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4.3《图形的旋转》小节复习题
一、单选题
1．观察图，依次几何变换顺序正确的是（　　）

A．轴对称、旋转、平移 B．旋转、轴对称、平移
C．轴对称、平移、旋转 D．平移、轴对称、旋转
2．如图，在的方格纸中，格点三角形①经过一次旋转后得到格点三角形②，则旋转中心是（ ）
A．点A B．点B C．点C D．点D
3．将一副三角板如图放置，点B、D重合，点F在上，与交于点G．，，，现将图中的 ABC绕点F按每秒的速度沿逆时针方向旋转，在旋转的过程中， ABC恰有一边所在直线与垂直的时间为（ ）
A．5秒或9秒 B．3秒或11秒 C．3秒或5秒或11秒 D．3秒或5秒或9秒
4.如图，在和中，，，，分别是，上的点，，分别交于点，，．下列结论：①；②；③平分；④平分．其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．如图，在平面直角坐标系中，风车图案的中心为正方形，四片叶片为全等的平行四边形，其中一片叶片上的点的坐标分别为，将风车绕点顺时针旋转，每次旋转，则经过第2026次旋转后，点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
6．在平面直角坐标系中，正方形位置如图所示，边长为1，每一次将正方形绕点O逆时针旋转，同时每边扩大为原来的2倍，第一次旋转得到正方形，第二次旋转得到正方形，…，以此类推，则点的坐标是（ ）
A． B．
C． D．
7．在 ABC中，，，点在边上，．若，，则的长为（ ）
A．9 B． C．10 D．
8．在平面直角坐标系中有三个点，点关于的对称点为关于对称点关于的对称点为，按此规律继续可以以为对称中心重复前面的操作，依次得到，则点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，矩形的顶点分别在轴、轴上，，将矩形绕点顺时针旋转，每次旋转，则第2022次旋转结束时，点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，已知 ABC中，，，将 ABC绕点A逆时针旋转得到，以下结论中错误的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．如图，将矩形绕点顺时针旋转到矩形的位置，已知，则旋转角 ______．
12．如图，把 ABC绕点A按逆时针方向旋转得到 ADE．若，，则________ °．
13．如图，在平面直角坐标系中，有一个等腰直角三角形，，直角边在x轴上，且．将绕原点O逆时针旋转并放大得到等腰直角三角形，且，再将绕原点O逆时针旋转并放大得到等腰直角三角形，且…依此规律，得到等腰直角三角形，则点的坐标是__________．
14．在四边形中，，，，，则的最大值为______．
15．如图，在平面直角坐标系中，，，连接．将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，则线段的函数表达式为__________．
三、解答题
16．已知一副三角板按如图1的方式摆放，、、三点在同一直线上，其中，．
(1)求图1中的度数．
(2)如图2，三角板固定不动，将三角板绕点按逆时针方向旋转一个角度，其中．当三角板的一边平分时，求旋转角的度数．
17．轴对称、平移和旋转是三种重要的图形变换方式，它们的共同点就是图形的大小和形状都不变，只是改变了图形的位置．这三种图形变换之间是否存在一定的联系，小明做了如下探索：
(1)如图①在方格纸上作 ABC，作 ABC关于直线m对称的，再作，关于直线n对称的，，发现，通过作图小明发现轴对称变换与平移变换之间的关系是什么？请你画图并写出小明发现的结论．
(2)如图②在方格纸上作 ABC，作 ABC关于直线m对称的，再作关于直线n对称的，，发现，通过作图小明发现轴对称变换与旋转变换之间的关系是什么？请你画图并写出小明发现的结论．
18．如图，在网格中，的顶点均在格点上，点A和B的坐标分别是和．
(1)点A关于点O中心对称点的坐标为 ；
(2) AOB绕点O顺时针旋转后得到，在方格纸中画出，并写出点的坐标 ；
19．在平面直角坐标系中，对于图形M，图形N和点P给出如下定义：若图形M绕点P逆时针旋转后，图形M上有且只有k（k为正整数）个点在旋转后落在图形N上，则称图形N是图形M关于点P的“k关联图形”，点P为图形M到图形N的“k关联中心”．已知点，．
(1)在点，，中，点 为线段到直线的“1关联中心”．
(2)点，点，点，若对于任意正整数k，四边形都不是自身关于点E的“k关联图形”，直接写出e的取值范围．
(3)直线与x轴、y轴分别交于点M、N，将线段向上平移个单位，得到线段，若线段上存在点P，使得线段是线段关于点P的“1关联图形”，直接写出h的取值范围．
20．一块方角形钢板如图所示，请你根据中心对称的性质用一条直线将它分为面积相等的两部分（不写画法，保留画图痕迹，在图中直接画出）．你还有其他的分割方法吗？请在备用图中把它画出来．
21．综合与实践
在综合与实践课上，老师让同学们以“图形的旋转”为主题开展数学探索活动．其中老师给同学们提供的学具有：等腰直角三角尺、若干四边形纸片．
(1)【操作判断】将四边形纸片与等腰直角三角尺按如图放置，三角尺的边，分别与四边形的边，交于，两点，经测量得，．小明将绕点顺时针旋转，此时点与点重合，点的对应点为，通过推理小明得出了．
根据以上信息，请填空：
①；
②线段，，之间的数量关系为__________；
(2)【迁移探究】小明将四边形纸片换成了图中的形状，若，，，，分别在，上，且，线段，，之间的数量关系是否仍成立，若成立，写出证明过程；若不成立，请举反例说明；
(3)【拓展应用】如图3，已知，，，小明以点为旋转中心，逆时针转动等腰直角三角尺，其中射线，分别交射线于点，，当点恰好为线段的三等分点时，请直接写出的长．
参考答案
一、单选题
1．C
解：依次几何变换顺序是轴对称、平移、旋转．
故选：C．
2．D
解：如图，连接D和两个三角形的对应点，发现两个三角形的对应点到点D的距离相等，
因此格点D就是所求的旋转中心，
故选：D．
3．D
解：由题意知，分以下几种情况讨论：
①如图，当时，设与交点为H，与交点为K，
∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴旋转时间为；
②如图，当时，设与交点为H，
∵，，
∴，
∴旋转时间为；
③如图，当时，设与交点为H，与交点为K，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴旋转时间为，
综上所述， ABC恰有一边所在直线与垂直的时间为3秒或5秒或9秒．
4．D
解：①，，
将绕点逆时针旋转得对应三角形为，
，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
（），
，
，
故①正确；
②，，
将绕点顺时针旋转得对应三角形为，
由①同理可证：，（），
，
，
，
故②正确；
③：由②得，
，
平分，
故③正确；
④过点作交于，作交于，
，
，
，
，
，
，
，
，
（），
，
平分，
故④正确；
①②③④都正确；
故选：D．
5．B
解：∵风车图案的中心为正方形，
∴，
如图所示，作于点，
∴，
∵风车图案的四片叶片为全等的平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，则，
∴，
∵每次旋转，
∴旋转第一次时，点对应点为，点对应点为，则，
旋转第二次时，点对应点为，点对应点为，则，
旋转第三次时，点对应点为，点对应点为，则，
旋转第四次时，点对应点为，点对应点为，则，
∵，
∴经过第2026次旋转后，点的坐标为 ．
6．D
解：根据题意，，
每点所在象限每4个点为一个循环，横纵坐标的绝对值为，
又，
点在第三象限，坐标为．
7．B
解：如图，
将绕点顺时针旋转得到，连接．
由旋转可知，，且．
∴．
在与中，
∵，，，
∴．
∴，．
∵ ABC中，，，
∴．
∴．
∴．
在中，由勾股定理得：．
又∵，
∴．
在与中，
∵，，，
∴．
∴．
∴，即．
已知，，
代入得：．
解得：．
故选：B．
8.B
解：设，
点、、，点关于的对称点为，
，，
解得，，
．
同理可得，，，，，，，，
每个操作循环一次．
∵，
点的坐标与相同．
故选：B．
9．C
解：如图，过点作轴于点，连接，
，
，
，
，
，
，
，
，
∵矩形绕点顺时针旋转，每次旋转，
则第1次旋转结束时，点的坐标为；
则第2次旋转结束时，点的坐标为；
则第3次旋转结束时，点C的坐标为；
则第4次旋转结束时，点(的坐标为；
发现规律：旋转4次一个循环，
则第2022次旋转结束时，点的坐标为．
故选：C．
10．A
解：∵ ABC绕A点逆时针旋转得到，
∴，，，故B结论正确，不符合题意；
∵，
∴．
∴．
∴．故C结论正确，不符合题意；
在中，，
∴．
∴．
∴与不垂直．故A结论错误，符合题意；
在中，，
∴．
∴．故D结论正确，不符合题意．
故选：A．
二、填空题
11．
解：矩形绕点顺时针旋转到矩形的位置，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
12．
解：∵ ABC绕点A按逆时针方向旋转得到 ADE，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：.
13．
解：∵ AOB是等腰直角三角形，，
∴，
∴，
将绕原点O逆时针旋转得到等腰直角三角形，且，
∴，
∴，
依此规律，
∴每4次循环一周，，
…，
总结规律得：横纵坐标的绝对值是，
∵,
∴与在同一象限，即第三象限，
∴点．
14．
解：如图所示，将线段绕点顺时针旋转得到，连接、，
由旋转可得，，，
，
，即，
，
，
，
，
，
，，
当、、三点共线时，取最大值，最大值为，
是等腰直角三角形，
，
故答案为：．
15．
解：过点C作x轴的垂线，垂足为M，
∵，
∴，
∵将线段绕点A顺时针旋转得到线段，
∴，，
∴，
∴，
在 AOB和中，
，
∴，
∴，，
又∵，，
∴，，
∴，
∴，
设直线的函数表达式为，
则，
解得
∴
∴线段的函数表达式为，
故答案为：．
三、解答题
16．（1）解：∵点B、C、D在同一直线上，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
（2）解：∵，
∴，
设的平分线为射线，
∴，
根据题意，分两种情况讨论：
①当边平分时：
此时，
∵初始位置时，
∴旋转角；
②当边平分时：
此时．
∵初始位置时与重合，
∴旋转角．
综上所述，旋转角的度数为或．
17．（1）解：作图如图，图形依次经过两条平行直线作两次轴对称变换相当于作一次平移变换；
（2）解：作图如图，图形依次以某两条互相垂直的直线作两次轴对称变换相当于以垂足为旋转中心，顺时针（或逆时针）旋转（中心对称变换）．
18．（1）解：如图，
∴点A关于点O中心对称点的坐标为；
（2）解：如图，即为所求，
∴．
19．（1）解：分别以，，为中心将线段逆时针旋转，如图所示：
旋转以后的线段与直线有且只有一个交点，即符合题意，
∵，都在x轴上，
∴线段在x轴上，
∴将线段逆时针旋转后，线段所在的直线会垂直于x轴
①以为中心将线段逆时针旋转后，的对应点为，的对应点为，旋转后的线段在y轴上，当时，，
∴旋转后的线段与直线没有公共点，
∴不是线段到直线的“1关联中心”；
②以为中心将线段逆时针旋转后，的对应点为，的对应点为，当时，，
∴点在直线上，旋转后的线段与直线有且只有1个公共点，
∴是线段到直线的“1关联中心”；
③以为中心将线段逆时针旋转后，的对应点为，的对应点为，当时，，
∴点在直线上，旋转后的线段与直线有且只有1个公共点，
∴是线段到直线的“1关联中心”；
综上：、为线段到直线的“1关联中心”.
（2）解：∵点，点，点，点，
∴四边形为菱形，点在x轴上，
∵点，点关于x轴对称，
∴，，
①当点E在左侧，时，以点E为中心，点D逆时针旋转后对应点是C点，
此时旋转后的图形与四边形有且只有一个交点，
∴，
∴此时点E为，
∴当时，旋转后的四边形与自身没有公共点，对于任意正整数k，四边形都不是自身关于点E的“k关联图形”；
②当点E在右侧，时，以点E为中心，点C逆时针旋转后对应点是D点，
此时旋转后的图形与四边形有只有一个交点，
∴，
∴此时点E为，
∴当时，旋转后的四边形与自身没有公共点，对于任意正整数k，四边形都不是自身关于点E的“k关联图形”；
综上：∴当或时，对于任意正整数k，四边形都不是自身关于点E的“k关联图形”.
（3）解：∵直线与x轴、y轴分别交于点M、N，
令，即，解得：，
∴，
令，即，
∴，
过点P作轴，过点E作，如图所示，
设，
∵，
∴，
又∵，
∴
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵点，点，
∴点A/ （1，h），点，
∴，
解得：
∴，，
∴使得线段是线段关于点P的“1关联图形”，向上平移的距离达到点E的下界，不能超过点F的上界，即或
20．解：如图所示．
21.（1）解：①∵绕点顺时针旋转得到，，
∴，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
②绕点顺时针旋转得到，，
∴，，，
∴，即，，三点共线，
∵，，
∴，
在和中，
，
∵，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）仍然成立．
证明：∵，
∴如图所示，将绕点旋转顺时针得，与重合，
∴，，，，
又∵，
∴，即，，三点共线，
∵，，
∴，
∴，
在和 DPQ中，
，
∴，
∴，
∴，
即；
（3）解：如图所示，当时，
∵，，
∴，，
∴，，
将绕点顺时针旋转得到，
∴，
∴，，
∴，
由（1）得，
∴，
∴，
∴设，则，
在中，，
∴，
解得：，
∴；
如图所示，当时，
将绕点顺时针旋转得到，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，则，
由（1）得，
∴，
∴设，则，
∴在中，，
∴，
解得：，
∴；
综上所述，的长为或．

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