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湘教版数学7年级上册培优精做课件授课教师：.班级：7年级（）班.时间：.章末复习第1章有理数湘教版七年级上册第1章有理数全章知识点+综合练习题一、全章核心知识点汇总1.1具有相反意义的量&amp;有理数分类1.相反意义的量：收入与支出、上升与下降、向东与向西等，用正、负数表示，规定一方为正，另一方为负。2.有理数分类：整数（正整数、0、负整数）和分数（正分数、负分数）统称有理数。0既不是正数，也不是负数。1.2数轴、相反数与绝对值1.数轴：三要素为原点、正方向、单位长度，所有有理数都可以用数轴上的点表示。2.相反数：只有符号不同的两个数互为相反数，$$a$$的相反数是$$-a$$，互为相反数的两数和为0，0的相反数是0。3.绝对值：数轴上表示数a的点与原点的距离，记作$$|a|$$。正数和0的绝对值是本身，负数的绝对值是它的相反数，绝对值恒为非负数。1.3有理数大小的比较1.数轴比较法：右边的数总比左边的数大。2.符号比较法：正数>0>负数；两个负数比较，绝对值大的反而小。1.4有理数的加减运算1.有理数加法：同号相加取同号，绝对值相加；异号相加取绝对值大数的符号，大减小；互为相反数相加得0，0加任何数得原数。2.加法运算律：交换律$$a+b=b+a$$、结合律$$(a+b)+c=a+(b+c)$$，用于凑零、凑整简便运算。3.有理数减法：减去一个数等于加上这个数的相反数，即$$a-b=a+(-b)$$。4.加减混合运算：统一转化为加法，省略加号，带符号搬家简便计算。1.5有理数的乘除运算1.乘法法则：同号得正、异号得负，绝对值相乘；任何数乘0得0。2.乘法运算律：交换律、结合律、分配律，多用于凑整约分简算。3.除法法则：同号得正、异号得负，绝对值相除；除以一个非0数等于乘它的倒数，0不能做除数。4.乘除混合运算：统一化为乘法，先定符号（负数个数奇偶性），再算绝对值。1.6乘方与科学记数法1.乘方：$$a^n$$中a为底数，n为指数；正数任何次幂为正，负数奇次幂负、偶次幂正，0的正整数次幂为0。2.易错区分：$$-a^n$$是a的n次方的相反数，$$(-a)^n$$是负a的n次方。3.科学记数法：大数表示为$$a\times10^n$$（$$1\leq|a|<10$$，n=整数位数-1）。1.7有理数的混合运算运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减；有括号先算括号内（小→中→大）；同级运算从左到右，可灵活用运算律简算。二、第一章综合练习题一、选择题（每题3分，共30分）1.下列各数中，属于负数的是（）A. 0 B.$$-(-2)$$ C. -3 D. 52. -2的相反数和绝对值分别是（）A. 2，2 B. -2，2 C. 2，-2 D. -2，-23.下列各式正确的是（）A. $$-1>0$$ B. $$-5>-3$$ C. $$|-2|>0$$ D. $$2<-3$$4.计算$$-3+5$$的结果是（）A. -8 B. 8 C. -2 D. 25.计算$$(-2)\times3$$的结果是（）A. -6 B. 6 C. -5 D. 56.下列运算正确的是（）A. $$-2^2=4$$ B. $$(-2)^2=4$$ C. $$-1^3=1$$ D. $$(-1)^3=1$$7.科学记数法$$3.2\times10^5$$的原数是（）A. 32000 B. 320000 C. 3200000 D. 32008.计算$$10-2\times3$$的结果是（）A. 24 B. 4 C. 14 D. 69.已知a、b互为相反数，则$$a+b=$$（）A. 0 B. 1 C. -1 D. 210.有理数混合运算中，最先计算的是（）A.加减B.乘除C.乘方D.括号内运算二、填空题（每空2分，共20分）1.水位上升3米记作+3米，下降2米记作______米。2.绝对值等于4的数是______。3.比较大小：$$-4$$______$$-1$$（填＞、＜、＝）。4.计算：$$-5-3=$$______，$$-6\div2=$$______。5. $$(-3)^3=$$______，$$-2^2=$$______。6.把250000用科学记数法表示为______。7.若$$|x|=0$$，则x=______。三、计算题（每题4分，共32分）1. $$-8+12-5$$ 2. $$-3-(-7)+2$$3. $$(-4)\times5\div(-2)$$ 4. $$-12\times\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\right)$$5. $$-2^3+(-4)^2$$ 6. $$10-(-2)^2\times3$$7. $$(1-5)\div(-2)^2$$ 8. $$-1^4+\vert-6\vert$$四、解答题（共18分）1.（8分）列式计算：-5的绝对值加上-3的平方，减去10，结果是多少？2.（10分）某仓库原有粮食50吨，周一入库20吨，周二出库15吨，周三出库10吨，周四入库25吨，用有理数加减运算求出仓库现有粮食吨数。三、参考答案与解析一、选择题1.C 2.A 3.C 4.D 5.A 6.B 7.B 8.B 9.A 10.D二、填空题1. -2 2. $$\pm4$$ 3.＜4. -8，-3 5. -27，-4 6. $$2.5\times10^5$$ 7. 0三、计算题1.原式$$=4-5=-1$$2.原式$$=-3+7+2=6$$3.原式$$=-20\div(-2)=10$$4.原式$$=-4+3=-1$$5.原式$$=-8+16=8$$6.原式$$=10-4\times3=10-12=-2$$7.原式$$=(-4)\div4=-1$$8.原式$$=-1+6=5$$四、解答题1.解：$$|-5|+(-3)^2-10=5+9-10=4$$，答：结果为4。2.解：入库为正，出库为负，原式$$=50+20-15-10+25=70$$（吨）。答：现有粮食70吨。四、全章易错总结1.符号易错：混淆$$-a^n$$与$$(-a)^n$$、两个负数大小比较；2.运算易错：混合运算顺序混乱、乘除符号判断错误、跳步计算出错；3.概念易错：0的特殊性、相反数与绝对值的非负性、科学记数法a的取值范围。2. 用正、负数表示具有相反意义的量.
1. 大于 0 的自然数和分数（或小数）就是正数；
在正数前面添上“-”(读作“负号”) 的数叫做负数；
0 既不是正数，也不是负数；
正数和 0 统称为非负数.
一、正数和负数
二、有理数
1. 正整数、零和负整数统称为整数；
正分数和负分数统称为分数；
整数和分数统称为有理数.
有理数
正整数
负整数
负分数
正有理数
负有理数
正分数
零
有理数
正整数
正分数
整数
分数
零
负整数
自然数
2. 有理数的分类
负分数
(1) 按定义分类
(2) 按符号分类
3. 数轴
(4) 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫作数轴.
(5) 任何一个有理数都可以用数轴上唯一的一个点 来表示.
(1) 画一条直线（通常把它水平放置），在直线上取一点 O ，把点 O 叫作原点，用原点表示数 0.
(2) 选定直线的正方向（标上箭头）.
(3) 选择适当的长度为单位长度.
4. 相反数
(1) 两个数只有符号不同，那么其中一个数叫作另一个数的相反数，也称这两个数互为相反数.
(2) 表示互为相反数的两个数的点，在数轴上分别位于原点的两侧，并且到原点的距离相等.
0 的相反数是 0.
5.绝对值
(1) 一个数的绝对值表示这个数在数轴上的对应点与原点之间的距离. 数 a 的绝对值，记作 |a|.
(2) 正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0 的绝对值是 0. 互为相反数的两个数的绝对值相等.
(3) 一般地，如果 a 表示一个数，则
①当 a 是正数时，|a| = a；
②当 a = 0 时，|a| = 0；
③当 a 是负数时，|a| = -a.
6. 倒数
若两个有理数的乘积等于 1，则把其中一个数叫作另一个数的倒数，也称它们互为倒数，0 没有倒数.
7. 有理数大小的比较
(2) 在以向右为正方向的数轴上，右边的点表示的数比左边的点表示的数大．
(1) 正数大于负数，0 大于负数；
两个负数，绝对值大的反而小．
三、有理数的运算
1. 有理数的加法
(1) 加法法则
两个负数相加，结果是负数，并且把它们的绝对值相加.
异号两数相加，当正数的绝对值较大时，得正数，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；当负数的绝对值较大时，得负数，并用较大的绝对值减去较小.
互为相反数的两个数相加得 0；
一个数与 0 相加，仍得这个数.
(2) 加法的运算律
交换律 a+b = b+a
结合律 a+b+c = (a+b)+c = a+(b+c)
2. 有理数的减法
减法法则：
减去一个数，等于加上这个数的相反数.
3. 有理数的乘法
(1) 乘法法则
异号两数相乘得负数，并且把绝对值相乘.
任何数与 0 相乘，仍得 0.
同号两数相乘得正数，并且把绝对值相乘.
(2) 几个不等于 0 的数相乘，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正.
(3) 乘法的运算律
乘法交换律:
乘法结合律
乘法的分配律
(2) 同号两数相除得正数，异号两数相除得负数，并把它们的绝对值相除；0 除以任何一个不等于 0 的数都得 0.
4. 有理数的除法
(3) 除以一个不为 0 的数，等于乘这个数的倒数.
(1) 对于两个有理数 a，b，其中 b ≠ 0，如果有一个有理数c，使得 cb = a，那么规定 a÷b = c，且把 c 叫作 a 除以 b 的商.
5. 有理数的乘方
(1) 求 n 个相同因数的积的运算，叫作乘方. 乘方的结果叫作幂. 在 an 中，a 叫作底数，n 叫作指数.
幂
指数
底数
(2) 正数的任何正整数次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0 的任何正整数次幂都是 0.
特别地，a2 通常读作 a 的平方，a3 通常读作 a 的立方.
规定 a1 等于 a.
(1)先算乘方，再算乘除，最后算加减；
(2)同级运算，从左到右进行；
(3)如果有括号，就先进行括号里面的运算 (先小括号，再中括号，最后大括号).
6. 有理数的混合运算
四、科学记数法
(2) n 为原数的整数位数减去 1.
(1) 把一个大于 10 (小于 -10) 的数表示成 a×10n 的形式，其中 a 大于或等于 1 且小于 10 (a 大于 -10 且小于或等于 -1 )，n 是正整数，这种记法就是科学记数法.
有理数的有关概念
1. 2019 的倒数的相反数是（ ）
A. -2019
B.
C.
D. 2019
B
如图，数轴上表示 －2 的点 A 到原点的距离是（ ）
A. -2
B. 2
C.
D.
B
有理数的大小比较
1. 如图，检测排球，其中质量超过标准的克数记为正数，不足的克数记为负数，下面检测过的四个排球，在其上方标注了检测结果，其中质量最接近标准的一个是（ ）
A
2. 下表是 11 月份某一天北京四个区的平均气温:
这四个区中该天平均气温最低的是（ ）
A. 海淀 B. 怀柔 C. 密云 D. 昌平
B
有理数的运算
1. 计算：(1) -12-|-10|÷×2+(-4)3];
(2) (-3)3÷[2-(-7)]+4×(-1)-|-5|.
解：(1) -12-|-10|÷×2+(-4)3]
= -1-10×2×2-64
= -105
(2) (-3)3÷[2-(-7)]+4×(-1)-|-5|
=-27÷9+4×()- 5
=-32-5
=-10
科学记数法
1. 2019 年“五一”假期期间，我市共接待国内、外游客 140.42 万人次，实现旅游综合收入 8.94 亿元，则“旅游综合收入”用科学记数法表示正确的是（ ）
A. 1.404×106 B. 14.042×105
C. 8.94×108 D. 0.894×109
C
2. 太阳距离银河系中心约250 000 000 000 000 000 km， 其中数据 250 000 000 000 000 000 用科学记数法表示为（ ）
A. 0.25×1018 B. 2.5×1017
C. 25×1016 D. 2.5×1016
B
考点1 正、负数
1. ［2025长沙雨花区月考］在，，, ,0,
,, 中，负数有( )
B
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
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2. 下列说法正确的是( )
D
A. “向东”与“向西 ”不是相反意义的量
B. 若气球上升记作，则 的意义就是下降
C. 若气温下降记作，则 的意义就是气温下降
D. 若将高设为标准，高记作 ，则
所表示的高是
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考点2 有理数
3. 下列7个数：-，，，0， ，
（每两个2之间依次多一个6）， ，
其中有理数有( )
C
A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个
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考点3 数轴及其应用
4. 如图，已知北京时间2025年5月25日上午8时对应数轴上的
数字8，多伦多时间2025年5月24日20时对应数轴上的数字 ，
由此推断当纽约时间是2025年5月24日19时时，对应数轴上
的数字是( )
C
A. 9 B. 7 C. D.
【点拨】北京时间2025年5月25日上午8时对应数轴上的数字
8，多伦多时间2025年5月24日20时对应数轴上的数字
，故数轴上的原点表示某地2025年5月25日上
午0时，所以当纽约时间是2025年5月24日19时时，对应数轴
上的数字是 .故选C.
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考点4 有理数的大小比较
5. 某药品说明书上贴有如图的标签，若要存放该药品，则下
列温度符合要求的是( )
B
A. 摄氏度 B. 0摄氏度
C. 4.1摄氏度 D. 5摄氏度
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考点5 相反数、绝对值、倒数
6.已知，互为相反数，，互为倒数， 是绝对值最小的
负整数，数轴上数 表示的点到原点的距离为2.5个单位长度，
求 的值.
【解】因为,互为相反数，所以 .
因为，互为倒数，所以 .
因为是绝对值最小的负整数，所以 .
因为数轴上数 表示的点到原点的距离为2.5个单位长度，所
以或 .
当 时，
;
当 时，
.
综上，的值为 或0.5.
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考点6 科学记数法
7. 据联合国《世界人口展望2024》报告称，
世界人口将在2080年代中期达到顶峰约103亿,则103亿用科学
记数法表示是___________.
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考点7 有理数的加减运算
8. 计算
，这
个运算应用了( )
C
A. 加法交换律 B. 加法结合律
C. 加法交换律和结合律 D. 以上均不对
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9. 仔细观察资料卡中的信息，可以发现水银
的凝固点比酒精的凝固点高( )
B
A. B.
C. D.
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10.计算:
（1） ;
【解】原式
.
（2） .
原式
.
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考点8 有理数的乘除运算
11. 如图，数轴上有①，②，③，④四部
分，数轴上的三个点分别表示数，，且， ，
则原点落在( )
C
A. 段① B. 段②
C. 段③ D. 段④
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12. ［2025衡阳月考］已知有理数，，满足 ，则
的值为( )
D
A. 3 B. C. 1 D. 或3
【点拨】因为，所以，所以，， 都是正
数或，，中有一正两负.当，， 都是正数时，
;当，， 中有一正两负时，设
，，，则 .所
以的值为3或 .
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考点9 有理数的乘方
13. 下列各组数中，不相等的一组是( )
A
A. 与 B. 与
C. 与 D. 与
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14.手工拉面是我国的传统面食.制作时，拉面师傅拿一根很
粗的面条，把两头捏合在一起拉伸，再捏合，再拉伸，反复
几次，就把这根很粗的面条拉成了许多细细的面条，如图所
示.则第六次捏合后可拉出面条____根.
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