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湘教版数学7年级上册培优精做课件授课教师：.班级：7年级（）班.时间：.3.7.2解决所列方程中含x，y系数不都为1的实际问题第3章一次方程（组）湘教版七年级上册3.7.2解决所列方程中含x，y系数不都为1的实际问题专项练习一、本节核心考点本节是3.7.1的升级题型，不再出现未知数系数为1的简单方程，方程组中x、y的系数都不是1，无法直接简单代入消元，是考试高频重难点。题型特征：题目无直接和差倍数短句，多为双总价、双工程量、双行程、双配比问题，需要列出两组带系数的二元一次方程，优先使用加减消元法求解。二、通用解题模型（万能模板）1.固定设元方式设题目中两种不同未知量分别为：$$x$$、$$y$$（无默认系数，纯未知量）例：甲物品数量为$$x$$，乙物品数量为$$y$$；甲速度为$$x$$，乙速度为$$y$$。2.固定方程组结构$$\begin{cases} \boldsymbol{m_1x+n_1y=a} \\ \boldsymbol{m_2x+n_2y=b} \end{cases}$$核心特征：$$m_1、n_1、m_2、n_2$$均不为1，两个方程均带固定系数，无简易变形方程。解题首选：加减消元法（代入法计算量大，易出错）。3.标准解题六步（考试满分步骤）①设：设两个未知量，规范书写设句；②列：根据两组独立等量关系，列出带系数的二元一次方程组；③化：找系数最小公倍数，统一某一未知数系数；④消：加减消元，求出第一个未知数；⑤代：回代原简单方程，求出第二个未知数；⑥验+答：检验结果符合实际，完整写答句。三、四大必考题型句式翻译1. 2件甲、3件乙共花费50元：$$2x+3y=50$$2. 4小时甲路程、5小时乙路程共380km：$$4x+5y=380$$3. 3个甲比2个乙多15：$$3x-2y=15$$4. 6份原料A、7份原料B总重90kg：$$6x+7y=90$$四、高频易错点（扣分重灾区）1.扩倍漏项：统一系数时，只乘未知数项，漏乘常数项，方程失衡；2.符号错误：两式相减消元时，后半段所有项未全部变号；3.方法选错：执意用代入法，出现复杂分数，计算失误；4.忽略实际：人数、物品个数、车辆数必须为正整数，负数/小数需舍去；5.步骤缺失：无扩倍过程、无消元步骤，直接写结果，丢失步骤分。五、基础填空题（建模专项练）1. 5支圆珠笔、4本笔记本共42元，设圆珠笔$$x$$元/支，笔记本$$y$$元/本，方程为________。2.甲3小时、乙2小时共加工零件80个，设甲每小时加工$$x$$个，乙每小时加工$$y$$个，方程为________。3.方程组$$\begin{cases}2x+3y=16\\4x+5y=28\end{cases}$$中，x、y系数________（均不为1/部分为1），需用________消元法求解。4. 4甲减3乙等于22，可列方程：________。六、基础例题（满分标准步骤）例题1：双总价基础题型购买2支钢笔、3本笔记本共34元；购买4支钢笔、5本笔记本共60元，求钢笔和笔记本的单价。解：设钢笔单价为$$x$$元，笔记本单价为$$y$$元。根据题意列方程组：$$\begin{cases}2x+3y=34&①\\4x+5y=60&②\end{cases}$$①×2得：$$4x+6y=68&③$$③-②得：$$y=8$$把$$y=8$$代入①得：$$2x+24=34$$，解得$$x=5$$∴ $$\begin{cases}x=5\\y=8\end{cases}$$答：钢笔单价5元，笔记本单价8元。例题2：工程数量题型3名工人、2台机器1小时可生产零件40个；5名工人、4台机器1小时可生产零件74个，求1名工人和1台机器每小时各生产多少个零件？解：设1名工人每小时生产$$x$$个，1台机器每小时生产$$y$$个。$$\begin{cases}3x+2y=40&①\\5x+4y=74&②\end{cases}$$①×2得：$$6x+4y=80&③$$③-②得：$$x=6$$回代①得：$$18+2y=40$$，解得$$y=11$$∴ $$\begin{cases}x=6\\y=11\end{cases}$$答：1名工人每小时生产6个，1台机器每小时生产11个。七、基础练习题1. 2千克苹果、3千克梨共28元，4千克苹果、5千克梨共48元，求苹果和梨的单价。2. 3辆小车、2辆大车一次运货19吨，5辆小车、4辆大车一次运货33吨，求每辆小车、大车的载重量。八、进阶练习题（考试真题题型）1.某商店售卖两种零食，5包A零食、6包B零食共82元，3包A零食、4包B零食共52元，求A、B两种零食每包单价。2.甲乙两人做工，甲做4天、乙做3天共获利310元；甲做2天、乙做5天共获利290元，求甲乙两人每天的工钱。九、参考答案与解析1.填空题答案1. $$5x+4y=42$$2. $$3x+2y=80$$3.均不为1、加减4. $$4x-3y=22$$2.基础练习题解答1.解：设苹果单价$$x$$元/千克，梨单价$$y$$元/千克。$$\begin{cases}2x+3y=28&①\\4x+5y=48&②\end{cases}$$①×2得：$$4x+6y=56&③$$③-②得：$$y=8$$回代①得：$$2x+24=28$$，$$x=2$$解得：$$\begin{cases}x=2\\y=8\end{cases}$$答：苹果单价2元/千克，梨单价8元/千克。2.解：设每辆小车载重$$x$$吨，每辆大车载重$$y$$吨。$$\begin{cases}3x+2y=19&①\\5x+4y=33&②\end{cases}$$①×2得：$$6x+4y=38&③$$③-②得：$$x=5$$回代①得：$$15+2y=19$$，$$y=2$$解得：$$\begin{cases}x=5\\y=2\end{cases}$$答：每辆小车载重5吨，每辆大车载重2吨。3.进阶练习题解答1.解：设A零食每包$$x$$元，B零食每包$$y$$元。$$\begin{cases}5x+6y=82&①\\3x+4y=52&②\end{cases}$$①×3：$$15x+18y=246&③$$②×5：$$15x+20y=260&④$$④-③得：$$2y=14$$，$$y=7$$回代②得：$$3x+28=52$$，$$x=8$$解得：$$\begin{cases}x=8\\y=7\end{cases}$$答：A零食每包8元，B零食每包7元。2.解：设甲每天工钱$$x$$元，乙每天工钱$$y$$元。$$\begin{cases}4x+3y=310&①\\2x+5y=290&②\end{cases}$$②×2得：$$4x+10y=580&③$$③-①得：$$7y=270$$，$$y=40$$回代②得：$$2x+200=290$$，$$x=45$$解得：$$\begin{cases}x=45\\y=40\end{cases}$$答：甲每天工钱45元，乙每天工钱40元。十、本节总结本节核心：系数非1不用代，扩倍加减最稳当。区别于简单和差题型，本题型无系数为1的未知数，解题核心是观察系数、找最小公倍数扩倍统一系数，再用加减消元法求解，全程规避复杂分数计算，是二元一次方程组应用题的核心必考题型。进一步积累运用方程模型解决实际问题的经验，培养良好的数学思维习惯以及分析问题、解决问题的能力.
通过解决实际问题进一步体会方程建模的过程和作用，培养应用数学的意识.
列出二元一次方程组解决实际问题.
探索新知
小华从家里到学校的路是一段上坡路和一段平路. 假设他始终保持上坡路每分钟走40m，平路每分钟走60m，下坡路每分钟走80m，则他从家里到学校需15min，从学校到家里需10min. 试问：小华家离学校多远
思 考
15min
10 min
40m/min
60m/min
60m/min
80m/min
通过图示，你有什么发现？
小华家向家所走的下坡路上等于小华去学校所走的上坡路长.
根据图示，你能找到其中得等量关系吗？
本问题中的等量关系：
走上坡路的时间+走平路的时间=15min
走平路的时间+走下坡路的时间=10min
设小华家到学校的上坡路长 x m，平路长 y m，则
根据等量关系，得
___________
___________
解得
于是，上坡路与平路的长度之和为 x+y=400+300=700 (m).
因此，小华家离学校700m.
练一练
小李骑电动自行车，预计用相同的时间往返于甲、乙两地，去时电动自行车的车速是18 km/h，结果早到20 min；返回时，以15 km/h 的速度行进，结果晚到4 min. 求预计时间和甲、乙两地间的距离．
例2 某果园要将一批水果运往该县城一家水果加工厂， 分两次租用了某汽车运输公司的甲、乙两种货车，具体信息如下表所示：
第一次 第二次
甲种货车数 / 辆 2 5
乙种货车数 / 辆 3 6
累计运货量 / t 26 56
该果园第三次打算继续租用该公司 3 辆甲种货车和 5 辆乙种货车，可一次刚好运完这批水果. 如果每吨运费为 30 元，果园三次总共应付运费多少元
解：设甲、乙两种货车每次分别运货 x 吨、y 吨，
解得
x = 4，
y = 6.
2x + 3y = 26，
5x + 6y = 56.
本问题涉及的等量关系为：
2 辆甲种货车运货量＋3 辆乙种货车运货量 = 26 t，
5 辆甲种货车运货量＋6 辆乙种货车运货量 = 56 t.
于是，第三次运输了 3×4 + 5×6 = 42 ( t ).
因而合计运输了 26 + 56 + 42 = 124 ( t ).
因此，三次总共应付运费 124× 30 = 3 720 (元).
答：该果园三次总共应付运费 3 720 元.
如图，长青化工厂与 A，B 两地有公路、铁路相连．这家工厂从 A 地购买一批每吨 1 000 元的原料运回工厂，制成每吨 8 000 元的产品运到 B 地．公路运价为 1.5 元/(t·km)，铁路运价为 1.2 元/(t·km)，这两次运输共支出公路运费 15 000 元，铁路运费 97 200 元．这批产品的销售款比原料费与运输费的和多多少元？
练一练
产品 x 吨 原料 y 吨 合 计
公路运费(元)
铁路运费(元)
价值(元)
借助列表分析，确定题目中的数量关系.
1.5×20x
1.2×110x
8000x
1.5×10y
1.2×120y
1000y
15 000
97 200
本问题涉及的等量关系为：
产品数量×产品价格＝销售款，
原料数量×原料价格＝原料费，
运输价格×运价＝运输费
解:根据图表，列出方程组
解方程组得
x = 300，
y = 400.
8 000x - 1 000y - 15 000 - 97 200
= 8000×300 - 1 000×400 - 15 000 - 97 200
= 1 887 800（元）
答：这批产品的销售款比原料费与运输费的和多 1 887 800 元.
1.5×20x + 1.5×10y = 15 000，
1.2×110x + 1.2×120y = 97 200.
例3 对于多项式 kx + b (其中 k， b 为常数)，若 x 分别用 1，－1 代入时，kx + b 的值分别为 －1， 3，求 k 和 b 的值.
解：根据题意，得
k×1＋b＝－1，
k×(－1)＋b＝3.
解方程组，得
k＝－2，
b＝1.
故所求 k 和 b 的值分别为 －2 和 1.
1.春节前夕，某服装专卖店按标价打折销售. 茗茗去该专卖店买了两件衣服，第一件打七折，第二件打五折，共付260元. 付款后，收银员发现结算时不小心把两件衣服的标价计算反了，又找给茗茗40元. 这两件衣服的原标价分别是( )
A.100元、300元 B.100元、200元
C.200元、300元 D.150元、200元
A
课堂练习
2.已知制作如图所示的甲、乙两种无盖的长方体纸盒，需用正方形和长方形两种硬纸片，且长方形的宽与正方形的边长相等，现有150张正方形硬纸片和300张长方形硬纸片，可制作甲、乙两种纸盒各多少个
本问题中的等量关系：
甲纸盒需要正方形硬纸片+乙纸盒需要正方形硬纸片=150张
甲纸盒需要长方形硬纸片+乙纸盒需要长方形硬纸片=300张
【课本P132 练习 第1题】
甲种纸盒
乙种纸盒
甲纸盒需要正方形硬纸片+乙纸盒需要正方形硬纸片=150张
甲纸盒需要长方形硬纸片+乙纸盒需要长方形硬纸片=300张
解：设制作甲、乙两种纸盒各x个，y 个.
根据题意，得
解得
答：可制作甲、乙两种纸盒各30个、60 个.
甲种纸盒
乙种纸盒
应用1 配套问题
用如图①中的长方形和正方形纸板做侧面和底面，
做成如图②的竖式和横式两种无盖纸盒.现在仓库里
有500张正方形纸板和800张长方形纸板，问两种纸
盒各做多少个，恰好将库存的纸板用完？设做竖式纸盒个，横式纸盒 个，
恰好将库存的纸板用完，则可列方程组是( )
B.
C. D.
D
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2.某机械厂加工车间有34名工人，平均每名工人每天加工大
齿轮20个或小齿轮15个.已知3个大齿轮和2个小齿轮配成一套，
则每天安排多少名工人加工大齿轮，才能刚好配套？
【解】设每天安排名工人加工大齿轮，每天安排 名工人加
工小齿轮，
根据题意，得
解得
答：每天安排18名工人加工大齿轮，才能刚好配套.
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3.某工厂加工圆柱形的茶叶盒，
购买了 块相同的金属板材，已
知每块金属板材可以有，，
三种裁剪方式，如图， 方式：裁剪成6个圆形底面和1个侧
面.方式：裁剪成3个侧面. 方式：裁剪成9个圆形底面.已知
2个圆形底面和1个侧面组成一个圆柱形茶叶盒，且要求圆形
底面与侧面恰好配套.现已有2块金属板材按 方式裁剪，其余
都按， 两种方式裁剪.
（1）设有块金属板材按方式裁剪，块金属板材按 方式
裁剪.
①可以裁剪出圆形底面共__________个，侧面共_________个.
②当 时，最多能加工多少个圆柱形茶叶盒？
【解】根据题意，得
解得
所以 .
答：当 时，最多能加工36个圆柱形茶叶盒.
（2）现将 块相同的金属板材全部裁剪完，为了使加工成的
圆形底面与侧面恰好配套，则的值可以是____________
其中 .
40或45或50
【点拨】根据题意，得
，
所以 .所以
.
因为，均为整数，且 ,
所以 的值可取21,24,27，
当时， ；
当 时， ；
当 时， .
综上， 的值可以是40或45或50.
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1. 在很多实际问题中，都存在着一些等量关系，因此我们往往可以借助列方程组的方法来处理这些问题.
　3. 要注意的是，处理实际问题的方法往往是多种多样的，应根据具体问题灵活选用.
通过本课时的学习，需要我们掌握：
2. 这种处理问题的过程可以进一步概括为：

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