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2025-2026学年北京市昌平区第一中学教育集团八年级（下）期中数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A. B.
C. D.
2.点P（-5，2）所在的象限是（　　）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3.下列各曲线中，不能表示y是x的函数的是（　　）
A. B. C. D.
4.如果一个多边形的每个内角都等于120度，则这个多边形的边数是（　　）
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
5.如图，已知四边形ABCD，对角线AC和BD相交于O，下面选项不能得出四边形ABCD是平行四边形的是（　　）
A. AB=CD，AD=BC
B. AB∥CD，且AD=BC
C. AB∥CD，且AB=CD
D. AO=CO，BO=DO
6.对于一次函数y=kx+b（k，b为常数），下表中给出5组自变量及其对应的函数值，其中恰好有1个函数值计算有误，则这个错误的函数值是（　　）
X -1 0 1 2 3
Y 2 5 8 12 14
A. 5 B. 8 C. 12 D. 14
7.一次函数y=kx-b与正比例函数y=kx（k,b为常数，且kb≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　）
A. B. C. D.
8.如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E，F分别是边BC，AD的中点，AB=2，BC=4，一动点P从点B出发，沿着B-A-D-C在矩形的边上运动，运动到点C停止，点M为图1中某一定点，设点P运动的路程为x，△BPM的面积为y，表示y与x的函数关系的图象大致如图2所示．则点M的位置可能是图1中的（　　）

A. 点C B. 点O C. 点E D. 点F
二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。
9.函数中，自变量x的取值范围是______．
10.点A（3，-5）关于x轴对称的点A′的坐标是 .
11.已知点A（x1，y1），B（x2，y2）是函数y=kx（k≠0）图象上任意两点，且当x1＜x2时，总有y1＞y2成立，写出一个符合题意的k值 ．
12.若菱形的两条对角线长分别是8和6，则菱形的面积是 .
13.如图，直线y1=2x与y2=-x+a交于点P（1，2）则不等式2x＞-x+a的解集为 ．
14.如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于E，AB=4，BC=6，则DE为 .
15.如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，H为AD边中点，菱形ABCD的周长为8，则OH的长等于 .
16.如图，点A、B、C为平面内不在同一直线上的三点.点D为平面内一个动点.线段AB，BC，CD，DA的中点分别为M、N、P、Q.在点D的运动过程中，有下列结论：
①存在无数个中点四边形MNPQ是平行四边形；
②存在无数个中点四边形MNPQ是菱形；
③存在无数个中点四边形MNPQ是矩形；
④存在无数个中点四边形MNPQ是正方形.
所有正确结论的序号是 .
三、解答题：本题共13小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题5分)
已知一次函数y=（2m-1）x+1-3m.
（1）当m值为何值时，该函数为正比例函数；
（2）当m值为何值时，一次函数的图象与x轴交于（2，0）；
（3）当m值为何值时，一次函数的图象与y轴交于负半轴；
（4）当m值为何值时，一次函数y随x的增大而增大；
（5）当m值为何值时，一次函数的图象经过一、二、四象限.
18.(本小题5分)
已知：在矩形ABCD中，AC是对角线.
求作：菱形AECF，使点E，F分别在边AD，BC上.
作法：如图，
①分别以点A，C为圆心，大于长为半径画弧，两弧在线段AC两侧分别交于点M，N；
②作直线MN交AC于点O，与AD，BC分别交于点E，F；
③连接AF，CE.
所以四边形AECF就是所求的菱形.
根据上面设计的尺规作图过程.
（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明.
证明：连接MA，MC，NA，NC，
∵MA=MC，NA=NC，
∴MN是AC的垂直平分线，
∴EA=EC，
∴∠EAC=∠FCA，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠EAC=∠FCA，
∴∠ECA=①______，
又MN⊥AC，
∴∠COE=∠COF=90°，
∴∠CEF=∠CFE，
∴CF=CE，
∴CF=EA，
又∵CF∥EA，
∴四边形AECF是平行四边形②______（填推理的依据），
又∵AC⊥EF，
∴四边形AECF是菱形③______（填推理的依据）.
19.(本小题5分)
直线y1=-x+5交x轴于点A，交y轴于点B，与直线y2=2x-4交于点C.
（1）求交点C的坐标；
（2）直接写出当x取何值时y1＜y2；
（3）在y轴上取点P使得OP=2OB，直接写出△ABP的面积.
20.(本小题5分)
如图，在 ABCD中，点E，F分别在边AD，BC上，且DE=BF.
求证：AF=CE.
21.(本小题5分)
如图，在正方形网格中，△ABC各顶点都在格点上，点A，C的坐标分别为（-5，1）、（-1，3），结合所给的平面直角坐标系解答下列问题：
（1）点B的坐标是______；
（2）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
（3）在y轴上有点D（0，2），在所给的网格中的格点上，以A、C、D、E为顶点的四边形为平行四边形，则所有满足条件的点E的坐标为______.
22.(本小题5分)
两摞规格完全相同的书整齐摆放在讲台上，左边一摞有3本，右边一摞有6本，团团经过测量画出图.
（1）若x本书整齐摆放在讲台上，求这一摞书的顶部距离地面的高度y（单位：cm）与x的关系式；
（2）若45本书整齐摆放在讲台上，团团从中取走13本书，求余下的课本的顶部距离地面的高度.
23.(本小题6分)
如图，已知 ABED，延长AD到C，使得AD=DC，若AB=BC，连接BC、CE，BC交DE于点F.
（1）求证：四边形BECD是矩形；
（2）连接AE，若∠BAC=60°，AB=4，求AE的长.
24.(本小题6分)
【课本再现】我们把连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.下面是三角形中位线的性质及证明三角形中位线定理的两种添加辅助线的方法：
三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半.已知：如图1，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC边的中点.求证：DE∥BC，且DE=BC.
方法一：证明：如图2，延长DE到点F，使EF=DE，连接FC，DC，AF. 方法二：证明：如图3，取BC中点G，连接GE并延长到点F，使EF=GE，连接AF.
【回顾证法】
（1）请你选择其中一种证法，继续完成证明过程.
【实践应用】
（2）如图4，B，C两地被池塘隔开，在无法直接测量的情况下，小明通过下面的方法测出了B，C间的距离：先在池塘外选一点A，连接AB，AC，然后测出AB，AC的中点D，E，并测出DE的长度为12米，则B，C两点间的距离为______米.
25.(本小题6分)
综合与实践
【项目背景】桶装水打开后空气中的微生物、尘埃等污染物便开始悄悄进入水中，随着时间的推移，水中微生物的数量会逐渐增加，从而影响水质.某校综合实践小组以“探究桶装水在常温下（23℃）的最佳饮用时间”为主题展开项目学习.
【项目研究】
a.取一桶桶装水，打开置于空气中；
b.逐天测量并记录桶装水中的菌落总数；
c.数据分析，形成结论.
试验数据：
试验天数x/天 0 1 2 3 4
菌落总数y/CFU mL-1 15 20 25 30 35
【项目分析】
（1）根据表中给出的有序实数对在平面直角坐标系中描出相应的点并用平滑曲线或直线依次连接.
（2）根据（1）中所画图象发现菌落总数y（单位：CFU mL-1）与试验天数x（单位：天）之间满足______函数关系（填“正比例”或“一次”），求该函数的表达式.
【项目应用】
（3）从卫生角度考虑，若检测发现桶装水菌落总数超过50CFU mL-1，应当立即停止饮用，请你通过计算说明桶装水打开后超过几天就要停止饮用.
26.(本小题6分)
在平面直角坐标系xOy中，函数y=kx+b（k≠0）与y=-x+k的图象交于点（1，1）.
（1）求k,b的值；
（2）当x＜1时，对于x的每一个值，函数y=nx-n+1（n≠0）的值大于函数y=kx+b（k≠0）的值，且小于函数y=-x+k的值，直接写出n的取值范围.
27.(本小题7分)
如图，在正方形ABCD中，E是边BC上的一动点（不与点B，C重合），AF⊥AE于点A，AF=AE，连接BF，DE.
（1）求证：∠ABF=∠ADE；
（2）延长FB，DE，交于点G，连接AG.
①依题意补全图形；
②用等式表示线段EG，FG，AG之间的数量关系，并证明.
28.(本小题7分)
在平面直角坐标系xOy中，对于任意两点M（x1，y1），N（x2，y2），定义如下：点M与点N的“直角距离”为|x1-x2|+|y1-y2|，记作dMN.
例如：点M（2，5）与N（7，3）的“直角距离”dMN=|2-7|+|5-3|=7.
（1）两点P1（0，-1），P2（1，1），中，与原点O的“直角距离”等于1的点是______.
（2）如图，已知点A（1，0），B（0，1），根据定义可知线段AB上的任意一点与原点O的“直角距离”都等于1.若点P（x,y）与原点O的“直角距离”dOP=1，即|x-0|+|y-0|=1.
①若，则点P的坐标为______；
②请你在图中将所有满足条件的点P组成的图形补全；
（3）已知直线y=kx+4和点C（3，0），若直线y=kx+4上存在点D，满足dCD=1，直接写出k的取值范围______.
29.(本小题10分)
对于点P和图形W，若点P关于图形W上任意的一点的对称点为点Q，所有点Q组成的图形为M，则称图形M为点P关于图形W的“对称图形”.在平面直角坐标系xOy中，已知点A（-1，-2），B（2，-2），C（2，1），D（-1，1）.
（1）①在点E（-2，-4），F（0，-4），G（3，-3）中，是点0关于线段AB的“对称图形”上的点有______.
②画出点O关于四边形ABCD的“对称图形”；
（2）点T（t,0）是x轴上的一动点.
①若点T关于四边形ABCD的“对称图形”与O关于四边形ABCD的“对称图形”有公共点，求t的取值范围；
②直线y=x-t与x轴交于点T，与y轴交于点H，线段TH上存在点K，使得点K是点T关于四边形ABCD的“对称图形”上的点，直接写出t的取值范围.

1.【答案】D
2.【答案】B
3.【答案】C
4.【答案】A
5.【答案】B
6.【答案】C
7.【答案】D
8.【答案】B
9.【答案】x≥-3
10.【答案】（3，5）．
11.【答案】-1（答案不唯一）
12.【答案】24
13.【答案】x＞1
14.【答案】2．
15.【答案】1
16.【答案】①②③
17.【答案】 m=1 且
18.【答案】如图，菱形AECF即为所求：
∠ FCA;一组对边平行且相等的四边形是平行四边形;对角线互相垂直的平行四边形是菱形
19.【答案】解：（1）联立方程组可得：，
解得：，
∴点C（3，2）；
（2）如图，当x＞3时，y1＜y2；
（3）∵直线y1=-x+5交x轴于点A，交y轴于点B，
∴点B（0，5），A（5，0），
∴OB=5，
∵OP=2OB，
∴OP=10，
∴点P（0，10）或（0，-10），
∴BP=5，BP=15，
∴△ABP的面积=×5×5=，或△ABP的面积=×5×15=．
20.【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∵DE=BF，
∴AD-DE=BC-BF，
∴AE=FC，AE∥CF，
∴四边形AFCE是平行四边形，
∴AF=CE．
21.【答案】（-5，3） △A1B1C1即为所求：
（4，4）或（-4，0）或（-6，2）
22.【答案】y=0.5x+85 余下的课本的顶部距离地面的高度为101cm
23.【答案】（1）证明：∵四边形ABED是平行四边形，
∴BE∥AD，BE=AD，
∵AD=DC，
∴BE∥DC，BE=DC，
∴四边形BECD是平行四边形，
在△ABC中，∵AB=BC，AD=DC，
∴BD⊥AC，
∴∠BDC=90°，
∴四边形BECD是矩形；
（2）解：∵四边形BECD是矩形，
∴∠ACE=∠BDC=90°，
∵∠BAC=60°，AB=BC，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠BCD=∠ABC=60°，AC=BC=AB=4，
∵AD=CD，
∴，
∴，
由勾股定理得：，
∴，AC=AB=4，
由勾股定理得：．
24.【答案】方法一：如图2，延长DE到点F，使EF=DE，连接FC，DC，AF，
∵AE=CE，EF=DE，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∴AD∥CF，AD=CF，
∵AD=BD，
∴CF=BD，
∴四边形BCFD是平行四边形，
∴DF∥BC，DF=BC，
∵，
∴；即DE∥BC，且；方法二：如图3，取BC的中点G，连接GE并延长到点F，使EF=GE，连接AF，
∵E是AC边的中点，
∴AE=EC．
在△FAE和△GCE中，
，
∴△GCE≌△FAE（SAS），
∴AF=CG，∠EAF=∠C，
∴AF∥BC，
∵G为BC的中点，
∴BG=GC，
∴BG=AF，
∴四边形ABGF为平行四边形，
∴AB∥GF，AB=GF，
∵BD=AB，EG=GF，
∴BD=GE，BD∥GE，
∴四边形BDEG为平行四边形，
∴DE∥BC， 24
25.【答案】如图所示，即为所求； 一次 桶装水打开后超过7天就要停止饮用
26.【答案】 -1＜n＜2且n≠0
27.【答案】答案见解答过程 ①答案见解答过程；②，证明见解答过程
28.【答案】P1 ①或；②补全图形如下：
-2≤k≤-1
29.【答案】（1）①点E，点F
②点O关于四边形ABCD的“对称图形”为四边形JNMI．
（2）①动点T关于四边形ABCD的“对称图形”为四边形SRVU，如图所示．利用中点坐标公式可得到点S（4-t,2），U（-2-t,2），V（-2-t,-4），R（4-t,-4）．四边形SRVU随t的变化左右移动，当四边形JNMI与四边形SRVU有公共点时，应满足：
，
∴-6≤t≤6，
②2≤t≤4或-2≤t≤-1．
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