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湘教版数学7年级上册培优精做课件授课教师：.班级：7年级（）班.时间：.4.3.2.2余角和补角第4章图形的认识湘教版七年级上册4.3.2.1角的度量与计算专项复习一、本节核心考点本节是角度计算的核心基础，必考内容：度、分、秒60进制换算、角度加减运算、单度与度分秒互化，掌握几何角度计算规范格式，是后续角平分线、余角补角、几何综合计算的必备基础。二、角度单位与进制（唯一60进制，必考）1.角度三级单位度（°）、分（′）、秒（″）进制规则：60进制（时间同款，区别100进制）$$1^\circ=60'$$$$1'=60''$$$$1^\circ=3600''$$2.单位换算两大方向①大单位换小单位：乘60（细化）例：把度换成分、分换成秒，数值变大。②小单位换大单位：除以60（合并）例：把秒换成分、分换成度，数值变小。三、四类核心换算题型（满分模板）1.度→度、分（整数度拆分）方法：整数部分保留度，小数部分×60化成分。示例：$$2.5^\circ=2^\circ+0.5\times60'=2^\circ30'$$2.度、分→度（合并成单度）方法：分÷60化为度，和原有度数相加。示例：$$3^\circ12'=3^\circ+\left(\frac{12}{60}\right)^\circ=3.2^\circ$$3.度、分、秒精细化拆分小数度先化分，分的小数部分再化秒。示例：$$1.25^\circ=1^\circ15'$$，$$1.22^\circ=1^\circ13'12''$$4.秒、分进阶合并从最小单位开始逐级除以60向上合并。四、角度加减计算法则（考试重点、易错重灾区）1.加法规则度加度、分加分、秒加秒，满60进1。秒满60进分为1，分满60进度为1。2.减法规则度减度、分减分、秒减秒，不够减向前借1。借1°=60′，借1′=60″，借位后再计算。3.计算核心口诀同级对齐再运算，加法满六进一，减法不够借六。五、标准例题（满分步骤）例题1：单位换算将$$4.3^\circ$$化为度分形式解：$$4.3^\circ=4^\circ+0.3^\circ$$$$0.3\times60'=18'$$∴ $$4.3^\circ=4^\circ18'$$例题2：角度加法计算：$$23^\circ15'+45^\circ50'$$解：原式$$=(23^\circ+45^\circ)+(15'+50')$$$$=68^\circ+65'$$$$=68^\circ+1^\circ5'=69^\circ5'$$例题3：角度减法（借位计算）计算：$$90^\circ-32^\circ20'$$解：把$$90^\circ$$变形为$$89^\circ60'$$原式$$=89^\circ60'-32^\circ20'=57^\circ40'$$六、高频易错点1.误用100进制换算，牢记角度是60进制，不是100进制；2.减法不借位、借位后数值计算错误；3.加法满60不进位，导致结果错误；4.度分秒书写混乱，不同级单位不对齐计算；5.小数度换算时分秒遗漏小数部分。七、基础填空题（单位换算专项）1. $$1^\circ=$$______$$'$$，$$1'=$$______$$''$$。2. $$2.2^\circ=$$______$$^\circ$$______$$'$$。3. $$30^\circ18'=$$______$$^\circ$$。4. $$1.5^\circ=$$______$$'$$。5. $$45'=$$______$$^\circ$$。八、计算题（加减运算专项）1. $$32^\circ25'+47^\circ35'$$2. $$85^\circ10'-36^\circ40'$$3. $$90^\circ-56^\circ18'$$4. $$180^\circ-120^\circ30'15''$$九、参考答案与详细解析1.填空题答案1. 60、602. 2、12解析：$$0.2\times60=12'$$3. 30.3解析：$$18\div60=0.3^\circ$$4. 905. 0.752.计算题解答1.解：原式$$=79^\circ60'=80^\circ$$2.解：原式$$=84^\circ70'-36^\circ40'=48^\circ30'$$3.解：原式$$=89^\circ60'-56^\circ18'=33^\circ42'$$4.解：原式$$=179^\circ59'60''-120^\circ30'15''=59^\circ29'45''$$十、本节满分口诀角度单位六十进，度分秒级要分清；大化小来乘六十，小化大除六十行；加法满六向前进，减法不够向前借；对齐同级细心算，角度计算不丢分。在具体的现实情境中，认识一个角的余角和补角，掌握余角和补角的性质.
运用余角和补角的性质进行计算和简单的推理.
通过余角和补角的学习过程，进一步提高学生的抽象概括能力，发展空间观念，学会简单的逻辑推理，并能对问题的结论进行合理的猜想.
情境导入
如图，将一张长方形纸片，沿一个角折叠后，折痕与长方形的边形成了4个角.
1
2
3
4
1.∠1和∠2有什么数量关系？
2.∠3和∠4有什么数量关系？
∠1+∠2=90°
∠3+∠4=180°
探索新知
余角和补角的定义
如果两个角的和等于一个直角(90°)，那么就说这两个角互为余角(简称互余)，也说其中一个角是另一个角的余角.
若∠1＋∠2＝ 90°，则∠1 与∠2 互为余角，其中∠1 是∠2 的余角， ∠2 也是∠1的余角.
1
2
几何语言：
∵∠1+∠2=90°，
∴∠1与∠2互为余角.
如果两个角的和等于一个平角(180°)，那么就说这两个角互为补角(简称互补)，也说其中一个角是另一个角的补角.
若∠3＋∠4 ＝ 180°，则∠3 与∠4 互为补角，其中∠3 是∠4 的补角， ∠4 也是∠3 的补角.
几何语言：
∵∠3+∠4=180°，
∴∠3与∠4互为补角.
3
4
∠α ∠α的余角 ∠α的补角
5°
45°
60°
77°
81°15′
x° （0＜x＜90）
85°
175°
45°
135°
30°
120°
13°
103°
8°45′
98°45′
(90-x)°
(180-x)°
锐角的补角比它的余角大______.
90°
填表：
判断：
(1) 一个角的余角必为锐角.
(2) 一个角的补角必为钝角.
(3) 同一个锐角的补角比它的余角大90°.
(4) 互余的两个角一定都是锐角，两个锐角一定互余.
(5) 如果∠1=30°，∠2=25°，∠3=35°，那么∠ 1、 ∠ 2、∠3这三个角互为余角.
( )
( )
( )
( )
( )
√
×
√
×
×
练一练
余角和补角的性质
思 考
∠1 ∠2 ∠3
30° 150° 150°
90° 90° 90°
150° 30° 30°
观察下表，你有什么发现？
∠1 与∠2 互补，∠1 与∠3 互补，
∠2与∠3大小相等.
由于 ∠1 +∠2 = 180°，∠1 +∠3 = 180°，
所以 ∠2 = 180°-∠1，∠3 = 180°-∠1.
因此 ∠2 =∠3（等量代换）.
结论：
同角(或等角)的补角相等.
几何语言：
∵∠1+∠2=180°，∠1+∠3=180°
∴∠2=∠3(同角的补角相等)
等量代换是指“如果a=b且c=b，那么a=c”
试着画一画下表中的图形(顶点相同)，你有什么发现？
∠4 ∠5 ∠6
图① 30° 60° 60°
图② 45° 45° 45°
图③ 60° 30° 30°
∠4 与∠5 互余，∠4 与∠6 互余，
∠5与∠6大小相等.
图①
图②
图③
由于 ∠4 +∠5= 90°，∠4 +∠6 = 90°，
所以 ∠5 = 90°-∠4，∠6 = 90°-∠4.
因此 ∠5 =∠6（等量代换）.
结论：
同角(或等角)的余角相等.
几何语言：
∵∠1+∠2=90°，∠1+∠3=90°
∴∠2=∠3(同角的余角相等)
如图，已知∠ACB =∠CDB =90°
(1)图中有哪几对互余的角？
(2)图中哪几对角是相等的角(直角除外)？为什么？
解：(1)∠A+∠B=90°， ∠A+∠ACD=90°，
∠BCD+∠B=90°， ∠BCD+∠ACD=90°，
(2) ∠B=∠ACD(同角的余角相等)
∠A=∠BCD(同角的余角相等)
例1 如图，∠AOB 与∠BOD 互为余角，OC 是∠BOD 的平分线，∠AOB = 29.66°，求∠COD 的度数.
解：因为∠AOB 与∠BOD 互为余角，
所以∠BOD = 90° -∠AOB
= 90° - 29.66° = 60.34°.
又因为 OC 是∠BOD 的平分线，
因此，∠COD 的度数为 30.17°.
29.66°
所以
30.17°
典例精析
3. 如图，已知 O 为 AD 上一点，∠AOC 与∠AOB 互补，OM，ON 分别为∠AOC，∠AOB 的平分线，若∠MON = 40°，试求∠AOC 与∠AOB 的度数．
O
D
A
B
C
N
M
解：设∠AOB = x.
因为∠AOC 与∠AOB 互补，
所以∠AOC = 180° - x．
练一练
所以
解得 x = 50°. 则 180° - x = 130°.
即∠AOB = 50°，∠AOC = 130°.
O
D
A
B
C
N
M
因为 OM，ON 分别为∠AOC，∠AOB 的平分线，
所以∠AOM = (180° - x)，∠AON = .
例2 已知一个角的余角是这个角的补角的 ，求这个
角的度数.
解：设这个角为 x°，则这个角的余角为 (90 - x)°，
补角为 (180 - x)°.
根据题意，得 ，
解得 x = 45.
因此，这个角为 45°.
典例精析
4.已知 ∠A 与∠B 互余，且 ∠A 的度数比∠B 度数的 3 倍还多 30°，求∠B的度数.
解：设∠B 的度数为 x°，则 ∠A 的度数为
(3x + 30)°. 根据题意得：
x + ( 3x + 30 ) = 90.
解得 x = 15.
故 ∠B 的度数为 15°.
方法总结：涉及到角度的计算时，除常规的和差倍分计算外，通常还需运用方程思想解决问题.
练一练
1. 若 的余角为，则 的补角的度数是( )
C
A. B.
C. D.
2. ［2025长沙望城区期末］一个角的补角比这个角的余角的
3倍少 ，这个角是( )
B
A. B. C. D.
返回
3. ［2025汕头月考］如图，, ,
，下列判断：①射线是 的
角平分线；是的补角；；
的余角有和 .其中正确的是( )
C
A. ①③④ B. ①②③
C. ①②③④ D. ②③④
【点拨】因为，所以射线
是 的角平分线，故①正确；因为
，且的补角是 ，所以
是的补角，故②正确；因为 ，
所以 ，所以
.因为 ，所以
，故③正确；因为
，所以
是的余角，是 的余角.因为
，所以的余角有和 ，
故④正确.综上分析可知，正确的有①②③④.
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4.如图，将一副三角尺按不同位置摆放.
与 互补的摆法是____；
与 相等的摆法是______.（填序号）
④
①②
返回
5.一位同学利用如图所示的量角器，采用如图①所示的方法
测量锐角 的度数，其中量角器有两条刻度线分别在射
线，上,则 的度数为____.另外一位同学用同样的
方法，测量的余角 的度数，如图②所示，已知射
线所指示的度数为 ，则射线 所指示的度数为_____
_____.
或
返回
6.如图，点在直线 上，
， .
（1）求 的度数.
【解】因为点在直线 上,所以
.
因为 ，
所以 .
又因为 ，
所以 .
所以 .
（2）图中有哪几对角互为余角？
与，与，与， 与
,这4对角互为余角.
（3）图中有哪几对角互为补角？
与，与,与， 与
，与，与，与 ,这7
对角互为补角.
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互余 互补
两角间的数量关系
对应图形
性质
2
1
4
3
∠1 +∠2 = 90°
或∠1 = 90° -∠2
∠3 +∠4 = 180°
或∠3 = 180° -∠4
同角或等角的
补角相等
同角或等角的
余角相等

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