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河南洛阳市嵩县2025-2026学年第二学期期中考试八年级数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若是分式，则可以是（ ）
A. B. 2026 C. 0 D.
2.据统计，人的头发直径约70微米，在好奇心的驱使下，小丽同学测得自己的一根头发直径约为0.000073m,将数据0.000073用科学记数法表示应为（　　）
A. 7.3×10-5 B. 0.073×10-6 C. 73×10-5 D. 0.73×10-4
3.若，则下列大小关系正确的是（　　）
A. a＞b＞c B. a＞c＞b C. b＞c＞a D. c＞b＞a
4.如图，点A在双曲线上，AB⊥y轴于B，点C是x轴上的任意点，且S△ACB=2，则k=（　　）
A. 2
B. -2
C. 4
D. -4
5.已知一次函数，函数值随自变量的增大而减小，且，则函数的图象大致是（ ）
A. B. C. D.
6.若，，三点在同一直线上，则（ ）
A. 2 B. C. D. 1
7.如图，在 ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AC=6，BD=8，分别作DE∥AC，CE∥BD，则四边形OCED的周长为（）
A. 16
B. 14
C. 12
D. 7
8.如图，在平面直角坐标系中，风车图案的四个叶片为完全相同的平行四边形，其中一个叶片上的点，的坐标分别为，．将风车绕点顺时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束时，点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
9.下表是绘制反比例函数（常数，且）图象时所列表的一部分，若，则的大小关系是（ ）
x 1 2 3
y a b
A. B. C. D.
10.在测浮力的实验中，小明将一块受重力为的长方体石块由玻璃器皿的上方，向下缓慢移动浸入水里，弹簧测力计的示数拉力与石块下降的高度之间的关系如图所示，温馨提示：当石块位于水面上方时，；当石块入水后，，则以下说法正确的是（ ）
A. 当石块下降时，此时石块在水里
B. 当时，拉力与之间的函数表达式为
C. 当时，此时石块完全浸入水中
D. 当时，此时石块所受浮力不变
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.写出一个第二象限内的点的坐标：（ ）．
12.若关于的分式方程有增根，则的值为 ．
13.已知反比例函数的图象与一次函数的图象的一个交点的横坐标是，则反比例函数的表达式为 ．
14.若，则的值是 ．
15.如图，直线与x轴、y轴分别相交于点A，B，点C在y轴上，将沿AC折叠，点O恰好落在直线AB上，则点C的坐标为 ．
三、计算题：本大题共1小题，共9分。
16.计算及解方程：
(1) 计算：；
(2) 解方程：．
四、解答题：本题共7小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题9分)
先化简，再求值：，请在-1，0，2中选择一个合适的数代入求值.
18.(本小题9分)
如图，已知直线，分别与轴，轴交于点．
(1) 求点的坐标．
(2) 将直线向右平移个单位得到直线，与轴交于点，以，为边作．
①求面积．
②根据图象，直接写出点坐标．
19.(本小题9分)
如图，已知在中，是的角平分线，交于点．
(1) 求证：；
(2) 若，，求的度数．
20.(本小题9分)
一次函数的图象恒过定点．
(1) 若图象还经过，求该一次函数的表达式．
(2) 若当时，一次函数y的最大值和最小值的差是6，求a的值．
21.(本小题9分)
随着“体重管理年”三年行动的实施，全民体重管理意识和技能逐步提升．某健身中心要采购甲、乙两种型号的健身器材以满足群众的健身需求．据了解，甲型健身器材的单价比乙型健身器材的单价低300元，用50000元购买甲型健身器材的数量和用56000元购买乙型健身器材的数量相同．
(1) 求甲、乙两种型号健身器材的单价各是多少元．
(2) 该健身中心计划购买甲、乙两种型号的健身器材共20台，且甲型健身器材的购买数量不超过乙型健身器材购买数量的3倍，购买甲型健身器材多少台时采购费用最少？最少采购费用是多少元？
22.(本小题9分)
某数学小组在研究函数时，对函数的图象进行了探究，探究过程如下：
(1) 函数的自变量的取值范围是 ；
(2) 按照“先定自变量取值范围、再列表、接着描点、最后连线”的原则，小明同学制作了表格．下表是与的几组对应值．
… 1 2 3 …
… m 4 6 1 n …
表格中的 ， ．
(3) 在下图平面直角坐标系中，描出上表中各组对应值为坐标的点，并根据描出的点画出该函数的图象，并写出该函数的一条性质：______．
(4) 若一次函数的图象与函数的图象交于A、B两点，连接、．
①当时，的取值范围为 ；
②的面积为 ．
23.(本小题12分)
如图1，在平面直角坐标系中，反比例函数（为常数，），的图象经过点，两点．
(1) m与n的关系是 ；
(2) 如图2，若点A绕x轴上的点P顺时针旋转，恰好与点B重合，求点P的坐标及反比例函数的表达式；
(3) 在（2）的条件下，在y轴上是否存在点Q，使得的值最小，若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，说明理由．
1.【答案】D
2.【答案】A
3.【答案】D
4.【答案】D
5.【答案】B
6.【答案】C
7.【答案】B
8.【答案】C
9.【答案】A
10.【答案】D
11.【答案】(-1，1)（答案不唯一）
12.【答案】3
13.【答案】
14.【答案】6
15.【答案】或
16.【答案】【小题1】
解：原式；
【小题2】
解：
去分母，得，
移项、合并同类项，得，
系数化为，得．
经检验，是原方程的解，
原方程的解为．

17.【答案】，原式=-1．
18.【答案】【小题1】
解：将代入中，可得，
将代入中，可得，
解得：，
∴点的坐标为、，
【小题2】
解：①∵直线向右平移个单位得到直线，
∴
∵
∴
∴面积为．
②由题意可得，轴，，
∴，
∴点坐标为．

19.【答案】【小题1】
证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
又∵是的角平分线，
∴，
∴，
∴；
【小题2】
解：由（1）可知，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．

20.【答案】【小题1】
解：由题意得，，
解得，
∴一次函数的表达式为；
【小题2】
解：代入点，得，
∴，
∴一次函数的表达式为，
∴当时，；当时，，
当时，y随着的增大而增大，
则函数y在取得最大值，在取得最小值，
∴，
解得；
当时，y随着的增大而减小，
则函数y在取得最大值，在取得最小值，
∴，
解得；
∴综上，a的值为或．

21.【答案】【小题1】
解：设甲型健身器材价格为x元，则乙型健身器材的价格为 元，
根据题意，得 ，
解得 ，
经检验， 是原方程的根．
此时 ，
答：甲型健身器材价格为2500元，则乙型健身器材的价格为2800元．
【小题2】
解：根据题意，甲型健身器材买了 台，则购买乙型健身器材数量为 台，且 即 ，且a为正整数，
根据题意，得 ，
由 ，得 随a的增大而减小，
故当 时， 取得最小值，且最小值为 （元），
故购买甲型健身器材15台，购买乙型健身器材5台时，费用最低，最低费用51500元．

22.【答案】【小题1】

【小题2】
3


【小题3】
解：函数图象如图：
性质：当时，随的增大而增大（不唯一）；
【小题4】
或
5

23.【答案】【小题1】

【小题2】
解：过点作轴于点，过点作轴于点，如图所示：
点A绕x轴上的点P顺时针旋转，恰好与点B重合，
∴，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴反比例函数的解析式为：；
【小题3】
解：存在，，理由如下：
作点关于轴的对称点，连接交轴于点，如图所示：
∴，
∴，此时的值最小，最小值为，
由（2）可知，，
∴，
设直线的表达式为代入点，，
，解得，
∴直线的表达式为，
当时，，
∴．

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