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2025-2026学年湖南省长沙市铁路第一中学高一（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.集合的子集个数为（　　）
A. 16 B. 32 C. 64 D. 128
2.已知复数z=，则在复平面内z的共轭复数对应的点位于（　　）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3.已知函数f（x）=sinx+ex-e-x+1，则f（1）+f（-1）=（　　）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 4
4.若，且tanα=3tanβ，则sin（α-β）=（　　）
A. B. C. D.
5.已知两个非零向量，满足，，则=（　　）
A. B. C. D.
6.将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得图象向右平移个单位长度，则得到的图象对应的函数解析式为（　　）
A. B. y=cos2x
C. D. y=-sin8x
7.已知正数a,b满足，则的最小值为（　　）
A. 17 B. 21 C. 25 D. 29
8.若非零向量与满足，且，则三角形ABC为（　　）
A. 三边均不相等的三角形 B. 直角三角形
C. 底边和腰不相等的等腰三角形 D. 等边三角形
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.函数的图象（　　）
A. 关于原点对称 B. 关于y轴对称 C. 在R上单调递增 D. 在R上单调递减
10.若平面向量，，其中n,m∈R，则下列说法正确的是（　　）
A. 若，则
B. 若在上的投影向量为（2，4），则m+n=8
C. 若n=1，且与的夹角为锐角，则实数m的取值范围为（-2，2）∪（2，+∞）
D. 若，则z=2m+4n的最小值为2
11.如图所示，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4，M，N分别是AD，CC1的中点，P是线段AB上的动点，则下列说法正确的是（　　）
A. 平面PMN截正方体所得的截面可能是五边形
B. △MPN一定是锐角三角形
C. 当点P与A点重合时，平面PMN截正方体所得的截面面积为
D. |MP|+|NP|的最小值是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.设复数z1，z2满足：，其中i是虚数单位，a是负实数，则= .
13.已知奇函数f（x）的周期为2，且当x∈（1，2）时，f（x）=2x+1，则= .
14.已知圆台甲、乙的上底面半径均为r1，下底面半径均为r2，圆台甲、乙的母线长分别为2（r2-r1），3（r2-r1），则圆台甲与乙的体积之比为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题15分)
记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c,已知sinC=cosB，a2+b2-c2=.
（1）求B；
（2）若△ABC的面积为3+，求c.
16.(本小题15分)
已知函数.
（1）求函数y=f（x）的最小正周期，并用五点法作出它在一个周期内的大致图像；
（2）求函数y=f（x）的最大值、最小值及相应的x的值；
（3）若，求函数y=f（x）的取值范围.
17.(本小题15分)
如图，在等腰三角形ABC中，AC=CB=2AB，D，E分别为边AC，BC上靠近A，B的四等分点，将△DEC沿DE翻折至△PDE，使得平面PAB⊥平面ADEB，O，M分别是AB，PE的中点.
（1）求直线PE与平面ADEB所成角的正弦值；
（2）求证：OE⊥BM；
（3）求二面角A-PE-O的余弦值.
18.(本小题15分)
“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题，该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.”意大利数学家托里拆利给出了解答，当△ABC的三个内角均小于120°时，使得∠AOB=∠BOC=∠COA=120°的点O即为费马点；当△ABC有一个内角大于或等于120°时，最大内角的顶点为费马点.试用以上知识解决下面问题：已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a,b,c,且sin2B+sin2C+cos2A=1.
（1）求角A；
（2）若bc=6，设点P为△ABC的费马点，求；
（3）设点P为△ABC的费马点，求的最小值.
19.(本小题17分)
如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4，E，F分别是CC1，A1D1上的点，且CE=1，A1F=2.
（1）求直线A1B与EF所成角的余弦值.
（2）设G是线段EF上的动点（含端点）.
（i）判断三棱锥G-A1BD的体积是否为定值.若是，求出该定值；若不是，求出体积的最小值.
（ii）当CG∥平面A1BD时，求的值.
1.【答案】B
2.【答案】D
3.【答案】C
4.【答案】B
5.【答案】D
6.【答案】A
7.【答案】C
8.【答案】D
9.【答案】AC
10.【答案】BCD
11.【答案】AD
12.【答案】1．
13.【答案】-4．
14.【答案】
15.【答案】解：（1）因为+-=ab，所以由余弦定理得C===，
而C(0,)，因此C=.
又因为C=B，所以=B，即=B，解得B=，
而B(0,)，因此B=.
（2）由（1）知：B=，C=，因此A=-B-C=--=.
因为ABC的面积为3+，所以abC=3+，即ab=3+，解得.
又因为由正弦定理得，，所以，
即，
即，解得（舍去）.
16.【答案】f（x）的最小正周期为π，
（k∈Z）时，函数取得最大值是2，（k∈Z）时，函数取得最小值-2 [-2，2]
17.【答案】 证明见解答
18.【答案】A=90°
19.【答案】 （i）不是，体积最小值为；（ii）
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