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湘教版数学7年级上册培优精做课件授课教师：.班级：7年级（）班.时间：.3.6.2加减消元法第3章一次方程（组）湘教版七年级上册3.6.2加减消元法专项练习一、核心知识点1.加减消元法定义当二元一次方程组中，两个方程的同一个未知数的系数相同或互为相反数时，把两个方程的左右两边分别相加或相减，消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种消元方法叫做加减消元法（简称加减法）。2.加减消元核心规则①系数互为相反数：两方程相加消元；②系数完全相同：两方程相减消元（前减后、注意变号）；③系数不相同也不相反：找两个系数的最小公倍数，统一未知数系数，再加减消元。3.加减消元法标准六步解题模板（考试满分步骤）①找：观察系数——优先找容易统一、可抵消的未知数；②化：统一系数——同乘倍数，让同一未知数系数相同或互为相反数；③加/减：消去一元——系数相反相加，系数相同相减；④解：求第一个未知数——解得到的一元一次方程；⑤回代：求第二个未知数——代入简单原方程求解；⑥写：规范写解——大括号联立写出方程组的解。4.最优选择技巧①优先消：系数为±1、或系数绝对值小的未知数；②倍数简单、计算量小、不容易出错；③能直接加减消元的，绝不额外变形。5.高频易错点（扣分重灾区）①方程相减消元时，后面整项全部变号，只变第一项极易出错；②扩倍时，只乘未知数项，漏乘常数项；③相加相减判断错误：同系数相减、异系数相加记反；④只求出一个解，忘记回代；⑤最后不写大括号，格式不规范扣分。6.满分口诀同系数减，异系数加；系数不同先扩倍，每项都乘不落下；消去一元解方程，回代写完才算答。二、基础填空题（规则专项练）1.同一未知数系数互为相反数，两方程______消元；系数相同，两方程______消元。2.加减消元法的核心思想依然是________，将二元方程转化为________方程。3.解方程组$$\begin{cases}2x+3y=5\\2x-y=1\end{cases}$$，可采用两式______消去$$x$$。4.解方程组$$\begin{cases}3x+2y=4\\-3x+y=2\end{cases}$$，可采用两式______消去$$x$$。5.方程扩倍统一系数时，________项必须一起乘倍数，不能遗漏。三、选择题1.解方程组$$\begin{cases}5x+4y=6\\3x-4y=2\end{cases}$$最简便的消元方式是（）A.两式相加消y B.两式相减消y C.两式相加消x D.两式相减消x2.加减消元法扩倍的目的是（）A.简化计算B.统一未知数系数，实现消元C.方便回代D.规范步骤3.解方程组$$\begin{cases}2x+y=7\\x+y=5\end{cases}$$，正确消元操作是（）A.一式加二式B.一式减二式C.二式乘2 D.随意变形四、基础例题（直接加减消元，无扩倍）1. $$\begin{cases}x+y=5\\x-y=1\end{cases}$$2. $$\begin{cases}2x+3y=8\\2x-y=4\end{cases}$$五、基础练习题（必做题）1. $$\begin{cases}x+2y=7\\x-2y=3\end{cases}$$2. $$\begin{cases}3x+y=10\\2x+y=7\end{cases}$$3. $$\begin{cases}4x+3y=11\\4x-2y=6\end{cases}$$六、进阶练习题（需要扩倍统一系数，考试重点）1. $$\begin{cases}2x+3y=13\\3x+2y=12\end{cases}$$2. $$\begin{cases}3x-2y=5\\2x-3y=0\end{cases}$$七、参考答案与详细解析1.填空题答案1.相加、相减2.消元思想、一元一次3.相减4.相加5.常数2.选择题答案1. A解析：y的系数为+4、-4，互为相反数，两式相加消去y。2. B解析：扩倍是为统一同一未知数系数，满足加减消元条件。3. B解析：y系数相同，一式减二式可直接消去y。3.基础例题解答1.解：$$\begin{cases}x+y=5&①\\x-y=1&②\end{cases}$$①+②得：$$2x=6$$，解得$$x=3$$把$$x=3$$代入①得：$$3+y=5$$，$$y=2$$所以方程组的解为：$$\begin{cases}x=3\\y=2\end{cases}$$2.解：$$\begin{cases}2x+3y=8&①\\2x-y=4&②\end{cases}$$①-②得：$$4y=4$$，解得$$y=1$$把$$y=1$$代入②得：$$2x-1=4$$，$$x=2.5$$所以方程组的解为：$$\begin{cases}x=2.5\\y=1\end{cases}$$4.基础练习题解答1.解：$$\begin{cases}x+2y=7&①\\x-2y=3&②\end{cases}$$①+②得：$$2x=10$$，$$x=5$$代入①得：$$5+2y=7$$，$$y=1$$解：$$\begin{cases}x=5\\y=1\end{cases}$$2.解：$$\begin{cases}3x+y=10&①\\2x+y=7&②\end{cases}$$①-②得：$$x=3$$代入②得：$$6+y=7$$，$$y=1$$解：$$\begin{cases}x=3\\y=1\end{cases}$$3.解：$$\begin{cases}4x+3y=11&①\\4x-2y=6&②\end{cases}$$①-②得：$$5y=5$$，$$y=1$$代入②得：$$4x-2=6$$，$$x=2$$解：$$\begin{cases}x=2\\y=1\end{cases}$$5.进阶练习题解答1.解：$$\begin{cases}2x+3y=13&①\\3x+2y=12&②\end{cases}$$①×3得：$$6x+9y=39&③$$②×2得：$$6x+4y=24&④$$③-④得：$$5y=15$$，$$y=3$$代入①得：$$2x+9=13$$，$$x=2$$解：$$\begin{cases}x=2\\y=3\end{cases}$$2.解：$$\begin{cases}3x-2y=5&①\\2x-3y=0&②\end{cases}$$①×2得：$$6x-4y=10&③$$②×3得：$$6x-9y=0&④$$③-④得：$$5y=10$$，$$y=2$$代入②得：$$2x-6=0$$，$$x=3$$解：$$\begin{cases}x=3\\y=2\end{cases}$$八、本节总结加减消元法适用场景：未知数系数相同或相反、方便扩倍统一系数时，优先用加减法，比代入法更快、步骤更简洁。两大核心禁忌：扩倍不漏乘常数、相减不遗漏变号。方法选择：系数±1用代入法，系数规整、可抵消用加减法。进一步理解解二元一次方程组的基本思想是消元.
会用加减消元法解二元一次方程组，进一步体验“转化”“ 消元”思想.
熟练、正确地用适当方法解二元一次方程组.
复习导入
已知二元一次方程组
①
②
(1) 用代数消元法求解.
解：将方程①移项、两边都除以3，得
y=(1-7x)
③
将③式代入方程②，得
2x-3(1-7x)=8
解得
x=1
把x用1代入③式，得
y=-2
因此，是原二元一次方程组的解.
探索新知
已知二元一次方程组
①
②
观 察
(2)上述方程组中未知数y的系数有什么特点？
这对解方程组有什么启发
发现：方程①中y的系数和方程②中y的系数互为相反数.
启发：若把方程①②的左右两边分别相加，就可消去y，
从而得到关于x的一元一次方程.
已知二元一次方程组
①
②
①+②，得
9x=9 ，
两边都除以9，得
x=1 .
把x用1代入方程①，得
7×1+3y=1 ，
y=-2 .
解得
因此，是原二元一次方程组的解.
若f=g，u=v，则f±u=g±v.
该如何选择合适的方法？
只有当方程组的某一方程中某一未知数的系数的绝对值是1时，用代入消元法较简单，其他的用加减消元法较简单.
代入消元法
加减消元法
例1 解二元一次方程组：
2x＋3y＝－1，
2x－5y＝7.
①
②
解：由 ①－② 得
把 y 用 －1 代入方程①，得
3x＋3×(－1)＝－1，
解得 x＝1.
8y＝－8，
两边都除以 8，得 y＝－1.
因此， 是原二元一次方程组的解.
x＝1，
y＝－1
典例精析
1.同一未知数的系数互为相反数时，
把两个方程的两边分别 .
相加
2.同一未知数的系数相等时，
把两个方程的两边分别 .
相减
方法总结
3x + 5y = 21， ①
2x – 5y = -11. ②
1.解方程：
解：
由 ① + ② 得
将 x = 2 代入①得
6 + 5y = 21，
解得 y = 3.
所以原方程组的解是
x = 2，
y = 3.
5x = 10，
两边都除以 5，得 x = 2.
练一练
x + 3y = 8, ①
5x + 3y = 16. ②
2. 请用加减法解二元一次方程组：
解：由②－① 得 4x = 8，
解得 y = 2.
所以原方程组的解为
x = 2，
y = 2.
将 x 用 2 代入①得 2 + 3y = 8，
两边都除以 4，得 x = 2.
议一议
例2 解二元一次方程组：
2x＋3y＝－11，
6x－5y＝9.
2x+3y＝-11,
6x-5y＝9.
6x+9y＝-33，
6x-5y＝9.
如何消去某个未知数，使其转化为一个一元一方程
14y＝-42
①
②
①×3
③-②
③
②
2x+3y＝-11,
6x-5y＝9.
10x+15y＝-55,
18x-15y＝27.
28x＝-28
①
②
③
④
①×5
②×3
③+④
消 x
消 y
例2 解二元一次方程组：
2x＋3y＝－11，
6x－5y＝9.
解：①×3 得
(6x＋9y)－(6x－5y)＝－33－9，
解得 x＝－1.
6x＋9y＝－33 ③
③-②，得
因此， 是原二元一次方程组的解.
x＝－1，
y＝－3
去括号，得
6x＋9y－6x＋5y＝－33－9，
合并同类项，得
14y＝－42，
两边都除以14，得
y＝－3，
把 y 用－3代入方程①，得 2x＋3×(－3)＝－ll，
练一练
3. 用加减法解方程组：
①
②
解：①×3 得
所以原方程组的解是
③ - ④ 得 y = 2.
把 y＝2 代入 ①，
解得 x＝3.
②×2 得
6x + 9y = 36. ③
6x + 8y = 34. ④
3.同一未知数的系数不相等也不互为相反数时，可利用等式的性质变形，使得某一未知数的系数
，再运用加减消元法求解.
相等或互为相反数
找系数的最小公倍数
方法总结
课堂练习
1.用加减消元法解下列二元一次方程组：
①
②
解：(1) ①+②，得
10y=40 ，
解得
y=4 .
把y用4代入①式，得
2x+7×4=22，
解得
x=-3.
因此， 是原二元一次方程组的解.
【课本P124 练习 第1题】
1.用加减消元法解下列二元一次方程组：
①
②
(2) ②-①，得
5x=-15 ，
解得
x=-3 .
把x用-3代入①式，得
-2×(-3)+5y=11，
解得
y=1.
因此， 是原二元一次方程组的解.
【课本P124 练习 第1题】
①
②
(3) ①×2-②，得
9y=63，
解得
y=7 .
把y用7代入①式，得
3x+2×7=8，
解得
x=-2.
因此， 是原二元一次方程组的解.
1.用加减消元法解下列二元一次方程组：
【课本P124 练习 第1题】
①
②
(4) ①+②×2，得
13x=27，
解得
x=.
把x用代入①式，得
3× -4y=7，
解得
y=- .
因此， 是原二元一次方程组的解.
1.用加减消元法解下列二元一次方程组：
【课本P124 练习 第1题】
①
②
2. 解方程组：
③
代入法
加减法
解：由①得
将③代入②，得
代入③，得
解：①×4-② ，得
代入①，得
3.已知关于x，y的二元一次方程组
的解为 求a，b的值.
解：根据题意，得
①
②
②×3-①，得
7b=14 ，
解得
b=2 .
把b用2代入①式，得
3a+2×2=13 ，
解得
a=3 .
所以，a=3，b=2 .
【课本P124 练习 第2题】
4. 已知方程组 的解满足方程 x + y = 8，求 m 的值.
解：①+②，得 5x + 5y = 2m + 2.
又∵x + y = 8，
∴5×8 = 2m + 2.
解得 m = 19.
故 m 的值为 19.
1. 在解二元一次方程组
时，若可直接消去未知数，则和 满足的条件是
( )
C
A. B.
C. D.
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2. 用加减消元法解方程组 下列解法正确的
是( )
C
A. 消去 B. 消去
C. 消去 D. 消去
3. 已知, 都是有理数，观察表中的运算，
则 ___.
运算的结果 5 9
3
返回
4.若与互为相反数,则 ____.
返回
5.下面是数学课上小颖同学解方程组 的过程，
老师在旁边标注了步骤，请认真阅读并完成相应的任务.
解：由，得 ，③（第一步）
由，得 ，④（第二步）
，得，第三步
解得 .（第四步）
把代入①，得 .（第五步）
所以原方程组的解为 （第六步）
（1）小颖用______消元法解方程组；（填“代入”或“加减”）
（2）小颖的解答从第____步出现了错误；
加减
二
（3）请直接写出该方程组的解.
【点拨】
由，得 ，③
由，得 ，④
，得，解得 .
把代入①，得.所以原方程组的解为
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6.［2025杭州西湖区期末］解下列方程组：
（1）
【解】原方程组整理,得
，得，解得 ，
把代入①，得，解得 ，
所以原方程组的解为
（2）
方程组变形，得
由，得 ，
把代入②,得，解得 ，
所以原方程组的解为
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7. 已知关于,的二元一次方程组 下列结论
中正确的是( )
C
①当这个方程组的解,的值互为相反数时， ;②当
时，方程组的解也是方程 的解；③无论
取什么数，的值等于3始终不变；④若用表示 ,则
.
A. ①② B. ②③
C. ①③④ D. ②③④
最终思想
消元——解二元一次方程组
将两个未知数变成一个未知数求解---____
加减消元法的步骤
变形→加减→求解→
____→写解→____
回代
检验
消元
加减消元法的解题技巧
方程组中同一个未知数的系数的绝对值____或__________
相等
成整数倍

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