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2025-2026学年天津市武清区杨村第一中学高一（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共9小题，共45分。
1.已知复数z=3+4i,则=（　　）
A. 5 B. 3 C. D.
2.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c,若，则b=（　　）
A. B. C. D. 6
3.圆锥的底面半径为1，高为，则圆锥的表面积为（ ）
A. π B. 2π C. 3π D. 4π
4.在△ABC中内角A，B，C的对边分别为a,b,c,若，则△ABC的形状为（　　）
A. 等腰三角形 B. 直角三角形
C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形或直角三角形
5.设m,n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，下面正确的是（　　）
A. 若α⊥β，β⊥γ，则α∥γ
B. 若α⊥β，m α，n β，则m⊥n
C. 若α∥β，γ∩α=m,γ∩β=n,则m∥n
D. 若m∥α，n α，则m∥n
6.如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB=2CD，M，N分别为边AB，BC上的点，且AM=MB，CN=2NB，记=，=，则=（　　）
A. B. C. D. -
7.已知向量与的夹角为，若在方向上的投影向量为，则=（　　）
A. 3 B. C. D.
8.如图所示的玻璃容器可以看成是由一个轴截面是正方形的圆柱和一个半球组合而成，如图放置时，向容器内装水，若水的高度是容器高度的一半，现将容器倒置，则水的高度与容器高度的比值为（　　）
A.
B.
C.
D.
9.如图，在正四面体ABCD中，放置1大、4小共5个球，其中，大球为正四面体ABCD的内切球，小球与大球及正四面体三个面均相切，若正四面体ABCD的体积为，则5个球的表面积之和为（　　）
A. 4π B. 6π C. 8π D. 10π
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
10.已知i为虚数单位，则复数的虚部是 .
11.在△ABC中，内角A，B，C所对应的边分别是a,b,c,若△ABC的面积是，则A= .
12.某船行驶到甲地看1号灯塔时，在甲地的北偏东75°方向上，两地相距6海里；在甲地看2号灯塔时，在甲地的南偏西60°方向上，两地相距4海里.该船由甲地向正南航行到乙地时，再看1号灯塔，则1号灯塔在乙地的北偏东30°方向上，则2号灯塔与乙地之间的距离是 海里.
13.如图，在三棱锥P-ABC中，D，E分别为PB，PC的中点，记三棱锥E-ABD的体积为V1，三棱锥P-ABC的体积为V2，则V1：V2 .
14.已知边长为4的正方形ABCD，F为边BC上靠近点B的四等分点，E为线段CD上一点，M为线段EF上一点，且EM=2MF，若，则||= ；若以EF为底边作等腰三角形EFP，则当点E在边CD上运动时， 的取值范围为 .
15.正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为1，则四面体ABB1C1与四面体A1C1BD公共部分的体积为 .
三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题14分)
已知向量=（1，2），=（2，-1），=（m,2），m∈R.
（1）当（+）⊥（λ-）时，求实数λ的值；
（2）当∥（+）时，求向量与的夹角的余弦值.
17.(本小题15分)
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a,b,c,已知2acosA=bcosC+ccosB，c-2b=1，.
（1）求A的值；
（2）求c的值；
（3）求sin（A+2B）的值.
18.(本小题15分)
如图，在多面体ABCDE中，△AEB为等边三角形，AD∥BC，BC⊥AB，，AB=BC=2AD=2，点F为边EB的中点．
（Ⅰ）求证：AF∥平面DEC；
（Ⅱ）求证：平面DEC⊥平面EBC；
（Ⅲ）求直线AB与平面DEC所成角的正弦值．

19.(本小题15分)
如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E、F分别是棱BC，CC1的中点.
（1）求证：EF⊥A1C；
（2）求异面直线EF与A1B的所成角；
（3）已知P是侧面BCC1B1内一点，若A1P∥平面AEF，求线段A1P长度的取值范围.
20.(本小题16分)
在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a,b,c,已知b=6，2a-b=2ccosB.
（1）求角C；
（2）若点D在边AB上，CD为∠ACB的平分线，且CD=2，求边长a的值；
（3）求△ABC周长的取值范围.
1.【答案】A
2.【答案】C
3.【答案】C
4.【答案】D
5.【答案】C
6.【答案】A
7.【答案】A
8.【答案】B
9.【答案】A
10.【答案】-1
11.【答案】．
12.【答案】．
13.【答案】．
14.【答案】2
．

15.【答案】．
16.【答案】1；
．
17.【答案】（1） （2）c=3 （3）sin（A+2B）=
18.【答案】（I）证明：取EC中点M，连结FM，
∵；
∵AF 平面DEC，DM 平面DEC，
∴AF∥平面DEC．
（II）证明：∵EB2+CB2=EC2
∴CB⊥BE
又∵CB⊥AB，AB∩BE=B，
∴CB⊥平面ABE，
∵AF 平面ABE，∴AF⊥CB
又∵△ABE为等边三角形，F为边EB的中点，
∴AF⊥BE，∵CB∩BE=B，平面EBC,
∴AF⊥平面EBC，
由（ I）可知，AF∥DM，∴AF∥平面DEC
∵AF 平面DEC，
∴平面DEC⊥平面EBC
（ III）解：取BC的中点H，
∴直线AB与平面DEC所成角即为直线DH与平面DEC所成角，
过N作NH⊥EC，垂足为N，连接DN,DH．
∵平面DEC∩平面EBC=EC，NH 平面EBC，NH⊥EC，
∴NH⊥平面DEC，DN为斜线DH在面DEC内的射影，
∴∠HDN为直线DH与平面DEC所成角
在Rt△DNH中，，
∴，
∴直线AB与平面DEC所成角的正弦值为
19.【答案】证明：由题意棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1，
点E、F分别是棱BC，CC1的中点，
连接B1C，C1B，
由正方体ABCD-A1B1C1D1，可得A1B1⊥平面BCC1B1，
又C1B 平面BCC1B1，所以A1B1⊥C1B，
因为BCC1B1是正方形，所以B1C⊥C1B，
又A1B1∩B1C=B1，A1B1，B1C 平面A1B1C，
所以BC1⊥平面A1B1C，A1C 平面A1B1C，所以BC1⊥A1C，
又因为点E、F分别是棱BC，CC1的中点，所以EF∥BC1，所以EF⊥A1C 60°
20.【答案】 3
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