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湘教版数学7年级上册培优精做课件授课教师：.班级：7年级（）班.时间：.3.7.1解决所列方程中含“x+y=”形式的实际问题第3章一次方程（组）湘教版七年级上册3.7.1解决所列方程中含“x+y=”形式的实际问题专项练习一、本节核心考点本节是二元一次方程组应用题基础题型，所有题目都隐含两个量的和为定值的关系，方程组固定包含$$x+y=a$$形式的方程，搭配第二个等量方程构成方程组求解。常见场景：两种物品总数、总人数、总数量、总吨数、总长度等求和类实际问题。二、通用解题模型（万能模板）1.固定设元方式设两种未知量分别为：$$x$$、$$y$$例：甲数量为$$x$$，乙数量为$$y$$2.固定方程组结构$$\begin{cases} \boldsymbol{x+y=总数量} \\ \boldsymbol{关于倍数/差值/总价的关系方程} \end{cases}$$第一个方程必定是和的关系（本节核心特征）；第二个方程根据题目倍数、差值、总价、总工作量等条件列写。3.标准解题五步①设：设两个未知量；②列：先写$$x+y=总数$$，再根据题意列第二个方程；③解：用代入/加减消元法解方程组；④验：检验结果符合实际意义（数量为正整数）；⑤答：完整作答。三、三大必考题型句式翻译1.甲乙一共有50个：$$x+y=50$$2.甲比乙多10个：$$x-y=10$$3.甲是乙的4倍：$$x=4y$$4.甲每个5元，乙每个3元，一共花费200元：$$5x+3y=200$$四、高频易错点1.混淆和差关系，把$$x+y$$写成$$x-y$$；2.设元不规范，只设一个未知数（本节必须二元设元）；3.忽略实际意义：人数、物品数量必须是正整数；4.解题后漏写答句，步骤扣分。五、基础填空题（建模专项练）1.已知两种水果共30千克，设苹果$$x$$千克，梨$$y$$千克，可列方程________。2.男女同学共45人，设男生$$x$$人，女生$$y$$人，方程：________。3.甲乙两数和为60，甲数是乙数的2倍，方程组为________。4.钢笔和圆珠笔共20支，钢笔比圆珠笔多4支，方程组为________。六、基础例题（满分标准步骤）例题1：和+倍数问题甲乙两个仓库共存粮80吨，甲仓粮食是乙仓的3倍，甲乙两仓各存粮多少吨？解：设乙仓存粮$$x$$吨，甲仓存粮$$y$$吨。根据题意列方程组：$$\begin{cases}x+y=80\\y=3x\end{cases}$$把$$y=3x$$代入$$x+y=80$$得：$$x+3x=80$$，$$4x=80$$，$$x=20$$回代得：$$y=60$$∴ $$\begin{cases}x=20\\y=60\end{cases}$$答：甲仓存粮60吨，乙仓存粮20吨。例题2：和+差值问题班级共有学生52人，男生比女生多2人，男女生各有多少人？解：设女生$$x$$人，男生$$y$$人。$$\begin{cases}x+y=52\\y-x=2\end{cases}$$两式相加得：$$2y=54$$，$$y=27$$回代得：$$x=25$$∴ $$\begin{cases}x=25\\y=27\end{cases}$$答：女生25人，男生27人。七、基础练习题1.甲乙两数的和为48，甲数是乙数的2倍，求甲乙两数。2.两种文具一共35件，A种文具比B种多5件，两种文具各多少件？八、进阶练习题（考试真题题型）1.购买钢笔和笔记本共40件，钢笔每支8元，笔记本每本5元，一共花费245元，钢笔和笔记本各买多少？2.大小两种货车共12辆，大车每辆装5吨，小车每辆装3吨，一次可运货52吨，大小货车各多少辆？九、参考答案与解析1.填空题答案1. $$x+y=30$$2. $$x+y=45$$3. $$\begin{cases}x+y=60\\x=2y\end{cases}$$4. $$\begin{cases}x+y=20\\x-y=4\end{cases}$$2.基础练习题解答1.解：设乙数为$$x$$，甲数为$$y$$$$\begin{cases}x+y=48\\y=2x\end{cases}$$解得：$$\begin{cases}x=16\\y=32\end{cases}$$答：甲数32，乙数16。2.解：设B种文具$$x$$件，A种文具$$y$$件$$\begin{cases}x+y=35\\y-x=5\end{cases}$$解得：$$\begin{cases}x=15\\y=20\end{cases}$$答：A种20件，B种15件。3.进阶练习题解答1.解：设钢笔$$x$$支，笔记本$$y$$本$$\begin{cases}x+y=40\\8x+5y=245\end{cases}$$由①得：$$y=40-x$$，代入②$$8x+5(40-x)=245$$$$3x=45$$，$$x=15$$$$y=25$$答：钢笔15支，笔记本25本。2.解：设大车$$x$$辆，小车$$y$$辆$$\begin{cases}x+y=12\\5x+3y=52\end{cases}$$解得：$$\begin{cases}x=8\\y=4\end{cases}$$答：大车8辆，小车4辆。十、本节总结本节核心：先列和式定总数，再列关系解问题。只要题目出现“一共、总共、合计”，优先写出$$x+y=定值$$，再结合倍数、差值、总价条件列第二个方程，用消元法即可快速求解，是二元方程组最简单、最基础的应用题题型。会根据问题情境及条件列出二元一次方程组，正确解方程组并检验其解是否合理.
体验运用二元一次方程组求多项式中的待定系数，感受方程思想的广泛应用.
经历和体验利用方程组解决实际问题的过程，掌握应用二元一次方程组解决实际问题的步骤.
复习导入
2. 解二元一次方程组目前学习了哪几种方法？
①代入消元法；
②加减消元法。
1. 列方程最关键的步骤是什么？
关键在于找到问题的等量关系.
探索新知
小楠收集的中国邮票和外国邮票共有335张，其中中国邮票的张数比外国邮票的张数的3倍少17.小楠收集的中国邮票和外国邮票各有多少张？
思 考
中国邮票的张数+外国邮票的张数=335
中国邮票的张数=3×外国邮票的张数-17
本问题涉及的等量关系：
中国邮票的张数+外国邮票的张数=335
中国邮票的张数=3×外国邮票的张数-17
设小楠有中国邮票x张，外国邮票y张，根据等量关系，得
解得
因此，小楠收集了中国邮票247张，外国邮票88张.
1. 现在父亲的年龄是儿子的年龄的 3 倍，7 年前父亲的年龄是儿子的年龄的 5 倍，问父亲、儿子现在的年龄分别是（ ）
A. 42 岁，14 岁 B. 48 岁，16 岁
C. 36 岁，12 岁 D. 39 岁，13 岁
A
练一练
某业余运动员针对自行车和长跑项目进行专项训练. 某次训练中，他骑自行车的平均速度为10 m/s，跑步的平均速度为 m/s，自行车路段和长跑路段共5 km，
共用时 15 min. 求自行车路段和长跑路段的长度.
例1
5km
15 min
自行车路段
长跑路段
平均速度10 m/s
平均速度 m/s
5km
15 min
自行车路段
长跑路段
平均速度10 m/s
平均速度 m/s
自行车路段的长度+长跑路段的长度=5 km
骑自行车的时间+长跑时间=15 min
本问题涉及的等量关系：
注意
单位
解：设自行车路段的长度为 x m，
长跑路段的长度为 y m，则
解得
答：自行车路段的长度为3000m，长跑路段的长度为2000m.
甲、乙两人相距 4 km，以各自的速度同时出发. 如果同向而行，甲 2 h 追上乙；如果相向而行，两人 0.5 h 后相遇，试问两人的速度各是多少？
练一练
解 设甲、乙的速度分别是 x km/h，y km/h.根据题意，得
2x – 2y = 4，
x + y = 4.
1
2
1
2
解得
x = 5，
x = 3.
答：甲的速度是 5 km/h，乙的速度是 3 km/h.
例2 甲、乙两种商品原来的单价和为100元，因市场变化，甲商品降价 15%，乙商品提价 10%，调价后两种商品的单价和比原来的单价和降低了 5%.
求甲、乙两种商品原来的单价.
典例精析
本问题涉及的等量关系为：
甲商品原单价十乙商品原单价 = 100元，
调价后甲商品单价+调价后乙商品单价=100×(1-5%)元.
x
y
x - 15%x = (1-15%)x
x + 10%x = (1+10%)x
解：设甲商品原来的单价为 x 元，乙商品原来的单价为 y 元.
根据题意，得
答：甲、乙商品原来的单价分别为 60 元，40 元.
x＋y＝100，
(1－15%)x＋(1＋10%)y＝100×(1－5%).
解得
x＝60，
y＝40.
3. 某食品厂要配制含蛋白质 15％ 的食品 100 kg，现在有含蛋白质分别为 20％，12％ 的甲乙两种配料．用这两种配料可以配制出所要求的食品吗？如果可以的话，它们各需多少千克？
分析 本问题涉及的等量关系有：
甲配料质量+乙配料质量 = 总质量，
甲配料含蛋白质质量+乙配料含蛋白质质量
= 总蛋白质质量.
练一练
解：设含蛋白质 20％ 的配料需用 x kg，含蛋白质
12％ 的配料需用 y kg.
根据等量关系得
解这个方程组得
答：可以配制出所要求的食品，其中含蛋白质 20％ 的配料需用 37.5 kg，含蛋白质12％的配料需用 62.5 kg.
方法总结
用流程图表示利用二元一次方程组解决有关实际问题的思路，并与同学交流.
实际问题
列出二元一次方程组
解方程组
检查解是否符合实际问题的需要，如果符合， 它就是实际问题的解
分析题意
找出两个
等量关系
1. 蜻蜓有 6 条腿和 2 对翅膀，蝉有 6 条腿和 1 对翅膀，现这两种小虫共有腿 108 条和 20对翅膀，则蜻蜓有____只，蝉有_____只.
2
16
课堂练习
2.有甲、乙两种铜和银的合金，甲种合金含银25%，乙种合金含银37.5%. 现在要熔制含银30%的合金100 kg，甲、乙两种合金应各取多少千克？(不计过程中的损耗)
分析：本问题涉及的等量关系：
甲种合金+乙种合金=100kg，
甲种合金含银量+乙种合金含银量=(100×30%) kg=30kg.
【课本P130 练习 第1题】
解：设甲种合金应取 x kg，乙种合金应取 y kg.
根据题意，得
解得
答:甲种合金应取60kg，乙种合金应取40 kg.
2.有甲、乙两种铜和银的合金，甲种合金含银25%，乙种合金含银37.5%. 现在要熔制含银30%的合金100 kg，甲、乙两种合金应各取多少千克？(不计过程中的损耗)
【课本P130 练习 第1题】
3.甲、乙两人从相距36 km的两地相向而行. 如果甲比乙先走2h，那么他们在乙出发2.5h后相遇；如果乙比甲先走2h，那么他们在甲出发3h后相遇. 设甲、乙两人的速度分别是x km/h，y km/h，填写下表并求x，y的值.
甲行走的路程/km 乙行走的路程/km 甲、乙两人行走的路程之和/km
第一种情况 （甲先走2h）
第二种情况 （乙先走2h）
(2+2.5)x
2.5y
36
3x
(2+3)y
36
【课本P130 练习 第2题】
解：根据题意，得
解得
因此，甲、乙两人的速度分别是6km/h，3.6km/h.
3.甲、乙两人从相距36 km的两地相向而行. 如果甲比乙先走2h，那么他们在乙出发2.5h后相遇；如果乙比甲先走2h，那么他们在甲出发3h后相遇. 设甲、乙两人的速度分别是x km/h，y km/h，填写下表并求x，y的值.
【课本P130 练习 第2题】
应用1 行程问题
1. 我国古典文学名著《西游记》讲述了孙
悟空、猪八戒、沙和尚保护唐僧西天取经，沿途降妖除魔，
历经九九八十一难，到达西天取得真经修成正果的故事.现请
你欣赏下面描述孙悟空追妖精的数学诗：悟空顺风探妖踪，
千里只用四分钟；归时四分行六百，试问风速是多少？题目
的意思是：孙悟空追寻妖精的行踪，去时顺风， 里只用
了4分钟；回来时逆风，4分钟只走了600里，则风的速度为
____里/分钟.
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2.一列动车组与一列普通列车同向而行，动车组在普通列车
的后面，动车组从追上普通列车到完全超出需16秒；若它们
相向而行，则两车从相遇到完全分开只需 秒.若动车组长度
为180米，普通列车长度为220米，则普通列车的速度是
__________，动车组的速度是________.
25米/秒
50米/秒
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3.［2025武汉月考］如图，从至 ，
步行走粗线道 需要35分钟，坐车
走细线道 需要22.5
分钟，车沿 行驶的距离是由
25
至步行距离的3倍，车沿行驶的距离是由至
步行距离的5倍，已知车速是步行速度的6倍，那么先从至
步行，再沿 坐车所需要的总时间是____分钟.
【点拨】设步行速度为 米/分，则车
速为米/分，设米，
米，根据题意，得
解得
则从步行至，再沿 坐车所需总时间为
（分钟）.
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4.［2025怀化期末］甲、乙两地相距74千米，途中有上坡、
平路和下坡.一汽车从甲地下午1点出发到乙地是下午3点30分，
停留30分钟后从乙地出发，下午6点48分返回甲地.已知汽车
在上坡路每小时行驶20千米，平路每小时行驶30千米，下坡
每小时行驶40千米，求甲地到乙地的行驶过程中平路、上坡、
下坡分别是多少千米？
【解】从下午1点到下午3点30分共2.5小时，从下午4点到下
午6点48分共2.8小时.
设甲地到乙地的行驶过程中平路是千米，上坡路是 千米，
则下坡路是 千米，
根据题意，得
整理，得解得
所以 .
答：甲地到乙地的行驶过程中平路是30千米，上坡是16千米，
下坡是28千米.
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应用
二元一次方程组的应用
和差倍分、行程、工程、配套等...
解题步骤
审题：弄清题意和题目中的________
数量关系
设元：用____表示题目中的未知数
字母
列方程组：根据__个等量关系列出方程组
2
解方程组：______________
代入法、加减法
检验作答

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