转过的角度。
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拓展思考2　在撤去动力后转盘在摩擦阻力作用下做角减速运动，其角速度随时间变化关系为ω＝(11－5t)rad/s，求3 s末转盘角速度。
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圆周运动的动力学问题
1．匀速圆周运动的向心力
(1)作用效果：向心力产生向心加速度，只改变速度的________，不改变速度的________。
(2)大小：Fn＝m＝________＝mr＝mωv＝4π2mf2r。
(3)方向：始终沿半径方向指向________，时刻在改变，即向心力是一个变力。
(4)来源：向心力可以由一个力提供，也可以由几个力的__________提供，还可以由一个力的________提供。
2．离心运动
(1)离心运动：做圆周运动的物体，在所受合力突然消失或不足以提供做圆周运动所需的向心力时，就做________圆心的运动。
(2)受力特点(如图所示)
①当F＝0时，物体沿________方向飞出。
②当0③当F>mω2r时，物体逐渐向圆心靠近，做________运动。
(3)本质：离心运动的本质并不是受到离心力的作用，而是提供的力________做匀速圆周运动需要的向心力。
3．变速圆周运动的合力与向心力的特点
变速圆周运动的合力方向一般不指向圆心，可以分解为如下两个分力，如图所示。
(1)切向分力Ft：产生切向加速度at，只改变线速度的大小；当at与v同向时，速度增大，做加速圆周运动，反向时则速度减小，做减速圆周运动。
(2)指向圆心的分力Fn：提供向心力，产生向心加速度an，只改变线速度的方向。
(1)物体做匀速圆周运动时，其合力是变力。 (　　)
(2)做匀速圆周运动的物体，当所受合力突然减小时，物体将沿切线方向飞出。 (　　)
(3)摩托车转弯时速度过大就会向外发生滑动，这是摩托车受沿转弯半径向外的离心力作用的缘故。 (　　)
(4)变速圆周运动的向心力不指向圆心。 (　　)
[典例5]　(多选)(2025·广东卷)将可视为质点的小球沿光滑冰坑内壁推出，使小球在水平面内做匀速圆周运动，如图所示。已知圆周运动半径R为0.4 m，小球所在位置处的切面与水平面夹角θ为45°，小球质量为0.1 kg，重力加速度g取10 m/s2。关于该小球，下列说法正确的有(　　)
A．角速度为5 rad/s
B．线速度大小为4 m/s
C．向心加速度大小为10 m/s2
D．所受支持力大小为1 N
[典例6]　(2024·广东卷)如图所示，在细绳的拉动下，半径为r的卷轴可绕其固定的中心点O在水平面内转动。卷轴上沿半径方向固定着长度为l的细管，管底在O点。细管内有一根原长为、劲度系数为k的轻质弹簧，弹簧底端固定在管底，顶端连接质量为m、可视为质点的插销。当以速度v匀速拉动细绳时，插销做匀速圆周运动。若v过大，插销会卡进固定的端盖。使卷轴转动停止。忽略摩擦力，弹簧在弹性限度内。要使卷轴转动不停止，v的最大值为(　　)
A．r　 B．l
C．r　 D．l
[典例7]　(多选)如图所示，细绳穿过竖直的管子拴住一个小球，让小球在A高度处的水平面内做匀速圆周运动，现用力将细绳缓慢下拉，使小球在B高度处的水平面内做匀速圆周运动，不计一切摩擦，则(　　)
A．线速度vA>vB
B．角速度ωA<ωB
C．向心加速度aAD．向心力FA>FB
拓展思考　若改变拉力F，使得小球在不同水平面A、B两处做圆锥摆运动，但绳与竖直方向之间的夹角相同，则小球在A、B两处的向心加速度和所受绳拉力的大小是否相同
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归纳总结：匀速圆周运动的向心力来源
运动模型 向心力的来源图示
汽车在水平路面转弯
水平转台(光滑)
圆锥摆式 受力模型 圆锥摆
飞车走壁
飞机水 平转弯
火车转弯
第22课时
考点1
1．(2)圆心　(3)速度
2．快慢　　m/s　转动快慢　　rad/s　一周　　　s　圆心　rω2　m/s2
情境辨析　(1)×　(2)×　(3)√　(4)×
典例1　AD　[手绢做匀速圆周运动，由题图可知P、Q绕同一转轴转动，故角速度相同，即角速度之比为1∶1，B错误；由v＝ωr可知，P、Q的线速度大小之比vP∶vQ＝rOP∶rOQ＝1∶，A正确；由a＝ω2r可知，P、Q的向心加速度大小之比aP∶aQ＝rOP∶rOQ＝1∶，C错误；P点做匀速圆周运动，其所受合力提供向心力，总是指向圆心O，D正确。]
典例2　C　[根据题意可知跳绳的转动角速度为ω＝＝ rad/s＝5π rad/s，故每分钟跳绳的圈数为n＝＝150，故选C。]
典例3　BD　[对于同一根皮带连接的传动轮边缘的点，线速度大小相等，同轴转动的点，角速度相等，则vA＝vC，ωA＝ωB，选项B正确；根据vA＝vC及关系式v＝ωR，可得ωARA＝ωCRC，又RC＝，所以ωA＝，选项A错误；根据ωA＝ωB，ωA＝，可得ωB＝，即B点与C点的角速度之比为1∶2，选项C错误；根据ωB＝及关系式an＝ω2R，可得anB＝，即B点与C点的向心加速度大小之比为1∶4，选项D正确。]
典例4　D　[根据β＝，可知Δω＝βΔt，可知图线与坐标轴围成的面积表示角速度的变化量，第4 s末，角速度的变化量最大，转盘未停止转动，故A错误；角加速度的变化率的单位为rad/s3，故B错误；由题图乙可知，0～2 s内转盘的角加速度均匀增加，则转盘做非匀角加速圆周运动，故C错误；图线与坐标轴围成的面积表示角速度的变化量，可知第2 s末，转盘的角速度大小为ω＝×2×10 rad/s＝10 rad/s， 故D正确。]
拓展思考1　类比速度时间公式有ω＝ω0＋βt，代入数据解得ω＝11 rad/s
类比位移时间公式有θ＝ω0t＋βt2，代入数据解得θ＝12 rad。
拓展思考2　当转盘角速度为0时，经过的时间为t＝2.2 s，则3 s末转盘的角速度为0。
考点2
1．(1)方向　大小　(2)mω2r　(3)圆心　(4)合力　分力
2．(1)逐渐远离　(2)切线　远离　近心　(3)小于　
判断正误　(1)√　(2)×　(3)×　(4)×
典例5　AC　[对小球受力分析如图所示。
由牛顿第二定律可得F合＝mgtan 45°＝mω2R＝m＝man，FN＝＝ N，D错误；由上述分析可得该小球的向心加速度大小an＝＝10 m/s2，C正确；角速度ω＝＝5 rad/s，A正确；线速度大小v＝ωR＝2 m/s，B错误。]
典例6　A　[由题意可知当插销刚卡进固定端盖时弹簧的伸长量为Δx＝，根据胡克定律有F＝kΔx＝，插销与卷轴同轴转动，角速度相同，对插销分析，由弹力提供向心力有F＝mω2l，对卷轴边沿有v'＝v＝ωr，联立解得v＝r。故选A。]
典例7　BC　[设绳子与竖直方向夹角为θ，绳子长度为l，小球所在平面距离顶点的竖直高度为h，对小球分析有F向＝mgtan θ＝mlsin θ＝mω2lsin θ＝m＝ma，整理有v＝，ω＝，a＝gtan θ，由于v＝，小球从A处到达B处，l减小，θ增大，则无法判断vA、vB的关系，故A错误；由于ω＝，其中cos θ＝，联立有ω＝，由题意可知，小球从A处到达B处，h减小，则ωA<ωB，故B正确；由于a＝gtan θ，由题意可知，其角度θ变大，所以小球所受向心力变大，即FA拓展思考　解析：对题图中小球受力分析，设绳与竖直方向的夹角为θ，小球的质量为m，绳上拉力为FT，则有mgtan θ＝ma，FTcos θ＝mg，解得a＝gtan θ，FT＝，所以小球在A、B两处的向心加速度大小相同，受到绳的拉力大小也相同。
答案：见解析
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第四章　曲线运动　万有引力与宇宙航行
第22课时　圆周运动
[学习目标]　1．掌握描述圆周运动的各物理量及它们之间的关系。2．掌握匀速圆周运动由周期性引起的多解问题的分析方法。3．掌握圆周运动的动力学问题的处理方法。
考点1　圆周运动的运动学分析
1．匀速圆周运动
(1)定义：如果物体沿着圆周运动，并且线速度的大小处处相等，这种运动叫作匀速圆周运动。
(2)特点：加速度大小不变，方向始终指向______，是变加速运动。
(3)条件：合力大小不变、方向始终与______方向垂直且指向圆心。
圆心
速度
2．运动参量
项目 定义、意义 公式、单位
线速度 描述做圆周运动的物体沿圆弧运动______的物理量(v) ①v＝＝
②单位：______
角速度 描述物体绕圆心__________的物理量(ω) ①ω＝＝
②单位：________
快慢
　
m/s　
转动快慢　
　
rad/s　
项目 定义、意义 公式、单位
周期 物体沿圆周运动______的时间(T) ①T＝＝，单位：___
②f＝，单位：Hz
③n＝，单位：r/s
向心加 速度 物体做匀速圆周运动时的加速度总指向______(an) ①an＝＝_____
②单位：_____
一周　
　
　
s　
圆心　
rω2　
m/s2
“指尖转球”是花式篮球表演中常见的技巧。如图所示，
当篮球在指尖上绕轴转动时，判断下列说法的正误：
(1)球面上P、Q两点做圆周运动的半径相等。 (　　)
(2)球面上P、Q两点做圆周运动的线速度大小相等。 (　　)
(3)球面上P、Q两点做圆周运动的角速度大小相等。 (　　)
(4)球面上P、Q两点做圆周运动的向心加速度大小相等。 (　　)
×　
×　
√　
×
角度1　圆周运动物理量的分析和计算
[典例1]　(多选)(2025·福建卷)如图所示为春晚上转手绢的机器人，手绢上有P、Q两点，圆心为O，已知OQ＝OP，手绢绕O点做匀速圆周运动，则(　　)
A．P、Q线速度之比为1∶
B．P、Q角速度之比为∶1
C．P、Q向心加速度之比为∶1
D．P点所受合外力总是指向O
√
√
AD　[手绢做匀速圆周运动，由题图可知P、Q绕同一转轴转动，故角速度相同，即角速度之比为1∶1，B错误；由v＝ωr可知，P、Q的线速度大小之比vP∶vQ＝rOP∶rOQ＝1∶，A正确；由a＝ω2r可知，P、Q的向心加速度大小之比aP∶aQ＝rOP∶rOQ＝1∶，C错误；P点做匀速圆周运动，其所受合力提供向心力，总是指向圆心O，D正确。]
[典例2]　(2025·河北卷)某同学在傍晚用内嵌多个彩灯的塑料绳跳绳，照片录了彩灯在曝光时间内的运动轨迹，简图如图所示。彩灯的运动可视为匀速圆周运动，相机本次曝光时间是s，圆弧对应的圆心角约为30°，则该同学每分钟跳绳的圈数约为(　　)
A．90　 B．120
C．150　 D．180
√
C　[根据题意可知跳绳的转动角速度为ω＝＝ rad/s＝5π rad/s，故每分钟跳绳的圈数为n＝＝150，故选C。]
归纳总结：描述圆周运动的物理量间的关系
角度2　圆周运动中的传动问题
[典例3]　(多选)(鲁科版必修第二册习题改编)如图所示，有一皮带传动装置，A、B、C三点到各自转轴的距离分别为RA、RB、RC，已知RB＝RC＝，若在传动过程中，皮带不打滑。则(　　)
A．A点与C点的角速度相等
B．A点与C点的线速度大小相等
C．B点与C点的角速度之比为2∶1
D．B点与C点的向心加速度大小之比为1∶4
√
√
BD　[对于同一根皮带连接的传动轮边缘的点，线速度大小相等，同轴转动的点，角速度相等，则vA＝vC，ωA＝ωB，选项B正确；根据vA＝vC及关系式v＝ωR，可得ωARA＝ωCRC，又RC＝，所以ωA＝，选项A错误；根据ωA＝ωB，ωA＝，可得ωB＝，即B点与C点的角速度之比为1∶2，选项C错误；根据ωB＝及关系式an＝ω2R，可得anB＝，即B点与C点的向心加速度大小之比为1∶4，选项D正确。]
归纳总结：
同轴转动 皮带传动 齿轮传动
装置 A、B两点在同轴的一个圆盘上 两个轮子用皮带连接，A、B两点分别是两个轮子边缘上的点 两个齿轮轮齿啮合，A、B两点分别是两个齿轮边缘上的点

特点 角速度、周期相同 线速度大小相等 线速度大小相等
同轴转动 皮带传动 齿轮传动
转向 相同 相同 相反
规律 线速度与半径成正比：＝ 向心加速度与半径成正比：＝ 角速度与半径成反比：＝ 向心加速度与半径成反比：＝ 角速度与半径成反比：＝
向心加速度与半径成反比：＝
角度3　圆周运动创新拓展问题
[典例4]　当做圆周运动的物体角速度ω变化时，我们可以引用角加速度β来描述角速度ω的变化快慢，即β＝。图甲中某转盘自t＝0时由静止开始转动，其前4 s内角加速度β随时间t变化如图乙所示。则下列说法正确的是(　　)
A．第4 s末，转盘停止转动
B．角加速度的变化率的单位为rad/s
C．0～2 s内转盘做匀角加速圆周运动
D．第2 s末，转盘的角速度大小为10 rad/s
√
D　[根据β＝，可知Δω＝βΔt，可知图线与坐标轴围成的面积表示角速度的变化量，第4 s末，角速度的变化量最大，转盘未停止转动，故A错误；角加速度的变化率的单位为rad/s3，故B错误；由题图乙可知，0～2 s内转盘的角加速度均匀增加，则转盘做非匀角加速圆周运动，故C错误；图线与坐标轴围成的面积表示角速度的变化量，可知第2 s末，转盘的角速度大小为ω＝×2×10 rad/s＝10 rad/s，故D正确。]
拓展思考1　转盘做角加速圆周运动，初始角速度ω0＝1 rad/s，角加速度恒为β＝5 rad/s2，求2 s末转盘角速度和转盘在2 s内转过的角度。
[答案]　类比速度时间公式有ω＝ω0＋βt，代入数据解得ω＝11 rad/s
类比位移时间公式有θ＝ω0t＋βt2，代入数据解得θ＝12 rad。
拓展思考2　在撤去动力后转盘在摩擦阻力作用下做角减速运动，其角速度随时间变化关系为ω＝(11－5t)rad/s，求3 s末转盘角速度。
[答案]　当转盘角速度为0时，经过的时间为t＝2.2 s，则3 s末转盘的角速度为0。
【教师备选资源】
(2025·山东潍坊高三期中)如图所示，水平放置的圆柱形筒绕其中心对称轴OO'匀速转动，筒的半径R＝2 m，筒壁上有一小孔P，一小球从孔正上方h＝3.2 m处由静止释放，此时小孔开口向上且在小球正下方。已知孔的半径略大于小球半径，筒壁厚度可以忽略，若小球恰好能够从小孔离开圆筒，g取10 m/s2。则筒转动的周期可能为(　　)
A． s　　　 B． s　　
C． s　　　 D． s
√
D　[当小孔开口向上时，根据自由落体规律有h＝g，解得t1＝
0.8 s，当小孔开口向下转到小球正下方时，有h＋2R＝g，解得t2＝1.2 s，小球在圆筒中的时间Δt＝t2－t1＝0.4 s，小球在圆筒中的运动时间与筒自转的时间相等，有Δt＝T(n＝0，1，2，…)，解得T＝ s(n＝0，1，2，…)，当n＝0时，T＝ s，故D正确。]
1．匀速圆周运动的向心力
(1)作用效果：向心力产生向心加速度，只改变速度的______，不改变速度的______。
(2)大小：Fn＝m＝______＝mr＝mωv＝4π2mf 2r。
(3)方向：始终沿半径方向指向______，时刻在改变，即向心力是一个变力。
(4)来源：向心力可以由一个力提供，也可以由几个力的______提供，还可以由一个力的______提供。
考点2　圆周运动的动力学问题
方向
大小
mω2r　
圆心
合力
分力
2．离心运动
(1)离心运动：做圆周运动的物体，在所受合力突然消失或不足以提供做圆周运动所需的向心力时，就做__________圆心的运动。
(2)受力特点(如图所示)
①当F＝0时，物体沿______方向飞出。
②当0③当F>mω2r时，物体逐渐向圆心靠近，做______运动。
(3)本质：离心运动的本质并不是受到离心力的作用，而是提供的力______做匀速圆周运动需要的向心力。
逐渐远离　
切线
远离
近心　
小于
3．变速圆周运动的合力与向心力的特点
变速圆周运动的合力方向一般不指向圆心，可以分解
为如下两个分力，如图所示。
(1)切向分力Ft：产生切向加速度at，只改变线速度的大小；当at与v同向时，速度增大，做加速圆周运动，反向时则速度减小，做减速圆周运动。
(2)指向圆心的分力Fn：提供向心力，产生向心加速度an，只改变线速度的方向。
(1)物体做匀速圆周运动时，其合力是变力。 (　　)
(2)做匀速圆周运动的物体，当所受合力突然减小时，物体将沿切线方向飞出。 (　　)
(3)摩托车转弯时速度过大就会向外发生滑动，这是摩托车受沿转弯半径向外的离心力作用的缘故。 (　　)
(4)变速圆周运动的向心力不指向圆心。 (　　)
√　
×　
×　
×
[典例5]　(多选)(2025·广东卷)将可视为质点的小球沿光滑冰坑内壁推出，使小球在水平面内做匀速圆周运动，如图所示。已知圆周运动半径R为0.4 m，小球所在位置处的切面与水平面夹角θ为45°，小球质量为0.1 kg，重力加速度g取10 m/s2。关于该小球，下列说法正确的有(　　)
A．角速度为5 rad/s
B．线速度大小为4 m/s
C．向心加速度大小为10 m/s2
D．所受支持力大小为1 N
√
√
AC　[对小球受力分析如图所示。由牛顿第二定律可得F合＝mgtan 45°＝mω2R＝m＝man，FN＝＝ N，D错误；由上述分析可得该小球的向心加速度大小an＝＝10 m/s2，C正确；角速度ω＝＝
5 rad/s，A正确；线速度大小v＝ωR＝2 m/s，B错误。]
[典例6]　(2024·广东卷)如图所示，在细绳的拉动下，半径为r的卷轴可绕其固定的中心点O在水平面内转动。卷轴上沿半径方向固定着长度为l的细管，管底在O点。细管内有一根原长为、劲度系数为k的轻质弹簧，弹簧底端固定在管底，顶端连接质量为m、可视为质点的插销。当以速度v匀速拉动细绳时，插销做匀速圆周运动。若v过大，插销会卡进固定的端盖。使卷轴转动停止。忽略摩擦力，弹簧在弹性限度内。要使卷轴转动不停止，v的最大值为(　　)
A．r　B．l　C．r　D．l
√
A　[由题意可知当插销刚卡进固定端盖时弹簧的伸长量为Δx＝，根据胡克定律有F＝kΔx＝，插销与卷轴同轴转动，角速度相同，对插销分析，由弹力提供向心力有F＝mω2l，对卷轴边沿有v'＝v＝ωr，联立解得v＝r。故选A。]
[典例7]　(多选)如图所示，细绳穿过竖直的管子拴住一个小球，让小球在A高度处的水平面内做匀速圆周运动，现用力将细绳缓慢下拉，使小球在B高度处的水平面内做匀速圆周运动，不计一切摩擦，则(　　)
A．线速度vA>vB
B．角速度ωA<ωB
C．向心加速度aAD．向心力FA>FB
√
√
BC　[设绳子与竖直方向夹角为θ，绳子长度为l，小球所在平面距离顶点的竖直高度为h，对小球分析有F向＝mgtan θ＝mlsin θ＝mω2lsin θ＝m＝ma，整理有v＝，ω＝，a＝gtan θ，由于v＝，小球从A处到达B处，l减小，θ增大，则无法判断vA、vB的关系，故A错误；由于ω＝，其中cos θ＝，联立有ω＝，由题意可知，小球从A处到达B处，h减小，则ωA<ωB，故B正确；由于a＝gtan θ，由题意可知，其角度θ变大，所以小球所受向心力变大，即FA拓展思考　若改变拉力F，使得小球在不同水平面A、B两处做圆锥摆运动，但绳与竖直方向之间的夹角相同，则小球在A、B两处的向心加速度和所受绳拉力的大小是否相同
[解析]　对题图中小球受力分析，设绳与竖直方向的夹角为θ，小球的质量为m，绳上拉力为FT，则有mgtan θ＝ma，FTcos θ＝mg，解得a＝gtan θ，FT＝，所以小球在A、B两处的向心加速度大小相同，受到绳的拉力大小也相同。
[答案]　见解析
归纳总结：匀速圆周运动的向心力来源
运动模型 向心力的来源图示
汽车在水平路面转弯

水平转台(光滑)
运动模型 向心力的来源图示
圆锥摆式 受力模型 圆锥摆

飞车走壁
运动模型 向心力的来源图示
圆锥摆式 受力模型 飞机水平转弯

火车转弯

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(2023·福建卷)一种离心测速器的简化工作原理如图所示。细杆的一端固定在竖直转轴OO'上的O点，并可随轴一起转动。杆上套有一轻质弹簧，弹簧一端固定于O点，另一端与套在杆上的圆环相连。当测速器稳定工作时，圆环将相对细杆静止，通过圆环的位置可以确定细杆匀速转动的角速度。已知细杆长度L＝0.2 m，杆与竖直转轴的夹角α始终为60°，弹簧原长x0＝0.1 m，弹簧劲度系数k＝100 N/m，圆环质量m＝1 kg；弹簧始终在弹性限度内，重力加速度大小取10 m/s2，摩擦力可忽略不计。
(1) 若细杆和圆环处于静止状态，求圆环到O点的距离；
(2) 求弹簧处于原长时，细杆匀速转动的角速度大小；
(3) 求圆环处于细杆末端P时，细杆匀速转动的角速度大小。
[解析]　(1)当细杆和圆环处于平衡状态时，对圆环受力分析如图甲所示，由图可知FT0＝mgcos α＝5 N，根据胡克定律F＝kΔx可得弹簧的形变量为Δx0＝＝0.05 m，弹簧弹力沿杆向上，故弹簧处于压缩状态，弹簧此时的长度即为圆环到O点的距离x1＝x0－Δx0＝0.05 m。
(2)若弹簧处于原长时，则圆环仅受重力和支持力，其合力使得圆环沿水平方向做匀速圆周运动，根据牛顿第二定律得＝mr
由几何关系得圆环此时转动的半径为r＝x0sin α
联立解得ω0＝ rad/s。
(3)圆环处于细杆末端P时，圆环受力如图乙所示，
受重力、弹力和杆的支持力，弹簧伸长，弹力沿杆
向下。根据胡克定律得FT＝k(L－x0)＝10 N
对圆环受力分析并正交分解，竖直方向受力平衡，水平方向合力提供向心力，则有 mg＋FTcos α＝FNsin α，FTsin α＋FNcos α＝mω2r'
由几何关系得r'＝Lsin α
联立解得ω＝10 rad/s。
[答案]　(1)0.05 m　(2) rad/s　(3)10 rad/s
课时作业(二十二)　圆周运动
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1．(人教版必修第二册习题改编)如图所示，小物体A与水平圆盘保持相对静止，跟着圆盘一起做匀速圆周运动，则A受到的力有(　　)
A．重力、支持力
B．重力、向心力
C．重力、支持力、指向圆心的摩擦力
D．重力、支持力、向心力、摩擦力
√
C　[物体在水平圆盘上，一定受到重力和支持力的作用，物体在转动过程中，有背离圆心的运动趋势，因此受到指向圆心的静摩擦力，且静摩擦力提供向心力，故C正确。]
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2．(2025·江苏卷)游乐设施“旋转杯”的底盘和转杯分别以O、O'为转轴，在水平面内沿顺时针方向匀速转动，O'固定在底盘上。某时刻转杯转到如图所示位置，杯上A点与O、O'恰好在同一条直线上。则(　　)
A．A点做匀速圆周运动
B．O'点做匀速圆周运动
C．此时A点的速度小于O'点
D．此时A点的速度等于O'点
√
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B　[A点运动为A点绕O'的圆周运动和O'相对于O的圆周运动的合运动，故轨迹不是圆周，故不做匀速圆周运动，故A错误；根据题意O'固定在底盘上，故可知O'围绕O点做匀速圆周运动，故B正确；杯上A点与O、O'恰好在同一条直线上时，A在OO'延长线上，A点和O'点运动方向相同，又A点相对O'点做圆周运动，故此时A点的速度大于O'点的速度，故C、D错误。故选B。]
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3．(多选)(2025·甘肃白银模拟)如图所示为星系齿轮的机构图，一半径为R1的中心齿轮和三个半径均为R2的卫星齿轮嵌套在半径为R3的轨道圆环内，在摇杆的作用下中心齿轮可做匀速圆周运动，带动卫星齿轮和轨道圆环转动，下列说法正确的是(　　)
A．中心齿轮边缘各点的线速度大小与卫星齿轮边缘各点的线速度大小相等
B．中心齿轮自转一圈，卫星齿轮也刚好自转一圈
C．中心齿轮边缘各点的向心加速度与卫星齿轮边缘
各点的向心加速度的比值为
D．卫星齿轮需要自转圈才可以绕轨道圆环转动一圈
√
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AC　[中心齿轮边缘各点的线速度大小与卫星齿轮边缘各点的线速度大小相等，A项正确；由v＝ωr可得中心齿轮与卫星齿轮的角速度与各自半径成反比，不能同时自转一圈，B项错误；向心加速度an＝，v相同，则＝，C项正确；设卫星齿轮自转n圈才绕轨道圆环转动一圈，应有n·2πR2＝2πR3，解得n＝，D项错误。故选AC。]
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4．(2025·江西南昌阶段检测)滚筒洗衣机脱水时，衣物紧贴着滚筒内壁在竖直平面内做匀速圆周运动，可简化为如图所示的模型。可视为质点的衣物经过的最高位置和最低位置分别为A、B，已知此时滚筒转动的周期为T，滚筒半径为R，衣物的质量为m，重力加速度大小为g。下列说法正确的是(　　)
A．衣物在随滚筒做匀速圆周运动时，其合外力不是总等于向心力
B．衣物的向心加速度大小为R
C．滚筒转动越快，衣物在位置A越容易离开滚筒做近心运动
D．衣物在位置B时处于失重状态
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B　[衣物在随滚筒做匀速圆周运动时，其合外力总等于向心力，故A错误；衣物的向心加速度大小为an＝Rω2＝R，故B正确；滚筒转动越快，衣物在位置A越不容易离开滚筒，故C错误；衣物在位置B时加速度向上，所以处于超重状态，故D错误。故选B。]
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5．(2025·重庆卷)“魔幻”重庆的立体交通层叠交错，小明选取其中两条线探究车辆的运动。如图所示，轻轨列车与汽车以速度2v0分别从M和N向左同时出发，列车做匀速直线运动，汽车在长为s的NO段做匀减速直线运动并以速度v0进入半径为R的OP圆弧段做匀速圆周运动。两车均视为质点，则(　　)
A．汽车到O点时，列车行驶距离为s
B．汽车到O点时，列车行驶距离为
C．汽车在OP段向心加速度大小为
D．汽车在OP段向心加速度大小为
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B　[ON段，汽车位移s＝t＝v0t，这段时间内列车位移s列＝2v0t＝s，B正确，A错误；根据an＝可得汽车在OP段向心加速度大小为an＝，C、D错误。故选B。]
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6．(多选)如图所示，杂技演员进行表演时，可以悬空靠在以角速度ω匀速转动的圆筒内壁上而不掉下来。设圆筒半径为r，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。则该演员(　　)
A．受到4个力的作用
B．所需的向心力由弹力提供
C．角速度越大，人受到的摩擦力越大
D．圆筒的角速度ω≥
√
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BD　[杂技演员受到重力、筒壁的弹力和静摩擦力共3个力作用，A错误；由于杂技演员在圆筒内壁上不掉下来，竖直方向根据平衡条件，有mg＝Ff，筒壁的弹力提供向心力，水平方向有F＝mω2r，角速度越大，弹力越大，人受到的摩擦力不变，B正确，C错误；杂技演员不下滑，则最大静摩擦力需要大于等于重力，即μF≥mg，F＝mω2r，解得ω≥，D正确。]
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7．(2025·江苏南通检测)有一种杂技表演叫“飞车走壁”，由杂技演员驾驶摩托车沿圆台形表演台的侧壁高速行驶，做匀速圆周运动。如图所示，图中虚线表示摩托车的行驶轨迹，轨迹离地面的高度为h。下列说法正确的是(　　)
A．h越高，摩托车对侧壁的压力越大
B．h越高，摩托车做圆周运动的加速度越小
C．h越高，摩托车做圆周运动的周期越大
D．h越高，摩托车做圆周运动的线速度越小
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C　[摩托车做匀速圆周运动，重力mg和侧壁对摩托车的支持力F的合力提供其做圆周运动所需的向心力，如图所示，侧壁对摩托车的支持力为F＝，根据牛顿第二定律可得mgtan θ＝ma＝mr＝m，解得a＝gtan θ，T＝，v＝，可知h越高，θ不变，r越大，则摩托车对侧壁的压力不变，摩托车做圆周运
动的加速度不变，摩托车做圆周运动的周期越大，摩托车
做圆周运动的线速度越大，故选C。]
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8．(多选)(2025·陕西渭南一模)如图所示，半径为R的竖直圆筒绕中心轴线以恒定的转速匀速转动。一子弹以水平速度沿圆筒直径方向从左侧射入圆筒，从右侧射穿圆筒后发现两弹孔在同一竖直线上且相距为h，则下列说法正确的是(　　)
A．子弹在圆筒中的水平速度为v0＝2R
B．子弹在圆筒中的水平速度为v0＝R
C．圆筒转动的角速度可能为ω＝5π
D．圆筒转动的角速度可能为ω＝4π
√
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AC　[子弹做平抛运动，在竖直方向上，有h＝gt2，可得子弹在圆筒中运动的时间t＝，水平方向子弹做匀速运动，因此水平速度v0＝＝2R，A正确，B错误；因子弹从右侧射穿圆筒后发现两弹孔在同一竖直线上，则圆筒转过的角度为θ＝(2n－1)π (n＝1，2，3，…)，则角速度为ω＝＝＝(2n－1)π(n＝1，2，3，…)，故角速度可能为5π，不可能为4π，C正确，D错误。故选AC。]
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9．(多选)如图所示，矩形金属框MNQP竖直放置，其中MN、PQ足够长，且PQ杆光滑。一根轻弹簧一端固定在M点，另一端连接一个质量为m的小球，小球穿过PQ杆，金属框绕MN轴分别以角速度ω和ω'匀速转动时，小球均相对PQ杆静止，若ω'>ω，则与以ω匀速转动时相比，以ω'匀速转动时(　　)
A．小球的高度一定降低
B．弹簧弹力的大小一定不变
C．小球对杆压力的大小一定变大
D．小球所受合外力的大小一定变大
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BD　[设弹簧的劲度系数为k，形变量为x，弹簧与竖直方向的夹角为θ，MN、PQ间的距离为L，对小球受力分析有kxcos θ－mg＝0，即竖直方向受力为0，水平方向有kxsin θ±FN＝mω2L，当金属框以ω'绕MN轴转动时，假设小球的位置升高，则kx减小，cos θ减小，小球受力不能平衡；假设小球的位置降低，则kx增大，cos θ增大，小球受力同样不能平衡，则小球的位置不会变化，弹簧弹力的大小一定不变，故A错误，B正确；根据牛顿第三定律，小球对杆的压力大小F压＝FN＝mω2L－kxsin θ或F压＝FN＝kxsin θ－mω2L，所以当角速度变大时压力大小不一定变大，故C错误；当角速度变大时小球受到的合外力一定变大，故D正确。]
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10．(2025·江苏扬州仪征中学月考)如图所示，水平地面与一半径为L的竖直光滑圆弧轨道相接于B点，轨道上的C点位置处于圆心O的正下方。距离地面高度也为L的水平平台边缘上的A点有质量为m的小球以v0＝的初速度水平抛出，小球在空中运动至B点时，恰好沿圆弧轨道在该点的切线方向滑入轨道。小球运动过程中空气阻力不计，重力加速度为g，求：
(1)圆弧BC段所对应的圆心角θ；
(2)小球经B点时，对圆弧轨道的压力大小。
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[解析]　(1)小球到达B点时的竖直分速度vy＝，则tan θ＝＝1，解得θ＝45°。
(2)设小球到达B点时速度大小为vB，则有vB＝v0，设轨道对小球的支持力为F，根据牛顿第二定律有F－mgcos 45°＝m
解得F＝mg
由牛顿第三定律可知，小球对圆弧轨道的压力大小为F'＝F＝mg。
[答案]　(1)45°　(2)mg
谢谢！课时作业(二十二)　圆周运动
说明：单选题每小题4分；多选题每小题6分；本试卷共56分。
1．(人教版必修第二册习题改编)如图所示，小物体A与水平圆盘保持相对静止，跟着圆盘一起做匀速圆周运动，则A受到的力有(　　)
A．重力、支持力
B．重力、向心力
C．重力、支持力、指向圆心的摩擦力
D．重力、支持力、向心力、摩擦力
2．(2025·江苏卷)游乐设施“旋转杯”的底盘和转杯分别以O、O'为转轴，在水平面内沿顺时针方向匀速转动，O'固定在底盘上。某时刻转杯转到如图所示位置，杯上A点与O、O'恰好在同一条直线上。则(　　)
A．A点做匀速圆周运动
B．O'点做匀速圆周运动
C．此时A点的速度小于O'点
D．此时A点的速度等于O'点
3．(多选)(2025·甘肃白银模拟)如图所示为星系齿轮的机构图，一半径为R1的中心齿轮和三个半径均为R2的卫星齿轮嵌套在半径为R3的轨道圆环内，在摇杆的作用下中心齿轮可做匀速圆周运动，带动卫星齿轮和轨道圆环转动，下列说法正确的是(　　)
A．中心齿轮边缘各点的线速度大小与卫星齿轮边缘各点的线速度大小相等
B．中心齿轮自转一圈，卫星齿轮也刚好自转一圈
C．中心齿轮边缘各点的向心加速度与卫星齿轮边缘各点的向心加速度的比值为
D．卫星齿轮需要自转圈才可以绕轨道圆环转动一圈
4．(2025·江西南昌阶段检测)滚筒洗衣机脱水时，衣物紧贴着滚筒内壁在竖直平面内做匀速圆周运动，可简化为如图所示的模型。可视为质点的衣物经过的最高位置和最低位置分别为A、B，已知此时滚筒转动的周期为T，滚筒半径为R，衣物的质量为m，重力加速度大小为g。下列说法正确的是(　　)
A．衣物在随滚筒做匀速圆周运动时，其合外力不是总等于向心力
B．衣物的向心加速度大小为R
C．滚筒转动越快，衣物在位置A越容易离开滚筒做近心运动
D．衣物在位置B时处于失重状态
5．(2025·重庆卷)“魔幻”重庆的立体交通层叠交错，小明选取其中两条线探究车辆的运动。如图所示，轻轨列车与汽车以速度2v0分别从M和N向左同时出发，列车做匀速直线运动，汽车在长为s的NO段做匀减速直线运动并以速度v0进入半径为R的OP圆弧段做匀速圆周运动。两车均视为质点，则(　　)
A．汽车到O点时，列车行驶距离为s
B．汽车到O点时，列车行驶距离为
C．汽车在OP段向心加速度大小为
D．汽车在OP段向心加速度大小为
6．(多选)如图所示，杂技演员进行表演时，可以悬空靠在以角速度ω匀速转动的圆筒内壁上而不掉下来。设圆筒半径为r，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。则该演员(　　)
A．受到4个力的作用
B．所需的向心力由弹力提供
C．角速度越大，人受到的摩擦力越大
D．圆筒的角速度ω≥
7．(2025·江苏南通检测)有一种杂技表演叫“飞车走壁”，由杂技演员驾驶摩托车沿圆台形表演台的侧壁高速行驶，做匀速圆周运动。如图所示，图中虚线表示摩托车的行驶轨迹，轨迹离地面的高度为h。下列说法正确的是(　　)
A．h越高，摩托车对侧壁的压力越大
B．h越高，摩托车做圆周运动的加速度越小
C．h越高，摩托车做圆周运动的周期越大
D．h越高，摩托车做圆周运动的线速度越小
8．(多选)(2025·陕西渭南一模)如图所示，半径为R的竖直圆筒绕中心轴线以恒定的转速匀速转动。一子弹以水平速度沿圆筒直径方向从左侧射入圆筒，从右侧射穿圆筒后发现两弹孔在同一竖直线上且相距为h，则下列说法正确的是(　　)
A．子弹在圆筒中的水平速度为v0＝2R
B．子弹在圆筒中的水平速度为v0＝R
C．圆筒转动的角速度可能为ω＝5π
D．圆筒转动的角速度可能为ω＝4π
9．(多选)如图所示，矩形金属框MNQP竖直放置，其中MN、PQ足够长，且PQ杆光滑。一根轻弹簧一端固定在M点，另一端连接一个质量为m的小球，小球穿过PQ杆，金属框绕MN轴分别以角速度ω和ω'匀速转动时，小球均相对PQ杆静止，若ω'>ω，则与以ω匀速转动时相比，以ω'匀速转动时(　　)
A．小球的高度一定降低
B．弹簧弹力的大小一定不变
C．小球对杆压力的大小一定变大
D．小球所受合外力的大小一定变大
10．(12分)(2025·江苏扬州仪征中学月考)如图所示，水平地面与一半径为L的竖直光滑圆弧轨道相接于B点，轨道上的C点位置处于圆心O的正下方。距离地面高度也为L的水平平台边缘上的A点有质量为m的小球以v0＝的初速度水平抛出，小球在空中运动至B点时，恰好沿圆弧轨道在该点的切线方向滑入轨道。小球运动过程中空气阻力不计，重力加速度为g，求：
(1)圆弧BC段所对应的圆心角θ；
(2)小球经B点时，对圆弧轨道的压力大小。
课时作业(二十二)
1．C　[物体在水平圆盘上，一定受到重力和支持力的作用，物体在转动过程中，有背离圆心的运动趋势，因此受到指向圆心的静摩擦力，且静摩擦力提供向心力，故C正确。]
2．B　[A点运动为A点绕O'的圆周运动和O'相对于O的圆周运动的合运动，故轨迹不是圆周，故不做匀速圆周运动，故A错误；根据题意O'固定在底盘上，故可知O'围绕O点做匀速圆周运动，故B正确；杯上A点与O、O'恰好在同一条直线上时，A在OO'延长线上，A点和O'点运动方向相同，又A点相对O'点做圆周运动，故此时A点的速度大于O'点的速度，故C、D错误。故选B。]
3．AC　[中心齿轮边缘各点的线速度大小与卫星齿轮边缘各点的线速度大小相等，A项正确；由v＝ωr可得中心齿轮与卫星齿轮的角速度与各自半径成反比，不能同时自转一圈，B项错误；向心加速度an＝，v相同，则＝，C项正确；设卫星齿轮自转n圈才绕轨道圆环转动一圈，应有n·2πR2＝2πR3，解得n＝，D项错误。故选AC。]
4．B　[衣物在随滚筒做匀速圆周运动时，其合外力总等于向心力，故A错误；衣物的向心加速度大小为an＝Rω2＝R，故B正确；滚筒转动越快，衣物在位置A越不容易离开滚筒，故C错误；衣物在位置B时加速度向上，所以处于超重状态，故D错误。故选B。]
5．B　[ON段，汽车位移s＝t＝v0t，这段时间内列车位移s列＝2v0t＝s，B正确，A错误；根据an＝可得汽车在OP段向心加速度大小为an＝，C、D错误。故选B。]
6．BD　[杂技演员受到重力、筒壁的弹力和静摩擦力共3个力作用，A错误；由于杂技演员在圆筒内壁上不掉下来，竖直方向根据平衡条件，有mg＝Ff，筒壁的弹力提供向心力，水平方向有F＝mω2r，角速度越大，弹力越大，人受到的摩擦力不变，B正确，C错误；杂技演员不下滑，则最大静摩擦力需要大于等于重力，即μF≥mg，F＝mω2r，解得ω≥，D正确。]
7．C　[
摩托车做匀速圆周运动，重力mg和侧壁对摩托车的支持力F的合力提供其做圆周运动所需的向心力，如图所示，侧壁对摩托车的支持力为F＝，根据牛顿第二定律可得mgtan θ＝ma＝mr＝m，解得a＝gtan θ，T＝，v＝，可知h越高，θ不变，r越大，则摩托车对侧壁的压力不变，摩托车做圆周运动的加速度不变，摩托车做圆周运动的周期越大，摩托车做圆周运动的线速度越大，故选C。]
8．AC　[子弹做平抛运动，在竖直方向上，有h＝gt2，可得子弹在圆筒中运动的时间t＝，水平方向子弹做匀速运动，因此水平速度v0＝＝2R，A正确，B错误；因子弹从右侧射穿圆筒后发现两弹孔在同一竖直线上，则圆筒转过的角度为θ＝(2n－1)π (n＝1，2，3，…)，则角速度为ω＝＝＝(2n－1)π(n＝1，2，3，…)，故角速度可能为5π，不可能为4π，C正确，D错误。故选AC。]
9．BD　[设弹簧的劲度系数为k，形变量为x，弹簧与竖直方向的夹角为θ，MN、PQ间的距离为L，对小球受力分析有kxcos θ－mg＝0，即竖直方向受力为0，水平方向有kxsin θ±FN＝mω2L，当金属框以ω'绕MN轴转动时，假设小球的位置升高，则kx减小，cos θ减小，小球受力不能平衡；假设小球的位置降低，则kx增大，cos θ增大，小球受力同样不能平衡，则小球的位置不会变化，弹簧弹力的大小一定不变，故A错误，B正确；根据牛顿第三定律，小球对杆的压力大小F压＝FN＝mω2L－kxsin θ或F压＝FN＝kxsin θ－mω2L，所以当角速度变大时压力大小不一定变大，故C错误；当角速度变大时小球受到的合外力一定变大，故D正确。]
10．解析：(1)小球到达B点时的竖直分速度vy＝，则tan θ＝＝1，解得θ＝45°。
(2)设小球到达B点时速度大小为vB，则有vB＝v0，设轨道对小球的支持力为F，根据牛顿第二定律有F－mgcos 45°＝m
解得F＝mg
由牛顿第三定律可知，小球对圆弧轨道的压力大小为F'＝F＝mg。
答案：(1)45°　(2)mg
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