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湘教版数学7年级上册培优精做课件授课教师：.班级：7年级（）班.时间：.3.4.1和、差、倍、分问题第3章一次方程（组）湘教版七年级上册3.4.1和、差、倍、分问题专项练习一、核心知识点（应用题必考）1.四大核心等量关系和、差、倍、分是七年级方程应用题最基础、必考题型，核心公式：①和：大数+小数=总和②差：大数 小数=相差数③倍：一倍量×倍数=几倍量④分：总量×分率=部分量2.标准解题四步法（满分格式）①设：找准一倍量，一般设较小数、标准量为$$x$$；②列：根据和差倍分关系列出一元一次方程；③解：按五步解方程求出未知数；④答：完整作答，不遗漏问题。3.高频题型句式翻译（直接背）1.甲数是乙数的3倍：设乙数为$$x$$，甲数为$$3x$$2.甲数比乙数多5：$$\text{甲}-\text{乙}=5$$3.甲数比乙数少8：$$\text{乙}-\text{甲}=8$$4.甲乙两数和为40：$$\text{甲}+\text{乙}=40$$5.一个数的2倍比它本身多10：$$2x-x=10$$4.易错点总结①设未知数错误：优先设一倍量，不要设大数；②“A比B多/少”关系式写反（最容易扣分）；③题目有两个问题，只求出一个未知数，忘记求另一个；④漏写“解、设、答”，格式不规范扣分。二、基础填空题（列式训练）1.若乙数为$$x$$，甲数是乙数的4倍，则甲数为________。2.若一个数为$$x$$，它的3倍与5的和可列代数式：________。3.甲数为$$x$$，乙数比甲数少6，则乙数为________。4.两数之和为50，其中一个数为$$x$$，另一个数为________。5.一个数的5倍比它的2倍多9，列方程：________。三、基础应用题（简单和差倍分）1.甲乙两数的和是36，甲数是乙数的2倍，求甲、乙两数各是多少？2.一个数的3倍比这个数大12，求这个数。3.甲数比乙数多8，两数之差是8，两数之和是42，求甲乙两数。4.一个数的4倍与3的和是31，求这个数。四、进阶应用题（考试常考）1.某班共有学生48人，男生人数是女生人数的3倍，该班男生、女生各多少人？2.一个数的2倍减去6，等于这个数加上9，求这个数。3.甲乙两个仓库共存粮90吨，甲仓库粮食比乙仓库多10吨，甲乙仓库各存粮多少吨？4.一个数的5倍比18大7，求这个数。五、参考答案与详细解析1.填空题答案1. $$4x$$ 2. $$3x+5$$ 3. $$x-6$$ 4. $$50-x$$ 5. $$5x-2x=9$$2.基础应用题解答1.解：设乙数为$$x$$，则甲数为$$2x$$。根据题意得：$$x+2x=36$$合并得：$$3x=36$$，解得$$x=12$$甲数：$$2\times12=24$$答：甲数为24，乙数为12。2.解：设这个数为$$x$$。$$3x-x=12$$，$$2x=12$$，$$x=6$$答：这个数是6。3.解：设乙数为$$x$$，甲数为$$x+8$$。$$x+(x+8)=42$$，$$2x=34$$，$$x=17$$甲数：$$17+8=25$$答：甲数25，乙数17。4.解：设这个数为$$x$$。$$4x+3=31$$，$$4x=28$$，$$x=7$$答：这个数是7。3.进阶应用题解答1.解：设女生有$$x$$人，男生有$$3x$$人。$$x+3x=48$$，$$4x=48$$，$$x=12$$男生：$$3\times12=36$$（人）答：女生12人，男生36人。2.解：设这个数为$$x$$。$$2x-6=x+9$$移项：$$2x-x=9+6$$，解得$$x=15$$答：这个数是15。3.解：设乙仓存粮$$x$$吨，甲仓存粮$$x+10$$吨。$$x+x+10=90$$，$$2x=80$$，$$x=40$$甲仓：$$40+10=50$$（吨）答：甲仓50吨，乙仓40吨。4.解：设这个数为$$x$$。$$5x-18=7$$，$$5x=25$$，$$x=5$$答：这个数是5。六、本节满分总结和差倍分问题核心：找标准量（一倍量）设x，抓和、差、倍关系列方程。做题口诀：小数设x最简便，几倍就乘几，和加差减不乱套。分析实际问题中的数量关系，建立方程模型，解决实际问题.
领悟数学来源于生活，服务于生活，会用方程的思想解决实际生活中的问题.
根据等量关系列出正确的一元一次方程.
探索新知
一艘轮船在甲、乙两个码头之间航行，顺水航行时需4h，逆水航行时需5h. 已知水流速度为2km/h，则轮船在静水中的航行速度是多少？
思 考
小知识
轮船顺水航行的速度=轮船在静水中的航行速度+水流速度；
轮船逆水航行的速度=轮船在静水中的航行速度 – 水流速度.
设轮船在静水中的航行速度为x km/h ，
则
轮船顺水航行的速度为_______ km/h，
逆水航行的速度为_______ km/h.
(x+2)
(x-2)
轮船顺水航行的路程=轮船逆水航行的路程
在航行过程中，你还能找到什么等量关系？
设轮船在静水中的航行速度为x km/h ，则
轮船顺水航行的速度为(x+2)km/h，
逆水航行的速度为(x-2) km/h.
甲
乙
顺水航行
逆水航行
甲
乙
顺水航行
逆水航行
轮船顺水航行的路程=轮船逆水航行的路程
4h
5h
(x+2)km/h
(x-2)km/h
4(x+2)
5(x-2)
=
解得
x=18 .
因此，轮船在静水中的航行速度为18 km/h .
解:设经过 x min，两人首次相遇.
根据题意，得 350x+250x=400
解得 x=
答:经过 min，两人首次相遇.
1.运动场的跑道一圈长400 m. 小健练习骑自行车，平均每分钟骑350 m；小康练习跑步，平均每分钟跑250 m.两人从同一处同时反向出发，经过多少时间首次相遇
练一练
例1
某房间里有4条腿的椅子和3条腿的凳子共16把，如果椅子腿数与凳子腿数的和为60，试问：有几张椅子和几把凳子？
分析：题目中的等量关系：
椅子数＋凳子数＝16，
椅子腿数＋凳子腿数＝60 .
例1
某房间里有4条腿的椅子和3条腿的凳子共16把，如果椅子腿数与凳子腿数的和为60，试问：有几张椅子和几把凳子？
解：设有x张椅子，则有(16-x)把凳子.
根据题意，得
4x+3(16-x)=60 .
解得 x=12 .
因此，凳子有 16-12=4 (把) .
答：有12张椅子，4把凳子.
1.儿子今年13岁，父亲今年40岁，是否有哪一年父亲的年龄恰好是儿子年龄的四倍？为什么？
解：设 x 年后父亲的年龄恰好是儿子年龄的4倍.
根据题意，得
4（13 + x）= 40 + x.
解得 x = – 4.
即 4 年前父亲的年龄恰好是儿子年龄的4倍.
练一练
例2 三个作业队共同使用水泵排涝，如果三个作业队排涝的土地面积之比为 4∶5∶6，而这一次装运水泵和耗用的电力费用共计 120 元，三个作业队按土地面积比各应负担多少元？
【分析】各个作业队应负担费用与排涝的土地面积成正比，且三个作业队各自应负担费用之和等于 120 元.由于共有土地 4 + 5 + 6 = 15 份，因而 120 元可由15份共同分担.
解：设每份土地排涝分担费用为 x 元，那么三个作业队应负担费用分别为 4x 元，5x 元，6x 元.
依据题意，得 4x + 5x + 6x = 120.
解方程，得 x = 8.
4x = 32，5x = 40，6x = 48.
答：三个作业队各应负担 32 元、40 元、48 元.
2. 质量为 45 克的某种三色冰淇淋中，咖啡色、红色和白色配料的比为 1∶2∶6，这种三色冰淇淋中，咖啡色、红色和白色配料分别是多少
解：设咖啡色配料为 x 克，那么红色配料为 2x 克，白色配料为 6x 克.
依据题意，得 x + 2x + 6x = 45.
解方程，得 x = 5.
2x = 10，6x = 30.
答：咖啡色、红色和白色配料分别为 5克、10克、30克.
练一练
比例问题：就是把一个数按照一定的比分成若干份.一般需间接设元，设每一份为 x，再根据各部分之和等于总体列出方程.
方法总结
例3 某车间有 29 名工人生产螺栓和螺母，每人每小时平均能生产螺栓 15 个或螺母 21 个，应如何分配生产螺栓和螺母的工人，才能使螺栓和螺母正好配套(两个螺栓配三个螺母)
【分析】本题有两个等量关系值得关注，
一是总人数：生产螺母人数＋生产螺栓人数＝29；
二是零件的配套关系：螺栓数∶螺母数＝2∶3.
解：设安排 x 人生产螺栓，则 (29－x) 人生产螺母．
根据题意得
解得 x＝14.
29－x＝15.
答：安排 14 人生产螺栓，15 人生产螺母才能使螺栓
和螺母正好配套．
课堂练习
【课本P113 练习 第1题】
1. (1) 一个长方形的周长是60cm，且长比宽多5cm，求该长方形的长；
解：(1) 设长方形的长为 x cm，则宽为(x-5)cm.
根据题意，得
2x+2(x-5)=60
解得 x=12.5
答：该长方形的长为12.5 cm.
解：(2) 设长方形的宽为x cm，则长为 cm.
根据题意，得
2x+2× =60
解得 x=12
答：该长方形的宽为12 cm.
【课本P113 练习 第1题】
1. (2) 一个长方形的周长是60cm，且长与宽的比是3:2，求该长方形的宽.
2. 足球比赛的记分规则是：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分. 某队在某次比赛中共踢14场球，负了5场，共得19分. 问：该队共胜多少场？
解：设该队共胜x场，则平了(14-5-x) 场.
根据题意，得
3x+(14-5-x)=19
解得 x=5
答：该队共胜5场.
【课本P113 练习 第2题】
应用1 顺逆流问题
1.母题教材P111思考 有甲、乙两艘船，现同时由A地顺流而
下，乙船到B地时接到通知，须立即逆流而上到达C地执行任
务，甲船继续顺流航行.已知甲、乙两船在静水中的速度都是
，水流速度为 ，A，C两地间的距离为
.如果乙船由A地经B地再到达C地共用了 .问：乙船
从B地到达C地时，甲船距离B地有多远？
【解】设乙船由B地航行到C地用了 .
①若C地在A，B两地之间，根据A地到B地的距离地到 地
的距离 ，C两地之间的距离，得
，解得 .
所以甲船距离B地
②若C地不在A，B两地之间，根据B地到C地的距离 地到B
地的距离 ，C两地之间的距离，得
，
解得 .
所以甲船距离B地
答：乙船从B地到达C地时，甲船距离B地或 .
航行问题的基本等量关系：①顺水速度 静水速度
水流速度；②逆水速度 静水速度-水流速度；③顺水速度-
逆水速度水流速度 .此题C地可能在A，B两地之间，也
可能不在A，B两地之间，所以应分两种情况讨论.
. .
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应用2 配套问题
2. 第13周七年级语文学科活动超精彩，操场
上像欢腾的海洋呢 班和9班负责投壶游戏，彦宏妈妈、语晗妈妈等
家长为准备道具花费了不少心思.已知1个投壶和6支羽箭配成一套道具，
其中一个投壶15元，每支羽箭3元，两班在投壶道具上的经费是132元，
请问如何分配经费才能使购买的道具刚好配套？设用 元购买投壶，下
面所列方程正确的是 ( )
C
A. B.
C. D.
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3. 湖南是著名的“吃货大省”，小明来到湖南
游玩并品尝湖南美食，臭豆腐是长沙的特色名小吃.某厂有60
名工人生产包装臭豆腐料包，已知每袋臭豆腐包装里有1个
汤料包和4个配料包，每名工人每小时可以加工100个汤料包
或者200个配料包，为使每天加工生产出的汤料包和配料包
刚好配套，请问安排多少名工人去加工汤料包？
【解】设安排名工人去加工汤料包，则安排 名工人
去加工配料包，
根据题意，得 ，
解得 .
答：安排20名工人去加工汤料包.
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应用3 工程问题
4. 问题：师徒二人检修管道，____，求师
傅与徒弟每小时各检修多长的管道.
条件：①该管道长 ；
②师傅每小时比徒弟多检修 ；
③若两人从管道两端同时开始检修，则 后完成任务；
④若师傅先检修，则两人再一起检修 后完成任务.
在上述4个条件中选择3个条件，并完成解答.（写一种即可）
【解】（答案不唯一，写一种即可）
当选择①②③时，
设师傅每小时检修，则徒弟每小时检修 ，
由题意，得 ，
解得，所以 .
答：师傅每小时检修，徒弟每小时检修 .
当选择①②④时，
设师傅每小时检修，则徒弟每小时检修 ，
由题意，得 ，
解得，所以 .
答：师傅每小时检修，徒弟每小时检修 .
当选择②③④时，
设师傅每小时检修，则徒弟每小时检修 ，
由题意，得 ，
解得，所以 .
答：师傅每小时检修，徒弟每小时检修 .
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一元一次方程的应用
比例问题
和、差、倍、分问题
步骤
方法：采用间接设元法，通常设每一份为 x.
1.设未知数；2.找等量关系；3.列方程；4.解方程；5.检验作答
方法：设其中一个未知量为 x，用含 x 的代数式表示另一个未知量

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