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题号猜题06 中考数学10题 压轴题（选择题）
考点1 动点问题
1．（2026·甘肃天水·一模）如图（1），在等腰三角形中，，动点以的速度从点沿向点运动，同时动点以的速度从点沿折线向点运动，连接，当其中一动点到达终点时，两动点同时停止运动．设动点运动的时间为的面积为，图（2）是与的函数关系的图象，则的长为（ ）
A． B． C． D．
2．（2026·天津西青·一模）在中，，．动点M从点B出发，以的速度沿边、边向终点C运动；动点N同时从点B出发，以的速度沿边向终点C运动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为．当时，点M，N的位置如图所示．有下列结论：
（1）当时，；
（2）的最大面积为；
（3）t只有一个值满足的面积为．
其中，正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
3．（2026·天津河东·一模）平行四边形中，，，．动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿边、边向终点运动；动点从点同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿边向终点运动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为秒．当时，点，的位置如图所示．
有下列结论：
①当时，；
②当时，的最大面积为；
③存在两个的值，使得的面积为．
其中，正确结论的个数是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
4．（2025·天津·中考真题）四边形中，，．动点从点出发，以的速度沿边、边向终点运动；动点从点同时出发，以的速度沿边向终点运动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为．当时，点M，N的位置如图所示．有下列结论：
①当时，；
②当时，的最大面积为；
③有两个不同的值满足的面积为．其中，正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
5．（2026·湖北黄石·一模）如图①，在菱形中，，动点从点出发，以每秒1个单位的速度沿线段运动到点停止，同时动点从点出发，以每秒2个单位的速度沿折线运动到点停止．图②是点，运动时的面积与运动时间的函数关系的图象，则的值为（ ）
A．2 B． C． D．
考点2 几何多结论判定
6．（2026·四川南充·一模）如图，在中，，P是边上一动点（不与端点重合）．由旋转得到．下列说法：①的大小是变化的；②平分；③有最小值；④与成一次函数关系；⑤四边形的面积为定值．正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．（2026·北京·一模）已知：如图，在平面直角坐标系中，有菱形，点A的坐标为，对角线相交于点D，双曲线经过点D，交的延长线于点E，且，有下列四个结论：
①双曲线的解析式为；
②点C的坐标是；
③；
④．
其中正确的结论有（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④
8．（2026·山东济南·一模）如图，在中，为边上的中线，将沿射线的方向平移得，设平移的距离为，与重叠的面积为与的函数图象如图2所示，有以下结论：①；②的面积为；③点在与的函数图象上；④的最大值为．其中正确的有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
9．（20-21八年级·全国·假期作业）如图， 平分 ， ，垂足为 ， 交 的延长线于点 ，若 恰好平分 ，则下列结论中：
①是的高；
②是的中线；
③；
④ ．
其中正确的个数有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
10．（2026·河北石家庄·一模）如图，半圆的直径，C是半圆AB的中点，D是的中点，连接，，过点D作的切线分别交的延长线于点E，F．下列结论：①；②；③；④．其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
考点3 几何最值
11．（2026·安徽芜湖·一模）如图，在等腰直角中，，．点为的中点，，其两边分别与，交于点，（不与，，重合）．取的中点，连接并延长交于点，连接，．则下列结论中正确的是（ ）
A．的最小值为 B．的最小值为
C．周长的最小值为 D．四边形面积的最小值为
12．（2026·安徽淮南·一模）如图，在中，，，，点在边上，点在的延长线上，且，为的中点，则下列结论错误的是（ ）
A．的最小值为 B．的最大值为
C．的最小值为 D．的最小值为
13．（2026·安徽阜阳·一模）如图，在中，，，．点在边上，点在的延长线上，连接，，且．则下列结论错误的是（ ）
A．的最小值为 B．的最大值为
C．的最小值为 D．周长的最小值为
14．（2025·安徽·中考真题）如图，在四边形中，，，，，点为边上的动点．将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，，，则下列结论错误的是（ ）
A．的最大值是 B．的最小值是
C．的最小值是 D．的最大值是
15．（2026·江苏扬州·一模）如图，在中，，，线段绕点在平面内旋转，过点作的垂线，交射线于点．若，则长的最大值是（ ）
A．4 B． C． D．
考点4 新定义问题
16．（2026·湖南郴州·一模）定义：已知二次多项式（a，b，c为常数，且），把关于x的方程的解称为该二次多项式的“溯源值”．若二次多项式的“溯源值”的取值范围是，则m的最小值是（ ）
A．2 B． C． D．
17．（2025·四川泸州·中考真题）对于任意实数，定义新运算：，给出下列结论：①；②若，则；③；④若，则的取值范围为．其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
18．（2025·重庆·一模）数形结合是解决一些数学问题的重要思想方法，比如在数轴上表示数，对应的点之间的距离．现定义一种“Q运算”，对于若干个数，先将每两个数作差，再将这些差的绝对值进行求和．例如：对，1，2进行“Q运算”，得．下列说法正确的个数是（ ）
①对n，，1进行“Q运算”的结果是8，则；
②对a，b，c，c进行“Q运算”，化简后的结果可能存在6种不同的表达式；
③对4，5，6，7，，2025，q进行“Q运算”，当其结果取最小时对应q的范围是．
A．0 B．1 C．2 D．3
19．（2025·浙江·模拟预测）对于正整数n，符号，例如：，，如果，那么 ( )
A． B．1 C． D．2
20．（2025·河北邢台·三模）【规定】一列数中任意相邻的三个数满足，则这个数列为“漂亮数列”．
如下结论：①若是“漂亮数列”，则；
②若不论取何值，数列都是“漂亮数列”，则；
③若数列…，…是“漂亮数列”，则．
其中正确的是（ ）
A．① B．①② C．②③ D．①②③
考点5 函数压轴题
21．（2026·河北廊坊·一模）如图，已知抛物线关于直线对称，将此抛物线向上平移7个单位长度后过原点．当时，函数的最大值为，最小值为，且满足，则下列关于实数的结论正确的是（ ）
A．或 B．或 C． D．
22．（2026·江苏无锡·一模）如图，A是反比例函数的图象上一点，延长至点B，使，过点B作轴，交该反比例函数图象于点C，过点A作，交于点D，若四边形的面积为4，则k的值为（ ）
A． B． C． D．
23．（2026·安徽合肥·一模）如图1，菱形的边长为，动点，同时从点出发，点沿线段向终点匀速运动，点沿折线向终点匀速运动，两点同时到达终点并停止运动．设运动的时间为秒，的面积为，与的关系如图2所示，下列说法中不正确的有（ ）
A． B．菱形的面积为
C．时， D．时，
24．（2026·北京通州·一模）如图，函数的图象与过原点O的直线相交于A，B两点，点M是第一象限内双曲线上的动点（点M在点A的左侧），直线分别交x轴，y轴于C，D两点，连结分别交x轴，y轴于点E，F，连结．给出下面四个结论：
①若于点M，则；
②可能是等腰直角三角形；
③与面积相等；
④若，则．
上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①④ D．②③
25．（2026·安徽蚌埠·二模）如图，动点，沿着菱形的边运动，同时从点出发，点以每秒1个单位长度的速度沿线段向终点运动；点以每秒3个单位长度的速度沿线段向终点运动，当其中一点运动至终点时，另一点随之停止运动．已知菱形的面积为，设运动时间为（秒），的面积为，则关于的函数图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
1．（2026·重庆·一模）如图，在正方形中，点在边上，点在边上，连接，，若，点是的中点，连接，与交于点，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2026·甘肃天水·一模）如图，在等边三角形的三边上，分别取点D，E，F，使．若，，的面积为，则关于的函数图象大致为（ ）
A．B．C． D．
3．（2026·海南儋州·一模）如图，在边长为6的正方形中，点E、F分别是边、的中点，连接、，点G、H分别是、的中点，连接，则的长度为（ ）
A． B． C． D．
4．（2026·山西忻州·一模）将两个全等的、边长均为6的等边三角形按如图所示的方式重叠，重叠部分恰好为正六边形，观察图形，图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
5．（2026·广东佛山·一模）如图，在正方形中，将边绕点逆时针旋转至，若，则（ ）
A． B． C． D．
6．（2026·安徽淮南·一模）已知点C是半圆的动点，为直径，且，求的最大值（ ）
A． B． C． D．
7．（2026·浙江宁波·一模）如图，在边长为2的菱形中，对角线交于点，于点，为上一点，，延长交于点，记，，当的大小发生变化时，则下列代数式的值不变的是（ ）
A． B． C． D．
8．（2026·浙江温州·一模）如图1，在菱形中，，点P从点D出发，以每秒1个单位的速度沿向终点B运动，同时点Q从点B出发，沿折线向终点D匀速运动，两点同时到达终点．设运动时间为x秒，为y．如图2，y关于x的函数图象经过最低点．下列说法不正确的是（ ）
A． B．
C． D．点在该函数图象上
9．（2026·天津红桥·一模）如图，在正方形中，为边上一点，连接．按以下步骤作图：①以点为圆心，适当长为半径画弧，与边相交于点，与相交于点；②以点为圆心，长为半径画弧，与相交于；③以点为圆心，长为半径画弧，与第②步中所画的弧相交于点（在上方），作射线；④以点为圆心，长为半径画弧，与射线相交于点，连接与边相交于点，连接．若，，则线段的长为（ ）
A． B． C． D．
10．（2022·广西南宁·一模）如图，点E在矩形纸片的边上，将纸片沿折叠，点D的对应点恰好落在线段上．若，，则的长为（ ）
A． B．4 C． D．5
11．（2026·江西萍乡·一模）如图，正方形的边长为2，动点从点出发，沿折线的方向运动，同时动点以相同的速度沿折线的方向运动，当其中一点停止运动时，另一点也随即停止运动，连接交于点．点是边上的另一动点，连接和，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
12．（2026·天津红桥·一模）如图，在中，，以为边向外作等边三角形，连接，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点为，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．21世纪教育网(www.21cnjy.com)
21世纪教育网(www.21cnjy.com)题号猜题06 中考数学10题 压轴题（选择题）
考点1 动点问题
1．（2026·甘肃天水·一模）如图（1），在等腰三角形中，，动点以的速度从点沿向点运动，同时动点以的速度从点沿折线向点运动，连接，当其中一动点到达终点时，两动点同时停止运动．设动点运动的时间为的面积为，图（2）是与的函数关系的图象，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据函数图象可知，当点 运动到点 时， 的面积取得最大值 ，过点作垂足为，
，先利用面积求出，再结合等腰三角形性质和勾股定理求解即可．
【详解】解：根据函数图象可知，当点 运动到点 时， 的面积取得最大值 ，
此时如下图，过点作垂足为，
∴，
∵动点以的速度从点沿向点运动，同时动点以的速度从点沿折线向点运动，
∴，
∴的面积为，即，
在直角三角形中，，
∴．
2．（2026·天津西青·一模）在中，，．动点M从点B出发，以的速度沿边、边向终点C运动；动点N同时从点B出发，以的速度沿边向终点C运动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为．当时，点M，N的位置如图所示．有下列结论：
（1）当时，；
（2）的最大面积为；
（3）t只有一个值满足的面积为．
其中，正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【分析】由题意易得，当时，点M在边上，则，当时，点M在边上，则，然后分类进行求解即可．
【详解】解：由题意可知：，当时，点M在边上，则，当时，点M在边上，则，
当时，此时点M在边上，
∴，
∴，故（1）正确；
当时，过点M作于点E，如图所示：
∵，，
∴，
∴，
当时，的面积为最大，最大值为；
当时，过点M作于点F，如图所示：
∵，
∴，
∴，
当时，的面积为最大，最大值为；故（2）错误；
当时，解得：（负根舍去），符合，
当时，解得：（负根舍去），
∵，
∴，符合题意；
∴t有两个值满足的面积为，故（3）错误；
综上所述：正确的结论只有一个．
3．（2026·天津河东·一模）平行四边形中，，，．动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿边、边向终点运动；动点从点同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿边向终点运动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为秒．当时，点，的位置如图所示．
有下列结论：
①当时，；
②当时，的最大面积为；
③存在两个的值，使得的面积为．
其中，正确结论的个数是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】C
【分析】由题中的点，运动过程，分情况作图，运用平行四边形判定与性质、解直角三角形及二次函数图象与性质讨论求解．
【详解】解：当时，，
，
，
则，且，
四边形是平行四边形，
在平行四边形中，，
则，故①正确；
，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度运动，
走完用时（秒），
过点作，如图所示：
在中，，则，
，则由勾股定理可得，
当时，，则，
当时，的最大面积为；
当时，过点作，过点作，如图所示：
，，
在中，，则，
，
，则由勾股定理可得，
，
在平行四边形中，，则，
在中，，，则，
由勾股定理可得，
则，
，
由抛物线开口向上、对称轴为，则当时，随着的增大而减小，
当时，有最大值，为；
综上所述，当时，的最大面积为，故②正确；
由题意，当停止运动时，共用时为（秒），而此时还为到达，
点，总共运动时间为秒，
由②的判定过程可知，当时，的最大面积为，
，
解得；
当时，，
解得或；
综上所述，存在、或三个值，使得的面积为，故③错误；
则题中正确结论是①②，共2个．
4．（2025·天津·中考真题）四边形中，，．动点从点出发，以的速度沿边、边向终点运动；动点从点同时出发，以的速度沿边向终点运动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为．当时，点M，N的位置如图所示．有下列结论：
①当时，；
②当时，的最大面积为；
③有两个不同的值满足的面积为．其中，正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】本题主要查了二次函数的性质，一元二次方程的应用．当时，点M在上，求出，可判断①；当时，点M在上，利用三角形面积公式求出的面积，利用二次函数的性质，可判断②；分两种情况：当点M在上时，点M在上，结合的面积为，列出方程，可判断③．
【详解】解：根据题意得：点M在上的运动时间为，点M在上的运动时间为，点N在上的运动时间为，
①当时，点M在上，
此时，，
∴，
∴，故①正确；
②当时，点M在上，
此时，，
∴，
∴，
∵，
∴当时，随t的增大而增大，
∴当时，取得最大值，最大值为，
即当时，的最大面积为，故②错误；
③当点M在上时，
∵的面积为，
∴，
解得：（舍去），
∴当时，的面积为；
当点M在上时，
∵，，
∴，即，
此时，
解得：，
∴当时，的面积为；
∴有两个不同的值满足的面积为，故③正确．
故选：C
5．（2026·湖北黄石·一模）如图①，在菱形中，，动点从点出发，以每秒1个单位的速度沿线段运动到点停止，同时动点从点出发，以每秒2个单位的速度沿折线运动到点停止．图②是点，运动时的面积与运动时间的函数关系的图象，则的值为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了动点函数的图象，菱形的性质，解直角三角形，解决本题的关键是由点的运动结合图2得出的长．根据题意可得，分当点Q在上时，即时和当点Q在上时，即时，分别表示出，分析可知当点Q到达点C时，，此时，代入进行计算即可得到答案．
【详解】解：由题图2得，时，点P停止运动，
点P以每秒1个单位速度从点运动到点用了6秒，
，
由点P和点Q的运动可知，，
当点Q在上时，即时，，
过点P作交于，
，
，
，
当点Q在上时，即时，
四边形是菱形，
，
，
由上可知，当点Q到达点C时，，
即当时，，
故选：C
考点2 几何多结论判定
6．（2026·四川南充·一模）如图，在中，，P是边上一动点（不与端点重合）．由旋转得到．下列说法：①的大小是变化的；②平分；③有最小值；④与成一次函数关系；⑤四边形的面积为定值．正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】根据旋转的性质可得，，，则可证明，据此可判断①；根据等边对等角可得，据此可判断②；根据，且垂线段最短可判断③；根据可判断④；根据可判断⑤．
【详解】解：由旋转的性质可得，，，
∴，
∴，
∵是定角，
∴是定角，故①说法错误；
∵，
∴，
∴，
∴平分，故②正确；
∵，且垂线段最短，
∴当时，有最小值，即此时有最小值，故③正确；
∵，
∴，
∵的长是定值，
∴与成一次函数关系，故④正确；
∵，
∴四边形的面积为定值，故⑤正确；
∴正确的有4个．
7．（2026·北京·一模）已知：如图，在平面直角坐标系中，有菱形，点A的坐标为，对角线相交于点D，双曲线经过点D，交的延长线于点E，且，有下列四个结论：
①双曲线的解析式为；
②点C的坐标是；
③；
④．
其中正确的结论有（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④
【答案】A
【分析】过作轴于点，由菱形的面积可求得，在中，可求得，过作轴于点，由菱形的性质可求得点坐标，则可求得双曲线解析式；过作轴于点，则，可求得，可求得点坐标和；在中，由勾股定理可求得，结合条件可求得，则可求得，可得出答案．
【详解】如图，过作轴于点，过作轴于点，过作轴于点，
，
，
，即，
，
在中，，，由勾股定理可得，
，
四边形为菱形，
为中点，
，，
，
双曲线过点，
，解得，
双曲线解析式为，
故①正确；
又由上可知四边形为矩形，
，
，且，
，
故②正确；
在中，，，
，
故③正确；
在中，，，
，
，
，
，
故④不正确；
综上可知正确的为①②③共三个．
8．（2026·山东济南·一模）如图，在中，为边上的中线，将沿射线的方向平移得，设平移的距离为，与重叠的面积为与的函数图象如图2所示，有以下结论：①；②的面积为；③点在与的函数图象上；④的最大值为．其中正确的有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】C
【分析】根据平移及函数图象结合，列出与的函数关系式，逐一判断结论是否正确即可.
【详解】解：由图象可知，当时，，
即：与重叠的面积为，
此时，与重合，，∴①正确；
当时，，与重合，与重合，令与的交点为，
∵，为的中点，
∴为中点，
∵，
∴，
∴，∴②正确；
当时，连接，
∵，
∴，
∴，即：，
同理：，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴即：，
∴，
同理：，
∴，
∵，
∴，
即当时，，∴④正确；
当时，
∵，
∴，
∴，
∴，
，
当时，，∴③错误．
故选：C．
9．（20-21八年级·全国·假期作业）如图， 平分 ， ，垂足为 ， 交 的延长线于点 ，若 恰好平分 ，则下列结论中：
①是的高；
②是的中线；
③；
④ ．
其中正确的个数有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】A
【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质等，证明为等腰三角形， 由等腰三角形的性质得，，即可判定①②；过点作于，由角平分线的性质可得，，即可判定③；证明，得，同理可得，即得，即可判定④，综上即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键．
【详解】解：∵恰好平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴为等腰三角形，
∵平分，
∴，，故①②正确；
过点作于，如图，
∵平分，，，
∴，
∵，，
∴，
∵平分，，
∴，
∴，故③正确；
在和中 ，
，
∴，
∴，
同理可得，
∴，故④正确；
综上，结论正确的个数有个，
故选：．
10．（2026·河北石家庄·一模）如图，半圆的直径，C是半圆AB的中点，D是的中点，连接，，过点D作的切线分别交的延长线于点E，F．下列结论：①；②；③；④．其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】根据平行线的判定可判断①，是半圆的中点和是的中点可判断②，证明是等腰直角三角形，根据勾股定理求出，得到可判断③，证明，求出，再求出可判断④．
【详解】解：连接，如图：
∵，
∴，
∵是的中点，
∴，
∴，
∴，故①符合题意；
∵是半圆的中点，
∴，
∵是的中点，
∴，故②符合题意；
∵，
∴，
∵是的切线，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，故③不符合题意，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴，故④符合题意；
综上，符合题意的是①②④，共个．
考点3 几何最值
11．（2026·安徽芜湖·一模）如图，在等腰直角中，，．点为的中点，，其两边分别与，交于点，（不与，，重合）．取的中点，连接并延长交于点，连接，．则下列结论中正确的是（ ）
A．的最小值为 B．的最小值为
C．周长的最小值为 D．四边形面积的最小值为
【答案】B
【分析】根据勾股定理可得，即得，连接、，由直角三角形的性质得，进而根据得，即可判断；由得点在线段的垂直平分线上，可知点在边所对中位线上移动，作点关于直线的对称点，连接，则，，利用勾股定理求出即可判断；由得，，，四点共圆，即得，得到，即得到，得，即可判断；证明四边形为矩形，可得，即得是等腰直角三角形，设，则，得，即可判断，综上即可求解．
【详解】解：∵，，
∴，
∵点为的中点，
∴，
如图，连接、，
，点为的中点，
，
，
，故选项错误；
如图，∵，
∴点在线段的垂直平分线上，
∴点在边所对中位线上移动，
作点关于直线的对称点，连接，则，，
∵，
∴，
∴的最小值为，故选项正确；
如图，，
，，，四点共圆，
∵，，点为的中点，
∴，
，
，
∴，
∴，
，故选项错误；
∵，
，
∵，点为的中点，
∴，
，
，
∴，
∵，点为的中点，
∴，
，
∴四边形为矩形，
，
∵，
∴是等腰直角三角形，
设，则，
，
∴四边形的面积最大值为，故选项错误．
12．（2026·安徽淮南·一模）如图，在中，，，，点在边上，点在的延长线上，且，为的中点，则下列结论错误的是（ ）
A．的最小值为 B．的最大值为
C．的最小值为 D．的最小值为
【答案】C
【分析】由直角三角形的性质可得，由勾股定理可得，设点到的距离为，由等面积法求出，由题意求出，则当取最小值时，则取最小值，即可判断A；当取最大值时，取最大值．当与重合时，取最大值，即可判断B；过点作，过点作，与相交于点，作点关于的对称点，分别连接，，，与交于点，则，，，再由得出当，，三点共线时，的最小值为，即可判断C；作点关于的对称点，连接交于点，求出的值即可判断D．
【详解】解：，，，
∴，，
设点到的距离为，则，
点到的距离．
，
∴，
，
当取最小值时，则取最小值．
又∵由垂线段最短可得：的最小值为,
的最小值为，故A正确；
当取最大值时，取最大值．当与重合时，取最大值，如图1，作于点．
则，，
∴，
∴在直角三角形中，，
的最大值为，故B正确；
如图2，过点作，过点作，与相交于点，作点关于的对称点，分别连接，，，与交于点，则，，，
，，，
当，，三点共线时，的最小值为，故C错误；
如图3，作点关于的对称点，连接交于点，
此时，即取最小值．
在直角三角形中，，故D正确．
【点睛】本题考查了直角三角形的性质、勾股定理、解直角三角形、轴对称的性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键．
13．（2026·安徽阜阳·一模）如图，在中，，，．点在边上，点在的延长线上，连接，，且．则下列结论错误的是（ ）
A．的最小值为 B．的最大值为
C．的最小值为 D．周长的最小值为
【答案】C
【分析】根据含角直角三角形的性质结合勾股定理先求出、的长，由等量代换可求得的长，最后根据垂线段最短结合三角形的面积公式确定最小值，即可判断A选项；当取最大值时，则取最大值，当与重合时，取最大值，解直角三角形即可判断B选项；以为一边作，过作交于，当，，三点共线，且时，取最小值，解直角三角形即可判断C选项；过作，过作，与相交于，作关于的对称点，分别连接，，，与交于，当，，三点共线时，最小值，解直角三角形即可判断D选项．
【详解】解：，，，
，
，
，
，
，
当取最小值时，则取最小值，当时，取最小值，
此时，
，解得，
的最小值为，
的最小值为，故A结论正确，不符合题意；
当取最大值时，则取最大值，当与重合时，取最大值．
如图，作于，
，
，解得，
，
，
在中，，
的最大值为，
的最大值为，故B结论正确，不符合题意；
如图，以为一边作，过作交于，
，，
，
当，，三点共线，且时，取最小值，
，
，
，
的最小值为，故C结论错误，符合题意；
如图，过作，过作，与相交于，
作关于的对称点，分别连接，，，与交于，
则，，，四边形是平行四边形，
，，
，
，
当，，三点共线时，最小值，最小值为，
的周长的最小值为，故D结论正确，不符合题意．
14．（2025·安徽·中考真题）如图，在四边形中，，，，，点为边上的动点．将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，，，则下列结论错误的是（ ）
A．的最大值是 B．的最小值是
C．的最小值是 D．的最大值是
【答案】A
【分析】本题主要围绕四边形中的动点问题展开，解题思路是先通过旋转的性质得到相关线段和角的关系，再利用勾股定理建立线段之间的联系，最后根据点与点之间的位置关系以及几何性质来分别判断各个结论的正确性．
【详解】解：∵将线段绕点逆时针旋转得到线段，
∴，．
又∵，，，，
过点作于点，在上取一点，使得延长交于点，则四边形是矩形，
∴．
∴，
∴（），
∴
∴，即点在上运动，
∴四边形和四边形是矩形，
∴，，，
∵，，，，
∴
∴，
∴最大时，最大，
当点与点重合时，与重合时，最小此时，，故错误，符合题意；故B正确，不符合题意；
作点关于的对称点，连接则，，过作于点，此时当、、三点共线时，最小，
∵
∴四边形是矩形，
∴，，
∴的最小值故正确，不符合题意；
当与重合时，
当与重合时，过作，则四边形是矩形，如下图，
∴，，
∵，
∴，
∴
∴，
综上，最大值为．故项正确，不符合题意；
故选：．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定及性质，勾股定理以及几何最值问题，熟练掌握旋转的性质和勾股定理，并能根据几何图形的特点准确分析线段之间的关系是解题的关键．
15．（2026·江苏扬州·一模）如图，在中，，，线段绕点在平面内旋转，过点作的垂线，交射线于点．若，则长的最大值是（ ）
A．4 B． C． D．
【答案】B
【分析】先确定点C与点E的运动轨迹，继而得到，当最大时，最大，当最小，最大，再进行计算最大值即可．
【详解】解：，
，
点是在以为直径的圆上运动．
，且是绕点旋转，
点是以点为圆心，以为半径的圆上运动．
，
当最大时，最大，即最小，最大．
如图，当与相切于点，且点在内部时，最小，最大．
，
，
，
，
，
此时，即的最大值为．
考点4 新定义问题
16．（2026·湖南郴州·一模）定义：已知二次多项式（a，b，c为常数，且），把关于x的方程的解称为该二次多项式的“溯源值”．若二次多项式的“溯源值”的取值范围是，则m的最小值是（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】C
【分析】先根据“溯源值”的定义，将二次多项式代入方程，求出方程的解（用含m的式子表示），再结合“溯源值”的取值范围，通过不等式的性质求出m的取值范围，进而得到m的最小值．
【详解】解：∵是二次多项式，
∴，，，
将，，代入方程，
得：，即，
解得，
∵二次多项式的“溯源值”的取值范围是，
∴，
解得，
由可知，m的最小值是．
17．（2025·四川泸州·中考真题）对于任意实数，定义新运算：，给出下列结论：①；②若，则；③；④若，则的取值范围为．其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】本题考查了实数的新定义运算，解一元一次不等式组，根据新定义运算分类讨论是解题的关键．根据新定义运算法则，逐项分析判断，即可求解．
【详解】解：①∵，
∴，故①正确，
②∵，
当时，，
当时，，即，故②不正确；
③不成立，例如，则，故③不正确；
④当即时，
则：，
解得：，
∴；
当，即时，
则：，
解得：，
∴，
综上所述，，故④正确，
故正确的有①和④，共2个，
故选：B．
18．（2025·重庆·一模）数形结合是解决一些数学问题的重要思想方法，比如在数轴上表示数，对应的点之间的距离．现定义一种“Q运算”，对于若干个数，先将每两个数作差，再将这些差的绝对值进行求和．例如：对，1，2进行“Q运算”，得．下列说法正确的个数是（ ）
①对n，，1进行“Q运算”的结果是8，则；
②对a，b，c，c进行“Q运算”，化简后的结果可能存在6种不同的表达式；
③对4，5，6，7，，2025，q进行“Q运算”，当其结果取最小时对应q的范围是．
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【分析】本题考查了新定义运算，化简绝对值符号，整式的加减运算，掌握绝对值运算，整式的运算是解题的关键．①根据“Q运算”的运算方法进行运算，即可判定；②首先根据“Q运算”的运算方法进行运算，再分类讨论，化简绝对值符号，即可判定；③先分析得出为使两两差绝对值最小，则q应位于不含q的数列的中位数附近时运算结果最小，根据中位数即可判断．
【详解】解：①对n，，1进行“Q运算”的结果是8，
则，
，
当时，，
解得：；
当时，，方程无解；
当时，，
解得：；
故或2，则①错误；
②对a，b，c，c进行“Q运算”，，
当，，
当，，
当，，
当，，
当，，
当，，
化简后的结果可能存在6种不同的表达式，故②正确；
③若对4，5，6，7，，2025，进行“Q运算”，该数列共2022项，插入q后共2023项，
为使两两差绝对值最小，则q应位于原数列的中位数附近，原数列中位数为，
则当时，运算结果最小，故③错误；
故选：B
19．（2025·浙江·模拟预测）对于正整数n，符号，例如：，，如果，那么 ( )
A． B．1 C． D．2
【答案】A
【分析】本题考查了新定义，涉及有理数的运算，数字类规律等知识点，难度较大，熟练掌握各知识点是解题的关键．
先确定末尾有4个0，再确定能被9整除，则各个数字之和也能被9整除，即可求解．
【详解】解：在中，的倍数有共4个，因此中，末尾共有4个0，故；
∵中的因数有9，
∴能被9整除，其各位数字之和也能被9整除，
∴是9的倍数，即，
∴，
故选：A．
20．（2025·河北邢台·三模）【规定】一列数中任意相邻的三个数满足，则这个数列为“漂亮数列”．
如下结论：①若是“漂亮数列”，则；
②若不论取何值，数列都是“漂亮数列”，则；
③若数列…，…是“漂亮数列”，则．
其中正确的是（ ）
A．① B．①② C．②③ D．①②③
【答案】B
【分析】本题考查了新定义下的实数运算，整式加减的应用，解题关键是理解新定义运算．
根据“漂亮数列”意义直接解可以判断①；
根据“漂亮数列”意义列出式子求得可以判断②；
根据“漂亮数列”意义列，由得出，代入，求出可以判断③．
【详解】解：①由题意得：；
②数列是“漂亮数列”，
，
不论取何值，数列都是“漂亮数列”，
，解得：，
；
③数列是“漂亮数列”，
，
∴，
，
解得：或 2．
∴正确的是①②，
故选：B．
考点5 函数压轴题
21．（2026·河北廊坊·一模）如图，已知抛物线关于直线对称，将此抛物线向上平移7个单位长度后过原点．当时，函数的最大值为，最小值为，且满足，则下列关于实数的结论正确的是（ ）
A．或 B．或 C． D．
【答案】A
【分析】依据题意，先求出二次函数的解析式为，然后根据和两种情况进行分类讨论即可判断得解．
【详解】解：∵抛物线关于直线对称，
∴可设抛物线为．
又∵抛物线向上平移7个单位长度后过原点，
∴此时抛物线为，则．
∴．
∴抛物线为．
讨论和两种情况：
（1）当时，
∴，．
∵，
∴．
分类讨论：
①当时，，当时，，
且当时，，
∴当时，函数的最大值为9，最小值为5，且，故成立；
②当，即时，当时，，
当时，，
∴当时，函数的最大值为9，最小值为5，且，故成立．
综上，或时函数的最大值m和最小值n满足；
（2）当时，或
①当即时，
∵y随x的增大而增大，
∴，，
∴．
而，
∴
∴当，即时不存在满足条件的t值；
②当时，
∵y随x的增大而减小，
∴，．
∴．
而，
∴
∴当时不存在满足条件的t值．
综上，当时，不存在满足条件的t值．
∴只有或时函数的最大值m和最小值n满足．
22．（2026·江苏无锡·一模）如图，A是反比例函数的图象上一点，延长至点B，使，过点B作轴，交该反比例函数图象于点C，过点A作，交于点D，若四边形的面积为4，则k的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据可得，进而可得，根据面积的和差求出，设点坐标为，则，由轴，结合反比例函数性质可得，由即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
设点坐标为，则，
∵轴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
23．（2026·安徽合肥·一模）如图1，菱形的边长为，动点，同时从点出发，点沿线段向终点匀速运动，点沿折线向终点匀速运动，两点同时到达终点并停止运动．设运动的时间为秒，的面积为，与的关系如图2所示，下列说法中不正确的有（ ）
A． B．菱形的面积为
C．时， D．时，
【答案】D
【分析】根据当和时的高相等，根据点匀速运动，所以可知当时的面积是时的面积的一半，可知；根据当时，，可知，再根据菱形的性质求出菱形的面积为；根据点、运动的路程之间的关系，设，则，求出，把代入解析式求出值即可；求出当时，，把代入解析式求出值即可．
【详解】解：菱形的边长为，
，，
由图可知，当运动秒时，点运动到点，当运动秒时，点运动到点，
时，，
时，，
故A选项正确；
如下图所示，当时，，
，
菱形的面积为，
故B选项正确；
当时，，
设菱形的边上的高为，
则有，
，
，
设时，设，则，
解析式为，
当时，可得：，
故C选项正确；
设时，点在上运动，
，
，
，
当时，
可得：，
故D选项错误．
24．（2026·北京通州·一模）如图，函数的图象与过原点O的直线相交于A，B两点，点M是第一象限内双曲线上的动点（点M在点A的左侧），直线分别交x轴，y轴于C，D两点，连结分别交x轴，y轴于点E，F，连结．给出下面四个结论：
①若于点M，则；
②可能是等腰直角三角形；
③与面积相等；
④若，则．
上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①④ D．②③
【答案】B
【分析】设点，构建一次函数求出坐标，利用三角形的面积公式计算即可判断③．判断出不一定是等边三角形，故结论①不一定成立．根据，构建方程求出即可判断②．如图，作交于，利用平行线分线段成比例定理解决问题即可判断④．
【详解】解：①设点，
设直线的解析式为，
则，
解得：，
则直线的解析式为，
令，则，
令，则，解得：，
，
，
∴与的面积相等，故③正确；
当是等腰直角三角形时，，
即，
∴，
该式可以成立（如，此时），故可以是等腰直角三角形，②正确．
∵反比例函数与正比例函数关于原点对称，
∴是的中点，
，
，
∴，
，
，
，
不一定等于，
即不一定是等边三角形，
不一定是，
不一定是，故①错误；
如图，作交于，
，
，
，
，
，
，
，
，
，故④正确．
综上，正确的结论是②③④．
25．（2026·安徽蚌埠·二模）如图，动点，沿着菱形的边运动，同时从点出发，点以每秒1个单位长度的速度沿线段向终点运动；点以每秒3个单位长度的速度沿线段向终点运动，当其中一点运动至终点时，另一点随之停止运动．已知菱形的面积为，设运动时间为（秒），的面积为，则关于的函数图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据题意，分、、三种情况进行讨论，得到关于的解析式，再判断即可．
【详解】解：过点作交于点，如图1．
菱形的边长为6，面积为，
．
设运动时间为秒，则．
当时，点在上运动，此时．
作交于点，如图1，则
，
，
，即，解得，
此时，
该部分函数图象是开口向上的抛物线，故选项符合题意；
当时，如图2，此时点在上，点在上，则，
此部分的函数图象是一条线段且随的增大而增大；
当时，如图，
，
，即，解得，
此时，
该部分函数图象是开口向下的抛物线，
综上，A符合题意．
1．（2026·重庆·一模）如图，在正方形中，点在边上，点在边上，连接，，若，点是的中点，连接，与交于点，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】延长至点P，使，连接，，延长交的延长线于点M，交于点N， 设，根据，可得，，，再证明，可得，从而得到，，然后根据，可得，从而得到，再证明，可得，，结合，可得，可证明，可得，设，则，，在中，利用勾股定理可得，再由，即可求解．
【详解】解：如图，延长至点P，使，连接，，延长交的延长线于点M，交于点N，
在正方形中，，，
设，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵点是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，，
在中，，
∴，
解得：，
∴，
∵，
∴，
∴．
2．（2026·甘肃天水·一模）如图，在等边三角形的三边上，分别取点D，E，F，使．若，，的面积为，则关于的函数图象大致为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用等边三角形的性质得出相等的边和角，通过证明全等三角形得出对应边相等，判定是等边三角形，作垂线利用面积公式求出和的面积，即可得到函数关系式，再结合二次函数的性质判断图象即可．
【详解】解：是等边三角形，
∴，
∵
，
即，
，
∴，
过点A作于G点，则，
∴
∴，
∴，
∴，
过点D作于点H，则，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
，
∴y关于x的函数图象开口向上，当时，；当时，；当时，y的最小值为，
∴选项A，C，D均不符合题意，选项B符合题意．
3．（2026·海南儋州·一模）如图，在边长为6的正方形中，点E、F分别是边、的中点，连接、，点G、H分别是、的中点，连接，则的长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】连接并延长交于，连接，根据正方形的性质得到，，，根据全等三角形的性质得到，根据勾股定理和三角形的中位线定理即可得到结论．
【详解】解：连接并延长交于，连接，
四边形是正方形，
，，，
，分别是边，的中点，
，
，
，
∵点H是的中点，
∴，
，
，
，
，
∴在中，，
点，分别是，的中点，
．
4．（2026·山西忻州·一模）将两个全等的、边长均为6的等边三角形按如图所示的方式重叠，重叠部分恰好为正六边形，观察图形，图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意可知六边形的性质可得，可得是等边三角形，同理是等边三角形，再说明四边形是菱形，进而得出，然后根据勾股定理求得，即可得，最后根据得出答案．
【详解】解：根据题意可知六边形是正六边形，
∴，
∴，
∴是等边三角形，同理是等边三角形，
∴，
∴，同理可得，
∴四边形是菱形，且，
∴是等边三角形，，
∴，则，
根据勾股定理得，则，
∴．
5．（2026·广东佛山·一模）如图，在正方形中，将边绕点逆时针旋转至，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用正方形及线段旋转的性质，得到；通过作，结合等腰三角形性质得，再通过角的互余关系推得，用证明，得出；设，则，在中用勾股定理求得，最后根据余弦定义算出．
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴，
∵线段绕点旋转得到，
∴，
∴，
如图，过点作于点，
在中，，且，
∴，
∵，即，
在中，，
∴，
∴ ，
在和中：
，
∴，
∴，
设，
∵，
∴，
∵，
∴，
在中，根据勾股定理：
在中，根据余弦的定义：，
∵，，
∴．
6．（2026·安徽淮南·一模）已知点C是半圆的动点，为直径，且，求的最大值（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设，利用勾股定理表示出，然后表示出，整理后利用判别式求解即可．
【详解】解：设，
∵为直径，
∴
∴
∴
∴
∴设
∴
∴
∴
∴
∴
整理得，
解得
∴y的最大值为，即的最大值为．
7．（2026·浙江宁波·一模）如图，在边长为2的菱形中，对角线交于点，于点，为上一点，，延长交于点，记，，当的大小发生变化时，则下列代数式的值不变的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】过作于，过作于，先由四边形是矩形，得到，，再证明，得到，证明，得到，证明，得到，根据，，得到，，，再根据，得到．
【详解】解：过作于，过作于，
∵边长为2的菱形，
∴，，，，
∴四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴
∵，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴，，，
∵，
∴，
整理得，
即当的大小发生变化时，代数式的值不变的是．
8．（2026·浙江温州·一模）如图1，在菱形中，，点P从点D出发，以每秒1个单位的速度沿向终点B运动，同时点Q从点B出发，沿折线向终点D匀速运动，两点同时到达终点．设运动时间为x秒，为y．如图2，y关于x的函数图象经过最低点．下列说法不正确的是（ ）
A． B．
C． D．点在该函数图象上
【答案】B
【分析】连接，交于点O，过点Q作于点H，结合菱形的性质得，，，进一步判定，有，根据题意可知点Q以每秒2个单位的速度沿折线向终点D匀速运动，图2的对称性可知，当点Q运动至点C、点P运动至点O时，，则，则和，结合图2可知点，此时点P与点B重合，点Q与点D重合，进而分：点Q在线段运动时，解得、和，利用勾股定理求得为，即可得到点E的信息；当点Q在线段运动时，同理可得，，，和，则，利用勾股定理求得，代入点即可．
【详解】解：连接，交于点O，过点Q作于点H，如图，
∵菱形中，，
∴，，，，
∴为等边三角形．
则，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
则点Q以每秒2个单位的速度沿折线向终点D匀速运动，
由图2的对称性可知，当点Q运动至点C、点P运动至点O时，，则，
那么，，，由图2可知点，此时点P与点B重合，点Q与点D重合，
当点Q在线段运动时，
∴，，，
∴，解得，，
则，
那么，为
，
当时即为图2的点E，，
当时，，
当点Q在线段运动时，
同理可得，，，
∴，，
则，
那么，为
，
当时，，
故选∶B．
【点睛】本题主要考查菱形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理的应用和二次函数的应用，解题的关键是应用动态的思想找到菱形的边长．
9．（2026·天津红桥·一模）如图，在正方形中，为边上一点，连接．按以下步骤作图：①以点为圆心，适当长为半径画弧，与边相交于点，与相交于点；②以点为圆心，长为半径画弧，与相交于；③以点为圆心，长为半径画弧，与第②步中所画的弧相交于点（在上方），作射线；④以点为圆心，长为半径画弧，与射线相交于点，连接与边相交于点，连接．若，，则线段的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】以点为原点建立平面直角坐标系，由作图可知，，可证，根据全等三角形的性质可以求出点的坐标为，利用待定系数法求出直线的解析式，根据解析式求出点的坐标，利用平面直角坐标系中两点之间的距离公式即可求出的长度．
【详解】解：四边形是正方形，
，
，，
，
由作图可知，，
如下图所示，以点为原点建立平面直角坐标系，
则有点的坐标是，点的坐标是，点的坐标是，点的坐标是，
过点作轴，
在和中，，
，
，，
，
点的坐标为，
设的解析式是，
可得：，
解得：，
直线的解析式是，
当时，可得：，
点的坐标是，
，
点的坐标是，
．
10．（2022·广西南宁·一模）如图，点E在矩形纸片的边上，将纸片沿折叠，点D的对应点恰好落在线段上．若，，则的长为（ ）
A． B．4 C． D．5
【答案】C
【分析】由折叠的性质得到，从而得出,，，，，利用矩形的性质推出，通过等边对等角得到，进而表示出，最终由勾股定理列方程求得结果．
【详解】解：∵是由沿着对折得到的，
∴，
∴,，，，
∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
解得．
11．（2026·江西萍乡·一模）如图，正方形的边长为2，动点从点出发，沿折线的方向运动，同时动点以相同的速度沿折线的方向运动，当其中一点停止运动时，另一点也随即停止运动，连接交于点．点是边上的另一动点，连接和，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了动点轨迹和最短路径问题，解题的关键是画出对应图形，找出G的轨迹在一个圆上，再由“将军饮马”模型求出最小值．
【详解】解：当E在上，F在上时，由这两点运动速度相同，故，由正方形性质知，，
由
，
，
，
，
故由圆周角性质得G在以为直径，中点O为圆心的圆上，以为对称轴将点B翻转上去得到点，如图所示
则 ，故 三点共线时最短，若 三点不共线，则 中 ，
故当 三点共线时最短，此时 四点共线，由于圆的半径为1， ，
故由勾股定理得 ，
最小为 ，
此时实际上E在上，F在上，如图所示
此时，但不变
12．（2026·天津红桥·一模）如图，在中，，以为边向外作等边三角形，连接，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点为，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据旋转的性质、等边三角形的性质及判定、平行线的判定逐一判断即可.
【详解】解：∵以为边向外作等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵由旋转可知：，
∴C错误；
，，
∴即：三点共线，
∵
∴是等边三角形，
∴，
∴A错误；
∵是等边三角形，
∴，
∵
∴
∴，
∴B正确；
∵不一定相等，
∴不一定垂直于，
∴D错误.
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