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2025-2026学年北京市顺义区第一中学高二（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共10小题，共40分。
1.已知随机变量X的分布列如表：（其中a为常数）
X 0 1 2 3 4 5
P 0.2 0.1 a 0.3 0.2 0.1
则P（1≤X≤3）等于（　　）
A. 0.4 B. 0.5 C. 0.6 D. 0.7
2.已知数列{an}的前n项和，则a3=（　　）
A. 16 B. 32 C. 48 D. 64
3.从4名高一学生和5名高二学生中，选3人参加社区垃圾分类宣传活动，其中至少有1名高二学生参加宣传活动的不同选法种数为（　　）
A. 50 B. 70 C. 80 D. 140
4.若曲线y=f（x）在某点（x0，f（x0））处的切线的斜率为1，则该曲线不可能是（　　）
A. B. y=sinx C. y=xex D. y=x+lnx
5.袋中有3红5黑8个大小形状相同的小球，从中依次摸出两个小球，则在第一次摸得红球的条件下，第二次仍是红球的概率为（　　）
A. B. C. D.
6.在“五一”假期，小铭买了1本计算机书，1本文艺书，1本体育书，2本不同的数学书.打算把它们放在同一层书架上，两本数学书放在一起，不同的摆放种数有（　　）
A. 48 B. 96 C. 120 D. 240
7.已知二项式的所有二项式系数之和等于128，那么其展开式中含项的系数是
A. －84 B. －14 C. 14 D. 84
8.已知函数y=f（x）的导函数y=f′（x）图象如图所示，则下列说法正确的是（　　）
A. f（x1）＞f（x3）
B. x2是极大值点
C. f（x）的图象在点x=x1处的切线的斜率等于0
D. f（x）在区间（a,b）内一定有2个极值点
9.甲、乙两名乒乓球运动员进行一场比赛，采用7局4胜制（先胜4局者胜，比赛结束）.已知每局比赛甲获胜的概率均为，则甲以4比2获胜的概率为（　　）
A. B. C. D.
10.若函数f（x）=2x2-ax+2lnx在（1，2）上有最小值，则实数a的取值范围为（　　）
A. （0，3） B. （6，9）
C. D.
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.数列{an}的前n项和为Sn，若an=，则S5=______．
12.若函数f（x）=x3+ax2+2在区间[1，+∞）上单调递增，则a的取值范围是 ．
13.已知多项式，则a1= ；a2+a3+a4= .
14.已知a1，a2，a3是公比不为1的等比数列，将a1，a2，a3调整顺序后可构成一个等差数列，则满足条件的一组a1，a2，a3的值依次为 .
15.已知函数给出下列四个结论：
①存在实数a,使得函数f（x）的最小值为0
②存在实数a＜0，使得函数f（x）的最小值为-1
③存在实数a,使得函数f（x）恰有2个零点
④存在实数a,使得函数f（x）恰有4个零点
其中所有正确结论的序号是 .
三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题14分)
已知（）n（n∈）的展开式中第二项与第三项的二项式系数之和为36．
（1）求n的值；
（2）求展开式中含的项及展开式中二项式系数最大的项．
17.(本小题14分)
某商场为刺激消费，拟按以下方案进行促销：顾客每消费500元便得到抽奖券一张，每张抽奖券的中奖概率为，若中奖，商场返回顾客现金100元.某顾客现购买价格为2300的台式电脑一台，得到奖券4张.
（Ⅰ）设该顾客抽奖后中奖的抽奖券张数为ξ，求ξ的分布列；
（Ⅱ）设该顾客购买台式电脑的实际支出为η（元），用ξ表示η，并求η的数学期望.
18.(本小题14分)
在等差数列{an}中，a2=6，a4=14.
（1）求{an}的通项公式；
（2）若{bn-an}是公比为2的等比数列，b1=6，求数列{bn}的通项及前n项和Sn.
19.(本小题14分)
某校开展了为期一年的“弘扬传统文化，阅读经典名著”活动.活动后，为了解阅读情况，学校随机选取了几名学生，统计了他们的阅读量并整理得到以下数据（单位：本）：
男生：3，4，6，7，7，10，11，11，12；
女生：5，5，6，7，8，9，11，13.
假设用频率估计概率，且每个学生的阅读情况相互独立.
（Ⅰ）根据样本数据，估计此次活动中学生阅读量超过10本的概率；
（Ⅱ）现从该校的男生和女生中分别随机选出1人，记X为选出的2名学生中阅读量超过10本的人数，求X的分布列和数学期望E（X）；
（Ⅲ）现增加一名女生A得到新的女生样本.记原女生样本阅读量的方差为，新女生样本阅读量的方差为.若女生A的阅读量为8本，写出方差与的大小关系.（结论不要求证明）
20.(本小题14分)
已知函数.
（1）当a=0时，求曲线y=f（x）在x=0处的切线方程；
（2）当a＞0时，求函数f（x）的单调区间；
（3）若对于任意的x∈[2，+∞），有f（x）≥0，求a的取值范围.
21.(本小题15分)
已知各项均为正整数的有穷数列An：a1，a2， ，an（n＞3）满足 1≤i＜j≤n,有ai≠aj，若an等于ai+aj（1≤i＜j≤n）中所有不同值的个数，则称数列An具有性质P.
（Ⅰ）判断下列数列是否具有性质P，并说明理由；
①A4：3，1，7，5；
②A5：2，4，6，8，10.
（Ⅱ）已知数列A7：2，4，6，8，10，12，m具有性质P，求出m的所有可能取值；
（Ⅲ）若一个数列A2026：a1，a2， ，a2026具有性质P，则a2026是否存在最小值？若存在，求出这个最小值，并写出一个符合条件的数列；若不存在，请说明理由.
1.【答案】B
2.【答案】C
3.【答案】C
4.【答案】D
5.【答案】B
6.【答案】A
7.【答案】A
8.【答案】D
9.【答案】D
10.【答案】B
11.【答案】
12.【答案】[-，+∞）
13.【答案】5
10．

14.【答案】1，-2，4（答案不唯一）
15.【答案】①③
16.【答案】解：（1）由题意知，第二项的二项式系数为，第三项的二项式系数为，
+=n+=36，
∴n2+n-72=0，n=8或n=-9（舍去）．
（2）（）n=（）8的通项公式为：
Tr+1= （-2）r ，
令4-=，求得r=1，
故展开式中含的项为T2=-16．
又由n=8可知，第5项的二项式系数最大，此时T5=1120x-6.
17.【答案】（Ⅰ）ξ的所有可能值为0，1，2，3，4．
，
，
，
．
∴ξ分布列为：
（Ⅱ）∵，∴
由题意可知η=2300-100ξ
∴Eη=2300-100Eξ=2300-200=2100元
18.【答案】解：（1）设公差为d,则a4-a2=2d=8，解得d=4，
则a2=a1+4=6，所以a1=2，
所以；
（2）b1-a1=4，
因为{bn-an}是公比为2的等比数列，
所以，
所以，
所以
=．
19.【答案】解：（Ⅰ）共选出了17名学生，其中有5人的阅读量超过10本，
所以此次活动中学生阅读量超过10本的概率为；
（Ⅱ）由题意，从男生中随机选出1人其阅读量超过10本的概率为，
从女生中随机选出1人，其阅读量超过10本的概率为，
由题设，X的可能取值为0，1，2，
且，
，
，
所以X的分布列为：
X 0 1 2
P
X的数学期望；
（Ⅲ）．
理由：设原女生的8个阅读量分别为xi，i∈{1，2，3，4，5，6，7，8}，
原女生阅读量的平均数为，新增一名女生后，平均数依然为8，
则，
所以．
20.【答案】x+y+2=0；
当0＜a＜e时，f（x）在（-∞，lna）和（1，+∞）上递增，在（lna，1）上递减；
当a=e时，f（x）在（-∞，+∞）上递增；
当a＞e时，f（x）在（-∞，1）和（lna，+∞）上递增，在（1，lna）上递减；
（-∞，e2]．
21.【答案】①具有，②不具有，理由如下：
①A4：3，1，7，5，任意两项和的结果有4，6，8，10，12，共5个，而a4=5，所以具有性质P．
②A5：2，4，6，8，10，任意两项和的结果有6，8，10，12，14，16，18，共7个，
而a5=10，所以不具有性质P m=15 存在，最小值是4049，一个满足条件的数列A2026：1，3，5，…，4047，4051，4049
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