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2025-2026学年广东省东莞外国语学校高二（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.下列求导运算正确的是（　　）
A. （cosx）′=sinx B. （3x）′=3xlog3e
C. （lgx）′= D. （x2cosx）′=2xsinx
2.用1，2，3，4，5这五个数字组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（ ）
A. 24个 B. 30个 C. 40个 D. 60个
3.函数y=f（x）点（x0，y0）处的切线方程为y=3x+1，则等于（　　）
A. -6 B. -3 C. 3 D. 6
4.已知随机变量X的分布列为，则P（X≥3）=（　　）
A. B. C. D.
5.已知{an}为等差数列，{bn}为等比数列，a1=b1=1，a2+b2=5，a3+b3=9，则a4=（　　）
A. 4 B. 7 C. 8 D. 15
6.定义在R上的偶函数f（x），其导函数f'（x），当x≥0时，恒有f'（x）+f（-x）＜0，若g（x）=x2f（x），则不等式g（x）＜g（1-2x）的解集为（　　）
A. （，1） B. （-∞，）∪（1，+∞）
C. （，+∞） D. （-∞，）
7.某市选派9名医生到3个乡镇义诊，其中有5名主治医师，4名实习医生，要求每个乡镇分配3名医生，且每个乡镇至少有一名主治医师，则不同的分配方法种数为（　　）
A. 720 B. 1480 C. 1080 D. 1440
8.若实数a、b、c、d满足，则（a-c）2+（b-d）2的最小值为（　　）
A. 2 B. C. 4 D. 8
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.函数y=f（x）的导函数y=f′（x）的图象如图所示，以下命题错误的是（　　）
A. -3是函数y=f（x）的极值点
B. -2是函数y=f（x）的极值点
C. y=f（x）在区间（-3，1）上单调递增
D. -1是函数y=f（x）的极值点
10.已知，则下列描述正确的是（　　）
A. a1+a2+a3+ +a100=0
B. f（x）的展开式中，所有含x的偶数次项的二项式系数和为299
C. f（-1）被7整除所得的余数是4
D. a1+2a2+3a3+ +100a100=100
11.已知函数f（x）=ex-ax2，其中a∈R，则（　　）
A. 若函数f（x）有且仅有1个零点，则
B. 若函数f（x）有且仅有2个极值点，则a的取值范围是
C. 不存在a∈R，使函数f（x）存在唯一的极值点
D. 若对 x＞0，f（x）≥0恒成立，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.如图，一个圆环分成A，B，C，D四个区域，用3种颜色（全部用完）对这四个区域涂色，要求相邻区域不同色，则不同涂色的方法种数为 .（用数字作答）
13.的展开式中x2y4的系数为______.
14.已知函数f（x）=x3-3x,若过点P（2，m）可以作曲线y=f（x）的3条切线，则实数m的取值范围是 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知函数f（x）=-xlnx+2x+1.
（1）求函数f（x）的单调区间以及极值；
（2）求函数f（x）在[1，e2]上的最值.
16.(本小题15分)
记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c,且2acosA+bcosC=ccos（A+C）.
（1）求角A的大小；
（2）若，△ABC的面积为，求△ABC的周长.
17.(本小题15分)
如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AD⊥CD，AB∥CD，CD=PD=2AD=2AB=2，点E是棱PC上的动点，且.
（1）若，证明：PA∥平面BDE；
（2）若PB与平面BDE所成角的正弦值为，求λ的值.
18.(本小题17分)
某中学的体育馆同时具有羽毛球、乒乓球和篮球场馆，甲同学每天都会去体育馆锻炼，若甲当天选择羽毛球，则后一天选择羽毛球的概率为，选择乒乓球的概率为；若甲当天选择乒乓球，则后一天选择羽毛球的概率为，选择乒乓球的概率为；若甲当天选择篮球，则后一天等可能地选择其中一个项目.已知甲第一天等可能地选择一个场馆进行相应的体育锻炼.请完成下列计算：
（1）求甲第2天选择羽毛球的概率；
（2）求在甲第2天选择羽毛球的条件下，甲第1天选择篮球的概率；
（3）记甲第n（n∈N*）天选择羽毛球的概率为Pn，请写出Pn与Pn-1（n≥2）的关系.
19.(本小题17分)
在平面直角坐标系中，如果将函数y=f（x）的图象绕坐标原点逆时针旋转后，所得曲线仍然是某个函数的图象，则称f（x）为“α旋转函数”.
（1）判断函数y=x是否为“旋转函数”，并说明理由；
（2）已知函数f（x）=ln（2x+1）（x＞0）是“α旋转函数”，求tanα的最大值；
（3）若函数g（x）=m（x-1）ex-xlnx-是“旋转函数”，求m的取值范围.
1.【答案】C
2.【答案】A
3.【答案】D
4.【答案】C
5.【答案】B
6.【答案】A
7.【答案】D
8.【答案】A
9.【答案】BD
10.【答案】ABC
11.【答案】ABD
12.【答案】12
13.【答案】24
14.【答案】（-6，2）
15.【答案】（1）单调递增区间为（0，e），单调递减区间为（e，+∞）；极大值为e+1，无极小值 （2）f（x）max=e+1，f（x）min=1
16.【答案】
17.【答案】证明：如图连接AC交BD于点F，连接EF，
因为AB∥CD且CD=2AB，
所以，
因为，所以，
所以，所以PA∥EF，
又因为EF 平面BDE，PA 平面BDE，
所以PA∥平面BDE
18.【答案】
19.【答案】解：（1）函数不是旋转函数”，理由如下：
逆时针旋转后与y轴重合，
当x=0时，有无数个y与之对应，与函数的概念矛盾，
因此函数不是“旋转函数”．
（2）由题意可得函数f（x）=ln（2x+1）（x＞0）与函数y=kx+b最多有1个交点，且，
即ln（2x+1）=kx+b（x＞0）最多有一个根，
ln（2x+1）-kx=b（x＞0），
即函数y=ln（2x+1）-kx（x＞0）与函数y=b（b∈R）的图象最多有1个交点，
即函数y=ln（2x+1）-kx在（0，+∞）上单调，
，
因为x＞0，，所以，，所以k≥2，
即，，即tanα的最大值为．
（3）由题意可得函数与函数y=x+b的图象最多有1个交点，
即，
即函数与函数y=b最多有1个交点，
即函数在（0，+∞）上单调，
y'=mxex-lnx-x-2，当x→0时，y'→+∞，
所以，
令，则，
因为t=-lnx-x-1在（0，+∞）上单调递减，且，t（1）＜0，
所以存在，使t（x0）=0，即1n，
所以φ（x）在（0，x0）单调递增，在（x0，+∞）单调递减，
所以，
即m≥e,所以m的取值范围是[e,+∞）．
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