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本溪市 2026 年初中学业水平考试第二次模拟考试
数学试题参考答案及评分标准
一．选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A D A D C C B A C B
二、填空题
48
11．a(a＋3)(a－3) 12．16 13．2 14．3 15．
5
三、解答题
16．（1）( 2)0 + 9 ÷ 3 27 + 2cos45° + 3 2 ；
2
＝1＋9÷(－3)＋2× ＋3－ 2
2
＝1； ………………………………5分
2 2x 2<3x ①（ ）解不等式组
x+2>4x 4 ②
解：解不等式①得，x＞－2；
解不等式②得，x<2，
将不等式①②的解集在数轴上表示如下：
∴原不等式组的解集为－2< x < 2． ………………………………5分
17． 解：（1）设 A款纪念品每件 x元，B款纪念品每件（x＋2）元
100 120
∴ =
+2
∴x=10
经检验：x=10是原方程的解
∴x＋2=12
答：A款纪念品每件 10元，B款纪念品每件 12元； ………………4分
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（2）设购买 A 种纪念品 m 件，购买 B 种纪念品 n 件，
∴10m＋12n=220，
∴5m＋6n=110，
∵ m，n是正整数
= 16 = 10 = 4
∴ = 5 或 = 10或 = 15
答：共有 3 种购买方案 ………………………………8分
18．解：过 D点作 DE⊥AB于 E点，
在 Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC＝53°，

∴sin∠ABC＝

∴AC=ABsin∠ABC≈25×0.80=20
∵线段 AC边绕点 A逆时针旋转 90°得到线段 AD，
∴∠CAD＝90°，AD＝AC＝20，
∵∠EAC＝∠CAD＋∠DAE，∠EAC＝∠ACB＋∠ABC
∴∠DAE＝∠ABC＝53°
在 Rt△ADE中，∠AED=90°，∠DAE＝53°，

∴sin∠DAE＝

∴DE=ADsin∠DAE≈20×0.80=16
1
∵S△ABD= 2AB·DE，
1
∴S△ABD= 2×25×16=200
答：△ABD的面积约为 200． ………………………………8分
19．解：（1）80÷20％=400
答：调查的某个时间段内四个区域的总人数为 400人；……………2分
（2）400×30％=120
12 1
= =0.1
120 10
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答：C区域内桌椅的使用的频率为 0.1 ………………………4分
（3）4个区域内一天使用桌椅的人数分别约为：
A区：280× 6 880 =21， B区：330× 110 =24，
C 200× 7 =20 D 225× 6区： 70 ， 区： 90 =15；
∴使用桌椅的平均人数约为：21+24+20+15＝80， …………………6分
A 21 24∴ 区：160× 80 = 42， B区：160× 80 =48，
C 20 15区：160× 80 =40， D区：160× 80 =30，
答：最佳放置方案是：
A区 42套，B区 48套，C区 40套，D区 30套． ………………………8分
20 6．（1）解：设函数 = + 的“虹桥值”为 w，
6 6
∴w=y－x＝ + = ，

∵k=1>0， x>0
∴w随 x的增大而减小
∵1≤x≤5时，
∴当 x=1，w最大=6
∴函数 = 6 + （1≤x≤5）的“最优虹桥值”为 6． ………4分
（2）设二次函数 y＝－x2＋5x＋c的“虹桥值”为 w，
∴w＝y－x
＝－x2＋5x＋c－x
＝－x2＋4x＋c
＝－（x－2）2＋c＋4，
∵a＝－1<0，
∴开口向下
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∴当 x>2时，w随 x的增大而减小
∵3≤x≤6时，
∴当 x=3时，w最大=－（3－2）2＋c＋4=6
∴c＝3． ……………………………8分
20．（1）证明：连接 OE，
∵EF⊥AC，
∴∠EFC＝90°，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵OB＝OE，
∴∠B＝∠OEB，
∴∠OEB＝∠C，
∴OE∥AC，
∴∠OEF＝∠EFC＝90°，
∴OE⊥EF，
∵OE是⊙O的半径，
∴EF是⊙O的切线； ………………………………3分
（2）解：连接 AE，
∵AB 是⊙O的直径，
∴∠AEB=90°，
∴AE⊥CB，
∵AB=AC，
1
∴∠B=∠C，BE=CE＝ BC=5
2
∵四边形 ABED 是⊙O的内接四边形
∴∠B＋∠ADE=180°，
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∵∠CDE＋∠ADE=180°，
∴∠B=∠CDE
∵∠C=∠C，
∴△ABC∽△EDC

∴ = ．

10
∴ = ，
5 6
25
∴AB=
3
25
∴R=
6
25
∴⊙O半径为 ． ………………………………8分
6
22．（1）证明：∵DE⊥AC，CF⊥BC
∴∠CDF＝∠BCF＝90°，
∴∠CFD＋∠DCF＝90°，∠ACB＋∠DCF＝90°，
∴∠CFD＝∠ACB
∵AB=AC
∴∠ABC＝∠ACB，
∴∠ABC＝∠CFD， ………………………………2分
（2）解：①过点 A作 AH⊥BC于点 H，过点 E作 EN⊥BC于点 N，
∵CE=CE，∠ABC=∠CFD，∠CEB＝∠CEF
∴△BCE≌△FCE，
∴∠BCE＝∠FCE＝45°，CB=CF，EB=EF
在 Rt△ENC中，∠ENC＝90°，∠BCE＝45°，
NE NE
∴tan∠BCE＝ ，sin∠BCE＝
NC EC
∴EN=NC，CE= 2EN
∵AH⊥BC，EN⊥BC
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∴EN//AH
BE BN 2
∴ ＝ ＝ ，
AE NH 3
设 BN=2k，则 HN=3k，
∴BH=BN＋NH=5k，
∵AB=AC，AH⊥BC
∴BH=CH＝5k，
∴BC=BN＋NC=10k=10
∴k＝1
∴CE= 2EN＝8 2 ………………………………6分
②∵DE⊥AC，BG⊥AC
∴∠CDF＝∠BGC＝90°，
∴∠CFD＝∠ACB，CB=CF
∴△CBG≌△FCD
∴DF=CG，BG=CD
∵DE⊥AC，BG⊥AC
∴∠ADE＝∠AGB＝90°，
∴EF//BG
AD AE
∴ ＝ ，
DG BE
∵AE=BE
1
∴AD=DG，S△BEG= S2 △ABG
∴BG=2ED，
设 CG＝DF=a，DE＝b，
∴CD=BG＝2ED＝2b，
∴AD=DG＝CD－CG＝2b－a，
∴AC=AD＋CD=(2b－a)＋2b=4b－a
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∵EF=DF＋ED=a＋b
∴EF=BE=a＋b
∴AB=2BE=2a＋2b
∵AB=AC
∴2a＋2b=4b－a
∴3a=2b
1
∵S△ABG= BG·AG2
S = 1∴ △ABG ·2 ·(4 2 ) =
1
－ ·2 ·(6 －2 ) = 6 2，
2 2
在 Rt△BCG中，∠BGC＝90°，
BG2＋CG2＝BC2，
∴(2b)2＋a2＝102，
∴10a2＝102，
∴a2＝10，
∴S 2△ABG= 6 =60
1
∴S△BEG= S2 △ABG
=30
∴△BEG的面积是 30． ………………………………12分
23．解：（1）∵直线 l：y＝x－3与 x轴交于点 A，与 y轴交于点 B，
∴A（3，0），B（0，－3）两点，
9+3b+c=0
∴ c= 3 ，
b= 2
∴ b= 3，
∴抛物线的解析式为 y＝x2－2x－3； ………………2分
（2）∵点 F（n，yF）在抛物线 y＝x2－2x－3上
∴yF＝n2－2n－3，
∵点 G（6－n，yG）在直线 y＝x－3上
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∴yG＝6－n－3=3－n， ……………3分
∴点 F（n，n2－2n－3），G（6－n，3－n）
∵经过 F，G两点的直线解析式为 y＝kx＋b，
nk+b=n2 2n 3
∴ (6 n)k+b=3 n， ………………4分
∴（6－2n）k=－n2＋n＋6
∴2（3－n）k=－（n－3）（n＋2）
∴2k＝n＋2，
∴n＝2k－2， ……………5分
∵0≤n＜3，
∴0≤2k－2＜3，
5
∴1≤k< ； ………………………………6分
2
（3）①抛物线 y＝x2－2x－3开口向下，对称轴是直线 x＝1．
∵PE∥x轴，
∴P、E两点关于直线 x＝1对称．
∵P（m，m2－2m－3），
∴E点坐标为（2－m，m2－2m－3）．
如图 1，当点 P在点 E左侧时，0＜m＜1，PE＝2（1－m）＝2－2m，
如图 2，当点 P在点 E右侧时，1＜m＜3，PE＝2（m－1）＝2m－2，
∵点 Q在点 P的上方，P（m，m2－2m－3），Q（m，m－3）
∴PQ＝（m－3）－（m2－2m－3）＝－m2＋3m，
当 0＜m＜1时，
∴y＝2（PQ＋PE）=2[（－m2＋3m）＋（2－2m）]＝－2m2＋2m＋4；
当 1＜m＜3时，
∴y＝2（PQ＋PE）=2[（－m2＋3m）＋（2m－2）]＝－2m2＋10m－4．
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2m2+2m+4(0＜m＜1)
综上，y= ． ………………………………11分
2m2+10m 4(1＜m＜3)
9 17
②42 2
图 1 图 2 图 3
第 9页（共 9页）

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