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广东雷州一中教育集团雷州市第一中学等校2025－2026学年八年级第二学期期中素养检测数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列二次根式中，属于最简二次根式的是（）
A. B. C. D.
2.下列长度的三条线段，能构成直角三角形的是（）
A. B. 6，8，10 C. 8，9，10 D. 20，21，22
3.下列计算正确的是（）
A. B. C. D.
4.正五边形的外角和为( )
A. B. C. D.
5.如图，在中，，则（ ）
A. B. C. D.
6.下列二次根式化成最简二次根式以后，不能与合并的是（ ）
A. B. C. D.
7.如图，公路，互相垂直，笔直公路的中点与点被湖面隔开．若测得长为，则点、之间的距离为（ ）
A. B. C. D.
8.下列关于的叙述，正确的是（ ）
A. 若，则是菱形 B. 若，则是菱形
C. 若，则是矩形 D. 若，则是矩形
9.如图，在矩形纸片ABCD中，AC=6，点E在边BC上，将△ABE沿直线AE折叠，点B恰好落在对角线AC上的点F处，若∠EAC=∠ECA，则BC的长是（　　）
A.
B. 4
C. 5
D. 6
10.如图，已知正方形的面积为12，正方形的面积为6，则的面积为（　　）
A. B. C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.若式子在实数范围内有意义，则m的取值范围是 .
12.如图，三个正方形中的数字和字母分别代表正方形的面积，则字母所代表的正方形的面积是 ．
13.菱形的两条对角线长分别为6，8，则这个菱形的面积为 .
14.如图，在四边形中，，若添加一个条件，使得四边形为平行四边形，这个条件可以是 ．
15.如图，边长为5的菱形ABCD的对角线AC、BD交于点O，E是AB的中点，则EO的长为 .
16.如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=8，E是AD上一点，AE=2，P是BC上一动点，连接AP，取AP的中点F，连接EF，当线段EF取得最小值时，线段PD的长度是 .
三、计算题：本大题共1小题，共8分。
17.按要求完成下列计算：
(1) 计算
(2) 化简求值：已知，，求的值．
四、解答题：本题共7小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.(本小题8分)
如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是AD、BC上的点，且BF=DE．求证：AF=CE．
19.(本小题8分)
如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫格点，网格中有以格点A、B、C为顶点的△ABC，请你根据所学的知识回答下列问题：
(1) 判断△ABC的形状，并说明理由；
(2) 求BC边上的高．
20.(本小题8分)
如图，在菱形中，对角线与交于点，过点作的垂线，过点作的垂线，两直线相交于点．
(1) 求证：四边形是矩形；
(2) 若，，求菱形面积．
21.(本小题9分)
如图1，在的方格中，每个小正方形的边长为1．

(1) 图1中正方形的边长为 ；
(2) 如图2，若点A在数轴上表示的数是，以A为圆心，为半径画圆弧与数轴的正半轴交于点E，则点E所表示的数是 ．
(3) 请在网格中画一个面积为5的正方形，使得正方形的顶点均在格点上．（备注网格小正方形的边长为1个单位长度）．
22.(本小题9分)
如图，四边形ABCD为平行四边形纸片．把纸片ABCD折叠，使点B恰好落在CD边上，折痕为AF．且AB=10cm、AD=8cm、DE=6cm．
(1) 求证：平行四边形ABCD是矩形；
(2) 求折痕AF长．
23.(本小题10分)
定义：我们将与称为一对“对偶式”，因为，所以构造“对偶式”再将其相乘可以有效地将中的“根号”去掉，于是二次根式除法可以这样计算：如.像这样，通过分子、分母同乘一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫做分母有理化.
根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答以下问题：
(1) 对偶式与之间的关系为________；
A. 互为相反数 B. 互为倒数 C. 绝对值相等 D. 没有任何关系
(2) 已知，，求的值；
(3) 解方程：.（提示：利用“对偶式”相关知识，令）
24.(本小题12分)
综合与实践
问题情境
在综合与实践课上，老师让同学们以“大小不等的两个正方形”为主题开展数学活动，如图1，现有一个边长为的正方形，点E从对角线上的点A出发向点C运动，连接并延长至点F，使，以为边在右侧作正方形，边与射线交于点M．
(1) 操作发现点E在运动过程中，判断线段与线段之间的数量关系，直接写出答案；
(2) 实践探究在点E的运动过程中，某时刻正方形与正方形重叠的四边形的面积是，求此时的长；
(3) 探究拓广
请借助备用图2，探究当点E不与点A，C重合时，线段，与之间存在的数量关系，请直接写出．
1.【答案】C
2.【答案】B
3.【答案】D
4.【答案】B
5.【答案】A
6.【答案】C
7.【答案】A
8.【答案】D
9.【答案】A
10.【答案】C
11.【答案】m≤6
12.【答案】144
13.【答案】24
14.【答案】/（答案不唯一）
15.【答案】
16.【答案】4
17.【答案】【小题1】
解：
；
【小题2】
解：∵，，
∴，
∴．

18.【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC；
又∵BF=DE，
∴AE∥CF，AE=CF，
∴四边形AECF为平行四边形（对边平行且相等的四边形为平行四边形），
∴AF=CE（平行四边形的对边相等）．
19.【答案】【小题1】
△ABC是直角三角形，理由：
∵正方形小方格边长为1，
∴AB2＝12+22＝5，AC2＝22+42＝20，BC2＝32+42＝25．
∴AB2+AC2＝BC2，
∴△ABC是直角三角形．
【小题2】
设BC边上的高为h，
△ABC的面积＝4×4﹣×1×2﹣×4×3﹣×2×4＝16﹣1﹣6﹣4＝5，
×h×5＝5；
∴h＝2．

20.【答案】【小题1】
证明：∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴四边形是矩形；
【小题2】
解：∵四边形是矩形，
∴，，
∵四边形是菱形，
∴，，
∴．

21.【答案】【小题1】

【小题2】

【小题3】
解：如图，正方形的面积为5，
．


22.【答案】【小题1】
证明：∵把纸片ABCD折叠，使点B恰好落在CD边上，
∴AE=AB=10，，
又∵，
∴，
∴△ADE是直角三角形，且∠D=90°，
又∵四边形ABCD为平行四边形，
∴平行四边形ABCD是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）；
【小题2】
解：设BF=x，则EF=BF=x，EC=CD-DE=10-6=4，FC=BC-BF=8-x，
在Rt△EFC中，，
即，
解得x=5，
∴BF=5cm，
在Rt△ABF中，由勾股定理得，，
∵AB=10cm，BF=5cm，
∴AF( cm)．

23.【答案】【小题1】
B
【小题2】
【解】由题意得，，，，，.
【小题3】
【解】令，则方程两边同乘，得，解得.①，②，①②，得，两边同时平方，得，解得，经检验，是原方程的解.

24.【答案】【小题1】
．
理由如下：如图，连接，
∵是正方形的对角线，
∴，，，
在和中，
∴，
∴，，
∵四边形是正方形，
∴，
在四边形中，，
∵，
∴，
∴，
∴；
【小题2】
如图，过点作于点，作于点，
∴，
∵点是正方形的对角线上的点，
∴，，
∴四边形是正方形，
在和中，
∴，
∴，
∴，
∵正方形与正方形重叠的面积是，
∴，
解得（负值舍去），
∵正方形的边长为6，
∴，
∴．
∴此时的长为；
【小题3】
分三种情况：
①如图所示，当时，
过点E作交于点P，交于点Q，
∴四边形是矩形，，是等腰直角三角形
由（1）得，，
∵，
∴，
∴，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴；
②当时，且点与点重合；
③当时，
同理可证．

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