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湘教版数学7年级上册培优精做课件授课教师：.班级：7年级（）班.时间：.章末复习第3章一次方程（组）湘教版七年级上册第3章一次方程（组）全章总复习一、全章知识框架本章核心主线：一元一次方程→二元一次方程组→三元一次方程组→实际应用题核心思想：消元思想、方程建模思想，将复杂未知问题转化为可解的一元一次方程求解。二、3.1-3.4一元一次方程核心知识点1.一元一次方程定义只含一个未知数，未知数次数为1，且是整式方程，一般形式：$$ax+b=0(a\neq0)$$。2.等式的基本性质（解方程依据）性质1：等式两边同时加/减同一个数（式），等式仍成立；性质2：等式两边同时乘/除同一个不为0的数，等式仍成立。3.解一元一次方程标准步骤去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为1易错点：去分母不漏乘常数项、移项必变号、去括号注意符号。4.一元一次方程实际问题——行程问题（3.4.3）核心公式：路程=速度×时间①相遇问题（相向）：甲路程+乙路程=总路程；②追及问题（同向）：快者路程-慢者路程=初始相距路程；③航行问题：顺水速度=静水速度+水流速度，逆水速度=静水速度-水流速度，往返路程相等。三、3.5认识二元一次方程组1.二元一次方程含两个未知数，未知项次数均为1的整式方程，形式：$$ax+by=c(a、b\neq0)$$，有无数组解。2.二元一次方程组两个含相同双未知数的一次方程联立，一般有唯一一组解，解需同时满足两个方程，必须用大括号联立。3.判定易错点含$$xy、x^2、\frac{1}{x}$$均不是二元一次方程。四、3.6二元一次方程组的解法（两大核心方法）1.代入消元法（3.6.1）适用场景：某未知数系数为±1，方便变形。步骤：变形方程→代入另一方程→消元得一元方程→求解→回代求第二个未知数→写解。禁忌：不可代入原变形方程，无法消元。2.加减消元法（3.6.2）适用场景：未知数系数规整、无±1系数，适合扩倍消元。核心规则：系数相反相加消元，系数相同相减消元；系数不同先扩倍统一系数。易错点：扩倍不漏乘常数项、相减消元全项变号。五、3.7二元一次方程组实际应用题1. 3.7.1 “x+y=”和定值问题题型特征：含总数、合计、一共等量，固定方程组结构：$$\begin{cases}x+y=总数量\\倍数/差值/总价关系方程\end{cases}$$常见场景：人数、物品数、总重量、总数量求和问题。2. 3.7.2系数不都为1的实际问题题型特征：无简单和差倍数，双总价、双工程量、双行程问题，方程组无系数为1的未知数。解题首选：加减消元法，先扩倍统一系数，再消元求解。通用模型：$$\begin{cases}m_1x+n_1y=a\\m_2x+n_2y=b\end{cases}$$六、3.8三元一次方程组1.定义含三个未知数，未知项次数均为1的整式方程组，整体共三个未知数即可。2.核心解题思想三元→二元→一元，全程消去同一个未知数，不可中途换元。3.解题步骤观察最简未知数→两组方程消同一元→得二元方程组→求解二元→回代求第三个未知数→联立写解。4.技巧优先消系数为0、1、-1的未知数，计算量最小。七、全章解题方法选择口诀（必考）1.单一未知用一元，系数为1用代入；2.系数规整用加减，和定总数找x+y；3.三元消同不乱变，层层降元是关键；4.应用题先建模，设列解验答齐全。八、全章高频易错汇总1.解方程：去分母漏乘、移项不变号、去括号符号错误；2.方程组求解：消元混乱、扩倍漏常数、只解部分未知数；3.格式错误：方程组解不写大括号；4.应用题：忽略实际意义（人数、物品数为正整数）、漏写答句。九、全章核心公式汇总1.行程公式：$$s=vt、v=\frac{s}{t}、t=\frac{s}{v}$$2.航行公式：顺水=静水+水流、逆水=静水-水流3.消元核心：二元化一元、三元化二元一、方程的有关概念
1. 方程：含有未知数的表示等量关系的等式叫作方程．
2. 一元一次方程的概念：只含有____个未知数(元)，未知数的次数都是____，这样的方程叫作一元一次方程．
3. 方程的解：使方程左右两边的值相等，这个数 c 就是这个方程的一个解. 习惯上记作 x = c.
4. 解方程：根据等式的性质求方程的解的过程．
一
1
1. 等式的性质1：等式两边都加上 或减去同一个数
(或整式)，等式两边仍然相等．
如果 a＝b，那么 a± ＝b±c.
2. 等式的性质2：等式两边都乘同一个数， 或除以
同一个不为 0 的数，所得结果仍是等式．
如果 a＝b，那么 ac＝ ___ ， ＝ (c ≠ 0).
二、等式的性质
c
3. 如果 a = b，那么 b = a.（对称性）
4. 如果 a = b，b = c，那么 a = c.（传递性）
bc
___
解一元一次方程的一般步骤：
(1) 去分母：方程两边都乘各分母的最小公倍数，别漏乘.
(2) 去括号：注意括号前的系数与符号．
(3) 移项：把含有未知数的项移到方程的左边，
常数项移到方程右边，移项注意要改变符号．
(4) 合并同类项：把方程化成 ax＝b(a ≠ 0)的形式．
(5) 除以未知数的系数：方程两边同除以 x 的系数，
得 x＝m 的形式.
三、一元一次方程的解法
1. 二元一次方程的概念：含有______未知数，并且含未知数的项的次数都是_____的方程，叫作二元一次方程.
2. 二元一次方程组的概念：只含有______未知数，并且含未知数的项的次数都是_____的方程组.
3. 二元一次方程组的解：使二元一次方程组中每个方程左右两边的值相等，叫作这个方程组的一个解.
四、二（三）元一次方程组的有关概念
两个
1
1
两个
4. 三元一次方程组的概念：含有 未知数，并且含未知数的项的次数都是 的方程组叫作三元一次方程组.
1
三个
五、二元一次方程组的解法
①代入消元法：
②加减消元法：
转化
代入
求解
回代
写解
检验
变形
加减
求解
回代
写解
检验
六、三元一次方程组的解法
消元法：通过消元，把一个较复杂的三元一次方程组转化为简单易解的阶梯形的方程组，从而通过回代得出其解，整个求解过程称为用消元法解三元一次方程组.
1. 列方程 (组) 的应用题的一般步骤：
审：审清题意，分清题中的已知量、未知量．
设：设未知数.
列：根据题意寻找等量关系列方程．
解：解方程（组）．
验：检验方程的解是否符合题意．
答：写出答案 (包括单位)．
[注意] 审题是基础，找等量关系是关键.
七、用一次方程与方程组解决实际问题
2. 常见的几种方程类型及等量关系：
(1) 行程问题中基本量之间的关系：
① 路程＝速度×时间；
②相遇问题：全路程＝甲走的路程＋乙走的路程；
③追及问题：甲为快者，
被追路程＝甲走路程－乙走路程；
④流水问题：v顺＝v静＋v水，v逆＝v静－v水．
（2）等积变形问题中基本量之间的关系：
① 原料面积 = 成品面积；
② 原料体积 = 成品体积.
（3）储蓄问题中基本量之间的关系：
① 本金×利率×年数 = 利息；
② 本金 + 利息 = 本息和.
（4）销售问题中基本量之间的关系：
① 实际售价 - 进价(成本) = 利润；
② 利润÷进价×100% = 利润率；
③ 进价×(1 + 利润率) = 售价；
标价×折扣数÷10 = 进价.
（5）和、差、倍、分问题中基本量之间的关系：
① 增长率 = 原有量×增长率；
现有量 = 原有量 + 增长量.
② 降低量 = 原有量×降低率；
现有量 = 原有量 - 降低量.
（6）百分率问题中基本量之间的关系：
① 浓度问题：浓度=溶质质量÷溶液质量；
② 增长率问题：原量×(1+增长率) = 增长后的量；
原量×(1 - 减少率) = 减少后的量.
学而时习之
1.解下列一元一次方程：
(1) 5x-3=-x+3 ； (2) 0.4x-7=0.6x-9 ；
(3) 5(x-1)=3(x+1) ； (4) -=1 .
解 ：(1) 5x-3=-x+3
(2) 0.4x-7=0.6x-9
5x+x=3+3
6x=6
x=1
0.6x-0.4x=-7+9
0.2x=2
x=10
【课本P141 复习题 第1题】
学而时习之
1.解下列一元一次方程：
(1) 5x-3=-x+3 ； (2) 0.4x-7=0.6x-9 ；
(3) 5(x-1)=3(x+1) ； (4) -=1 .
(3) 5(x-1)=3(x+1)
(4) -=1
5x-5=3x+3
5x-3x=3+5
2x=8
x=4
4(2x-1)-3(3x-4)=12
8x-4-9x+12=12
8x-9x=12-12+4
-x=4
x=-4
【课本P141 复习题 第1题】
2.一百馒头一百僧，大和三个更无争，
小和三人分一个，大小和尚得几丁.
——《算法统宗》
意思是：有100个和尚分100个馒头，如果大
和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完.
试问大、小和尚各有多少人？
解：设小和尚有x人，则大和尚有(100-x)人.
由题意，得
解得
大和尚： 100-x =100-75=25 .
答：大和尚有25人，小和尚有75人.
【课本P141 复习题 第2题】
3.某长方体的展开图如图所示，已知展开图的面积为310cm ，求x的值.
解：由题意，得
x
x
5
10
5
2(10x+5x+10×5)=310
解得
x=7
x的值为7.
【课本P141 复习题 第3题】
单位：cm
4.小丽每天要在7:50之前赶到距家1000m的学校上学. 一天，小丽以0.8m/s的速度出发，5 min后，小丽的爸爸发现她忘了带数学书. 于是，爸爸立即以1.2m/s的速度去追小丽，并且在途中追上了她. 爸爸追上小丽用了多长时间 追上小丽时，距离学校还有多远
解：设爸爸追上小丽用了x秒.
由题意，得
解得
追上时爸爸走的路程：
追上时距离学校：
答：爸爸追上小丽用了600秒. 追上小丽时，距离学校280米.
0.8(5×60+x)=1.2x
x=600
1.2×600=720 (米)
1000-720=280 (米)
【课本P141 复习题 第4题】
5.已知二元一次方程：(1) x＋y=4；(2) 2x-y=2；
(3) x-2y=1.请从这三个方程中选择两个你喜欢的方程，组成一个方程组，并求出这个方程组的解.
①
②
解：①+②，得
解得
把x用2代入①式，得
所以 是原方程的解.
(选择不唯一)
3x=6
x=2
y=2
【课本P141 复习题 第5题】
6.解下列二元一次方程组：
①
②
解：(1) ①+②，得
把x用3代入①式，得
所以 是原方程的解.
(2) ①+②×3，得
把y用代入②式，得
所以 是原方程的解.
①
②
9x=27，
x=3.
y=-2.
【课本P141 复习题 第6题】
6.解下列二元一次方程组：
①
②
①
②
(3) ①×4+②×3，得
把x用-2代入①式，得
所以 是原方程的解.
(4) ①×2+②×5，得
把x用4代入①式，得
所以 是原方程的解.
【课本P141 复习题 第6题】
7.为建设宜居宜业和美乡村，满足人民日益增长的精神文化需求，某村委会决定扩建“村民活动中心”，分两次采购了同一型号的电脑和乐器(两次采购的单价不变)，具体如下表：
第1次 第2次
电脑/台 10 2
乐器/件 8 5
合计/件 39800 10000
求该型号电脑和该种乐器的单价.
【课本P142 复习题 第7题】
解：设电脑的单价为x元/台，乐器的单价为y元/件.
由题意，得
解得
答：电脑的单价为3500元/台，乐器的单价为600元/件.
8. 为在全社会弘扬劳动精神、奉献精神，小亮所在年级到某地参加志愿者活动. 车上准备了5箱矿泉水，每箱的瓶数相同.到达目的地后，先从车上搬下2箱，分发给每位志愿者1瓶矿泉水，有8位未领到；接着又从车上搬下3箱，继续分发，最后每位志愿者都有2瓶矿泉水，还剩下8瓶. 问：有多少人参加志愿者活动？每箱有多少瓶矿泉水？
解：设有x人参加志愿活动，每箱有y瓶矿泉水.
由题意，得
解得
答：有56人参加志愿者活动，每箱有24瓶矿泉水.
【课本P142 复习题 第8题】
9. *解下列三元一次方程组：
①
②
③
解：(1) ②×3-③，得
④-①×5，得
把y用1代入①式，得
把x用2，y用1代入②式，得
所以 是原方程的解.
④
【课本P142 复习题 第9题】
9. *解下列三元一次方程组：
①
②
③
(2) ①×2-②，得
①×3+③
⑤-④×2，得
把z用1代入④式，得
把y用-2，z用1代入①式，得
所以 是原方程的解 .
④
⑤
【课本P142 复习题 第9题】
温故而知新
10. 解下列一元一次方程：
解：(1)去分母，得
去括号，得
移项、合并同类项，得
两边同时除以3，得
-4(3x+2)+15(x-1)=1
-12x-8+15x-15=1
3x=24
x=8
【课本P142 复习题 第10题】
温故而知新
10. 解下列一元一次方程：
(2)去分母，得
去括号，得
移项、合并同类项，得
两边同时除以-4，得
6(x-3)+4(-x+6)-3(2x+1)=12
6x-18-4x+24-6x-3=12
-4x=9
x=-
【课本P142 复习题 第10题】
11. 要配制含盐6%的盐水700 g，已有含盐5%的盐水200 g，还需要加入含盐8%的盐水及水各多少克
( 此处溶质质量为盐的质量，溶剂质量为水的质量)
解：设需要加入含盐8%的盐水x g。
由题意，得
解得
需加入水的质量：
答：还需要加入含盐8%的盐水400克，加入水100克.
700-400-200=100 (克)
【课本P142 复习题 第11题】
12. 解下列二元一次方程组：
①
②
解：(1) 原方程组可化为
①-②，得
两边同时除以2，得
把y用-2代入①式，得
所以 是原方程组的解.
【课本P143 复习题 第12题】
12. 解下列二元一次方程组：
①
②
(2) 原方程组可化为
①+②，得
两边同时除以3，得
②×2-①，得
两边同时除以9，得
所以 是原方程组的解.
【课本P143 复习题 第12题】
13. 下列二元一次方程组有解吗？如有，有多少组解？
①
②
①
②
解：(1) ①×(-2) ，得
③式和②式矛盾，
故原方程组无解.
③
(2) ②÷ (-2)，得
故原方程有无数组解.
③
③
①
【课本P143 复习题 第13题】
14.建一个长方形花圃，为了节约材料，以建好的墙或局部为长方形的长，其他三边用总长为70m的栅栏围成. 现在甲、乙两人各设计了一个方案：甲的方案是长比宽多10m，乙的方案是长比宽多4m. 已知墙长28m，问谁的方案比较符合实际？为什么？
解：设甲的方案宽为x m，则长为 (10+x) m.
由题意得， 2x+ (10+x)=70
解得 x=20
∵10+20＞28，
∴甲方案不符合实际.
【课本P143 复习题 第14题】
设乙的方案宽为y m，则长为(4+y)m.
由题意得， 2y+(4+y)=70
解得 y=22
∵4+22＜28，
∴乙方案符合实际.
答：乙的方案比较符合实际，它的长没有超过墙长.
15.已知m，n满足的条件分别为：
(a，b均不为0)，求mn的值.
解：由题意，得
去分母，得
去括号，得
移项并合并同类项，得
当a、b同号时，n=1+1=2 或 n=(-1)+(-1)=-2；当a、b异号时，n=0
所以当m=-7，n=2时，mn=(-7)×2=-14；
当m=-7，n=-2时，mn=(-7)×(-2) =14；
当m=-7，n=0时，mn=0.
综上所述，mn的值为-14或14或0.
上下而求索
【课本P143 复习题 第15题】
16. 足球的表面由白块和黑块组成. 已知黑块是五边形，白块是六边形，且每一白块的6条边中，有3边与黑块相接，另3边与白块相接，每一黑块的5边全与白块的边相接. 已知黑块总数是12，求白块数.
解：设白块有x块，则白块一共有6x条边.
其中有3x条边与黑块相接.
由题意得，3x=12×5
解得 x=20
答：白块有20块.
【课本P143 复习题 第16题】
17.甲、乙二人骑自行车同时从相距5km的两地相向而行，经过10 min相遇.
(1)甲、乙两人的速度各是多少？请至少写出满足条件的两组解.
(2)请你适当增加题目中的条件，使问题(1)有唯一解，并解答你改编后的问题.
解：(1) 甲、乙两人的速度和：
满足条件的解：甲的速度为10km/h，乙的速度为20km/h；甲的速度为20km/h，乙的速度为10km/h.
(2) 增加的条件：如果甲的速度是乙的两倍，问甲、乙两人的速度各是多少？
甲的速度为20km/h，乙的速度为10km/h.
【课本P143 复习题 第17题】
考点1 方程及方程的解
1. 下列各式：，，为已知数 ，
，，， 中，方程有
( )
C
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
2.已知关于的方程的解是，则 的值
为___.
5
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考点2 一元一次方程
3. 有下列方程：； ；
；； ，其中是一元一次方
程的有( )
A
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 1个
4.已知是关于的一元一次方程，则
___.
1
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考点3 等式的性质
5. 下列等式变形正确的是( )
D
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则
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考点4 一元一次方程的解法
6.解下列方程:
（1） ；
【解】去分母，得
去括号，得 .
移项、合并同类项，得 .
系数化为1，得 .
（2） .
原方程可变为 .
去分母，得 .
去括号，得 .
移项、合并同类项，得 .
系数化为1，得 .
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考点5 一元一次方程的应用
7. 如图，在某年11月份的月历表上，
用一个正方形可以圈出9个数
（如3，4，5，10，11，12，17，18，
19），若圈出的9个数中，最大数与
最小数的和为42，则这9个数的和为
( )
D
A. 69 B. 207 C. 84 D. 189
【点拨】设中间的数为 ，则另外8个
数分别为，， ，
，，，， ，
根据题意得 ，解得
，所以 .
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8.如图是由一些同样大小的三角形按照一定规律所组成的图
形，第1个图形中有4个三角形，第2个图形中有7个三角形，
第3个图形中有10个三角形…按照此规律排列下去，第 个图
形中有2 026个三角形，则 _____.
675
【点拨】第1个图形中有4个三角形，即 ；第2个
图形中有7个三角形，即 ；第3个图形中有10个
三角形，即； ，按照此规律排列下去，第
个图形中有个三角形，所以 ，解得
.
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9. 如图，某校的饮水机有温水、开水两个按钮，
温水和开水共用一个出水口.温水的温度为 ，流速为
；开水的温度为，流速为 .某学生先接
了一会儿温水，又接了一会儿开水，得到一杯 温度为
的水（不计热损失），求该学生分别接温水和开水的时间.
物理常识：开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的
热量等于温水吸收的热量，可以转化为开水的体积×开水降
低的温度 温水的体积×温水升高的温度.
【解】设该学生接温水的时间为
，
根据题意可得
，所以 .
答：该学生接温水的时间为，接开水的时间为 .
，解得 ，所以
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考点6 二元一次方程组的相关概念
10.已知 是二元一次方程，则
___.
0
11. 若关于, 的二元一次方程组
的解为则多项式 可以是_______________
_______________
（写出一个即可）.
（答案不唯一）
返回
考点7 二元一次方程组的解法
12. 对于任意有理数,,, ，我们规定
，已知，同时满足 ，
，则 ____.
【点拨】因为， ，
所以联立可得 由，得 ，
解得，将代入①，得，解得 .所以
.
返回
13.解方程组：
【解】原方程组整理得
得 ，③
得，解得 .
把代入②得，解得 ，
所以原方程组的解为
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