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2025-2026学年福建省厦门市海沧区实验中学高一（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.如图所示，梯形A′B′C′D′是平面图形ABCD用斜二测画法得到的直观图，A′D′=2，B′C′=A′B′=1，则平面图形ABCD中对角线AC的长度为（　　）
A.
B.
C.
D. 2
2.已知与是不共线的向量，且，若A，B，D三点共线，则k的值为（　　）
A. 2 B. -2 C. 1 D. -1
3.已知a,b是两条不同直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法正确的是（　　）
A. 若a⊥α，a⊥β，则α∥β B. 若a∥α，a∥β，则α∥β
C. 若a∥b,a∥α，则b∥α D. 若α⊥β，a∥α，则a⊥β
4.如图，平行四边形ABCD的两条对角线相交于点O，，，点G是CD上靠近点D的三等分点，则=（　　）
A.
B.
C.
D.
5.如图，小明为了测量一棵榕树的高度，他选取与树根部C在同一水平面的A、B两点，在A点测得树根部C在西偏北30°的方向上，沿正西方向步行10米到B处测得树根部C在西偏北75°的方向上，树梢D的仰角为45°，则树的高度是（　　）
A. 米 B. 米 C. 米 D. 米
6.已知向量，，满足，，，则在方向上的投影向量是（　　）
A. B. C. D.
7.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为线段A1C1的中点，则异面直线DE与B1C所成角的大小为（　　）
A. 15°
B. 30°
C. 45°
D. 60°
8.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，，若M，N是线段BC上的动点，且，则的最小值为（　　）
A. 10 B. 11 C. 12 D. 13
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.设z为复数（i为虚数单位），下列命题正确的有（　　）
A. 复数z=3-2i的共轭复数的虚部为2 B. 若z2∈R，则z∈R
C. 若（1+i）z=1-i，则|z|=1 D. 若z2+1=0，则z=i
10.如图，已知圆锥的底面直径AB=2，母线VA=3，则下列说法正确的是（　　）
A. 圆锥的体积为
B. 圆锥的侧面积为2π
C. 圆锥展开图中圆心角为
D. 若VC=1，一只蚂蚁沿着表面从A爬到C则最短距离为
11.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=BC=CC1=2，AC⊥BC，Q是线段AB的中点，P是线段BC1上的动点（含端点），则下列命题正确的是（　　）
A. 三棱锥P-A1QC的体积为
B. 直三棱柱ABC-A1B1C1的外接球半径为
C. A1P+PQ的值可以为
D. 在直三棱柱ABC-A1B1C1内部能够放入一个表面积为π的球
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a,b,c,若，则b= .
13.在《九章算术》中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”.如图，四棱锥P-ABCD为阳马，侧棱PA⊥底面ABCD，PA=AD=2，AB=1，E为棱PA的中点，则直线CE与平面PAB所成角的正切值为 .
14.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=4，E，F分别是棱CD，A1D1的中点，则正方体ABCD-A1B1C1D1被平面AEF所截得的截面周长是 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD=DC=AP=2，AB=1，点E为棱PC的中点.证明：
（1）BE∥平面PAD；
（2）平面PCD⊥平面PAD.
16.(本小题15分)
在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a,b,c,且a=bcosC+2csinB.
（1）求tanB的值；
（2）若的面积为2，求△ABC的周长.
17.(本小题15分)
已知平面向量，，，且，.
（1）求在方向上的投影向量；
（2）求与的夹角.
18.(本小题17分)
如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，PA=AC=2，BC=1，∠BAC=30°.
（1）若AD∥平面PBC.证明：AD⊥PB；
（2）若平面PAD⊥平面PCD，CD=1，
（i）证明：AD⊥CD；
（ii）求二面角A-PC-D的正弦值.
19.(本小题17分)
如图所示，某区有一块空地△OAB，其中OA=4km,OB=4km,∠AOB=120°.当地区政府规划将这块空地改造成一个旅游景点，拟在中间挖一个人工湖△OMN，其中M，N都在边AB上，且∠MON=60°，挖出的泥土堆放在△OAM地带上形成假山，剩下的△OBN地带开设儿童游乐场.为安全起见，需在人工湖△OMN的周围安装防护网.
（1）当时，求防护网的总长度；
（2）若要求挖人工湖用地△OMN的面积是堆假山用地△OAM的面积的倍，试确定∠AOM的大小；
（3）为节省投入资金，人工湖△OMN的面积要尽可能小，问如何设计施工方案，可使△OMN的面积最小？最小面积是多少？
1.【答案】A
2.【答案】B
3.【答案】A
4.【答案】D
5.【答案】C
6.【答案】C
7.【答案】B
8.【答案】B
9.【答案】AC
10.【答案】AC
11.【答案】AD
12.【答案】2
13.【答案】．
14.【答案】
15.【答案】解：（1）因为PA⊥平面ABCD，且AB 平面ABCD，所以AB⊥PA，
又因为AB⊥AD，且PA∩AD=A，PA，AD 平面PAD，所以AB⊥平面PAD，
依题意，以点A为原点，以AB，AD，AP分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则B（1，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），P（0，0，2），
由E为棱PC的中点，得E（1，1，1），则，
所以为平面PAD的一个法向量，
又，所以BE⊥AB，
又BE 平面PAD，所以BE∥平面PAD．
（2）由（1）知平面PAD的法向量，，，
设平面PCD的一个法向量为，
则，即，令y=1，可得z=1，所以，
又，
所以，所以平面PCD⊥平面PAD．
16.【答案】解：（1）在△ABC中，a=bcosC+2csinB，根据正弦定理sinA=sinBcosC+2sinCsinB，
又sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC，
所以有cosBsinC=2sinCsinB，
由题意得C∈（0，π），sinC≠0，所以cosB=2sinB，
得；
(2)根据题意可知，B∈（0，π），由，解得，
可得，解得c=4，
，得，
所以周长．
17.【答案】（，）
18.【答案】证明见详解； （i）证明见详解；（ii）．
19.【答案】 15° ∠ AOM=30°时，△OMN面积取最小值为
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