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湘教版数学7年级上册培优精做课件授课教师：.班级：7年级（）班.时间：.3.8三元一次方程组第3章一次方程（组）湘教版七年级上册3.8三元一次方程组专项练习一、本节核心知识点1.三元一次方程定义含有三个未知数，并且含未知数的项的次数都是1的整式方程，叫做三元一次方程。必备三条件：①3个未知数（x、y、z）；②所有未知项次数为1；③是整式方程。2.三元一次方程组定义由三个一次方程组成，并且一共含有三个相同未知数的方程组，叫做三元一次方程组。方程组中三个方程不需要每一个都同时含三个未知数，只要整体一共含三个未知数即可。3.三元一次方程组的解同时满足方程组中所有三个方程的一组未知数的值$$\begin{cases}x= \\y= \\z= \end{cases}$$，叫做三元一次方程组的解。二、核心解题思想与步骤1.核心思想：消元转化三元→二元→一元通过代入消元或加减消元，先消去一个未知数，把三元一次方程组转化为熟悉的二元一次方程组，再消元变为一元一次方程求解。2.标准解题六步（考试满分模板）①观察：找出系数最简单、最容易消去的未知数；②消元：任选两组方程，消去同一个未知数，得到二元一次方程组；③求解：解二元一次方程组，求出两个未知数的值；④回代：将求出的两个值代入原最简方程，求出第三个未知数；⑤汇总：联立写出三个未知数的解；⑥检验：口头代入验算，确保满足所有方程。3.消元优先级技巧①优先消：系数为0、1、-1的未知数，计算量最小；②优先消：在多个方程中重复出现、容易抵消的未知数；③切记：全程只能消同一个未知数，不能中途换元消元。三、高频易错点1.消元混乱：两次消元消去不同未知数，无法组成二元方程组；2.扩倍漏项：统一系数时漏乘常数项，导致方程错误；3.只解两个未知数，忘记回代求第三个；4.最后不写大括号联立三组解，格式扣分；5.混淆次数：含$$xy、x^2$$等次项的方程不是一次方程。四、基础填空题（概念巩固）1.三元一次方程含有______个未知数，且含未知数的项的次数都是______。2.解三元一次方程组的核心思想是________，将三元转化为______元，再转化为一元。3.解三元方程组时，两次消元必须消去________的未知数。4.方程组的最终解需要联立________个未知数的值。五、基础例题（标准满分步骤）例题：基础三元一次方程组求解解方程组：$$\begin{cases}x+y+z=6&①\\x-y=1&②\\2x+z=5&③\end{cases}$$分析：方程②无z、方程③无y，优先消元简化计算。解：由②得：$$x=y+1&④$$由③得：$$z=5-2x&⑤$$把④⑤代入①得：$$(y+1)+y+(5-2x)=6$$将$$x=y+1$$整体代入化简：$$2y+6-2(y+1)=6$$$$2y+6-2y-2=6$$，整理得$$4=6$$（修正：换标准经典题型）标准正确例题解答解方程组：$$\begin{cases}x+y+z=10&①\\x+2y+z=12&②\\2x+y-z=14&③\end{cases}$$②-①得：$$y=2$$①+③得：$$3x+2y=24&④$$把$$y=2$$代入④：$$3x+4=24$$，解得$$x=6$$把$$x=6，y=2$$代入①：$$6+2+z=10$$，解得$$z=2$$∴方程组的解为：$$\begin{cases}x=6\\y=2\\z=2\end{cases}$$答：方程组的解为三组对应数值。六、基础练习题1.解三元一次方程组：$$\begin{cases}x+y+z=9\\x=y\\z-y=3\end{cases}$$2.解三元一次方程组：$$\begin{cases}x+y=5\\y+z=7\\x+z=6\end{cases}$$七、进阶练习题（考试常考）1. $$\begin{cases}2x+y+z=15\\x+2y+z=16\\x+y+2z=17\end{cases}$$2. $$\begin{cases}3x-y+z=4\\2x+3y-z=12\\x+y+z=6\end{cases}$$八、参考答案与详细解析1.填空题答案1.三、1   2.消元、二  3.同一个  4.三2.基础练习题解答1.解：$$\begin{cases}x+y+z=9&①\\x=y&②\\z-y=3&③\end{cases}$$由③得：$$z=y+3&④$$把②④代入①：$$y+y+y+3=9$$$$3y=6$$，解得$$y=2$$回代得：$$x=2，z=5$$∴ $$\begin{cases}x=2\\y=2\\z=5\end{cases}$$2.解：$$\begin{cases}x+y=5&①\\y+z=7&②\\x+z=6&③\end{cases}$$①+②+③得：$$2x+2y+2z=18$$，化简得$$x+y+z=9&④$$④-①得：$$z=4$$④-②得：$$x=2$$④-③得：$$y=3$$∴ $$\begin{cases}x=2\\y=3\\z=4\end{cases}$$3.进阶练习题解答1.解：$$\begin{cases}2x+y+z=15&①\\x+2y+z=16&②\\x+y+2z=17&③\end{cases}$$①+②+③得：$$4x+4y+4z=48$$，化简：$$x+y+z=12&④$$①-④得：$$x=3$$②-④得：$$y=4$$③-④得：$$z=5$$∴ $$\begin{cases}x=3\\y=4\\z=5\end{cases}$$2.解：$$\begin{cases}3x-y+z=4&①\\2x+3y-z=12&②\\x+y+z=6&③\end{cases}$$①+②得：$$5x+2y=16&④$$②+③得：$$3x+4y=18&⑤$$联立④⑤解得：$$x=2，y=3$$回代③得：$$z=1$$∴ $$\begin{cases}x=2\\y=3\\z=1\end{cases}$$九、本节总结（满分口诀）三元解题靠消元，固定消同不乱变；先化二元再化一，回代求全三组解；优先消去简单元，步骤规范不丢分。核心逻辑：三元方程组本质是二元方程组的延伸，只要守住“消同一个未知数”的原则，即可轻松解题。了解三元一次方程组的概念.
会用代入法和加减法解简单的三元一次方程组.
通过三元一次方程组的解法练习，培养分析问题的能力，并能根据题目的特点，确定消元的方法和消元的对象.
探索新知
含有两个未知数
二元一次方程组
含有三个未知数
？
含有三个未知数，并且含未知数的项的次数都是1的方程，叫作三元一次方程.
一般地，三元一次方程组含有三个方程.
含有三个未知数，并且含未知数的项的次数都是1的方程组叫作三元一次方程组.
已知一个三位数的个位数字是十位数字与百位数字之和的2倍，百位数字是十位数字的3倍，三位数字之和为12.设个位数字x，十位数字为y，百位数字为z，请列出这个方程组.
做一做
x=2(y+z) ，
z=3y ，
x+y+z=12 .
对于未知数为x，y ，z的三元一次方程组，若x ，y ，z分别用数c1， c2， c3代入，能使每个方程左右两边的值相等，则把(c1， c2， c3)叫作这个方程组的一个解.
习惯上也记作
解二元一次方程组的思路是通过消元将其转化为一元一次方程来求解，这种思路是否适合解三元一次方程组呢？
思 考
以 为例来探究三元一次方程组的解法.
①
②
③
①
②
③
将方程①两边都乘2，得
2x+2y+4z=6 .
④
④+②，得
①-③，得
y+5z=3 .
⑤
-y+6z=8 .
⑥
解由方程⑤和⑥组成的二元一次方程组，得
y=-2，z=1.
把y=-2，z=1代入方程①，得
x=3.
因此，是原三元一次方程组的解.
加减消元法
代入消元法
三元
二元
一元
三元一次方程组
二元一次方程组
先消去一个未知数
一元一次方程组
再消去一个未知数
得出一个未知数的值
得出第二个未知数的值
得出第三个未知数的值
代入所得二元一次方程组中的一个方程
已知的两个数代入所得三元一次方程组中的一个方程
解三元一次方程组的基本思路是什么？
通过“代入”或“加减”进行消元，把“三元”转化为“二元”，使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而再转化为解一元一次方程.
三元一次方程组
二元一次方程组
一元一次方程
消元
消元
问题3：如何解这个方程呢？
合作探究
可以消元求解！
解三元一次方程组
2
x＋2y－4z＝－5 ③
x＋y＋2z＝3， ①
－x－y＋z＝－3，②
将方程①两边同乘 2，得
2x＋2y＋4z＝6.
④＋②，得 y＋5z＝3. ⑤
①－③，得 －y＋6z＝8. ⑥
解由方程⑤和⑥组成的二元一次方程组，得
y＝－2，z＝1.
把 y＝－2，z＝1 代入方程①，得 x＝3.
因此， 是原三元一次方程组的解.
z＝1
x＝3，
y＝－2，
x＋2y－4z＝－5 ③
x＋y＋2z＝3， ①
－x－y＋z＝－3，②
x＋y＋z＝－2
5x＋4y＋z＝0，
3x＋y－4z＝1，
①
②
③
例1 解三元一次方程组：
解 ③×5－①，得
y＋z＝－10. ④
③×3－②，得 2y＋7z＝－7. ⑤
④×2－⑤，得 z＝－13.
把 z 用－13 代入方程④，得
y＝42.
把 y 用42，z 用－13 代入方程③，得 x＝－31.
因此， 是原三元一次方程组的解.
z＝－13
x＝－31，
y＝42，
三元一次方程组
二元一次方程组
一元一次方程
消元
消元
解三元一次方程的基本思路：
方法总结
消元的方法仍是代入消元法或加减消元法.
3x＋y－5z＝－14.
5x－3y＋2z＝－15，
2x－y＋3z＝－9，
①
②
③
例2 解三元一次方程组：
解 ②×3－①，得
x＋7z＝－12. ④
②＋③，得 5x－2z＝－23. ⑤
④×5－⑤，得 37z＝－37.
把 z 用－1 代入方程④，得
z＝－1.
把 x 用 －5，z 用－1 代入方程②，得 y＝－4.
因此， 是原三元一次方程组的解.
z＝－1
x＝－5，
y＝－4，
两边都除以 37，得
x＝－5.
已知一个三位数的个位数字是十位数字与百位数字之和的 2 倍，百位数字是十位数字的 3 倍，三位数字之和为 12，这个三位数是什么？
自己动手求出开篇的三位数，并将结果与同学进行对比.
解：设个位数字为 x，十位数字为 y，百位数字为 z.
根据题意，所求方程组为
x＋y＋z＝12. ③
x＝2(y＋z)， ①
z＝3y， ②
做一做
将②代入①，得 x = 8y ④
将②、④代入③，得 y = 1.
把 y 用 1 代入方程②，得 z = 3.
把 y 用 1 代入方程④，得 x = 8.
因此， 是原三元一次方程组的解.
z＝3
x＝8，
y＝1，
所以这个三位数为 318.
根据题意，所求方程组为
x＋y＋z＝12. ③
x＝2(y＋z)， ①
z＝3y， ②
2. 今年小新一家三口的岁数总和是 80 岁，爸爸比妈妈大 3 岁，妈妈的岁数恰好是小新岁数的 5 倍. 问：今年爸爸、妈妈和小新分别几岁
等量关系:
(1) 爸爸年龄 + 妈妈年龄 + 小新年龄 = 80；
(2) 爸爸年龄 = 妈妈年龄 + 3；
(3) 妈妈年龄 = 小新年龄×5.
练一练
解：设爸爸年龄 x 岁、妈妈年龄 y 岁、小新
年龄 z 岁.
将③代入②，得 x = 5z + 3； ④
将③④代入①，得 z = 7；
将 z = 7 代入③④得
①
②
③
由题意，得
学而时习之
1.解下列三元一次方程组：
解:(1) ③×3-①，得
①
②
③
⑤-④×7，得
④
y-5z=17.
③×2-②，得
⑤
7y+3z=5.
把z用-3代入方程④，得
z=-3.
把y用2，z用-3代入方程③，得
y=2.
x=1.
因此，是原三元一次方程组的解.
【课本P138 习题3.8 第1题】
(2) ③×3-①，得
①
②
③
两边都除以-31
④
-9y+2z=53.
②×2-④×3，得
31y=-155.
把y用-5代入方程②，得
y=-5.
把y用-5代入方程③，得
z=4.
x=3.
因此，是原三元一次方程组的解.
1.解下列三元一次方程组：
【课本P138 习题3.8 第1题】
(3) ①×2+②，得
⑤-④，得
④
2x+z=1.
①×5+③，得
把x用3代入方程④，得
x=3.
把z用-5 ， x用3代入方程①，得
z=-5.
y=-2.
因此，是原三元一次方程组的解.
5x+z=10.
⑤
①
②
③
1.解下列三元一次方程组：
【课本P138 习题3.8 第1题】
(4) ③×9-②，得
④
13x+36y=82.
①×9-④，得
把x用-2代入方程①，得
把y用3，x用-2代入方程③，得
z=5.
y=3.
因此，是原三元一次方程组的解.
x=-2.
①
②
③
1.解下列三元一次方程组：
【课本P138 习题3.8 第1题】
2.一个有三条边的算法图如图所示，每个 里有一个数，这个数等于它所在边的两个 里的数之和,请在三个 中填入正确的数.
21
38
83
解：设从上到下，从左到右三个
里的数分别为x，y，z.
50
33
-12
解得
根据题意，得
【课本P138 习题3.8 第2题】
温故而知新
3.某农场300名职工耕种51公顷土地，计划种植水稻、棉花和蔬菜，已知种植农作物每公顷所需的劳动力及投入的资金如下表:
已知该农场计划投入资金67万元，应该怎样安排这三种农作物的种植面积，才能使所有职工都有工作，而且投入的资金正好够用
农作物品种 每公顷需劳动力 每公顷需投入资金
水稻 4人 1万元
棉花 8人 1万元
蔬菜 5人 2万元
【课本P138 习题3.8 第3题】
解：设种植水稻x公顷，种植棉花y公顷，种植蔬菜z公顷.
分析：本题中的等量关系有：
①各种农作物的种植面积总和为51公顷；
②各种农作物的劳动力总和为300人；
③各种农作物需投入的总资金总和为67万元.
根据题意，得
解得
答：种植水稻15公顷，种植棉花20公顷，种植蔬菜16公顷.
1. 下列方程组中，是三元一次方程组的是( )
D
A. B.
C. D.
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2. 解方程组 最简便的消元方法是( )
A. 先消去 B. 先消去
C. 先消去 D. 先消去常数项
B
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3. ［2025杭州月考］设 ， ， 表示三种不同的物体，如
图，前两架天平保持平衡，如果要使第三架天平也保持平衡，
右边应放“ ”的个数为( )
B
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
4.若 是一个三元一次方程，
则___, ___.
1
0
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5. 请写出有一个解是 的一个三元
一次方程：____________________________.
6.［2025成都青羊区期末］若方程组 的解满足
，则 的值为___.
（答案不唯一）
3
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7.用3.50元买了面值分别为10分、20分、50分的三种邮票共
18枚，其中10分邮票的总价与20分邮票的总价相同，则50分
邮票买了___枚.
3
【点拨】设面值为10分、20分、50分的邮票各有枚、 枚、
枚.
则由题意得
由③得 ，
把代入①，得 ，④
把代入②，得 ，⑤
由④得 ，⑥
把⑥代入⑤，得，所以 .即50分邮票买了3枚.
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8. 解方程组:
【解】，得 ，④
，得，解得 .
将代入④中，得，解得 .
将代入②中，得，解得 .
所以方程组的解为
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解法
三元一次方程组
概念
含有___个未知数
3
每个方程中含未知数的项的次数______
都是 1
一共含有____个方程
三
三元一次方程组
二元一次方程组
一元一次方程组
消元
消元

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