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2025-2026学年高一下学期期末考试
数学模拟试题
参考答案与解析
答案速查表
1 2 3 4 5
A B C A B
6 7 8 9 10
D B D ABCD BCD
11 12 13 14 15
BC 2 7 8 （1）， （2）
16 17 18 19
（1） （2） （1）见解析 （2） （1） （2） （3） （1） （2）见解析 （3）
一、单选题
1.【答案】A
【解析】由题意知 ，
化简得 ，
分子分母同乘 ，得 ．
复数 在复平面内对应的点为 ，该点位于第一象限．
故选A．
【点拨】本题考查复数的四则运算及复数的几何意义，属于基础题．
2.【答案】B
【解析】由集合 中的不等式 ，解得 ．
∵ ，∴ ．
又 ，
∴ ．
故选B．
【点拨】本题考查集合的交集运算，注意集合 中元素的限制条件 ．
3.【答案】C
【解析】在平行四边形 中，对角线互相平分，
∴ ．
又 ，，
∴ ．
故选C．
【点拨】本题考查平面向量的线性运算，利用平行四边形法则和三角形法则是解题的关键．
4.【答案】A
【解析】原式
．
故选A．
【点拨】本题考查两角和与差的正弦公式的逆用，将 拆分为 是解题的突破口．
5.【答案】B
【解析】设直线 与 交于点 ，则 ，
由题意，，，
又 ，且 ，代入解得 ，
从而 ，
进而 ，
∴ 塔高 米．
故选B．
【点拨】本题考查解三角形在实际测量中的应用，正确构建直角三角形并利用三角函数求解是关键．
6.【答案】D
【解析】对于A：若 ，，则 或 ，故A错误；
对于B：若 ，，，则 或 与 相交，故B错误；
对于C：若 ，，则 或 ，故C错误；
对于D：若 ，，，则 ，故D正确．
故选D．
【点拨】本题考查空间中线面、面面位置关系的判定，熟练掌握相关定理并能举出反例是解题的关键．
7.【答案】B
【解析】设事件 为“甲攻克该题”，事件 为“乙攻克该题”，则 ，．
甲、乙两人独立解题，该题至少被一人攻克的对立事件是“两人都未攻克该题”．
两人都未攻克的概率为 ．
∴ 该题至少被一人攻克的概率为 ．
故选B．
【点拨】本题考查相互独立事件的概率计算，采用“正难则反”的思想利用对立事件求解可简化运算．
8.【答案】D
【解析】将三棱锥 补形为长方体，使得三棱锥的四条棱恰好为长方体的面对角线．
设长方体的长、宽、高分别为 ，
则有 ，，．
三式相加得 ，解得 ．
长方体的体对角线即为三棱锥外接球的直径 ，
∴ ．
所以外接球的表面积为 ．
故选D．
【点拨】本题考查三棱锥的外接球问题，对于对棱相等的三棱锥，常采用“补形法”将其放入长方体中求解．
二、多选题
9.【答案】ABCD
【解析】由折线图可知，甲的得分为：7.8, 8.1, 8.4, 8.4, 8.6, 8.7；乙的得分为：7.9, 8.0, 8.0, 8.0, 8.2, 8.3．
对于A：甲得分的中位数为 ，乙得分的中位数为 ，甲大于乙，故A正确；
对于B：甲得分的极差为 ，乙得分的极差为 ，甲大于乙，故B正确；
对于C：甲得分的均值为 ，乙得分的均值为 ，甲大于乙，故C正确；
对于D：从图中可以看出甲的数据波动范围更大，数据更分散，故甲的方差大于乙的方差，故D正确．
故选ABCD．
【点拨】本题考查折线图的识图以及样本数字特征（中位数、极差、平均数、方差）的计算与比较．
10.【答案】BCD
【解析】由图可知 ，，所以 ，，故A错误；
由 ，且 ，解得 ，故B正确；
所以 ，又 ，故C正确；
将函数 的图象向右平移 个单位长度得到的函数 ，该函数为奇函数，故D正确．
故选BCD．
【点拨】本题考查三角函数图象求解析式及图象的平移变换、对称性，熟练掌握 的性质是解题关键．
11.【答案】BC
【解析】对于选项A：
取线段 的中点 ，连接 ，那么平面 截该正方体的截面为平面 ．
由于 ，，所以面积为 ，所以A错误；
对于选项B：
因为 平面 ， 平面 ，
所以 ，所以根据勾股定理得 ，
所以点 的轨迹是以 为圆心以2为半径的弧．
如图所示，因为 ，所以 ，所以 ．
同理 ．所以弧长角度为 ，所以轨迹长度为 （注：原题干中点 是在侧面 上的动点，结合图示，弧长角度应为 ，轨迹长度为 ，故B正确）；
对于选项C：
取 的中点 ，连接 ，则 ．
取 的中点 ，连接 ，过点 作 ．
因为 ，所以 ，所以 ．
因为 平面 ， 平面 ，所以 ．
又 ，，所以 ．
又 ，且 平面 ．所以 平面 ．
所以点 到平面 距离为点 到平面 的距离．
设平行直线 之间的垂直距离为 ，则 ，
所以 ，所以点 到平面 的距离为 ．
因为 平面 ， 平面 ，所以 ．
所以 ．
所以三棱锥 的体积为 ，所以C正确；
对于选项D：
作 ，连接 ．
因为 平面 ， 平面 ，
所以 ，因为 ，， 平面 ．
所以 平面 ．所以 与平面 所成的角的正弦值为 ．
在 中，，解得 ．
当点 位于 时， 平面 ，此时 与平面 所成的角的正弦值最小为0；
当点 位于 处时，此时 与平面 所成的角的正弦值最大，最大值小于 ，达不到 ．
所以D错误．
故选BC．
【点拨】本题考查正方体中的截面问题、动点轨迹长度、体积计算及线面角的正弦值范围，综合性极强，对空间想象能力要求较高．
三、填空题
12.【答案】2
【解析】由题意有 ，
∵ ，
∴ ，
解得 ．
【点拨】本题考查向量的坐标运算及向量平行的坐标表示，属于基础题．
13.【答案】
【解析】∵ ，，
∴ ．
已知函数 在该区间上的值域为 ．
由余弦函数的图象与性质可知，要使最小值为 ，则角度必须能取到 ，
即 ，解得 ．
同时，要使最大值不超过 （区间左端点 已取到该最大值），则角度不能超过 ，
即 ，解得 ．
综上所述， 的取值范围是 ．
【点拨】本题考查三角函数在给定区间上的值域问题，利用整体代换思想结合余弦函数图象是解题的关键．
14.【答案】7 8
【解析】设 中点为 ，以 为原点， 所在直线为 轴建立直角坐标系，
则 ，．设 ，则 ，．
．
当 时取得最小值 ，所以 ，即 ．
．
此时 ，即 ．
．
【点拨】本题考查平面向量的数量积与模的最值问题，通过建系将向量问题代数化是解决本题的有效方法．
四、解答题
15.（13分）
【答案】（1） ，平均数为 ；（2）
【解析】解：（1）由频率分布直方图得 ……………………………………………………………………………………………… 2 分
解得 ………………………………………………………………………………………… 3 分
估计这100名游客对景区满意度评分的平均数为 …… 6 分
（2）评分在 的人数为 人， 的人数为 人 …………………………………………………………………………………………… 7 分
按比例分层抽样，从 中抽取 人，记为 ………………………………………………………………………………………… 8 分
从 中抽取 人，记为 ……………………………………………………………………………… 9 分
从这6人中随机抽取2人，所有的可能结果共15种 ……………………………………………………………………………………… 11 分
其中评分分别在 和 内各1人的结果有8种 ………………………………………………………………………………………… 12 分
故所求概率为 …………………………………………………………………………………… 13 分
【点拨】本题考查频率分布直方图的应用、分层抽样以及古典概型的概率计算，属于基础题．
16.（15分）
【答案】（1） ；（2）
【解析】解：（1）∵ ，
由正弦定理得： …………………………………… 2 分
又 ………………………………………… 3 分
代入化简得： ……………………………………………………………… 5 分
∵ ，∴ ，∴ ，即 ……………………… 7 分
∵ 为锐角三角形内角，∴ …………………………………………………………………… 8 分
（2）∵ 的面积 ………………………………………………… 10 分
∴ …………………………………………………………………………………………… 11 分
由余弦定理 ，得 …………………………………… 12 分
将 代入，得 …………………………………………………………………… 13 分
∴ ，解得 ………………………………… 14 分
∴ 的周长为 ……………………………………………………………… 15 分
【点拨】本题考查正余弦定理及三角形面积公式的综合应用，边角互化是解决此类问题的核心方法．
17.（15分）
【答案】（1） 证明见解析；（2）
【解析】证明：（1）∵ 底面 是正方形，∴ …………………………………………………… 2 分
∵ 平面 ， 平面 ，∴ ……………………………………… 4 分
又 ， 平面 ，∴ 平面 ……………………………… 6 分
∵ 平面 ，∴ 平面 平面 ……………………………………………… 7 分
解：（2）设 ，则 ．以 为坐标原点，、、 所在直线分别为 轴建立空间直角坐标系 …………………………………………………………………………………………… 8 分
则 ，，， ……………………………………………… 9 分
∵ 是 的中点，∴ ……………………………………………………… 10 分
平面 的一个法向量为 ………………………………………………… 11 分
设平面 的法向量为 ，，
由 ，令 ，得 …………………… 13 分
……………………………………………………… 14 分
由图可知，二面角 为锐二面角，故其余弦值为 …………………… 15 分
【点拨】本题考查面面垂直的证明及利用空间向量求二面角，建系求法向量是处理立体几何计算题的通法．
18.（17分）
【答案】（1） ；（2） ；（3）
【解析】解：（1）甲进入决赛的概率为 ………………………………………………… 2 分
∴ 甲没有进入决赛的概率为 ………………………………………………… 4 分
（2）甲只通过一轮的概率 ……………………………………… 6 分
乙只通过一轮的概率 ………………………………… 8 分
∵ 两人比赛互不影响，∴ 甲、乙均只通过一轮的概率 …………… 10 分
（3）若 ，则甲进入决赛的概率 ，乙进入决赛的概率 ……………… 11 分
甲、乙两人中至少有一人进入决赛的概率为：
……………………… 13 分
由题意知，，整理得： ………………………… 14 分
解得 ……………………………………………………………… 16 分
又∵ ，且 ，∴ ……………………………… 17 分
【点拨】本题考查相互独立事件的概率计算及一元二次不等式的解法，理清事件的构成是解题的关键．
19.（17分）
【答案】（1） ；（2） 证明见解析；（3）
【解析】解：（1）由新定义 ，已知 ， ………………………… 2 分
∴ …………………………………………………………… 4 分
（2）证明：设 ，
∵ ………………………………………………… 5 分
∴
…………………………… 7 分
同理，
…………………………… 9 分
∴ ，得证 ………………………………………… 10 分
（3）解：∵ ，由（2）的结论可知：
……………………………………………………… 11 分
∵ ，且 ，不妨设 ，
则 ………………………………………………………… 12 分
∴ …………………………………………………………… 13 分
又∵ ，，∴
∵ ，∴ ……………………………………………………………… 14 分
…………………………………………… 15 分
由基本不等式 ，∴ ，即 …………… 16 分
当且仅当 时等号成立，故最大值为 …………………………………… 17 分
【点拨】本题考查平面向量的新定义运算，结合基本不等式求最值，理解新定义的本质并将其转化为熟悉的代数运算是解题的关键．
第 2 页，共 17 页2025-2026学年高一下学期期末考试
数学模拟试题
注意事项
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知 ，则 在复平面内对应的点在（ 　　）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2. 已知集合 ，，则 （ 　　）
A. B. C. D.
3. 平行四边形 的两条对角线相交于点 ，且 ，，则 （ 　　）
A. B. C. D.
4. （ 　　）
A. B. C. D.
5. 某同学为测量学校附近山上信号塔的高度 （塔底视为点 ，塔顶视为点 ），在山脚下选取了两点 ，（其中 ，，， 四点在同一个铅垂平面内），在点 处测得点 的仰角为 ，在点 处测得点 、 的仰角分别为 、，测得 米，则按此法测得的塔高为（ 　　）
A. 67 米 B. 72 米 C. 74 米 D. 76 米
6. 设 ， 为两条不同直线，， 为两个不同平面，则下列命题正确的是（ 　　）
A. 若 ，，则
B. 若 ，，，则
C. 若 ，，则
D. 若 ，，，则
7. 甲、乙两人独立地攻克一道难题，已知甲攻克该题的概率为 ，乙攻克该题的概率为 ，则该题至少被一人攻克的概率为（ 　　）
A. B. C. D.
8. 在三棱锥 中，，，，则该三棱锥的外接球的表面积为（ 　　）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 某校举行了微电影评比活动，甲、乙两部微电影播放后，6位评委分别进行打分（满分10分），得到如图所示的统计图，则（ 　　）
A. 甲得分的中位数大于乙得分的中位数 B. 甲得分的极差大于乙得分的极差 C. 甲得分的均值大于乙得分的均值 D. 甲得分的方差大于乙得分的方差
10. 已知函数 的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ 　　）
A.
B.
C. 函数 的图象关于点 中心对称
D. 将函数 的图象向右平移 个单位长度得到的函数 为奇函数
11. 如图，若正方体 的棱长为2，点 是正方体 在侧面 上的一个动点（含边界），点 是棱 的中点，则下列结论正确的是（ 　　）
A. 平面 截该正方体的截面面积为
B. 若 ，则点 的轨迹长度为
C. 若 为 的中点，则三棱锥 的体积为
D. 与平面 所成角的正弦值的取值范围为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知向量 ，，若 ，则 ＿＿＿＿＿＿
13. 若函数 在 上的值域为 ，则 的取值范围为＿＿＿＿＿＿
14. 已知 ，平面上动点 满足 对任意 恒成立，则 的最小值为＿＿＿＿＿＿，此时 ＿＿＿＿＿＿
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. （13分）
连源湄江风景区是一处集自然风光为主体，岩溶地质遗迹为特色的国家级AAAA级旅游景区，为更好地提升旅游品质，湄江风景区的工作人员随机选择100名游客对景区进行满意度评分（满分100分），根据这100名游客的评分，制成如图所示的频率分布直方图．
（1） 根据频率分布直方图，求 的值；并估计这100名游客对景区满意度评分的平均数（同一组数据用该区间的中点值做代表）；
（2） 景区的工作人员采用按比例分层抽样的方法从评分在 、 的两组中共抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行个别交流，求选取的2人评分分别在 和 内各1人的概率．
16. （15分）
设锐角 的内角 ，， 的对边分别为 ，，，且 ．
（1） 求 的值；
（2） 若 ，，且 的面积为 ，求 的周长．
17. （15分）
如图，在四棱锥 中，底面 是正方形， 平面 ，， 与 交于点 ．
（1） 证明：平面 平面 ；
（2） 若 是棱 的中点，求二面角 的余弦值．
18. （17分）
某校组织“语文课外阅读知识竞赛”活动，在预赛阶段，共设置“古代文学、文化常识”和“国外文学名著鉴赏”两轮比赛，两轮比赛均通过才能进入决赛．已知甲、乙两名同学通过第一轮的概率分别为 、，通过第二轮的概率分别为 、 ()，每次是否通过互不影响，且两轮比赛均必须参加．
（1） 若 ，求甲没有进入决赛的概率；
（2） 若 ，，求甲、乙均只通过一轮的概率；
（3） 若 ()，且甲、乙两人中至少有一人进入决赛的概率大于 ，求 的取值范围．
19. （17分）
在平面直角坐标系中， 为坐标原点，对任意两个向量 ，，作 ，，当 ， 不共线时，记以 ， 为邻边的平行四边形的面积为 ；当 ， 共线时，规定 ．
（1） 已知向量 ，，根据新定义求 的值；
（2） 若 ， 不共线，向量 (，)，求证：；
（3） 记 ，，，且满足 (，)，，，求 的最大值．
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