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北京市对外经济贸易大学附属中学2025-2026学年第二学期期中质量监测试高二数学
一、单项选择题：本大题共10小题，共50分。
1.已知全集，集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2.甲、乙等5人排成一列，且甲、乙均不在第一个位置，则不同的排法种数共有（）
A. 36 B. 48 C. 60 D. 72
3.某考生回答一道四选一的考题，假设他知道正确答案的概率为，知道正确答案时，答对的概率为，而不知道正确答案时猜对的概率为，那么他答对题目的概率为（ ）
A. B. C. D.
4.已知．则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5.若不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是( )
A. (－∞，2] B. [－2,2] C. (－2,2] D. (－∞，－2)
6.设的展开式的各项系数之和为256，则展开式中的系数为（ ）
A. B. 150 C. 300 D.
7.设是定义域为的偶函数，且在单调递减，则
A. B.
C. D.
8.已知函数存在极值点，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
9.某教学软件在刚发布时有100名教师用户，发布5天后有1000名教师用户.如果教师用户人数与天数之间满足关系式：，其中为常数，是刚发布时的教师用户人数，则教师用户超过20000名至少经过的天数为（ ）（参考数据：）
A. 9 B. 10 C. 11 D. 12
10.《孙子算经》是中国南北朝时期重要的数学著作，书中的“中国剩余定理”对同余除法进行了深入的研究.现给出一个同余问题：如果和被除得的余数相同，那么称和对模同余，记为.若，则的值可以是（ ）
A. 2023 B. 2024 C. 2025 D. 2026
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
11.函数的定义域是 .
12.某射手射击所得环数的分布列如下：
7 8 9 10
P x 0.1 0.3 y
已知的期望 E=8.9，则y的值为 .
13.已知a＞0，b＞0，则的最小值为 .
14.从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法种数共有 .（用数字作答）
15.设函数，当时，函数的最小值为 ；若无最小值，则实数的取值范围是 ．
16.已知函数，给出以下四个结论，其中结论正确的有 ：①有且仅有一个零点；②在区间上单调递减；③既有最小值，又有最大值；④存在实数，使方程有3个实数根.
三、解答题：本题共5小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题14分)
根据以往的成绩记录，甲、乙两名队员射击击中目标靶的环数的频率分布情况如图所示.
假设每名队员每次射击相互独立.
（Ⅰ）求上图中的值；
（Ⅱ）队员甲进行三次射击，求击中目标靶的环数不低于8环的次数的分布列及数学期望（频率当作概率使用）；
（Ⅲ）由上图判断，在甲、乙两名队员中，哪一名队员的射击成绩更稳定？（结论不需证明）
18.(本小题14分)
已知，函数，
（1）当时，求的最小值；
（2）若函数在上是单调函数，求的范围.
19.(本小题14分)
为研究中国工业机器人产量和销量的变化规律，收集得到了年工业机器人的产量和销量数据，如下表所示．
年份
产量万台
销量万台
记年工业机器人产量的中位数为，销量的中位数为．定义产销率为“”．
(1)从年中随机取年，求工业机器人的产销率大于的概率；
(2)从年这年中随机取年，这年中有年工业机器人的产量不小于，有年工业机器人的销量不小于．记，求的分布列和数学期望；
(3)从哪年开始的连续年中随机取年，工业机器人的产销率超过的概率最小．结论不要求证明.
20.(本小题14分)
已知椭圆: 的离心率为，过椭圆右焦点的直线与椭圆交于点（点在第一象限）．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）已知为椭圆的左顶点，平行于的直线与椭圆相交于两点．判断直线是否关于直线对称，并说明理由．
21.(本小题14分)
已知关于x的函数f(x)＝(a≠0)．
(1)当a＝－1时，求函数f(x)的极值；
(2)若函数F(x)＝f(x)＋1没有零点，求实数a的取值范围．
1.【答案】C
2.【答案】D
3.【答案】A
4.【答案】A
5.【答案】C
6.【答案】B
7.【答案】C
8.【答案】A
9.【答案】D
10.【答案】D
11.【答案】
12.【答案】0.4
13.【答案】3
14.【答案】34
15.【答案】 ； ； ； ； ； ；
16.【答案】①②④
17.【答案】解：（Ⅰ）由上图可得,
所以;
（Ⅱ）由图可得队员甲击中目标靶的环数不低于8环的概率为:
，
由题意可知随机变量的取值为：0,1,2,3，
事件“”的含义是在3次射击中，恰有k次击中目标靶的环数不低于8环，
，
即的分布列为
所以的期望是.
（Ⅲ）甲队员的射击成绩更稳定.

18.【答案】解：（1）当a=0时，f（x）=lnx+（x＞0），
所以f′（x）=．
所以，当0＜x＜1时，f′（x）＜0；当x＞1时，f′（x）＞0．
f(x)在(0,1)单调递减,在(1,+)单调递增,
所以，当x=1时，函数有最小值f（1）=1.
（2）f′（x）=．
当a≥0时，ax2+x-1在[2，+∞）上恒大于零，即f′（x）＞0，符合要求．
当a＜0时，要使f（x）在区间[2，+∞）上是单调函数，
当且仅当x∈[2，+∞）时，ax2+x-1≤0恒成立．
即a≤恒成立．
设g（x）=，则，
又x∈[2，+∞），所以g′（x）≥0，即g（x）在区间[2，+∞）上为增函数，
所以g（x）的最小值为g（2）=-，所以a≤-．
综上，a的取值范围是a≤-，或a≥0.
19.【答案】解：（1）记事件为“工业机器人的产销率大于”．
由表中数据，工业机器人的产销率大于的年份为
年，年，年，年，共年．
所以．
（2）因为，，
所以的所有可能的取值为；的所有可能的取值为．
所以的所有可能的取值为．
，，．
所以的分布列为：
故的数学期望．
（3）2018年和年．

20.【答案】(Ⅰ)由题意得c＝1,
由＝可得a＝2，
所以b2＝a2－c2＝3,
所以椭圆的方程为＋ ＝1.
(Ⅱ)由题意可得点A(－2,0)，M(1，)，
所以由题意可设直线l：y＝x＋n，n≠1.
设B(x1，y1)，C(x2，y2)，
由 得x2＋nx＋n2－3＝0.
由题意可得Δ＝n2－4(n2－3)＝12－3n2>0，即n∈(－2,2)且n≠1.
x1＋x2＝－n，x1x2＝n2－3
因为kMB＋kMC＝＋
＝＋
＝1＋＋
＝1＋
＝1－＝0，
所以直线MB，MC关于直线m对称.

21.【答案】解：（1）因为函数f(x)=(a<0)，
所以，x∈R；
当a=-1时，f（x），f′（x）的情况如下表：
x （-∞，2） 2 （2，+∞）
f′（x） - 0 +
f（x） ↘ 极小值 ↗
所以，当a=-1时，函数f（x）的极小值为f（2）=-e-2；无极大值；
（2）因为，
当a＜0时，F（x），F′（x）的情况如下表：
x （-∞，2） 2 （2，+∞）
f′（x） - 0 +
f（x） ↘ 极小值 ↗
因为F（1）=1＞0，
若使函数F（x）没有零点，需且仅需，解得a＞-e2，
所以此时-e2＜a＜0；
所以实数a的取值范围是{a|-e2＜a＜0}．

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