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2025-2026学年广东省深圳市福田区外国语学校八年级（下）期中数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.新能源汽车作为强势崛起的一股汽车产业新势力，正在持续迈入新的发展阶段，对行业内外产生着深远影响.下列四个新能源汽车标志中，是中心对称图形的是（　　）
A. B. C. D.
2.若a＞b,下列各式一定正确的是（　　）
A. -3a＞-3b B. a+m＞b+m C. 2a＜2b D. ac＞bc
3.下列用提公因式法分解因式正确的是（　　）
A. 12abc-9a2b2c2=3abc（4-3ab） B. 3x2y-3xy+6y=3y（x2-x+2y）
C. -a2+ab=-a（a-b） D. x2y+5xy-y=y（x2+5x）
4.下列说法正确的是（　　）
A. 用反证法证明“∠B＞90°”时，应假设“∠B＜90°”
B. 三角形三条角平分线的交点到三个顶点的距离相等
C. 有一个角是60°的三角形是等边三角形
D. 命题“若a+b＞0，则a＞0”的逆命题为“若a＞0，则a+b＞0”
5.如图，将△OAB绕点O逆时针旋转80°得到△OCD.若∠A=3∠D=120°，则∠α的度数是（　　）
A. 50°
B. 60°
C. 40°
D. 30°
6.数形结合是我们解决数学问题常用的思想方法.如图，一次函数y=-x-1与y=mx+n（m,n为常数，m≠0）的图象相交于点（1，-2），则不等式-x-1＜mx+n的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A.
B.
C.
D.
7.若关于x的不等式组无解，则m的取值范围为（　　）
A. m≤2 B. m＜2 C. m≥2 D. m＞2
8.如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，△ABC的角平分线AD、BE相交于点P，过P作PF⊥AD交BC的延长线于点F，交AC于点H，则下列结论：①∠APB=135°；②PF=PA；③AH+BD=AB；④S四边形ABDE=2S△ABP；其中正确的有（　　）

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
9.要使分式有意义，则x的取值范围是 ．
10.正五边形的一个外角的度数为 .
11.已知二次三项式x2-3x+m有一个因式是x+3，则m的值为 .
12.福田外国语学校的长方形体育馆长40米、宽20米，A是场馆西北入口，E是CD边中点的器材存放处，C是场馆东北角的舞台.要在BC边的观众区预留10米长的通道PQ，规划一条从器材室E经通道PQ到入口A的最短搬运路线，则AP+PQ+QE的最小值为 米.
13.在平面直角坐标系中，一个图形向右平移a个单位长度，再绕原点按顺时针方向旋转θ角度，这样的图形运动叫做图形的γ（a,θ）变换.现将斜边为1的等腰直角三角形ABC放置在如图的平面直角坐标系中，△ABC经γ（1，180°）变换后得△A1B1C1为第一次变换，△A1B1C1经γ（2，180°）变换后得△A2B2C2为第二次变换，…，经γ（n,180°）变换得△AnBnCn，则点C2026的坐标是 .
三、解答题：本题共7小题，共61分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
14.(本小题6分)
（1）分解因式：3ax2-6axy+3ay2；
（2）解不等式组.
15.(本小题9分)
（1）；
（2）；
（3）.
16.(本小题8分)
如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（-4，3），B（-3，1），C（-1，3）.
请按要求画图：
（1）将△ABC先向右平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到△A1B1C1，画出△A1B1C1；
（2）将△ABC以原点O为旋转中心，旋转180°后得到△A2B2C2，画出△A2B2C2；
（3）若△A1B1C1与△A2B2C2关于点Q成中心对称，则点Q的坐标为______.
17.(本小题8分)
如图，在△ABD中，AD=BD，点F在线段AD上，点C在BD的延长线上，连接AC，BF，并延长BF交AC于点E，且AD⊥BC，BF=AC.
（1）求证：BE⊥AC；
（2）若E为AC中点，DF=2，求BC的值.
18.(本小题9分)
请根据素材，解决任务1与任务2.
背景 随着新能源汽车市场的发展，某经销商计划购进两种型号的新能源汽车进行销售.
素材1 已知2辆中型和1辆紧凑型新能源汽车的进价共计64万元；2辆紧凑型比3辆中型的进价少40万元.
素材2 中型售价为27万元/辆，紧凑型售价为20万元/辆.该经销商准备购进两种车型共100辆.
素材3 据市场预测，中型的购进数量应不低于紧凑型购进数量的，且两种车辆的总进价不超过1840万元.
问题解决
任务1 分别求中型和紧凑型新能源汽车的进货单价.
任务2 该经销商应如何购进两种型号的汽车，才能使总利润最大？最大利润是多少万元？
19.(本小题10分)
材料一：假分数可以化为带分数，如：.类似的，分式也可以化为整式与分式和的形式.
例如：；
（1）根据以上思路，解决问题：将分式化为整式与分式和的形式为______.
材料二：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式.
解：由分母x+1，可设x2-x+3=（x+1）（x+a）+b,
则x2-x+3=（x+1）（x+a）+b=x2+ax+x+a+b=x2+（a+1）x+a+b,
∵对于任意x上述等式成立，
∴解得：.
∴.
这样，分式就拆分成一个整式x-2与一个分式的和的形式.
（2）将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式为______；
（3）已知整数x使分式的值为整数，求满足条件的整数x的值；
（4）当-1≤x≤1时，分式的最小值为______.
20.(本小题11分)
综合与探究
问题情境：数学活动课上，同学们以两张直角三角形纸片为背景进行探究性活动.在△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=45°，△DEF中，∠EDF=90°，∠E=60°，DE=2.将其按如图1位置摆放，使点A、B、D在同一直线上，点F与点C重合，EF∥AB.
初步分析：
（1）如图1，直接写出线段AC= ______，线段BD= ______；
操作探究：
（2）如图2，将△DEF从图1位置开始，绕点F顺时针旋转α（0°＜α＜180°）得到△FGH，点D的对应点为点G，点E的对应点为点H，当线段FG经过点A时，连接EH，判断△EFH的形状，并说明理由；
（3）如图3，将△DEF从图1位置开始沿射线BC方向平移，平移过程中，始终保持EF∥AB，当△BDF为直角三角形时，求出△DEF平移的距离.
1.【答案】B
2.【答案】B
3.【答案】C
4.【答案】D
5.【答案】B
6.【答案】A
7.【答案】A
8.【答案】D
9.【答案】x≠2
10.【答案】72°
11.【答案】-18．
12.【答案】（30+10）．
13.【答案】
14.【答案】3a（x-y）2 6≤x＜8
15.【答案】 -
16.【答案】 （2，1）
17.【答案】证明：∵AD⊥BC，点C在BD的延长线上，点F在线段AD上，
∴∠ADC=∠BDF=90°，
在Rt△ADC和Rt△BDF中，
，
∴Rt△ADC≌Rt△BDF（HL），
∴∠FBD=∠DAC，
∵∠DAC+∠C=90°，
∴∠FBD+∠C=90°，
∴∠BEC=90°，
∴BE⊥AC 4+2
18.【答案】（任务1）中型新能源汽车的进货单价为24万元/辆，紧凑型新能源汽车的进货单价为16万元/辆；
（任务2）当购进25辆中型新能源汽车，75辆紧凑型新能源汽车时，才能使总利润最大，最大利润是375万元．
19.【答案】2+ x+7+ x=-10或2或4或16 -2
20.【答案】3，3-3；
△EFH是等边三角形，理由见解析；
平移距离为或．
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