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2025-2026学年江苏省南京市外国语学校高一（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.设x,y∈R，向量，，且，，则|+|=（　　）
A. B. 3 C. D. 4
2.的展开式中项的系数是（　　）
A. 672 B. -420 C. 84 D. -560
3.某市物价部门对某商品在5家商场的售价x（元）及其一天的销售量y（件）进行调查，得到五对数据（xi，yi）（i=1，2，3，4，5），经过分析、计算，得，，x,y之间的经验回归方程是：，则相应于点（9.5，10）的残差为（　　）
A. 0.4 B. 1.5 C. 8 D. 9.6
4.甲、乙、丙、丁共4名同学参加某知识竞赛，已决出了第1名到第4名（没有并列名次）.甲、乙、丙三人向老师询问成绩，老师对甲和乙说：“你俩名次相邻”，对丙说：“很遗憾，你没有得到第1名”.从这个回答分析，4人的名次排列情况种数为（　　）
A. 4 B. 6 C. 8 D. 12
5.抛掷质地均匀的骰子两次，得到的点数分别为m,n.设平面向量，则向量不能作为平面内的一组基底的概率为（　　）
A. B. C. D.
6.现有标有数字1，2，3，4，…，9的卡片各两张，从中选出若干张，记选出的卡片数字之和为9的方法总数为m,则下列各式的展开式中x9的系数为m的选项是（　　）
A. （1+x）（1+2x）（1+3x）…（1+10x）
B. （1+x）（1+x2）（1+x3） （1+x10）
C. （1+x）（1+x+x2）（1+x+x2+x3） （1+x+x2+ +x10）
D. （1+x）2（1+x2）2（1+x3）2 （1+x10）2
7.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，则异面直线AA1与BD1的距离为（　　）
A. 1
B.
C.
D.
8.2026年秦淮区南部新城灯会于春节期间盛大开幕，本届灯会规模宏大，首次实现“水上、岸上、空中”三维立体赏灯格局，尽显金陵文化的独特魅力.灯会共开设了三处核心赏灯区，分别是夫子庙核心展区、老门东传统灯区、机场跑道无人机灯区.甲、乙、丙、丁四人相约去赏灯，每个赏灯区至少有1人，每人只游览一个赏灯区.在甲游览机场跑道无人机灯区的条件下，甲与乙不到同一赏灯区的概率为（　　）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.若，则下列选项正确的有（　　）
A.
B. |a0|+|a1|+|a2|+ |a2024|=1
C.
D. a1+2a2+3a3+ +2023a2023+2024a2024=6072
10.随机事件A，B满足，则下列说法正确的是（　　）
A. 事件与互斥 B. 事件A与B相互独立
C. D.
11.如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别为BC1，CD1的中点，P为正方形ADD1A1内的动点，则（　　）
A. MN∥平面ABCD
B. MN⊥AN
C. 二面角A-CN-M的余弦值为
D. 当直线PM与平面ADD1A1所成角的正切值为时，点P的轨迹的长度为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知随机变量ξ满足ξ～N（2，σ2），P（ξ≤0）=0.2，P（ξ≥a）=0.2，正实数x、y满足x+y=a,则的最小值为 .
13.甲盒装有1个白球和2个黑球，乙盒装有3个白球和2个黑球，丙盒装有4个白球和1个黑球.采取掷骰子决定选盒，出现1，2或3点选甲盒，4，5点选乙盒，6点选丙盒.在选出的盒子中随机摸一球，经过秘密选盒摸球后，宣布摸得1个白球，则此球来自乙盒的概率是 .
14.正方体六个上分别标有A，B，C，D，E，F六个字母，现用5种不同的颜色给此正方体六个面染色，要求有公共棱的面不能染同一种颜色，则不同的染色方案有 种.（用数字作答）
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
2025年11月，教育部等五部门联合印发《关于实施学生体质强健计划的意见》，明确要求“中小学生每天综合体育活动时间不少于2小时”.某学校为了解政策落实情况及其对学生视力的影响，随机抽取了100名学生进行每周累计体育活动时长的调查，得到如下频率分布表：
每周活动总时长（单位：时） [0，7） [7，14） [14，21） [21，28） [28，35]
频率 0.15 0.25 0.35 0.15 0.1
同时，对这100名学生的视力进行了检查，将视力达到5.0及以上定为“视力良好”，低于5.0定为“视力一般”，得到如下2×2列联表（部分数据缺失）：
视力良好 视力一般 合计
活动时间达标（不少于14小时） 40
活动时间未达标（低于14小时） 30
合计 100
（1）从活动时长在[0，7）和[28，35]的学生中，按比例分层随机抽样抽取5人进行座谈.若从这5人中随机抽取2人，设X为抽取的2人中活动时长在[28，35]的人数，求X的分布列和数学期望E[X]；
（2）依据α=0.05的独立性检验，判断是否有95%的把握认为“视力情况”与“体育活动时长是否达标”有关.
参考公式及数据：
①χ2=，其中n=a+b+c+d.
②P（χ2≥6.635）≈0.01，P（χ2≥5.024）≈0.025，P（χ2≥3.841）≈0.05，P（χ2≥2.706）≈0.1.
16.(本小题15分)
如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，△PAD为正三角形，平面PAD⊥平面ABCD，E，F分别是AD，CD的中点．
（1）证明：BD⊥PF；
（2）若∠BAD=60°，求直线PC与平面PBD所成角的正弦值．
17.(本小题15分)
已知甲、乙两个乒乓球队之间组织友谊赛，比赛规则如下：①每个队各组织五名队员进行五场单打比赛，每场单打比赛获胜的一方得1分，失败的一方不得分；②若其中一队的累计得分先达到5分及以上，则赢得比赛的最终胜利，比赛结束；③若单打比赛结束后还未决出最终的胜负，则进行双打比赛，每场双打比赛获胜的一方得2分，失败的一方不得分.已知每场单打比赛中，甲队获胜的概率为，乙队获胜的概率为；每场双打比赛中，甲队获胜的概率为，乙队获胜的概率为.
（1）设5场单打比赛后，甲队的累计得分为随机变量X，求X的概率分布列和数学期望E（X）；
（2）求决出最终胜负时，共进行了6场比赛的概率.
（3）求甲队赢得最终胜利的概率.
18.(本小题17分)
马尔可夫链是概率论中的一种数学模型，用于描述一系列状态之间的转移概率，在天气预报中具有重要的应用.在天气预报中，可以将天气状态分为多种，例如晴天、阴天、雨天、雪天等，根据以往的天气状态数据，可以计算出每种状态之间的转移概率，即从一种状态转移到另一种状态的概率，进而可以得到转移概率矩阵，在测评天气时，可以从当前的天气状态开始，根据转移概率矩阵计算出下一个可能的天气状态，以此类推，就可以测评未来几天的天气情况.某城市准备在冬季的某段时间举行一场大型户外活动，现需要用马尔可夫链模型来测评天气情况，从而决定具体的举办日期，假设该城市冬季的天气只有三种状态：晴天、阴天、雨天.根据以往的天气状态数据得到如下转移概率矩阵：
第n+1天
第n天 晴天 阴天 雨天
晴天
阴天
雨天
（1）假设第1天是晴天的概率为，求第2天是雨天的概率；
（2）假设第1天是晴天的概率为，求第4天是晴天的概率；
（3）在马尔可夫链模型中，稳态分布为该模型可以演变到平衡状态的分布，当一个马尔可夫链处于稳定状态时，变量的概率分布将趋近于稳定，并且与初始状态无关.在这个天气预报问题中，不论第1天是晴天、阴天、雨天的概率分别是多少，第n（n足够大）天是晴天、阴天、雨天的概率分别趋近于一个常数，试证明该结论，并求出这三个常数.
19.(本小题17分)
在信息论中，熵（entropy）是接收的每条消息中包含的信息的平均量，又被称为信息熵、信源熵.若把信息定义为概率分布的对数的相反数，设随机变量X所有取值为1，2，…，n（n∈N+），P（X=i）=pi，则定义信息熵
，pi=1，i=1，2，…，n.
（1）若n=2，求随机变量X的信息熵关于p1的解析式；
（2）若，pk+1=2pk，（k=2，3，…，n），求此时的信息熵；
（3）设X和Y是两个独立的随机变量，求证：H（XY）=H（X）+H（Y）.
1.【答案】B
2.【答案】D
3.【答案】A
4.【答案】C
5.【答案】A
6.【答案】D
7.【答案】C
8.【答案】A
9.【答案】ACD
10.【答案】ABC
11.【答案】ACD
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】780
15.【答案】
X 0 1 2
P
E（X）=0.8 有95%的把握认为“视力情况”与“体育活动时长是否达标”有关
16.【答案】证明：（1）连接AC，因为在△ADC中，E，F分别是AD，CD的中点，所以EF∥AC，
又因为在菱形ABCD中AC⊥BD，所以BD⊥EF，
因为△PAD为正三角形，E为AD中点，所以PE⊥AD，
又因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PE 平面PAD，
所以PE⊥平面ABCD，又BD 平面ABCD，所以PE⊥BD，
因为PE∩EF=E，PE，EF 平面PEF，所以BD⊥平面PEF，
又PF 平面PEF，所以BD⊥PF；
解：（2）连接BE，因为∠BAD=60°，所以△ADB为等边三角形，所以BE⊥AD，
由（1）知，PE⊥平面ABCD，故以E为原点，建立如图所示的空间直角坐标系：
设AD=2a，则，
则，
设平面PBD的法向量为，则，
可取，所以，
故直线PC与平面PBD所成角的正弦值为．
17.【答案】X的分布列为：
X 0 1 2 3 4 5
P

18.【答案】 证明见解答，，，
19.【答案】解：（1）若把信息定义为概率分布的对数的相反数，
设随机变量X所有取值为1，2，…，n（n∈N+），P（X=i）=pi，
则定义信息熵，
pi=1，i=1，2，…，n,
当n=2时，
p1∈（0，1），
H（X）=H2（p1，p2）
=-p1log2p1-p2log2p2
=-p1log2p1-（1-p1）log2（1-p1），
则随机变量X的信息熵关于p1的解析式为
H（X）=-p1log2p1-（1-p1）log2（1-p1）；
（2）因为，
所以，
故
，
而，
于是
=，
令，
则，
两式相减得
，
因此，
所以此时的信息熵
；
（3）证明：设X和Y是两个独立的随机变量，
根据题意，
，
，
而且，
所以H（XY）=Hmn（p1q1，p1q2， ，p1qm，p2q1，…，p2qm ，pnq1， ，pnqm）
=
=
=
=
=
=Hn（p1，p2， pn）+Hm（q1，q2， qm）
=H（X）+H（Y）．
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