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湘教版数学7年级上册培优精做课件授课教师：.班级：7年级（）班.时间：.3.1等量关系和方程第3章一次方程（组）湘教版七年级上册3.1等量关系和方程专项练习一、核心知识点1.等量关系数量之间相等的关系，叫做等量关系。列方程的关键就是找准题目中的等量关系。常见等量关系模板：①部分量+部分量=总量②大数 小数=相差数③单价×数量=总价④速度×时间=路程⑤原量±变化量=现量2.方程的定义含有未知数的等式叫做方程。判断方程两个必备条件：①是等式（有“=”）②含有未知数，缺一不可。3.方程的解能使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。4.列方程的步骤①审题：找出题目中的等量关系；②设未知数：一般设“所求量”为$$x$$；③根据等量关系列出方程。二、基础填空题1.含有________的等式叫做方程。2.能使方程左右两边________的未知数的值，叫做方程的解。3.一个数x，比它的3倍少5的数是10，可列方程：________。4.小明有x元，小红比小明多15元，小红有40元，等量关系：________，列方程：________。5.判断：$$2x+3$$________方程（填“是”或“不是”）。6.判断：$$3+5=8$$________方程（填“是”或“不是”）。三、选择题1.下列式子是方程的是（）A. $$3x+2$$ B. $$5+6=11$$ C. $$2x-1=5$$ D. $$4x+3>1$$2.方程$$x+4=7$$的解是（）A. $$x=2$$ B. $$x=3$$ C. $$x=4$$ D. $$x=11$$3. “x的2倍与3的和等于9”列方程正确的是（）A. $$2x+3=9$$ B. $$2(x+3)=9$$ C. $$2x-3=9$$ D. $$x+2\times3=9$$4.已知长方形周长20，长为x，宽为3，下列方程正确的是（）A. $$x+3=20$$ B. $$2(x+3)=20$$ C. $$2x+3=20$$ D. $$x+2\times3=20$$四、写出等量关系并列出方程（不求解）1.一个数x，加上8等于20。2.一个数x的5倍减去6，结果是14。3.一本书共120页，已经看了x页，还剩45页没有看。4.一支钢笔x元，买4支一共花费36元。5.甲数是x，乙数是30，甲数的2倍比乙数多10。五、参考答案与解析1.填空题答案1.未知数2.相等3. $$3x-5=10$$4.小明的钱数+ 15元=小红的钱数；$$x+15=40$$5.不是（无等号，不是等式）6.不是（无未知数）2.选择题答案1. C（解析：方程需要同时满足：等式+含未知数）2. B（解析：$$x=7-4=3$$）3. A（解析：先算x的2倍，再加3，等于9）4. B（解析：周长公式$$2(\text{长}+\text{宽})=\text{周长}$$）3.列方程答案1.等量关系：原数+8=20，方程：$$x+8=20$$2.等量关系：数的5倍 6=14，方程：$$5x-6=14$$3.等量关系：已看页数+剩余页数=总页数，方程：$$x+45=120$$4.等量关系：单价×数量=总价，方程：$$4x=36$$5.等量关系：甲数×2 乙数=10，方程：$$2x-30=10$$六、本节核心总结1.方程判定口诀：有等号、有未知数，才是方程；2.列方程核心：找等量关系，把文字相等关系直接翻译成数学等式；3.不要直接算数，先用字母表示未知量，再根据关系列式。能通过对实际问题的分析，理解并归纳方程和一元一次方程的概念。
估算使方程左右两边相等的未知数的值，理解方程的解的概念。
会根据简单的实际问题列出一元一次方程。
请试着列式解决下列问题：
(1) 为进一步推动全民健身，弘扬体育精神，凝聚奋进力量，某地区于今年9月举办了一次中学生篮球联赛.比赛规则为：胜一场得2分，输一场得1分. 若某校初中男子篮球队参加了14场比赛，赢了12场，问篮球队一共得了多少分？
2×12+1×(14-2)
=26
(分)
(2) 如图是一个长方体形状的包装盒示意图，长为1.2 m，宽为1 m，高为1 m，这个长方体的表面积是多少？
长方体的表面积=(长×宽+宽×高+长×高)×2
(1.2×1+1×1+1.2×1)×2
=6.8
(m )
探索新知
(1) 为进一步推动全民健身，弘扬体育精神，凝聚奋进力量，某地区于今年9月举办了一次中学生篮球联赛. 比赛规则为：胜一场得2分，输一场得1分. 若某校初中男子篮球队参加了14场比赛，共得26分. 问：其中蕴含怎样的等量关系？
思 考
胜的场数得分+输的场数得分=总得分
还有其他等量关系？
胜的场数+输的场数=总场数
设该队胜了x 场，则该队输了(14－x )场.
2x + (14－x) = 26
①
如何根据等量关系，列出相应等式？
胜的场数得分+输的场数得分=总得分
胜的场数+输的场数=总场数
(2) 如图是一个长方体形状的包装盒示意图，长为1.2 m，高为1 m，表面积为6.8 m2. 其中蕴含怎样的等量关系？
(长×宽＋宽×高＋长×高)×2=表面积
如何根据等量关系，列出相应等式？
设包装盒底面的宽是y m，则
(1.2×y+y×1+1.2×1) ×2= 6.8，
即 2.4y + 2y + 2.4= 6.8
②
2.4 y + 2 y + 2.4= 6.8
②
2 x + (14－ x) = 26
①
含有未知数的表示等量关系的等式叫作方程.
未知数
1. 一种商品打八折后售价为208元，问该商品原价是多少？设原价为x元 ，可列出方程__________.
2.小青比她妈妈小27岁，今年她妈妈的年龄正好是小青的4倍，小青今年几岁？设小青今年x岁，可列出方程_________________.
0.8x=208
x＋27=4x
练一练
① 2x+2=18
⑦ 4x-3=7
3.判断下列各式是不是方程，如果不是，请说明理由.
② 3y-1
③ 3x2-3x-1=0
④ -2x＜0
⑤ x-2y=6
⑥ a
⑧ -3=4
⑨
一个未知数，次数是1.
只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，这样的方程叫作一元一次方程。
说一说
2.4 y + 2 y + 2.4= 6.8
②
2 x + (14－ x) = 26
①
每个方程含有几个未知数？每个未知数的次数是多少？
2 x + (14－ x) = 26
2.4 y + 2 y + 2.4= 6.8
《孙子算经》是我国古代重要的数学著作，成书于公元 400 年前后，传本共有上、中、下三卷.下卷有许多著名数学题，如第 31 题就是有趣的“鸡兔同笼”问题：有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数有 35 个头，从下面数有 94 只脚. 问笼中各有多少只鸡和兔
(1) 找出，上述趣题中的等量关系；
兔的只数＋鸡的只数＝35；
兔的脚数＋鸡的脚数＝94.
做一做
设兔有 x 只，则鸡有 (35－x) 只.
由于每只兔有 4 只脚，每只鸡有 2 只脚，并且笼子里总共有 94 只脚，
因此，可得如下一元一次方程：
4x + 2(35 - x) = 94
将方程左边的多项式整理得
4x + 2(35 - x) = 4x + (70 - 2x) = 2x + 70
(2) 适当设未知数，列出一元一次方程.
从而方程变成
2x + 70 = 94
怎么求出 x 的值？
估计x的值 方程左边的值 与方程右边的值94比较
第1次估算 10
第2次估算 15
第3次估算 13
第4次估算 12
第5次估算 11
2x + 70 = 94
90
小了
100
大了
96
大了
94
相等
92
小了
由上可知，12 是方程的唯一解.
于是上述趣题中兔有 12 只，鸡有 23 只.
知识要点
对于含有一个未知数 x 的方程，若 x 用一个数 c 代入能使方程左、右两边的值相等，这个数 c 就是这个方程的一个解。习惯上记作 x = c.
2x + 70 = 94
x = 12
典例精析
例2 分别检验 x 的下列值是不是方程 2.5x + 318 = 1068 的解. (1) x = 300； (2) x = 330.
解：(1) 把 x 用 300 代入原方程得，
左边 = 2.5×300＋318= 1 068，
左边 = 右边，
所以 x = 300 是方程 2.5x＋318 = 1068 的解.
(2) 把 x 用 330 代入原方程得，
左边 = 2.5×330 + 318 = 1 143，
左边 ≠ 右边，
所以 x = 330 不是方程 2.5x＋318 = 1 068 的解.
练一练
6. 下列方程中，解为 x＝－2 的是(　　)
A. 3x－2＝2x B. 4x－1＝2x＋3
C. 3x＋1＝2x－1 D. 5x－3＝6x－2
C
7. 若 x＝4 是关于 x 的方程 ax＝8 的解，则 a 的值为______.
2
学而时习之
1.有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数有40个头，从下面数有110只脚，问笼中各有多少只兔和多少只鸡？列出方程.
兔的脚数＋鸡的脚数=110
解：设笼中兔有x只，则鸡有(40－x)只.
4x+2(40－x)=110
兔的只数＋鸡的只数=40
【课本P99 习题3.1 第1题】
2.一种商品打八折后售价为208元，问该商品原价为多少？列出方程.
原价×折扣=现价
解：设该商品原价x元.
80% x=208
【课本P99 习题3.1 第2题】
3.估计方程 +1=7的解.
因此，9是方程 +1=7的解.
估计x的值 方程左边的值 与方程右边的值7比较
第1次估计
3
3
小了
第2次估计
6
5
小了
第3次估计
9
7
相等
第4次估计
12
9
大了
【课本P99 习题3.1 第3题】
4.下面左边的数分别是右边哪个方程的解？
请用线连接起来.
2
-1
2.5
x+3=5
4x+5=1
2(x+1) =3
4(x-1) =6
【课本P99 习题3.1 第4题】
温故而知新
5.小青比她妈妈小27岁，今年她妈妈的年龄正好是小青的4倍，小青今年几岁？列出方程.
小青的年龄+27=妈妈的年龄
解：设小青今年x岁，则妈妈今年有(x＋27)岁.
小青今年的年龄×4=妈妈今年的年龄
4x=x+27
【课本P99 习题3.1 第5题】
6.如图，有两个圆柱形的水杯，大杯的内径为8 cm，小杯的内径为6 cm. 已知这两个杯子装的水量相等，且小杯中水的高度比大杯中水的高度高7 cm，问大杯装的水的高度是多少？列出方程.
两个杯子装的水体积相等
π·(8÷2)2x= π·(6÷2)2 (x+7)
【课本P99 习题3.1 第6题】
单位：cm
7.若关于 x 的方程 2x+a=-1的解是x=-4，
则a的值是多少？
解：把x用-4代入方程，得
整理，得
2×(-4)+a= -1
-8+a= -1
【课本P99 习题3.1 第7题】
经估计，得
a= 7
1. 下列式子中，方程的个数是( )
； ；
； ；
； .
B
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
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2. 按照表格中的步骤，第三次估算方程
的解时， 可以取的值是( )
与2.2比较
第一次估算 0 3 大了
第二次估算 1 小了
第三次估算
A
A. 0.1 B. 2 C. D.
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3.［2025长沙开福区月考］已知下列方程：
；；； ；
； .
其中属于一元一次方程的有________（填序号）.
②③⑤
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4. “方程”二字最早见于我国《九章算术》这
部经典著作中，该书的第八章名为“方程”.如：
从左到右列出的算筹数分别表示方程中未知
数,的系数与相应的常数项，即可表示方程 ,则
表示的方程是____________.
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5. 请写一个未知数的系数是 ，且方程的
解是1的一元一次方程:___________________________.
（答案不唯一）
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6. 按如图方式做一个试管架，在 长的木板
上钻若干个半径为 的圆孔，已知相邻两个圆孔的间距为
，设木板上能钻 个圆孔，则可列方程为____________.
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7. 2024年巴黎奥运会上，中国代表队获
得奖牌91枚，其中银牌27枚，金牌数比铜牌数的2倍少8枚.
（1）若设中国代表队获得铜牌 枚，则可列出方程为______
________________；
（2）试判断中国代表队获得的铜牌数是不是24枚，并说明理由.
【解】是.理由如下：由（1）得 ，
当时，方程左边 方程
右边，所以是方程 的解，
所以中国代表队获得的铜牌数是24枚.
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认识方程
方程的定义
一元一次方程
方程的解

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