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2025-2026学年上海师范大学附属中学高二（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共4小题，共18分。
1.由1，2，3三个数字组成的无重复数字的两位数中，任取一个数，恰为偶数的概率是（　　）
A. B. C. D.
2.以下是“我国2018-2022年货物进出口总额统计图”，下列说法错误的是（　　）
A. 从2019年开始，2020年的进口额年增长率最小
B. 从2019年开始，2021年的出口额年增长率最大
C. 从2019年开始，进出口总额逐年增大
D. 从2019年开始，进出口总额年增长率逐年增大
3.在一次考试中有一道4个选项的双选题，其中B和C是正确选项，A和D是错误选项，甲、乙两名同学都完全不会这道题目，只能在4个选项中随机选取两个选项.设事件M=“甲、乙两人所选选项恰有一个相同”，事件N=“甲、乙两人所选选项完全不同”，事件X=“甲、乙两人所选选项完全相同”，事件Y=“甲、乙两人均未选择B选项”，则（　　）
A. 事件M与事件N相互独立 B. 事件X与事件Y相互独立
C. 事件M与事件Y相互独立 D. 事件N与事件Y相互独立
4.已知函数y=f（x），其中f（x）=|（x2-1）（x2+ax+b）|+c,其中a,b,c∈R.给出下列两个命题：
①对于任意实数a,存在b∈R，使曲线y=f（x）是轴对称图形；
②对于任意实数b,存在a∈R，使y=f（x）有3个极大值点.
则下列说法正确的是（　　）
A. ①是真命题，②是假命题 B. ①是假命题，②是真命题
C. ①、②都是真命题 D. ①、②都是假命题
二、填空题：本题共12小题，共54分。
5.已知函数f（x）=lnx-4的导函数为f′（x），则= .
6.曲线y=x2+1在点P（2，5）处的切线是 .（一般式方程）
7.已知函数f（x）的导函数为f′（x），若，则f′（-5）= .
8.函数y=f（x），其中的导数f′（x）= .
9.从装有标号为1，2，3的三个球的袋子中任取两个球，观察取出的这两个球的标号和，则此随机现象的样本空间是______.
10.已知函数f（x）=ln（x+1）+x2，则f（x）的单调增区间为 .
11.甲乙两人射击，中靶的概率分别为0.7、0.6.若两人同时独立射击，则恰有一人不中靶的概率为 .
12.一个不透明的盒子里装有分别标有数字1，2，3，4，5的5个完全相同的小球，从中随机一次性取出2个小球，求取出的2个小球上数字之和为偶数的概率是 .
13.已知函数f（x）=x-eax+b（x≥0），曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=-x+1，则b= .
14.某高中三个年级共有学生900人，其中男生528人，高一学生312人，高一男生192人，共青团员670人，男团员336人，高一团员247人，高一男团员147人，则高二、高三女生中非团员的总人数为 .
15.已知函数f（x）=x3+3ax2+bx+a2在x=-1处取得极值0，则f′（1）= .
16.定义在区间（0，+∞）上的函数f（x）满足：①对任意；②f（e-2）=-2e,若任意x∈[1，2]，f（x2+bx+3）≤2eln2，则整数b的值为 .
三、解答题：本题共5小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题15分)
已知函数y=f（x），其中，求：
（1）点处的切线的斜率；
（2）点处的切线方程.
18.(本小题15分)
已知函数f（x）=（x-a）lnx-x+a-3（a∈R）.
（1）若a=0，求f（x）的极小值；
（2）讨论导函数f′（x）的单调性.
19.(本小题15分)
一个盒子中装有标号为1，2，3，5的4张标签，依次随机选取两张标签，用数组（m,n）表示可能的结果，其中m表示第一次取出的标签上的数字，n表示第二次取出的标签上的数字.
（1）若标签的选取是不放回的，写出样本空间Ω，并求m+n＞5的概率；
（2）若标签的选取是有放回的，求m＜n的概率.
20.(本小题16分)
某校高一年级开设有羽毛球训练课，期末对学生进行羽毛球五项指标（正手发高远球、定点高远球、吊球、杀球以及半场计时往返跑）考核，满分100分.参加考核的学生有40人，考核得分的频率分布直方图如图所示.
（1）由频率分布直方图，求出图中t的值，并估计考核得分的第60百分位数；
（2）为了提升同学们的羽毛球技能，校方准备招聘高水平的教练.现采用分层抽样的方法（样本量按比例分配），从得分在[70，90）内的学生中抽取5人，再从中挑出两人进行试课，求两人得分分别来自[70，80）和[80，90）的概率；
（3）现已知直方图中考核得分在[70，80）内的平均数为75，方差为6.25，在[80，90）内的平均数为85，方差为0.5，求得分在[70，90）内的平均数和方差.
21.(本小题17分)
定义：若函数f（x）图象上恰好存在相异的两点P，Q满足曲线y=f（x）在P和Q处的切线重合，则称P，Q为曲线y=f（x）的“双重切点”，直线PQ为曲线y=f（x）的“双重切线”.
（1）直线y=2x是否为曲线f（x）=x3+的“双重切线”，请说明理由；
（2）已知函数g（x）=求曲线y=g（x）的“双重切线”的方程；
（3）已知函数h（x）=sinx,直线PQ为曲线y=h（x）的“双重切线”，记直线PQ的斜率所有可能的取值为k1，k2…，kn，若k1＞k2＞ki（i=3，4，5，…，n），证明：.
1.【答案】B
2.【答案】D
3.【答案】C
4.【答案】C
5.【答案】2
6.【答案】4x-y-3=0
7.【答案】5
8.【答案】．
9.【答案】{3，4，5}
10.【答案】（-1，+∞）
11.【答案】0.46
12.【答案】
13.【答案】-2
14.【答案】18
15.【答案】24
16.【答案】b=-3或b=-2
17.【答案】 3 x-4y+4=0
18.【答案】-4；
答案见解析．
19.【答案】Ω={（1，2），（1，3），（1，5），（2，1），（2，3），（2，5），（3，1），（3，2），（3，5），（5，1），（5，2），（5，3）}，
20.【答案】解：（1）由题意得：10×（0.01+0.015+0.020+t+0.025）=1，
解得t=0.03，
设第60百分位数为x,
则0.01×10+0.015×10+0.02×10+0.03×（x-80）=0.6，
解得x=85，
即第60百分位数为85；
（2）由题意知，抽出的5位同学中，得分在[70，80）的有人，设为A、B，
在[80.90）的有人，设为a、b、c,
则样本空间为Ω={（A，B），（A，a），（A，b），（A，c），（B、a），（B，b），（B，c），（a,b），（a,c），（b,c）}，n（Ω）=10，
设事件M=“C两人分别来自[70，80）和[80，90）”，
则M=（A，a），（A，b），（A，c），（B，a），（B，b），（B，c）}，n（M）=6，
因此，
所以两人得分分别来自[70，80）和[80，90）的概率为；
（3）考核得分在[70，80）内的人数为0.02×10×40=8人，在[80，90）内的人数为0.03×10×40=12人，
所以得分在[70，90）内的平均数为×7585=81，
方差为×[6.25+（75-81）2][0.5+（85-81）2]=26.8．
21.【答案】解：（1）的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞），
求导得，直线y=2x的斜率为2，
令，解得x=±1，
不妨设切点P（-1，-2），Q（1，2），
则点P处的切线方程为y+2=2（x+1），即y=2x,
点Q处的切线方程为y-2=2（x-1），即y=2x,
所以直线y=2x是曲线的“双重切线”．
（2）函数g（x）=，求导得g′（x）=，
显然函数y=ex在（-∞，0）上单调递增，函数在（0，+∞）上单调递减，
设切点P（x1，y1），Q（x2，y2），则存在x1＜0＜x2，使得f'（x1）=f'（x2），
则在点P处的切线方程为，
在点Q处的切线方程为，
因此，消去x2可得，
，
求导得k'（x）=ex-（1+x）ex+1=-xex+1＞0，
则函数k（x）在（-∞，0）上单调递增，又k（-1）=0，
函数k（x）的零点为-1，因此x1=-1，x2=e,
所以曲线y=g（x）的“双重切线”的方程为；
（3）设k1对应的切点为（t1，sint1），（S1，sinS1），t1＜S1，
k2对应的切点为（t2，sint2），（S2，sinS2），t2＜S2，
由（sinx）'=cosx,得k1=cost1=cosS1，k2=cost2=cosS2，
由诱导公式及余弦函数的周期性知，只需考虑t1+S1=2π，t2+s2=4π，其中t1，，
由k1＞k2及余弦函数在上递增知，，
则，
，
因此，又，，
则sint1=（t1-π）cost1 tant1-t1+π=0，同理tant2-t2+2π=0，
令，求导得．
则F（x）在上单调递增，显然，且，
函数在上的值域为，
即函数F（x）在上存在零点，则有，
由tant2-t2+2π=0，同理可得，而t2＜t1，
因此，于是sint2＜sint1＜0，即有．
所以，即．
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