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山东省济南市历城区2025-2026学年八年级下学期期中数学试题
一、选择题：本题共10小题，每小题2分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.北京时间2025年11月25日12时11分，神舟二十二号飞船在酒泉卫星发射中心成功发射．下列和中国航天有关的部分图案中，属于中心对称图形的是（）
A. B.
C. D.
2.若a＜b，根据不等式的性质，下列变形一定成立的是（）
A. a-b＞0 B. C. -2+a＜-2+b D.
3.下列从左到右的变形属于因式分解的是（）
A. B.
C. D.
4.将分式中x,y的值都扩大为原来的3倍,则分式的值( )
A. 不变 B. 缩小为原来的 C. 扩大为原来的6倍 D. 扩大为原来的3倍
5.如图，在中，以点A为圆心，长为半径作弧，交于点F；分别以B，F为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点G；连接并延长，交于点E．若，，则的长为（ ）
A. 10 B. 11 C. 14 D. 20
6.在四边形中，，，延长，，两线相交于点A，已知，，则的长是（ ）
A. 8 B. C. 16 D.
7.直线与直线在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于的不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
8.将点平移到称为将点P进行“t型平移”，将图形上的所有点进行“t型平移”称为将图形进行“t型平移”．已知点和点，若线段进行“t型平移”后与y轴有公共点，则t的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
9.如图，点P，Q是的边，上的点，且，，相交于R，连接，且恰好平分，若，，则点C到的距离为（ ）
A. B. C. 3 D. 2
10.某中学八年级举办了“精彩思辨”大赛。真真、灵灵、颖颖三位同学进入了最后冠军的角逐。决赛共分为五轮,规定:每轮分别决出第1,2,3名(无并列),对应名次的分数分别为a, b,c(a>b>c且a,b,c均为正整数);选手最后得分为各轮得分之和,得分最高者为冠军。表格是三位选手在每轮比赛中的部分得分情况,根据题中所给信息,下列说法不正确的是( )
第一轮 第二轮 第三轮 第四轮 第五轮 最后得分
真真 c a 25
灵灵 c c 12
颖颖 b b 13
真真可能有一轮比赛获得第二名;
灵灵可能有四轮比赛获得第三名;
颖颖有一轮比赛获得第一名;
A. B. C. D.
二、填空题：本题共5小题，每小题2分，共10分。
11.要使分式有意义，x应满足的条件是 .
12.如图，菊花1角硬币为外圆内正九边形的边缘异形币，则该正九边形的一个内角大小为 ．
13.已知，则 ．
14.如图，在中，，将绕点A逆时针旋转，得到，点D恰好落在上，交于点F，则 °．
15.在等腰ABC中,AB=AC=8,BAC=,点D为直线BC上一动点,连接AD,点E为线段AD的中点,将线段BA沿直线BC翻折得到线段BA',过点D作DFBA',交直线BA'于点F,连接EF,则线段EF的最小值为 .
三、计算题：本大题共3小题，共24分。
16.分解因式：
(1)
(2)
17.按要求解下列不等式（组）：
(1) 解关于x的不等式，并将解集在数轴上表示出来．
(2) 解不等式组：，并求出它的所有整数解之和．
18.解分式方程：
(1) ；
(2) ．
四、解答题：本题共6小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题8分)
计算：
(1)
(2) 先化简，再求值：，再从0，1，2中选择一个合适的a值代入求值．
20.(本小题5分)
如图，在 ABCD中，点A，E，F，C在同一条直线上，且AF=EC.求证：∠AEB=∠CFD.
21.(本小题16分)
如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，请解答下列问题：
(1) 若经过平移后得到，已知点的坐标为，作出；
(2) 将绕点O按顺时针方向旋转得到，作出；
(3) 若将绕某一点旋转可得到，直接写出旋转中心的坐标为 ；
(4) 在平面直角坐标系中存在一点D，使得以点A，B，C，D为顶点的四边形是以为边的平行四边形，请直接写出点D的坐标．
22.(本小题7分)
根据以下素材，探索完成任务．
为落实《健康中国行动（2019—2030）》等文件精神，某学校准备购进一批排球和足球促进校园体育活动，请你根据以下素材，探索完成任务：
素材1 某体育器材店每个排球的价格比足球的价格少元，用元购买的排球数量与元购买的足球数量相等．
素材2 该学校决定购买排球和足球共个，且购买足球的数量不少于排球的数量，同时该体育器材店为支持该学校体育活动，对排球给折优惠，足球给予8折优惠．
问题解决
任务1 探求商品单价 请求出每个排球和足球的价格．
任务2 确定购买方案 运用数学知识，确定该学校本次购买排球和足球所需费用最少的方案，并求出最少费用．
23.(本小题15分)
如图，中，，，，若动点P从点C开始，按的路径运动，且速度为每秒2个单位长度，设出发的时间为t秒．
(1) 当点P在线段上运动， 秒时，点P到的距离与点P到的距离相等；
(2) 若是以为腰的等腰三角形，求t的值；
(3) 另有一点Q，从点C开始，按的路径运动，且速度为每秒1个单位长度，若P，Q两点同时出发，当P，Q中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当t为何值时，P，Q两点之间的距离为？请直接写出答案．
24.(本小题15分)
【问题初探】
(1) 如图1，在中，，，D为中点，点E是线段上的动点，当时，连接，将线段绕点D逆时针旋转，得到，连接，．请探索，，之间的数量关系．
以下是数学兴趣小组两位同学的发现：
①小明同学：如图2，如果过D作交于点G，那么是等边三角形，通过构造全等三角形可以找到，，之间的数量关系．
②小颖同学：如图3，如果过E作交于点G，那么是等边三角形，也可以构造出全等三角形，找到，，之间的数量关系．
请参考小明和小颖两名同学的解题思路，直接写出，，之间的数量关系为 ．
(2) 【类比分析】
小明和小颖同学都运用数学的转化思想，将证明三条线段的关系转化为证明两条线段的关系；为了帮助学生更好地感悟转化思想，王老师将图1进行变换并提出了下面问题，请你解答．
如图4，在中，，，D为中点，点E是边上的动点，当时，连接，将绕点D逆时针旋转得到，连接，．请探究线段，，之间的数量关系
(3) 【学以致用】在中，，，点D在边上，点E在边上，连接（不平行），将绕点D逆时针旋转角，得到，连接，．再过D点作交于点G，过点G作交于点H，当，，时，直接写出的周长．
1.【答案】C
2.【答案】C
3.【答案】D
4.【答案】B
5.【答案】C
6.【答案】B
7.【答案】C
8.【答案】A
9.【答案】A
10.【答案】D
11.【答案】x≠2
12.【答案】140°/140度
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】
16.【答案】【小题1】
解：
；
【小题2】
解：
.

17.【答案】【小题1】
解：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：，
不等式的解集为：，
不等式的解集在数轴上表示如下：
.
【小题2】
解：，
解不等式①，得．
解不等式②，得．
∴原不等式组的解集为．
∴整数解为5，6，
∴，
∴所有整数解的和为11.

18.【答案】【小题1】
解：，
方程的两边同乘以，
得，
∴，
∴
解得：．经检验，是原方程的根．
【小题2】
解：，
方程的两边同乘以，
得，
∴，
∴，
解得：，
检验：当时，，
∴是原方程的增根，
∴原方程无解．

19.【答案】【小题1】
解：
．
【小题2】
解：
，
∵，，
∴，，．
∴当时，原式．

20.【答案】∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥DC，AB=DC，
∴∠BAE=∠DCF．
∵AF=EC，
∴AF-EF=EC-EF，即AE=CF，
∴△AEB≌△CFD（SAS），
∴∠AEB=∠CFD．
21.【答案】【小题1】
解：∵点，点的坐标为，
∴平移方式为：向右平移个单位，向下平移个单位；
如图所示，即为所求；
【小题2】
解：如图所示，即为所求；
【小题3】
【小题4】
解：如图，
当四边形为平行四边形时，点，，，
由平移可得：，
当四边形为平行四边形时，点，，，
由平移可得：，
综上：或．

22.【答案】任务1解：设排球的单价为x元，则足球的单价是；
根据题意，得，
解得
经检验，是原方程的根，
足球的单价：，
答：每个排球元，每个足球元；
任务2解：设排球购买m个，则足球购买了个，
根据题意得，
解得
设总费用为w元，根据题意

因为，所以w随m的增大而减小，
∴当时，w最小元，
所以购买方案为：个排球，个足球时费用最小，最小费用为元．

23.【答案】【小题1】
【小题2】
解：当是以为腰的等腰三角形，则点在线段上，
①时，如图：
∵动点从点开始，按的路径运动，且速度为每秒，
∴，
∵，
∴，
∴；
②时，如图，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
综上：是以为腰的等腰三角形，t的值为或.
【小题3】
解：由题意，得：点按运动，共需要：；
点按运动，共需要：；
∵当、中有一点到达终点时，另一点也停止运动，
∴、运动的总时间为：；
①在上，在上时：
由题意，得：，
∵，
∴，即：，
解得：或（舍去）；
②当点在上、点在上时，即，如图，
∴，，
∴，
当时，最小值为，
∴，不合题意；
③当点、都在上，此时：，，
点在点的左侧时，，
解得：；
点P在点Q的右侧时，，
解得：；
∵，
∴不合题意，舍掉；
综上所述，当t为1或时，P、Q两点之间的距离为．

24.【答案】【小题1】
【小题2】
解：，理由：
取的中点，的中点，连接，，，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵为中点，
∴，，
∴，，，
∴，，
由旋转得，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴；
【小题3】
解：的周长为20或14．
①如图所示，当时，则F在下方，
∵，，
∴四边形是平行四边形，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
同理：，
由旋转可知，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的周长为：，
②如图所示，当时，则F在上方，
同理可得，
此时的周长为：，
综上，的周长为20或14．

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