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2025-2026学年内蒙古鄂尔多斯市第一中学高一（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.=（　　）
A. B. C. D.
2.若复数z满足（2+i）z=4-3i,则复数z虚部为（　　）
A. 1 B. i C. -2 D. -2i
3.如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，若BB1=AB，则AB1与BC1所成角的大小为（　　）
A. 30°
B. 60°
C. 90°
D. 120°
4.数据5.2，7.1，8.1，8.3，8.5，8.6，8.8，9.1的第75百分位数为（　　）
A. 8.5 B. 8.6 C. 8.7 D. 8.8
5.国庆节放假，甲、乙、丙去北京旅游的概率分别是，，．假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1人去北京旅游的概率为（　　）
A. B.
C. D.
6.已知向量=（5，1），=（m,9），=（8，5）.若A，C，D三点共线，则m=（　　）
A. B. -11 C. 11 D.
7.已知△ABC的面积为，则BC=（　　）
A. 3 B. 5 C. 7 D. 8
8.在△ABC中，角A，B，C对应的边分别为a,b,c,∠A=40°，a=8，c=10，则此三角形有（　　）
A. 无解 B. 1个解 C. 2个解 D. 1或2个解
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.已知复数z1=1+i,z2=1-i,则下列复数为纯虚数的是（　　）
A. z1z2 B. z1-z2 C. D.
10.刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容.用曲率刻画空间的弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于2π与多面体在该点的面角之和的差，其中多面体的面的内角叫做多面体的面角.角度用弧度制表示.例如：正四面体每个顶点均有3个面角，每个面角均为，故其各个顶点的曲率均为.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，，则（　　）
A. 在四面体ABCD1中，点A的曲率为
B. 在四面体ABCD1中，点D1的曲率大于
C. 四面体ABCD1外接球的表面积为12π
D. 四面体ABCD1内切球半径的倒数为
11.已知一组样本数据x1，x2，…，x20（x1≤x2≤ ≤x20），下列说法正确的是（　　）
A. 该样本数据的第60百分位数为x12
B. 若样本数据的频率分布直方图为单峰不对称，且在右边“拖尾”，则其平均数大于中位数
C. 剔除某个数据xi（i=1，2， ，20）后得到新样本数据的极差不大于原样本数据的极差
D. 若x1，x2，…，x10的均值为2，方差为1，x11 x12，…，x20的均值为6，方差为2，则x1，x2，…，x20的方差为5
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知复数z=（1-i）（2+ai）（a∈R）为纯虚数，则a= .
13.在△ABC中，已知，则△ABC的形状是 .
14.正四面体A-BCD边长为a,其内切球O，则在正四面体A-BCD内与球O和平面ACD，平面BCD，平面ABD均相切的球的表面积为 .（用a表示）
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
在△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别是a,b,c,且.
（1）求角A；
（2）若，求△ABC的面积的最大值.
16.(本小题15分)
已知复数z=（m2+5m+6）+（m2-2m-15）i,求满足下列条件的实数m的值或取值范围.
（1）复数z与复数2-12i相等；
（2）复数z与复数12+16i互为共轭复数；
（3）复数z在复平面内对应的点在实轴上方.
17.(本小题15分)
如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，AB∥DC，AD⊥DC，DA=AB=2，DC=4，E，F分别为棱CD，PD的中点.
（1）求证：PB∥平面AEF；
（2）求证：AE⊥平面PBD.
18.(本小题17分)
从2021年秋季学期起，安徽省启动实施高考综合改革，实行高考科目“3+1+2”模式.“3”指语文、数学、外语三门统考学科，以原始分数计入高考成绩；“1”指考生从物理、历史两门学科中“首选”一门学科，以原始分数计入高考成绩；“2”指考生从政治、地理、生物、生物四门学科中“再选”两门学科，以等级分计入高考成绩.按照方案，再选学科的等级分赋分规则如下，将考生原始成绩从高到低划分为A，B，C，D，E五个等级，各等级人数所占比例及赋分区间如下表：
等级 A B C D E
人数比例 15% 35% 35% 13% 2%
赋分区间 [86，100] [71，85] [56，70] [41，55] [30，40]
将各等级内考生的原始分依照等比例转换法分别转换到赋分区间内，得到等级分，转换公式为，其中Y1，Y2分别表示原始分区间的最低分和最高分，T1，T2分别表示等级赋分区间的最低分和最高分，Y表示考生的原始分，T表示考生的等级分，规定原始分为Y1时，等级分为T1.某次生物考试的原始分最低分为45，最高分为94，呈连续整数分布，分成五组：第一组[45，55），第二组[55，65），第三组[65，75），第四组[75，85），第五组[85，95），绘制成如图所示的频率分布直方图.已知第一、二组的频率之和为0.3，第一组和第五组的频率相同.
（1）根据频率分布直方图求a,b的值，并估计此次生物考试原始分的平均值；
（2）按照等级分赋分规则，估计此次考试生物成绩A等级的原始分区间；
（3）用估计的结果近似代替原始分区间，若某学生生物成绩的原始分为83，试计算其等级分.
19.(本小题17分)
掷红色和蓝色两枚均匀的骰子，观察朝上的面的点数.
（1）求两枚骰子点数相同的概率；
（2）记事件A：红骰子的点数为1；事件B：两枚骰子的点数和为5；事件C：两枚骰子的点数和为7.
（i）判断事件A与B是否相互独立；
（ii）判断事件A与C是否相互独立.
1.【答案】B
2.【答案】C
3.【答案】B
4.【答案】C
5.【答案】B
6.【答案】C
7.【答案】C
8.【答案】C
9.【答案】BCD
10.【答案】ABD
11.【答案】BC
12.【答案】-2
13.【答案】等腰三角形
14.【答案】
15.【答案】
16.【答案】m=-1 m=1 （-∞，-3）∪（5，+∞）
17.【答案】证明：（1）如图，连接BE，设BD∩AE=O，连接OF，
∵AB∥DC，，∴四边形ABED是平行四边形，∴OD=OB，
又DF=PF，∴OF∥PB，
∵OF 平面AEF，PB 平面AEF，
∴PB∥平面AEF．
（2）由（1）已得四边形ABED是平行四边形，
∵DA=AB=2，∴四边形ABED为菱形，∴AE⊥BD，
∵PD⊥平面ABCD，AE 平面ABCD，∴PD⊥AE，
又BD∩PD=D，BD，PD 平面PBD，
∴AE⊥平面PBD．
18.【答案】解：（1）由频率分布直方图的性质得，
10a+10×0.02+10×0.03+10×0.04+10×a=1，可得a=0.005，
此次化学考试成绩的平均值为55×0.05+65×0.4+75×0.3+85×0.2+95×0.05=73分．
（2）由频率分布直方图知，原始分成绩位于[90，100]的占比为5%，位于[80，90）的占比为20%，
因为成绩A等级占比为15%，所以等级A的原始分区间的最低分位于[80，90），
估计等级A的原始分区间的最低分为，
已知最高分为98，所以估计此次考试化学成绩A等级的原始分区间为[85，98]．
（3）由，解得，该学生的等级分为89分．
19.【答案】 （i）事件A与B不是相互独立事件；（ii）事件A与C是相互独立事件
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