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北京市第四中学2025-2026学年高二下学期期中考试数学试卷
一、单项选择题：本大题共10小题，共50分。
1.已知数列{an}的首项a1=1，且an=2an-1+1（n≥2），则a5为（ ）
A. 7 B. 15 C. 30 D. 31
2.下列求导运算正确的是（）
A. B.
C. D.
3.已知是等差数列，且，，此数列的首项与公差依次为（ ）
A. 19， B. 21， C. 15， D. 16，
4.函数的图象过原点且它的导函数的图象是如图所示的一条直线，则图象不 经 过（）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
5.从编号分别为1，2，3，4，5，6的六个大小完全相同的小球中，随机取出三个小球，则取出的三个小球最大编号为5的概率为（）
A. B. C. D.
6.函数在区间上是减函数，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
7.已知等差数列{an}的前20项的和为100，那么a7a14的最大值为（　　）
A. 25 B. 50 C. 100 D. 不存在
8.已知无穷等差数列的公差不为0，前项和为．则“有最小值”是“数列单调递增”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
9.如图是函数的导函数的图像，则下列说法错误的是（ ）
A. 在处取极大值 B.
C. 在上存在最小值 D. 在上至多有3个零点
10.已知等差数列和的前16项均为正整数，且公差均不为0．若，则的最小值为（ ）
A. 32 B. 16 C. 12 D. 8
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.同时抛掷甲乙两枚质地均匀的骰子，设“甲骰子点数为3”，“两枚骰子点数之和为8”，则 ．
12.函数在处的切线方程为 ．
13.已知数列的前项和为，则 ，的最小值为 ．
14.已知函数，，有成立，则的取值范围是 ．
15.已知函数，给出如下四个结论：
①对任意，都不是偶函数；
②任取，，在上单调递减；
③任取，，在上单调递减；
④存在，使得当且时，恒成立；
其中所有正确结论的序号是 ．
三、解答题：本题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题10分)
设等差数列的公差不为0，，且．
(1)求的通项公式：
(2)设数列的前项和为，求使成立的的最小值．
17.(本小题12分)
生活中人们喜爱用跑步软件记录分享自己的运动轨迹.为了解某地中学生和大学生对跑步软件的使用情况，从该地随机抽取了200名中学生和80名大学生，统计他们最喜爱使用的一款跑步软件，结果如下：
跑步软件一 跑步软件二 跑步软件三 跑步软件四
中学生 80 60 40 20
大学生 30 20 20 10
假设大学生和中学生对跑步软件的喜爱互不影响.
(1)从该地区的中学生和大学生中各随机抽取1人，用频率估计概率，试估计这2人都最喜爱使用跑步软件一的概率；
(2)采用分层抽样的方式先从样本中的大学生中随机抽取人，再从这人中随机抽取人.记为这人中最喜爱使用跑步软件二的人数，求的分布列和数学期望；
(3)记样本中的中学生最喜爱使用这四款跑步软件的频率依次为，，，，其方差为；样本中的大学生最喜爱使用这四款跑步软件的频率依次为，，，，其方差为；，，，，，，，的方差为.写出，，的大小关系.（结论不要求证明）
18.(本小题12分)
“诗到清平能动主，花虽富贵不骄人”，以景山公园为首，北京各大公园牡丹陆续进入最佳观赏期，为了解景山公园的未来人流趋势，收集得到旅行平台关于该公园4月1号至12号的网络搜索量（单位：万次）如下：
时间 1号 2号 3号 4号 5号 6号 7号 8号 9号 10号 11号 12号
搜索量 6.2 8.1 6.1 7.2 8.1 7.4 6.2 6.5 6.4 8.3 8.1 6.3
假设该公园每天的搜索量变化是相互独立的，用频率估计概率．
(1)从2号至11号中任取1天，求当日的搜索量比其前后两日的搜索量都低的概率；
(2)在未来的日子里任取3天，记这3天中搜索量数据高于8万的天数为，求随机变量的分布列；
(3)在未来的日子里任取3天，求这3天搜索量数据中既有高于8万又有低于7万的数据的概率．
19.(本小题12分)
已知函数．
(1)求在上的最大值和最小值；
(2)求过原点的切线方程．
20.(本小题14分)
已知函数．
(1)求在处的切线方程；
(2)判断的单调性；
(3)若不等式在上无解，求的取值范围．
21.(本小题15分)
已知项数为的实数数列：，，…，，给定正整数，记．如果对于，…，，都有，则称数列“级恒正”，如果对于，…，，都有，则称数列“级恒负”．
(1)对于，直接判断是否“2级恒负”，是否“4级恒正”；
(2)当时，求证：不存在既“2级恒正”又“7级恒负”的数列：
(3)已知，数列既“级恒正”又“级恒负”，求的最大值（用表示）．
1.【答案】D
2.【答案】B
3.【答案】A
4.【答案】B
5.【答案】C
6.【答案】B
7.【答案】A
8.【答案】C
9.【答案】D
10.【答案】B
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】9 ； 1
14.【答案】
15.【答案】①②③
16.【答案】解：（1）设等差数列的公差为，．
，，解得或（舍）．
所以的通项公式为．
（2）由题意可得，
令，解得或（舍），
故使成立的的最小值为8．

17.【答案】解：（1）从该地区的中学生和大学生中各随机抽取1人，
这人都最喜爱使用跑步软件一的概率为.
（2）因为抽取的人中最喜爱跑步软件二的人数为，
所以的所有可能取值为，
，
所以的分布列为：

所以.
（3），证明如下：
，
，
所以.
，
，
所以.
数据：，，，，，，，，
对应的平均数为，
所以，
所以.

18.【答案】解：（1）设“当日的搜索量比其前后两日的搜索量都低”为事件，总天数10天，
满足条件的天数为3天（3号、7号、9号），因此．
（2）在未来的日子里任取一天，设“当日搜索量数据高于8万”为事件，
12天中，搜索量高于8万的有：2号、5号、10号、11号，共4天，
用频率估计概率，，
，
，
，
．
分布列为
0 1 2 3
（3）设“这3天搜索量数据中既有高于8万又有低于7万的数据”为事件，“第天高于8万”为事件，
“第天低于7万”为事件，“第天不低于7万且不高于8万”为事件，，
由（2）可得，同理可得，，
则
．

19.【答案】解：（1）由得，
令得或，
，，，，
当在上变化时，的变化情况如下表：
0 2 3
0 + 0
0
因为，
所以在上的最大值为，最小值为．
（2）因为，
所以在定义域上处处可导，即过原点的切线的斜率存在.
设过原点的切线与曲线的切点为，则切线斜率，
所以切线方程为，
由切线过原点得，即，解得或.
当时，切点为，切线的斜率为，所以切线方程为；
当时，切点为，切线的斜率为，所以切线方程为，即．
综上，所求切线方程为和．

20.【答案】解：（1）因为，
，，
所以在处的切线方程为，
即.
（2）因为，令，则，
令，则，又，
1
0 +
单调递减 0 单调递增
所以在处取得极小值（也是最小值）0，即，
所以（当且仅当时为零），
因此在上单调递增.
（3）不等式无解，即对任意有，即恒成立，
令，则，
则在上，，单调递减，
因此，
因此的取值范围是.

21.【答案】解：（1）不是“2级恒负”，是“4级恒正”．
因为当时，，所以不是“2级恒负”；
当时，
，
，
，
所以是“4级恒正”.
（2）假设存在“2级恒正”且“7级恒负”的数列．
另一方面，
，
矛盾，所以不存在既是“2级恒正”又是“7级恒负”的数列．
（3）的最大值为．
当时，构造数列如下：
即第个数是，其余数全为-1，则
，
而
所以数列为既“级恒正”又“级恒负”的数列．
下面证明：当时，不存在既“级恒正”又“级恒负”的数列．
假设存在这样的数列，从数列中取前项，记为数列，则数列满足既“级恒正”又“级恒负”．
一方面，
另一方面：
矛盾，所以当时，不存在既“级恒正”又“级恒负”的数列．
所以的最大值为．

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