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北京市顺义区第一中学2025-2026学年高二下学期5月期中考试数学试题
一、单项选择题：本大题共10小题，共50分。
1.已知随机变量的分布列如表：（其中为常数）
0 1 2 3 4 5
0.2 0.1 0.3 0.2 0.1
则等于（ ）
A. 0.4 B. 0.5 C. 0.6 D. 0.7
2.已知数列{an}的前n项和，则a3=（　　）
A. 16 B. 32 C. 48 D. 64
3.从4名高一学生和5名高二学生中，选3人参加社区垃圾分类宣传活动，其中至少有1名高二学生参加宣传活动的不同选法种数为（　　）
A. 50 B. 70 C. 80 D. 140
4.若曲线y=f（x）在某点（x0，f（x0））处的切线的斜率为1，则该曲线不可能是（　　）
A. B. y=sinx C. y=xex D. y=x+lnx
5.袋中有3红5黑8个大小形状相同的小球，从中依次摸出两个小球，则在第一次摸得红球的条件下，第二次仍是红球的概率为（　　）
A. B. C. D.
6.在“五一”假期，小铭买了1本计算机书，1本文艺书，1本体育书，2本不同的数学书.打算把它们放在同一层书架上，两本数学书放在一起，不同的摆放种数有（　　）
A. 48 B. 96 C. 120 D. 240
7.已知二项式的所有二项式系数之和等于128,那么其展开式中含项的系数是( )
A. -84 B. -14 C. 14 D. 84
8.已知函数y=f(x)的导函数y=f'(x)图象如下图所示,则下列说法正确的是()
A. f(x1)>f(x3) B. x2是极大值点
C. f(x)的图象在x=x1处的切线的斜率等于0 D. f(x)在区间(a,b)内一定有2个极值点
9.甲、乙两名乒乓球运动员进行一场比赛，采用7局4胜制（先胜4局者胜，比赛结束）．已知每局比赛甲获胜的概率均为，则甲以4比2获胜的概率为（ ）
A. B. C. D.
10.若函数在上有最小值，则实数的取值范围为（）
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.数列的前项和，若，则 .
12.若函数在区间上单调递增，则的取值范围是 ．
13.已知多项式，则 ， .
14.已知，，是公比不为1的等比数列，将，，调整顺序后可构成一个等差数列，则满足条件的一组，，的值依次为 .
15.已知函数给出下列四个结论：
①存在实数，使得函数的最小值为；
②存在实数，使得函数的最小值为；
③存在实数，使得函数恰有个零点；
④存在实数，使得函数恰有个零点．
其中所有正确结论的序号是 ．
三、解答题：本题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题10分)
已知的展开式中第二项与第三项的二项式系数之和为36．
（1）求的值；
（2）求展开式中含的项及展开式中二项式系数最大的项．
17.(本小题12分)
某商场为刺激消费,拟按以下方案进行促销:顾客消费每满500元便得到抽奖券1张,每张抽奖券的中奖概率为,若中奖,则商场返还顾客现金100元.某顾客现购买价格为2300元的台式电脑一台,得到奖券4张.每次抽奖互不影响.
(1)设该顾客抽奖后中奖的抽奖券张数为,求的分布列;
(2)设该顾客购买台式电脑的实际支出为(单位:元),用表示,并求的数学期望.
18.(本小题12分)
在等差数列中，
(1)求的通项公式；
(2)若是公比为2的等比数列，，求数列的通项及前项和.
19.(本小题12分)
某校开展了为期一年的“弘扬传统文化，阅读经典名著”活动活动后，为了解阅读情况，学校随机选取了几名学生，统计了他们的阅读量并整理得到以下数据（单位：本）：
男生：3，4，6，7，7，10，11，11，12；
女生：5，5，6，7，8，9，11，13．
假设用频率估计概率，且每个学生的阅读情况相互独立．
(1)根据样本数据，估计此次活动中学生阅读量超过10本的概率；
(2)现从该校的男生和女生中分别随机选出1人，记为选出的2名学生中阅读量超过10本的人数，求的分布列和数学期望；
(3)现增加一名女生得到新的女生样本．记原女生样本阅读量的方差为，新女生样本阅读量的方差为．若女生的阅读量为8本，写出方差与的大小关系．（结论不要求证明）
20.(本小题14分)
已知函数.
（1）当a=0时，求曲线y=f（x）在x=0处的切线方程；
（2）当a＞0时，求函数f（x）的单调区间；
（3）若对于任意的x∈[2，+∞），有f（x）≥0，求a的取值范围.
21.(本小题15分)
已知各项均为正整数的有穷数列满足，有，若等于中所有不同值的个数，则称数列具有性质.
(1)判断下列数列是否具有性质，并说明理由：
①
②
(2)已知数列具有性质，求出的所有可能取值；
(3)若一个数列具有性质，则是否存在最小值？若存在，求出这个最小值，并写出一个符合条件的数列；若不存在，请说明理由.
1.【答案】B
2.【答案】C
3.【答案】C
4.【答案】D
5.【答案】B
6.【答案】A
7.【答案】A
8.【答案】D
9.【答案】D
10.【答案】B
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】 ；
14.【答案】（答案不唯一）
15.【答案】①③
16.【答案】解：（1）由题意知，第二项的二项式系数为，第三项的二项式系数为，
， ,
(n+9)(n-8)=0 ，
得或（舍去）.
∴；
(2)的通项公式为： ，
令，求得k=1，
故展开式中含的项为．
又由n=8知第5项的二项式系数最大，此时.

17.【答案】解：(1)每张奖券是否中奖是相互独立的, B(4,).
P(=0)==,P(=1)==,
P(=2)==,P(=3)==,
P(=4)==,
的分布列为
0 1 2 3 4
P
(2)~B(4,),E=4=2.
又由题意可知=2300-100,
∴E=E(2300-100)=2300-100E=2300-1002=2100.
即实际支出的数学期望为2100元.

18.【答案】解：（1） 设等差数列的公差为d，
由题设,得，
解得=2,d=4，
所以=+(n-1)d=4n-2.
（2）因为{}是公比为2的等比数列,且=6，，
所以-=(-)=，
所以=+=+4n-2，
所以=4(1++++)+2(1+3+5++2n-1)
=+2
= .
19.【答案】（1）共选出了17名学生，其中有5人的阅读量超过10本，
所以此次活动中学生阅读量超过10本的概率为．
（2）由题意，从男生中随机选出1人其阅读量超过10本的概率为；
从女生中随机选出1人，其阅读量超过10本的概率为．
由题设，的可能取值为0，1，2．
且；
；
．
所以的分布列为：
0 1 2
的数学期望．
（3）．
理由：设原女生的8个阅读量分别为，
原女生阅读量的平均数为，新增一名女生后，平均数依然为8，
则
所以

20.【答案】x+y+2=0；
当0＜a＜e时，f（x）在（-∞，lna）和（1，+∞）上递增，在（lna，1）上递减；
当a=e时，f（x）在（-∞，+∞）上递增；
当a＞e时，f（x）在（-∞，1）和（lna，+∞）上递增，在（1，lna）上递减；
（-∞，e2]．
21.【答案】解：（1）①任意两项和的结果有4，6，8，10，12共5个，
而，所以具有性质；
②，任意两项和的结果有共7个，
而，所以不具有性质．
（2）因为数列中任意两项和的结果有共个，且全部为偶数，
所以数列，任意两项和不同的取值最多有个，
所以，
若为奇数，都是奇数，与前6项中任意两项和的值均不相同，
则中所有的不同值共有15个，所以．
若为偶数，都是偶数，所以，所以，
因为，有，所以，则，
则任意两项和比任意两项和多了，共个，不符合题意；
综上，.
（3）存在最小值，且最小值为4049．
将的项从小到大排列构成新数列：，
所以
所以的值至少有个．
即的值至少有4049个，即．
数列符合条件，即．
此时为等差数列，由等差数列性质，
当时，；当时，，
因此每个等于中的一个，或者等于中的一个．
即所有和的不同值为个不同值，且．
综上，的最小值为4049

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