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2026年甘肃省兰州市第三十五中学中考数学模拟试卷（二）
一、选择题：本题共11小题，每小题3分，共33分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.科技创新型企业的不断涌现，促进了我国新质生产力的快速发展.以下四个科技创新型企业的品牌图标中，为中心对称图形的是（　　）
A. B. C. D.
2.下列运算正确的是（　　）
A. 2a+3b=5ab B. m2 m4=m6 C. （a-b）2=a2-b2 D. （2m2）3=6m6
3.榫卯结构是两个构件采取凹凸结合的连接方式.如图是某个构件的截面图，其中AD∥BC，∠ABC=70°，则∠BAD=（　　）
A. 70° B. 100° C. 110° D. 130°
4.《九章算术》是古代中国第一部自成体系的数学专著，其中《卷第八方程》记载：“今有甲乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十，问甲、乙持钱各几何？”译文是：今有甲、乙两人持钱不知道各有多少，甲若得到乙所有钱的，则甲有50钱，乙若得到甲所有钱的，则乙也有50钱．问甲、乙各持钱多少？设甲持钱数为x钱，乙持钱数为y钱，列出关于x、y的二元一次方程组（　　）
A. B. C. D.
5.若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则满足条件的最小整数a的值是（　　）
A. -1 B. 0 C. 1 D. 2
6.如图，线段CD两个端点的坐标分别为C（3，3），D（4，1），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段CD放大为原来的2倍后得到线段AB，则端点B的坐标为（　　）
A. （6，6）
B. （6，8）
C. （8，6）
D. （8，2）
7.已知反比例函数的图象上有点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），且x1＞x2＞0＞x3，则关于y1，y2，y3大小关系正确的是（　　）
A. y1＞y2＞y3 B. y2＞y1＞y3 C. y1＞y3＞y2 D. y3＞y1＞y2
8.如图，在边长为1的正方形网格中，A，B，C，O，E是正方形网格上的五个点.若半径为1的⊙O与线段AB交于点D，则∠DEC的余弦值是（　　）
A.
B. 2
C.
D.
9.在同一平面直角坐标系中，一次函数y=k1x+b1与y=k2x+b2的图象如图所示，小颖根据图象得到如下结论：①在一次函数y=k1x+b1的图象中，y的值随着x值的增大而减小；②b1＜b2；③方程k2x+b2=0的解为x=1；④方程组的解是.其中正确结论的个数是（　　）
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
10.如图，在菱形ABCD中，∠B=45°，AB=6，点E在边BC上，连接AE，将△ABE沿AE折叠，若点B落在BC延长线上的点F处，则CF的长为（　　）
A. 2
B. 6-3
C. 2
D. 6-6
11.如图，某小区有一块菱形绿地ABCD，其中∠A=60°，计划在绿地上建造一个矩形的休闲书吧MNPQ，使点M，N，P，Q分别在边AB，BC，CD，AD上.记MN=x m,PN=y m,图中阴影部分的面积为S m2，当x在一定范围内变化时，y和S都随x的变化而变化，则y与x,S与x满足的函数关系分别是（　　）
A. 一次函数关系，反比例函数关系 B. 二次函数关系，一次函数关系
C. 一次函数关系，二次函数关系 D. 反比例函数关系，二次函数关系
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
12.因式分解：a2（x-y）+9（y-x）= .
13.紫色石蕊溶液遇酸性溶液变成红色，遇碱性变成蓝色，遇中性不变色.现有四个完全相同的不透明瓶子，里面分别装有：A.紫色石蕊溶液；B.食醋（酸性溶液）；C.石灰水（碱性溶液）；D.生理盐水（中性溶液）.从四个瓶子中随机选取两瓶，适量的溶液进行混合，则混合后溶液变成红色的概率为 .
14.如图，菱形ABCD的周长为8，∠DAC=30°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值是 .
15.如图，在扇形AOB中，已知∠AOB=90°，OA=OB=2，正方形OECD的顶点D、C、E分别在OA、、OB上，把正方形OECD的沿直线OB向右平移，得到正方形GNMF，其中点D的对应点F恰好与C重合，如图所示，则图中阴影部分的面积为 .
三、计算题：本大题共1小题，共5分。
16.计算：.
四、解答题：本题共10小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题5分)
解不等式组，并写出它的所有整数解.
18.(本小题5分)
解方程：.
19.(本小题7分)
如图，在平面直角坐标系中，直线AB分别与x轴，y轴交于点A，B，与反比例函数y=（x＞0）的图象交于点C.已知点A的坐标为（-2，0），点C的坐标为（1，6），点D在反比例函数y=（x＞0）的图象上，纵坐标为2.
（1）求反比例函数的表达式，并直接写出点B的坐标；
（2）连接BD，OD，请直接写出四边形ABDO的面积.
20.(本小题7分)
下面为某中学数学兴趣小组在完成项目“测量岳麓山主峰（禹王峰）的高度”之后撰写的项目报告.
项目主题 测量岳麓山主峰（禹王峰）的高度
项目背景 长沙“山水洲城”申遗工作正在持续推进中，岳麓山作为核心景观，其主峰（禹王峰）的精确高度是测绘工作的重要内容.
测量工具 测角仪
测量示意图
测量过程 1.在距离禹王峰一定距离的地面C处放置测角仪，测得禹王峰山顶A的仰角为45°；
2.在与地面C处水平距离为525m的地面D处放置另一测角仪，测得禹王峰山顶A的仰角为53°.（C，B，D在同一水平直线上）
请根据表中的测量数据，计算禹王峰AB的高度.（测角仪高度忽略不计，参考数据：sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈，≈1.4）
21.(本小题7分)
阅读与思考
下面是小宣同学数学笔记中的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务.
双关联线段
【概念理解】
如果两条线段所在直线形成的夹角中有一个角是60°，且这两条线段相等，则称其中一条线段是另一条线段的双关联线段，也称这两条线段互为双关联线段.
例如，下列各图中的线段AB与CD所在直线形成的夹角中有一个角是60°，若AB=CD，则下列各图中的线段CD都是相应线段AB的双关联线段.
【问题解决】
问题1：如图1，在矩形ABCD中，
AB＜AD，若对角线AC与BD互为双关联线段，则∠ACB= ______°.
问题2：如图2，在等边△ABC中，点D，E分别在边BC，CA的延长线上，且AE=CD，连接AD，BE.求证：线段AD是线段BE的双关联线段.
证明：延长DA交BE于点F.
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=∠ACB=60°
∵∠BAC+∠BAE=180°，∠ACB+∠ACD=180°，
∴∠BAE=∠ACD（依据）.
∵AE=CD，
∴△ABE≌△CAD.
∴BE=AD，∠E=∠D.
……
任务：
（1）问题1中的∠ACB= ______°，问题2中的依据是______；
（2）补全问题2的证明过程；
（3）如图3，点C在线段AB上，请在图3中作线段AB的双关联线段CD（要求：①尺规作图，保留作图痕迹，不写作法；②作出一条即可）.
22.(本小题7分)
2025年4月24日是第十个“中国航天日”，今年的“中国航天日”主题为“海上生明月，九天揽星河”.为迎接中国航天日的到来，某校七、八年级举行了航天知识竞赛，政教处在七、八年级中各随机抽取了20名学生的竞赛成绩（满分100分，单位：分）进行整理和分析（成绩共分成五组：A.50≤x＜60，B.60≤x＜70，C.70≤x＜80，D.80≤x＜90，E.90≤x＜100）.
【收集、整理数据】
七年级学生竞赛成绩分别为54，62，69，75，77，78，87，88，88，89，89，89，89，89，92，95，96，98，98，99.八年级学生竞赛成绩在C组和D组的分别为74，78，78，78，78，79，85，88，89.根据以上数据绘制了如下两幅不完整的统计图.
【分析数据】
两组样本数据的平均数、中位数和众数如表所示：
年级 平均数 中位数 众数
七年级 85 88.5 b
八年级 84.8 a 78
【问题解决】
请根据上述信息，解答下列问题：
（1）补全频数分布直方图，上述表中a=______，b=______，七年级竞赛成绩在D组的学生在扇形统计图中所占扇形的圆心角为______度.
（2）根据以上数据，你认为此次竞赛该校七年级学生的成绩好，还是八年级学生的成绩好？写出一条理由.
（3）如果该校七年级有1000名学生参加此次竞赛，请估计七年级竞赛成绩不低于90分的学生人数.
23.(本小题7分)
如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，P为⊙O外一点，OP∥AC，且∠OBP=90°，连接PC.
（1）求证：PC与⊙O相切；
（2）若AO=3，OP=5，求AC的长.
24.(本小题8分)
在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2-bx的图象经过两点（1，-2），（-1，4）.
（1）求二次函数的表达式；
（2）点（t,m）、（t+5，n）为该二次函数图象上的两点，当t＞-1时，试比较m与n的大小，并说明理由；
（3）点A（x1，p）、B（x2，q）为该二次函数图象上不同的两点（pq≠0），且满足，请写出p、q之间的数量关系，并写出推理过程.
25.(本小题8分)
综合与探究
如图1，在边长为12的正方形ABCD中，E是正方形内一点，连接DE，将DE绕点D顺时针旋转90°，得到DF，连接AE，CF.
（1）求证：AE=CF.
（2）若点G是BC的中点，连接GE，且.
①如图2，当A、E、G三点共线时，连接GF，求线段GF的长；
②连接EF，在E运动的过程中，当DE最小时，直接写出四边形AEFD的面积.
26.(本小题9分)
我们给出如下定义：两个图形G1和G2，在G1上的任意一点P引出两条垂直的射线与G2相交于点M、N，如果PM=PN，我们就称M、N为点P的垂等点，PM、PN为点P的垂等线段，点P为垂等射点．
（1）如图1，在平面直角坐标系xOy中，点P（1，0）为x轴上的垂等射点，过A（0，3）作x轴的平行线l，则直线l上的B（-2，3），C（-1，3），D（3，3），E（4，3）为点P的垂等点的是______；
（2）如果一次函数图象过M（0，3），点M为垂等射点P（1，0）的一个垂等点且另一个垂等点N也在此一次函数图象上，在图2中画出示意图并写出一次函数表达式；
（3）如图3，以点O为圆心，1为半径作⊙O，垂等射点P在⊙O上，垂等点在经过（3，0），（0，3）的直线上，如果关于点P的垂等线段始终存在，求垂等线段PM长的取值范围（画出图形直接写出答案即可）．
1.【答案】D
2.【答案】B
3.【答案】C
4.【答案】B
5.【答案】D
6.【答案】D
7.【答案】D
8.【答案】D
9.【答案】C
10.【答案】D
11.【答案】C
12.【答案】（a+3）（a-3）（x-y）
13.【答案】
14.【答案】．
15.【答案】
16.【答案】解：原式=1++5+2×-2
=1+2+5+-2
=8+-2
=8-．
17.【答案】解：解不等式①，得x＞-2，
解不等式②，得x＜4，
综上，-2＜x＜4，
∴所有整数解为-1，0，1，2，3．
18.【答案】．
19.【答案】（1）反比例函数的解析式为；点B的坐标为（0，4）；
（2）10．
20.【答案】300m．
21.【答案】30°；等角的补角相等；
见解析；
见解析．
22.【答案】82;89;144 七年级的学生成绩好，理由：从平均数看，七年级样本数据的平均数大于八年级样本数据的平均数；从中位数看，七年级样本数据的中位数大于八年级样本数据的中位数，说明七年级学生中至少有一半以上的成绩高于88.5，而八年级约有一半的学生成绩低于82 七年级竞赛成绩不低于90分的学生人数约为300人
23.【答案】（1）证明：连接OC，

∵OC=OA，
∴∠OAC=∠OCA，
∵OP∥AC，
∴∠OAC=∠BOP，∠OCA=∠COP，
∴∠COP=∠BOP，
∵OP=OP，OC=OB，
∴△COP≌△BOP（SAS），
∴∠OCP=∠OBP=90°，
∴OC⊥PC，
∴PC与⊙O相切；
（2）解：连接BC交OP于点D，

∵△COP≌△BOP，
∴PC=PB，OB=OC，
∴OP垂直平分BC，
∵AO=BO=3，OP=5，∠OBP=90°，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵AB是⊙O的直径，
∴AB=2OA=6，∠ACB=90°，
∴．
24.【答案】y=x2-3x n＞m p=q
25.【答案】证明见解析过程；
①2；
②88．
26.【答案】（1）B（-2，3），E（4，3）；
（2）①如图2，当垂等点N在直线PM右侧时，
依题意，可知∠MOP=∠MPN=∠NFP=90°，PM=PN，
∵∠OPM+∠OMP=∠OPM+∠NPF=90°，
∴∠OMP=∠NPF．
在△MOP与△PFN中，，
∴△MOP≌△PFN．
∴PF=OM，OP=FN．
∵P（1，0），
∴OF=4，FN=1．
∵点N在第一象限，
∴N（4，1）．
∴过点M、N的一次函数表达式为y=-x+3；
②如图3，当垂等点N在直线PM左侧时，
依题意同理可得N（-2，-1）
∴过点M、N的一次函数表达式为y=2x+3；
（3）如图4，
当点P在第一和第三象限的角平分线上且PM∥OA时，PM取得最小或最大值，
延长MP交OB于C，连接OP，
∵B（3，0），A（0，3），
∴直线AB的解析式为y=-x+3，
∵OP=1，
∴OC=PC=，
∴N的纵坐标为，
∴横坐标为3-，
∴PM=PN=3--=3-，同理P′M′=P′N′=3，
∴PM长的取值范围：3-≤PM≤3+．
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