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(共21张PPT)
8.6.3.2
平面与平面垂直的判定定理
一、复习回顾
问题1：直线与平面垂直的判定定理是什么？
直线和平面垂直的判定定理：
如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直.
问题2：观察教室墙面与地面、教室门与地面，
这些平面之间都有怎样的位置关系？
垂直
一、复习回顾
平面与平面垂直：
一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，那么就说这两个平面互相垂直。
图形语言： 符号语言：
一、复习回顾
问题3：如果每次都用定义去判定面面垂直，需要度量二面角的大小，非常麻烦。有没有更简单、更直接的方法，来判定两个平面垂直呢？
二、情境引入
面面平行的判定：线面平行 面面平行
通过类比，能不能把面面垂直问题转化为线面垂直问题
？
除定义外，如何判断平面与平面垂直呢？
空间问题
平面问题
二、情境引入
观察
如图，教室的门在开关的过程中，门扇所在平面与地面是什么位置关系？无论在什么位置都是一样的吗？
门轴与地面是什么位置关系？
门轴与门扇所在平面是什么位置关系？
始终垂直
垂直
门轴在门扇平面内
猜想：如果一个平面内有一条直线垂直于另一个平面，那么这两个平面互相垂直。
三、操作验证
动手实验
实验1：笔垂直于桌面，课本紧贴笔，翻动课本，观察课本与桌面的位置关系；
实验2：笔不垂直于桌面，课本紧贴笔，此时课本与桌面的位置关系。
垂直
不垂直
问题4：笔垂直桌面，且笔在课本平面内时，两个平面垂直吗？
问题5：笔不垂直桌面，即便在课本里，两个平面还垂直吗？
问题6：判定面面垂直，关键要找到什么？
找到一条垂直于另一个平面的直线
四、归纳定理
平面与平面垂直的判定定理：
如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直.
符号表示：
线面垂直 面面垂直
图形语言：
直线与平面垂直
平面与平面垂直
直线与直线垂直
转化
转化
四、深化理解
1.判断正误.
(1)如果平面内有一条直线垂直于平面内的一条直线，则.( )
(2)如果平面内有一条直线垂直于平面内的无数条直线，则.( )
(3)如果平面内的一条直线垂直于平面内的两条相交直线，则.( )
×
2.已知，则过与垂直的平面（ ）
A.有1个 B.有2个 C.有无数个 D.不存在
C
×
√
例1：已知，如右图, 正方体求证：平面
五、面面垂直的判定定理实战训练
追问1：看到要证明的结论，你能想到用什么方法？
追问2：你能发现在平面中有哪些直线有垂直关系？
追问3：那具体证明过程怎么写呢？请同学们按照刚刚给出的思路自己写出证明过程.
例1：已知，如右图, 正方体求证：平面
∵ABCD-A'B'C'D'是正方体，
∴AA'⊥平面ABCD.
又BD 平面ABCD，∴AA'⊥BD.
又AC⊥BD，AC∩AA'=A，
∴BD⊥平面ACC'A'，
又BD 平面A'BD，
∴平面A'BD⊥平面ACC'A'.
证明：
五、面面垂直的判定定理实战训练
例1：已知，如右图, 正方体求证：平面
解法2：
五、面面垂直的判定定理实战训练
解法3：
定义法（二面角为直二面角）
五、面面垂直的判定定理实战训练
追问：在正方体中，若点P为上任意一点，平面
应用判定定理证明平面与平面垂直的基本步骤
分析题意，根据题目条件选择
证明哪个平面的垂线
定思路
证线面
恰当的选择方法证明线面垂直
常用方法是线线垂直，则线面垂直
证面面
根据面面垂直的判定定理证明
方法小结
六、巩固提升
例2：已知，如右图, AB是O的直径, PA垂直于O所在的平面, C是圆周上不同于A, B的任意一点.
（1）求证：平面PAC⊥平面PBC.
AC
BC
BC
C
本质：线⊥面面⊥面
关键：在一个平面内找
另一个平面的垂线
六、巩固提升
例2：已知，如右图, AB是O的直径, PA垂直于O所在的平面, C是圆周上不同于A, B的任意一点.
（1）求证：平面PAC⊥平面PBC.
追问2：你能找到二面角P-BC-A的一个平面角吗？
∠PCA
追问1：你还能发现哪些面互相垂直？
面PAC ⊥面ABC;
面PAB ⊥面ABC
（2）当PA=AC时，求二面角P-BC-A的大小.
（3）当PA=AC=BC=1时，
①求四面体P-ABC的体积与表面积.
②求该四面体外接球的表面积.
用 定义面面垂直
类比
度量
特 殊
平面角
二面角
二面角的
平面角
面面垂直的判定定理
直二面角
文字
语言
图形
语言
符号
语言
数学思想：
转化与化归的思想方法
面面垂直
线面垂直
线线垂直
七、课堂总结
八、课后作业
∵ABC-A'B'C'是正三棱柱，∴AA'⊥平面ABC.
又BD 平面ABC，∴AA'⊥BD.
∵△ABC是正三角形，且D是AC的中点，∴ AC⊥BD，
又AC∩AA'=A，∴BD⊥平面ACC'A'，
又BD 平面BDC'，∴平面BDC'⊥平面ACC'A'.
证明：
B
D
C
A′
B′
C′
A
1. 如图，在正三棱柱ABC-A′B′C′中，D是棱AC的中点.
求证：平面BDC′⊥平面ACC′A′.
八、课后作业
2.如图,在正四棱柱中,,为的中点, 证明:平面⊥平面.
证明：
所以,
所以,
所以,
又⊥平面,平面,
则⊥
因为,
所以平面,
又平面,
所以平面平面.
八、课后作业
3.如图所示，在四面体中，又.求证：平面平面.
证明：（法一）∵，且，
∴.
∴点在平面上的射影为的外心.
∵为直角三角形
∴点在上的射影为斜边的中点.
∴平面.
又∵平面，∴平面平面.
八、课后作业
3.如图所示，在四面体中，又.求证：平面平面.
证明：（法二）∵，，
∴和是等边三角形，则有，
令其值为，则和为共底边的等腰三角形.
取的中点，如图所示，连接，，
则，，∴为二面角的平面角.
在中，∵，∴，.
在中，.在中，∵，
∴，即二面角为直二面角，故平面平面.

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